Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Matematika III – 1. týden Funkce více proměnných: parciální derivace, křivky, topologie eukleidovských prostorů Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 19.9. – 23.9. 2016 Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce více proměnných 3 Topologie euklidovských prostorů 4 Křivky v euklidovských prostorech Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce více proměnných 3 Topologie euklidovských prostorů 4 Křivky v euklidovských prostorech Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně, Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce více proměnných 3 Topologie euklidovských prostorů 4 Křivky v euklidovských prostorech Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Zobrazení f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definovaná v „rovině“ E2 = R2 budou značeny f : R2 (x, y) → f (x, y) ∈ R a podobně v „prostoru“ E3 = R3 f : R3 (x, y, z) → f (x, y, z) ∈ R. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Zobrazení f (x1, x2, . . . , xn) : Rn → R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definovaná v „rovině“ E2 = R2 budou značeny f : R2 (x, y) → f (x, y) ∈ R a podobně v „prostoru“ E3 = R3 f : R3 (x, y, z) → f (x, y, z) ∈ R. Definiční obor A ⊂ Rn – množina, kde je funkce definována. (Hříčkou pro písemky a úlohy bývá úkol k danému explicitnímu výrazu definujícímu funkci najít co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.) Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Graf funkce více proměnných je podmnožina Gf ⊂ Rn × R = Rn+1 definová vztahem Gf = {(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)); (x1, . . . , xn) ∈ A}, kde A je definiční obor f . Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Graf funkce více proměnných je podmnožina Gf ⊂ Rn × R = Rn+1 definová vztahem Gf = {(x1, . . . , xn, f (x1, . . . , xn)); (x1, . . . , xn) ∈ A}, kde A je definiční obor f . Grafem funkce definované v E2 f (x, y) = x + y x2 + y2 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E2 \ {(0, 0)}. 3 2 1 0 y-4 -3 -1 -2 -2 -1 0 -2 0 1x 2 2 -3 3 4 Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Parciální derivace S nástroji pro funkce v jedné proměnné můžeme beze změn pracovat i teď. Prostě budeme derivovat, případně integrovat apod. jen podle jedné zvolené proměnné, zatímco ostatní budou považovány za parametry. (Máme přitom i k dispozici řadu výsledků o chování derivací a integrálů v závislosti na parametrech.) Definition Parciální derivací ∂ ∂xi f (x1, . . . , xn) funkce f v bodě (x1, . . . , xn) rozumíme obvyklou derivaci d dxi f funkce jedné proměnné xi → f (x1, . . . , xi , . . . , xn), ve které považujeme ostatní proměnné za parametry. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce více proměnných 3 Topologie euklidovských prostorů 4 Křivky v euklidovských prostorech Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn. Zaměření je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn. Zaměření je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn. Zaměření je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P − Q dvojic bodů P, Q předpisem P − Q 2 = u 2 = n i=1 x2 i , kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E2 je vzdálenost bodů P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) dána P1 − P2 2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Euklidovský prostor En je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením Rn. Zaměření je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru En přičítat. Navíc je na Rn standardní skalární součin u · v = n i=1 xi yi , kde u = (x1, . . . , xn) a v = (y1, . . . , yn) jsou libovolné vektory. Proto je na En dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P − Q dvojic bodů P, Q předpisem P − Q 2 = u 2 = n i=1 x2 i , kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E2 je vzdálenost bodů P1 = (x1, y1) a P2 = (x2, y2) dána P1 − P2 2 = (x1 − x2)2 + (y1 − y2)2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R P − R = (P − Q) + (Q − R) ≤ (P − Q) + (Q − R) . Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina: její doplněk je uzavřený, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Rozšíření pojmů topologie R pro body Pi libovolného Euklidovského En (opakování z minulého semestru, kde byly diskutovány metrické prostory obecně): Definition Cauchyovská posloupnost: Pi − Pj < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost: Pi − P < , pro každé pevně zvolené > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti Pi , hromadný bod P množiny A ⊂ En: existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina: obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina: její doplněk je uzavřený, otevřené δ–okolí bodu P: množina Oδ(P) = {Q ∈ En; P − Q < δ}, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina: leží celá v nějakém δ–okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ), Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition hraniční bod P množiny A: každé δ–okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem En \ A, vnitřní bod P množiny A: existuje δ–okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina: leží celá v nějakém δ–okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ), kompaktní množina: uzavřená a ohraničená množina. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Theorem Pro podmnožiny A ⊂ En v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ–okolí, 2 každý bod a ∈ A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, 5 A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce více proměnných 3 Topologie euklidovských prostorů 4 Křivky v euklidovských prostorech Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Definition 1 limita: lim t→t0 c(t) = ( lim t→t0 c1(t), . . . , lim t→t0 cn(t)) ∈ Rn Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Definition 1 limita: lim t→t0 c(t) = ( lim t→t0 c1(t), . . . , lim t→t0 cn(t)) ∈ Rn 2 derivace: c (t0) = lim t→t0 1 |t − t0| · c(t)−c(t0) = (c1(t0), . . . , cn(t0)) ∈ Rn Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Definition Křivka je zobrazení c : R → En. Definition 1 limita: lim t→t0 c(t) = ( lim t→t0 c1(t), . . . , lim t→t0 cn(t)) ∈ Rn 2 derivace: c (t0) = lim t→t0 1 |t − t0| · c(t)−c(t0) = (c1(t0), . . . , cn(t0)) ∈ Rn 3 integrál: b a c(t) dt = b a c1(t) dt, . . . , b a cn(t) dt ∈ Rn . Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Všimněme si, že zatímco limity existují v En, derivace křivky v En je ve vektorovém prostoru Rn, integrál má smysl jen pro křivku ve vektorovém prostoru Rn! Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Všimněme si, že zatímco limity existují v En, derivace křivky v En je ve vektorovém prostoru Rn, integrál má smysl jen pro křivku ve vektorovém prostoru Rn! Limity, derivace i integrály lze spočíst po jednotlivých n souřadných složkách v Rn a stejně se rozpozná i jejich existence. Literatura Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Derivace křivky a tečna ke křivce Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R → En v bodě c(t0) ∈ En – vektor c (t0) ∈ Rn v prostoru zaměření Rn daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(t0) + τ · c (t0) je tečna ke křivce c v bodě t0, nezávisí na parametrizaci křivky c.