Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Matematika III – 6. týden Integrace podruhé Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 26.10. – 30.10. 2015 Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Obsah přednášky 1 Literatura 2 Riemannův integrál 3 Změna souřadnic Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Riemannův integrál 3 Změna souřadnic Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Riemannův integrál 3 Změna souřadnic Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Integrály závislé na parametrech Theorem Pro spojitě diferencovatelnou funkci f (x, y1, . . . , yn) definovanou pro x z konečného intervalu [a, b] a na nějakém okolí bodu a = (a1, . . . , an) ∈ Rn uvažujme integrál F(y1, . . . , yn) = b a f (x, y1, . . . , yn)dx. Potom F je spojitá a pro všechny indexy j = 1, . . . , n platí ∂F ∂yj (a) = b a ∂f ∂yj (x, a1, . . . , an)dx Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Riemanův integrál funkce f definované na vícerozměrném intervalu I = [a1, b1] × . . . × [an, bn] je definován stejně jako v případě jedné proměnné – volíme dělení Ξ intervalu I na malé kvádry o objemu ∆xi1...in pomocí dělení jednotlivých intervalů, volíme reprezentanty ξi1...in těchto kvádrů a uvažujeme Riemannovy sumy SΞ,ξ = i1,...,in f (ξi1...in )∆xi1...in . Maximum velikostí objemů ∆xi1...in nazýváme normou Ξ. Integrál existuje, když pro každý výběr posloupnosti dělení s normou jdoucí k nule a reprezentů existuje limita Riemannových sum a tato limita je nezávislá na volbě posloupnosti. O ohraničené množině M řekneme, že je Riemannovsky měřitelná, když je její charakteristická funkce Riemannovsky integrovatelná na vícerozměrném intervalu I obsahujícím M. Integrál funkce f definované na Riemannovsky měřitelné M definujeme jako integrál přes I součinu f χM. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Theorem Množina Riemannovsky integrovatelných funkcí na vícerozměrném intervalu S ⊂ Rn je vektorovým prostorem a Riemannův integrál je na něm lineární formou. Pokud je obor integrace S zadán jako disjunktní sjednocení konečně mnoha Riemannovsky měřitelných oborů Si , je integrál funkce f přes S dán součtem integrálů přes obory Si . Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Násobné integrály Riemannovsky měřitelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěmi funkcemi rozsah další souřadnice y ∈ [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z ∈ [η(x, y), ζ(x, y)] atd. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Násobné integrály Riemannovsky měřitelné množiny zejména zahrnují případy, kdy lze S definovat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici x umíme zadat dvěmi funkcemi rozsah další souřadnice y ∈ [ϕ(x), ψ(x)], poté rozsah další souřadnice z ∈ [η(x, y), ζ(x, y)] atd. Theorem V případě množiny S zadané jako výše a Riemannovsky integrovatelné funkce f na S je Riemannův integrál vyčíslen formulí S f (x, y, . . . , z)dx . . . dz = b a ψ(x) ϕ(x) . . . ζ(x,y,... ) η(x,y,... ) f (x, y, . . . , z)dz . . . dy dx Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Theorem (Fubiniho věta) Pro vícerozměrný interval S = [a1, b1] × [a2, b2] × . . . × [an, bn] a spojitou funkci f (x1, . . . , xn) na S je násobný integrál S f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn = b1 a1 b2 a2 . . . bn an f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn nezávislý na pořadí ve kterém postupně integraci provádíme. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Plán přednášky 1 Literatura 2 Riemannův integrál 3 Změna souřadnic Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Změna souřadnic při integraci Při výpočtu integrálů funkcí jedné proměnné jsme používali transformace souřadnic jako mimořádně silný nástroj. Obdobně lze transformace využívat pro integrály funkcí více proměnných. Integrovaný výraz f (x)dx vyjadřuje plochu obdélníčku určeného (linearizovaným) přírůstkem proměnné x a hodnotou f (x). Pokud proměnnou transformujeme vztahem x = u(t), vzjadřuje se i linearizovaný přírůstek jako dx = du dt dt a proto i příslušný příspěvek pro integrál je vyjádřen jako f (u(t)) du dt dt, přičemž buď předpokládáme, že znaménko derivace u (t) je kladné, nebo dojde k obrácení mezí integrálu, takže ve výsledku se znaménko neprojeví. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Intuitivně je postup v n proměnných docela podobný, pouze musíme použít znalostí z lineární algebry o objemu rovnoběžnostěnů. Theorem Nechť G(t1, . . . , tn) : Rn → Rn, (x1, . . . , xn) = G(t1, . . . , tn), je spojitě diferencovatelné zobrazení, S = G(T) a T jsou Riemannovsky měřitelné množiny a f : S → R spojitá funkce. Potom platí S f (x1, . . . , xn)dx1 . . . xn = T f (G(t1, . . . , tn))| det(D1 G(t1, . . . , tn))|dt1 . . . dtn. Podrobný formální důkaz je přímočarou realizací výše uvedené úvahy ve spojení s definicí Riemannova integrálu. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Například pro integrál funkce f (x, y) ve dvou proměnných a transformaci G(s, t) = (g(s, t), h(s, t)). Dostáváme G(T) f (x, y)dxdy = T f (g(s, t), h(s, t)) ∂g ∂s ∂h ∂t − ∂g ∂t ∂h ∂s dsdt. Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Jako příklad spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) Literatura Riemannův integrál Změna souřadnic Jako příklad spočtěme integrál z charakteristické funkce kružnice o poloměru R (tj. její plochu) Nejprve spočítáme Jacobiho matici transformace x = r cos θ, y = r sin θ D1 G = cos θ −r sin θ sin θ r cos θ . Proto je determinant z této matice roven det D1 G(r, θ) = r(sin2 θ + cos2 θ) = r. Můžeme tedy přímo počítat pro kružnici S o poloměru R, která je obrazem obdélníku (r, θ) ∈ [0, R] × [0, 2π] = T: S dxdy = 2π 0 R 0 rdr dθ = R 0 2πrdr = πR2 .