Algebra I – podzim 2015 – vzor písemky
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda . . . je pologrupa/monoid/grupa/okruh/obor inte-
grity/těleso.
(například Rozhodněte, zda (Z, ∗), kde ∗ je operace definovaná předpisem a ∗ b =
a + b − ab pro všechna a, b ∈ Z, je pologrupa a zda je to grupa.)
nebo
Rozhodněte, zda . . . je podpologrupa/podmonoid/podgrupa/normální podgrupa/
podokruh/ideál v . . . .
nebo
Rozhodněte, zda předpis . . . definuje homomorfismus pologrup/monoidů/grup/
okruhů . . . .
2. (10 bodů) Určete podmonoid monoidu T ({1, . . . , ?}) generovaný prvky . . . .
(například f, g ∈ T ({1, 2, 3}) definovanými f(1) = 2, f(2) = 1, f(3) = 2, g(1) = 2,
g(2) = 3, g(3) = 3)
nebo
Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu . . . .
nebo
Určete podgrupu grupy S? generovanou permutacemi . . . .
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H.
například
(G, ·) =







1 0 0
0 a 0
b c 1

 | a ∈ Q \ {0}, b ∈ C, c ∈ R



, ·


H =





1 0 0
0 a 0
bi c 1

 | a ∈ {−1, 1}, b, c ∈ R



4. (10 bodů) Rozložte polynom . . . na součin nerozložitelných polynomů nad C, R,
Q a Z (případně víte-li, že . . . ).
(například polynom x8
− 3x7
+ 4x6
+ 2x5
− 10x4
+ 12x3
− 8x + 8, víte-li, že má
dvojnásobný kořen 1 + i)
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla . . . nad Q.
nebo
Určete stupeň rozšíření tělesa Q(. . .) nad Q.
(číslo může být například 1 + 3
√
2 − 1 · i,
√
3 +
3
√
3 + 3, 3
√
9 − 3
√
3 + 3)
6. (15 bodů) Spočtěte inverzi čísla . . . v tělese . . . .
(například 4
√
2 · i +
√
2 + 1 v tělese {a + b 4
√
2 · i + c
√
2 + d 4
√
8 · i | a, b, c, d ∈ Q})
nebo
Vyjádřete číslo 1
...
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
7. – 9. (3 × 5 bodů) Dejte příklad pologrupy/grupy/okruhu/homomorfismu daných
vlastností. Pokud takový . . . neexistuje, zdůvodněte proč.
(například grupy, která obsahuje prvky všech řádů nebo nekonečné grupy a její
podgrupy indexu 10 nebo homomorfismů grup ϕ, ψ: G → H takových, že ϕ(G) a
ψ(G) jsou disjunktní)
10. (5 bodů) Definujte . . . .
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení . . . .
12. (5 bodů) Dokažte . . . .
V příkladech 10. – 12. se může vyskytnout pouze to, co se probíralo na přednášce.