Písemná práce MB103 a MB203, FI MUNI, 12.1.2017
Příklad 1. (1b.) Graficky znázorněte řešení soustavy nerovnic
x2
+ (y − 1)2
≥ 4
y − x2
− 2x = 0
y ≥ 0
Příklad 2. (4b.) Z definice (pomocí limity) určete směrovou derivaci funkce f(x, y) = sin(x) + y2
v bodu [0, 0] ve
směru (2, 1).
Řešení.
lim
t→0
sin(0 + 2t) + (0 + t)2
t
= lim
t→0
sin(2t)
t
+ lim
t→0
t2
t
= 2 lim
t→0
sin(2t)
2t
+ lim
t→0
t = 2 + 0 = 2
2
Příklad 3. (5b.) Určete těžiště útvaru ležícího uvnitř elipsy 3x2
+ (y − 1)2
= 4 a nad osou x.
Řešení. Nejprve provedeme afinní transormaci útvaru: „natáhneme souřadnici x multiplikativním faktorem
√
3“ a
posuneme souřadnici y o 1 „dolů“. Tím se nám elipsa transformuje na kružnici se středem v počátku a poloměrem
2. Útvar se transformuje na kruhovou úseč této kružnice ležící nad přímkou y = −1 (průniky s kružnicí jsou body
[−
√
3, −1] a [
√
3, 1]). Navíc souřadnice x těžiště daného útvaru je zjevně nulová, stačí tedy spočítat souřadnici y. Daný
útvar (po zmíněné transformaci) rozdělíme na kruhovou výseč v kružnici mezi úhly −π/6 a 7π/6 a rovnoramenný
trojúhelník s vrcholy [−
√
3, −1], [
√
3, −1] a [0, 0]. A můžeme počítat. Obsah části útvaru odpovídající kruhové výseči
je S = 1√
3
2
3 4π = 8
3
√
3
π. Pro souřadnici y výseče pak máme
yT =
1
S U
y dx dy =
x = 1√
3
r cos ϕ
y = r sin ϕ
=
1
S
1
√
3
7π
6
− π
6
2
0
r2
sin ϕ dr dϕ
=
√
3
π
Těžiště trojúhelníka leží ve třetině jeho výšky, tedy v bodě [0, 2
3 ]. Celkem určíme těžiště útvaru pravidlem páky (leží
na přímce spojující nalezená dvě těžiště a dělí ji v poměru obsahů výseče a trojúhelníka). Těžiště je v bodě [0, 6−8
√
3
9+8π ].
Stačilo napsat správné meze pro interál udávající obsah kruhové (eliptické) výseče. V kartézských souřadnicích
(bez transformace) bylo nutné těleso rozdělit na pás leží mezi přímkami x = −1 a x = 1 a dvě „eliptické“ úseče. Při
výpočtu vzniklých integrálů se musí stejně používat uvedené transformace. Většina integrovala přes uvedený pás, což
nestačí. 2
Příklad 4. (6b.) Určete distribuční funkci (diskrétní) náhodné veličiny udávající celkový počet bílých kuliček
vybraných při následujícím pokusu: máme dva sáčky s kuličkami o následujících počtech: v jednom dvě bílé a jedna
černá, ve druhém dvě bílé a tři černé. Náhodně vybereme sáček a z něj náhodně kouli. Pokud je bílá, vybereme ještě
dvě koule z vybraného sáčku, pokud je černá, vybereme ještě dvě koule z druhého sáčku.
Řešení. Zkoumaná veličina nabývá hodnot 0, 1, 2. Určíme její pravděpodobnostní funkci a z ní distribuční funkci.
Používáme středoškolské matematiky. p(0) = 1
20 , p(1) = 4
10 a dopočtem do 1, p(2) = 11
20 . Odtud pro distribuční funkci
F(t) =



0 pro t ≤ 0
1
20 pro t ∈ (0, 1]
9
20 pro t ∈ (1, 2]
1 pro t > 2
2
Příklad 5. (4b.) Náhodný vektor (X, Y ) má sdruženou hodnotu pravděpodobnosti danou funkcí
f(x, y) =
1
4 xy pro 1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2
0 jinak
Určete pravděpodobnost, že platí nerovnost X2
> Y .
Řešení. Hledanou pravděpodobnost získáme integrací sdružené hustoty přes oblast ležící nad parabolou y = x2
v
obdélníku {[x, y]|1 ≤ x ≤ 3, 1 ≤ y ≤ 2} a dopočtem do jedné. V integrované oblasti podmínka neplatí, je však
jednodušší přes ni integrovat. Je tedy
p = 1 −
2
√
2
2
x2
dy dx = 1 −
5
48
=
43
48
Pokud si povšimneme, že integrál ze sdružené hustoty přes celý obdélník nedává jedna (jak by měl), můžeme upravit
koeficient u sdružené hstoty na 1
6 , pravděpodobnost pak vyjde 67
72 . Tento postřeh však nebyl hodnocen.
2