Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Matematika III – 12. týden
Intervalové odhady, testování hypotéz, lineární
modely
Jan Slovák
Masarykova univerzita
Fakulta informatiky
12.12. – 16.12. 2016
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Obsah přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Kde je dobré číst?
Karel Zvára, Josef Štěpán, Pravděpodobnost a matematická
pravděpodobnost statistika, Matfyzpress, 2006, 230pp.
J. Slovák, M. Panák, M. Bulant, Matematika drsně a svižně,
Muni Press, Brno 2013, v+773 s., elektronická edice
www.math.muni.cz/Matematika_drsne_svizne
Marie Budíková, Štěpán Mikoláš, Pavel Osecký, Teorie
pravděpodobnosti a matematická statistika (sbírka příkladů),
Masarykova univerzita, 3. vydání, 2004, 117 stran, ISBN
80-210-3313-4.
Marie Budíková, Tomáš Lerch, Štěpán Mikoláš, Základní
statistické metody, Masarykova univerzita, 2005, 170 stran,
ISBN 80-210-3886-1.
Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods
for Physics and Engineering, second edition, Cambridge
University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii
+ 1232 pp.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Odhadování parametrů může být bodové nebo intervalové. V
předchozím příkladu takovými byly výběrový průměr ¯x = 139, 133 a
interval spolehlivosti (135,9,142,4).
Obecně postupujeme takto: Pro náhodný výběr rozsahu n
X1, . . . , Xn z rozdělení, které závisí na (vektorovém) parametru θ
hledáme funkci náhodných veličin (říkáme též statistiku nebo
výběrovou statistiku) T(X1, . . . , Xn), která bude mít v „rozumném
smyslu“ blízko ke skutečné hodnotě θ.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Odhadování parametrů může být bodové nebo intervalové. V
předchozím příkladu takovými byly výběrový průměr ¯x = 139, 133 a
interval spolehlivosti (135,9,142,4).
Obecně postupujeme takto: Pro náhodný výběr rozsahu n
X1, . . . , Xn z rozdělení, které závisí na (vektorovém) parametru θ
hledáme funkci náhodných veličin (říkáme též statistiku nebo
výběrovou statistiku) T(X1, . . . , Xn), která bude mít v „rozumném
smyslu“ blízko ke skutečné hodnotě θ.
Jakožto funkce náhodných veličin je T opět náhodnou veličinou
(resp. náhodným vektorem). Konstanta (resp. konstantní vektor)
b = E T − θ
se nazývá vychýlení odhadu T. Nestranný (nevychýlený) je
takový odhad, kdy b = 0.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Nejlepší odhad
Máme-li k dispozici jistou třídu odhadů T , říkáme že T je
nejlepším odhadem, má-li mezi všemi nejmenší rozptyl.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Nejlepší odhad
Máme-li k dispozici jistou třídu odhadů T , říkáme že T je
nejlepším odhadem, má-li mezi všemi nejmenší rozptyl.
T = Tn je konzistentním odhadem, je-li pro každé > 0
lim
n→∞
P(|Tn − θ| < ) = 1.
Theorem
Je-li limn→∞ E Tn = θ, limn→∞ var Tn = 0, pak je Tn
konzistentním odhadem θ.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Definition
Hypotézou rozumíme nějaké tvrzení o rozdělení určeném
sdruženou distribuční funkcí FX (x) náhodného vektoru
X = (X1, . . . , Xn). Rozhodujeme mezi tzv. nulovou hypotézou H0
a alternativní hypotézou HA, která bývá negací nulové hypotézy.
Možnými rozhodnutími jsou zamítnutí nebo nezamítnutí nulové
hypotézy.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Definition
Hypotézou rozumíme nějaké tvrzení o rozdělení určeném
sdruženou distribuční funkcí FX (x) náhodného vektoru
X = (X1, . . . , Xn). Rozhodujeme mezi tzv. nulovou hypotézou H0
a alternativní hypotézou HA, která bývá negací nulové hypotézy.
Možnými rozhodnutími jsou zamítnutí nebo nezamítnutí nulové
hypotézy.
Když nulovou hypotézu zamítneme, přestože ve skutečnosti platí,
nastává chyba prvního druhu, když ji nezamítneme v situaci, kdy
neplatí, hovoříme o chybě druhého druhu.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Statistické rozhodování se opírá o předem určený kritický obor W ,
tj. předem určenou množinu výsledků pokusu, při kterých budeme
nulovou hypotézu zamítat.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Statistické rozhodování se opírá o předem určený kritický obor W ,
tj. předem určenou množinu výsledků pokusu, při kterých budeme
nulovou hypotézu zamítat.
