Skupina A
Příklad 1.(2b.) Určete Taylorův polynom čtvrtého stupně funkce f(x, y) = x5
y5
sin(xy) + x2
y v bodě (0, 0). (nejde
výsledek říci bez počítání?)
Řešení. Taylorův polynom součtu fukcí je součet Taylorových polynomů jednotlivých sčítanců. Dále je zřejmě Taylorův
polynom funkce x5
y5
sin(xy) nulový, Taylorův polynom libovolného mnohočlenu v nule je mnohočlen samotný.
Výsledkem je tedy xy
. 2
Příklad 2. Je dána diferenciální rovnice
y − 5y + 4y = 32x2
.
Určete
• řešení příslušné homogenní rovnice, (1b.)
• její obecné řešení,(2 b.)
• její jediné řešení y splňující podmínky y(0) = y (0) = 0.(2b.)
Řešení. 1
3 e4x
− 64
3 ex
+ 8x2
+ 20x + 21. 2
Příklad 3.(3b.) Určete obsah tělesa ležícího nad osou x, které vznikne odstraněním příslušné části elipsy x2
+ 2y2
= 4
ze čtverce o straně 4, se středem v počátku souřadnic a dvěma stranami rovnoběžnými s osou x.
Řešení. 8 −
√
2π. 2
Příklad 4.(5b.) Určete distribuční funkci náhodné veličiny udávající povrch krychle, má-li její objem rovnoměrné
rozdělení pravděpodobnosti na intervalu [1, 8].
Řešení. Dle zadání se hrana krychle pohybuje v rozmezí [1, 2], tedy její povrch S (označme X náhodnou veličinu jej
udávající), který lze spočítat z objemu V (dán náhodnou veličinou Y ) jako S = 6( 3
√
V )2
, se pohybuje v rozmezí [6, 24].
Pro t z tohoto intervalu je FX(t) = P[X < t] = P[6( 3
√
Y )2
< t] = P[Y < ( t
6 )
2
3 ] = 1
7 ( t
6 )
2
3 − 1
2
Příklad 5.(5b.) Biatlonista střílí ve stoje na terč. Sestřelí jej s pravděpodobnosí 70%. Kolik minimálně nábojů si musí
připravit, aby s pravděpodobností (alespoň) 99% sestřelil pět terčů? Při odhadu počtu použijte přiloženou tabulku.
Standard Normal Distribution Table
0 z
z .00 .01 .02 .03 .04 .05 .06 .07 .08 .09
0.0 .0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319 .0359
0.1 .0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714 .0753
0.2 .0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103 .1141
0.3 .1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480 .1517
0.4 .1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879
0.5 .1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224
0.6 .2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2517 .2549
0.7 .2580 .2611 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852
0.8 .2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133
0.9 .3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389
1.0 .3413 .3438 .3461 .3485 .3508 .3531 .3554 .3577 .3599 .3621
1.1 .3643 .3665 .3686 .3708 .3729 .3749 .3770 .3790 .3810 .3830
1.2 .3849 .3869 .3888 .3907 .3925 .3944 .3962 .3980 .3997 .4015
1.3 .4032 .4049 .4066 .4082 .4099 .4115 .4131 .4147 .4162 .4177
1.4 .4192 .4207 .4222 .4236 .4251 .4265 .4279 .4292 .4306 .4319
1.5 .4332 .4345 .4357 .4370 .4382 .4394 .4406 .4418 .4429 .4441
1.6 .4452 .4463 .4474 .4484 .4495 .4505 .4515 .4525 .4535 .4545
1.7 .4554 .4564 .4573 .4582 .4591 .4599 .4608 .4616 .4625 .4633
1.8 .4641 .4649 .4656 .4664 .4671 .4678 .4686 .4693 .4699 .4706
1.9 .4713 .4719 .4726 .4732 .4738 .4744 .4750 .4756 .4761 .4767
2.0 .4772 .4778 .4783 .4788 .4793 .4798 .4803 .4808 .4812 .4817
2.1 .4821 .4826 .4830 .4834 .4838 .4842 .4846 .4850 .4854 .4857
2.2 .4861 .4864 .4868 .4871 .4875 .4878 .4881 .4884 .4887 .4890
2.3 .4893 .4896 .4898 .4901 .4904 .4906 .4909 .4911 .4913 .4916
2.4 .4918 .4920 .4922 .4925 .4927 .4929 .4931 .4932 .4934 .4936
2.5 .4938 .4940 .4941 .4943 .4945 .4946 .4948 .4949 .4951 .4952
2.6 .4953 .4955 .4956 .4957 .4959 .4960 .4961 .4962 .4963 .4964
2.7 .4965 .4966 .4967 .4968 .4969 .4970 .4971 .4972 .4973 .4974
2.8 .4974 .4975 .4976 .4977 .4977 .4978 .4979 .4979 .4980 .4981
2.9 .4981 .4982 .4982 .4983 .4984 .4984 .4985 .4985 .4986 .4986
3.0 .4987 .4987 .4987 .4988 .4988 .4989 .4989 .4989 .4990 .4990
3.1 .4990 .4991 .4991 .4991 .4992 .4992 .4992 .4992 .4993 .4993
3.2 .4993 .4993 .4994 .4994 .4994 .4994 .4994 .4995 .4995 .4995
3.3 .4995 .4995 .4995 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4996 .4997
3.4 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4997 .4998
3.5 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998 .4998
Gilles Cazelais. Typeset with LATEX on April 20, 2006.
Řešení. Označme jako X náhodnou veličinu udávající počet zásahů biatlonisty při n střelách. Potom X ∼ Bi(n, 7
10 ).
Veličina Z =
X− 7
10 n
√
n 7
10
3
10
tak má s rostoucím n přibližně normální rozdělení. Toho využijeme při formulaci našeho poža-
davku:
0, 99 ≤ P[X ≥ 5] = P[
X − 7
10 n
1
10
√
21n
≥
5 − 7
10 n
1
10
√
21n
]
Chceme tedy, aby náhodná veličina Z s standardizovamým normálním rozložením byla větší než
5− 7
10 n
1
10
√
21n
s pravděpodobností
alespoň 99%, tedy
5− 7
10 n
1
10
√
21n
> Φ(0, 01)
.
= 2,33, což po úpravě a substituci t =
√
n dává kvadratickou
nerovnici
7t2
− 2,33
√
21t − 50 > 0,
tedy t > 3,54, n > 12,54, biatlonista si tedy musí připravit 13 nábojů.
2