Tvar kritického oboru oboru volíme tak, abychom platnou hypotézu
zamítli s pravděpodobností nejvýše α. Tj. zadáváme předem
ohraničení velikosti chyby prvního druhu tzv. hladinou testu α.
Zpravidla volíme α = 0, 05 nebo α = 0, 01.
Výpočetní síla dnes umožňuje úkol obrátit a pro daná data se ptát,
na jaké nejmenší hladině bychom ještě hypotézu zamítli. Hovoříme
o dosažené hladině testu nebo také p–hodnotě (v angličtině
P-value nebo Sig. level).
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Statistické rozhodování se opírá o předem určený kritický obor W ,
tj. předem určenou množinu výsledků pokusu, při kterých budeme
nulovou hypotézu zamítat.
Tvar kritického oboru oboru volíme tak, abychom platnou hypotézu
zamítli s pravděpodobností nejvýše α. Tj. zadáváme předem
ohraničení velikosti chyby prvního druhu tzv. hladinou testu α.
Zpravidla volíme α = 0, 05 nebo α = 0, 01.
Výpočetní síla dnes umožňuje úkol obrátit a pro daná data se ptát,
na jaké nejmenší hladině bychom ještě hypotézu zamítli. Hovoříme
o dosažené hladině testu nebo také p–hodnotě (v angličtině
P-value nebo Sig. level).
Mezi všemi kritickými obory na dané hladině testu ale pochopitelně
přitom chceme vybrat ten, který bude minimalizovat chybu druhého
druhu.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Předpokládejme, že náhodný vektor X má hustotu rozdělení f (x, θ)
závislou na (vektorovém) parametru. Za nulové hypotézy je to
rozdělení s hustotou f (x, θ0), za alternativní s hustotou f (x, θ1).
Theorem (Neymanovo-Pearsonovo lemma)
Nechť k danému α ∈ (0, 1) existuje c > 0 takové, že pro množinu
Wc = {x : f (x, θ1) ≥ cf (x, θ0)} platí Wc
f (x, θ0)dx = α.
Pak pro každou měřitelnou množinu W takovou, že je
W f (x, θ0)dx = α, platí
Wc
f (x, θ1)dx ≥
W
f (x, θ1)dx
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
V případě intervalových odhadů můžeme problém přeformulovat
jako hypotézy H0 – „střední hodnota je µ0“ a HA – „střední
hodnota je µ1“. Kritický obor je pak dán požadavkem
|Z| =
¯X − µ0
σ
√
n ≥ z(α/2)
a nezávisí na konkrétní hodnotě µ1.
Example
Úkol v našem předchozím příkladu o výšce desetiletých chlapců lze
formulovat tak, že nulovou hypotézou je nezměněná výška
populace, zatímco alternativní je, že se výška změnila (tj. náš
kritický obor je symetrický). Hladinu testu pak spočteme na
6, 66%, takže je přirozené, že jsme nulovou hypotézu na úrovni 5%
nezamítli.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
V případě intervalových odhadů můžeme problém přeformulovat
jako hypotézy H0 – „střední hodnota je µ0“ a HA – „střední
hodnota je µ1“. Kritický obor je pak dán požadavkem
|Z| =
¯X − µ0
σ
√
n ≥ z(α/2)
a nezávisí na konkrétní hodnotě µ1.
Example
Úkol v našem předchozím příkladu o výšce desetiletých chlapců lze
formulovat tak, že nulovou hypotézou je nezměněná výška
populace, zatímco alternativní je, že se výška změnila (tj. náš
kritický obor je symetrický). Hladinu testu pak spočteme na
6, 66%, takže je přirozené, že jsme nulovou hypotézu na úrovni 5%
nezamítli.
Když interpretujeme zadání tak, že buď se výška nezměnila, nebo
vzrostla, bude náš kritický obor nesymetrický a dojdeme k hladině
testu 3, 33%. Nulovou hypotézu proto na hladině 5% zamítneme.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Uvažujme náhodný vektor Y = (Y1, . . . , Yn)T a předpokládejme,
že platí
Y = X · β + σZ,
kde X = (xij ) je konstantní matice reálných čísel s n řádky a k < n
sloupci a hodností k, β je neznámý konstantní vektor k parametrů
modelu, Z je náhodný vektor, jehož n komponent má rozdělení
N(0, 1), a σ > 0 je neznámý kladný parametr modelu. Hovoříme o
lineárním modelu s úplnou hodností.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Uvažujme náhodný vektor Y = (Y1, . . . , Yn)T a předpokládejme,
že platí
Y = X · β + σZ,
kde X = (xij ) je konstantní matice reálných čísel s n řádky a k < n
sloupci a hodností k, β je neznámý konstantní vektor k parametrů
modelu, Z je náhodný vektor, jehož n komponent má rozdělení
N(0, 1), a σ > 0 je neznámý kladný parametr modelu. Hovoříme o
lineárním modelu s úplnou hodností.
V praktických problémech zpravidla známe veličiny xij a snažíme se
odhadnout nebo predikovat hodnotu Y .
Chceme přitom mít jasno o pravděpodobnostních charakteristikách
těchto odhadů.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Například xij může ve vztahu Y = X · β + σZ vyjadřovat
hodnocení i–tého studenta v j–tém semestru (j = 1, 2, 3) z
matematiky a chceme vědět, jak tento student asi dopadne ve
čtvrtém semestru. K tomu potřebujeme znát vektor β (zatímco σZ
vystihuje náhodná vychýlení ve sledovaném modelu). Vektor β
odhadneme na základě úplných pozorování, tj. ze znalosti hodnot
Y (např. z výsledků v přechozích letech).
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Například xij může ve vztahu Y = X · β + σZ vyjadřovat
hodnocení i–tého studenta v j–tém semestru (j = 1, 2, 3) z
matematiky a chceme vědět, jak tento student asi dopadne ve
čtvrtém semestru. K tomu potřebujeme znát vektor β (zatímco σZ
vystihuje náhodná vychýlení ve sledovaném modelu). Vektor β
odhadneme na základě úplných pozorování, tj. ze znalosti hodnot
Y (např. z výsledků v přechozích letech).
K odhadu vektoru β se často používá metoda nejmenších
čtverců. To znamená, že chceme najít odhad b ∈ Rk pro vektor β
tak, aby vektor ˆY = Xb minimalizoval druhou mocninu délky
vektoru Y − Xβ.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Například xij může ve vztahu Y = X · β + σZ vyjadřovat
hodnocení i–tého studenta v j–tém semestru (j = 1, 2, 3) z
matematiky a chceme vědět, jak tento student asi dopadne ve
čtvrtém semestru. K tomu potřebujeme znát vektor β (zatímco σZ
vystihuje náhodná vychýlení ve sledovaném modelu). Vektor β
odhadneme na základě úplných pozorování, tj. ze znalosti hodnot
Y (např. z výsledků v přechozích letech).
K odhadu vektoru β se často používá metoda nejmenších
čtverců. To znamená, že chceme najít odhad b ∈ Rk pro vektor β
tak, aby vektor ˆY = Xb minimalizoval druhou mocninu délky
vektoru Y − Xβ.
To je ale jednoduchá úloha lineární algebry a víme, že jde o nalezení
kolmého průmětu vektoru Y do podprostoru X ⊂ Rn
generovaném sloupci matice X.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Minimalizujeme přitom funkci
Y − Xβ 2
=
n
i=1
Yi −
k
j=1
xij βj
2
.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Minimalizujeme přitom funkci
Y − Xβ 2
=
n
i=1
Yi −
k
j=1
xij βj
2
.
Velikost Y − ˆY 2 nazýváme reziduální součet čtverců, zpravidla
se značí RSS. Definujeme také reziduální rozptyl jako
S2
=
Y − Xb 2
n − k
.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Minimalizujeme přitom funkci
Y − Xβ 2
=
n
i=1
Yi −
k
j=1
xij βj
2
.
Velikost Y − ˆY 2 nazýváme reziduální součet čtverců, zpravidla
se značí RSS. Definujeme také reziduální rozptyl jako
S2
=
Y − Xb 2
n − k
.
Víme, že ˆY = Xb a že, díky našemu přepokladu o maximální
hodnosti X, je matice XT X invertibilní. Můžeme proto rovnou
spočíst b = (XT X)−1XT ˆY .
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Theorem
Nechť A je libovolná matice typu m/n nad reálnými nebo
komplexními skaláry. Pak existují čtvercové unitární matice U a V
dimenzí m a n, a reálná diagonální matice s nezápornými prvky D
dimenze r, r ≤ min{m, n}, takové, že
A = USV ∗
, S =
D 0
0 0
a r je hodnost matice AA∗. Přitom je S určena jednoznačně až na
pořadí prvků a prvky diagonální matice D jsou druhé odmocniny
vlastních čísel di matice AA∗. Pokud je A reálná matice, pak i
matice U a V jsou ortogonální.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Definition
Nechť A je reálná matice typu m/n a nechť
A = USV ∗
, S =
D 0
0 0
je její singulární rozklad (zejména D je invertibilní). Matici
A†
:= VS U∗
, S =
D−1 0
0 0
nazýváme pseudoinverzní matice k matici A.
Jak ukazuje následující věta, je pseudoinverze důležité zobecnění
pojmu inverzní matice, včetně přímočarých aplikací.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Theorem
Nechť A je reálná nebo komplexní matice typu m/n. Pak pro její
pseudoinverzní matici platí:
1 Je-li A invertibilní (zejména tedy čtvercová), pak
A†
= A−1
.
2 Pro pseudoinverzi A† platí, že A†A i AA† jsou hermiteovské (v
reálném případě symetrické) a
AA†
A = A, A†
AA†
= A†
.
3 Pseudoinverzní matice A† je čtyřmi vlastnosti z předchozího
bodu určena jednoznačně. Pokud tedy nějaká matice B typu
n × m splňuje, že BA i AB jsou hermiteovské, ABA = A a
BAB = B, pak B = A†.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Theorem (Pokračování)
1 Je-li A matice systému lineárních rovnic Ax = b, s pravou
stranou b ∈ Km, pak vektor y = A†b ∈ Kn minimalizuje
velikost Ax − b pro všechny vektory x ∈ Kn.
2 Systém lineárních rovnic Ax = b s b ∈ Km je řešitelný, právě
když platí AA†b = b. V tomto případě jsou všechna řešení
dána výrazem
x = A†
b + (E − A†
A)u,
kde u ∈ Kn je libovolné.
Z bodu (4) předchozí věty plyne, že matice AA† je maticí kolmé
projekce z vektorového prostoru Rn, kde n je počet řádků matice A
na podprostor generovaný sloupci matice A (tato interpretace má
samozřejmě smysl pouze pro matice mající více řádků než sloupců).
Dále pro matice A, jejichž sloupce tvoří nezávislé vektory, má smysl
výraz (AT A)−1AT a není těžké ověřit, že tato matice splňuje
všechny vlastnosti z (1) a (2) z předchozí věty, jedná se tedy
o pseudoinverzi k matici A.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Z předchozí věty vyplývají také následující vlastnosti pseudoinverze:
Pro všechny matice A platí (A†)† = A,
pokud má matice A, typu m × n, plnou řádkovou hodnost m,
pak A† = A∗(AAT )−1,
pokud má matice A, typu m × n, plnou sloupcovou hodnost n,
pak A† = (AT A)−1A∗.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Jestliže má náhodný vektor Z = (Z1, . . . , Zn) nezávislé komponenty
Zi ∼ N(0, 1), je jeho varianční matice jednotkovou maticí, tj.
var Z = In.
Uvažme vektor U = a + BZ, kde a je libovolný konstantní vektor
v Rm a B je konstantní matice typu (m, n).
Víme E U = a a var U = V = BBT (protože varianční matice Z je
identická). Je tedy tato varianční matice vždy pozitivně
semidefinitní.
Říkáme, že náhodný vektor U má mnohoměrné normální
rozdělení Nm(a, V ).
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Pro libovolné mnohoměrné normální rozdělení Nm(a, V ) znovu
vezmeme afinní transformaci
W = c + DU
s vektorem konstant c ∈ Rk a libovolnou konstantní maticí typu
(k, m). Přímým výpočtem
W = c + D(a + BZ) = (c + Da) + (DB)Z,
což je samořejmě náhodný vektor W ∼ Nk(c + Da, DBT BDT ).
Chová se tedy kovarianční matice mnohoměrného normálního
rozdělení při afinních transformacích jako kvadratická forma.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Dokázali jsme, že jakákoliv linární kombinace komponent složek
náhodného vektoru s mnohoměrným normálním rozdělením je
náhodná veličina s normálním rozdělením. Stejně je každý vektor
vzniklý výběrem jen některých komponent vektoru U opět
náhodným vektorem s mnohoměrným normálním rozdělením.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Plán přednášky
1 Literatura
2 Odhady
3 Testování hypotéz
4 Lineární modely
5 Vícerozměrné Nm(µ, V )
6 Hlavní věta a použití
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Theorem
V lineárním modelu Y = Xβ + σZ platí pro vhodné matice P a R:
(1) Pro odhad ˆY platí
ˆY = Xβ + σPPT
Z, ˆY ∼ N(Xβ, σ2
PPT
).
(2) Reziduální součet čtverců RSS a normovaný čtverec velikosti
rezidua mají rozdělení:
Y − ˆY ∼ N(0, σ2
RRT
), Y − Y 2
/σ2
∼ χ2
n−k .
(3) Náhodná veličina b = β + σ(PT X)−1PT Z má rozdělení
b ∼ N(β, σ2
(XT
X)−1
).
(4) Pro reziduální rozptyl platí (n − k)S2/σ2 ∼ χ2
n−k.
(5) Střední hodnota reziduálního rozptylu je E S2 = σ2.
(6) Veličiny b a S2 jsou nezávislé.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Úplně nejjednodušší je to v případě jediného výběru, kdy testujeme,
zda jediný parametr β je roven dané hodnotě β0.
Volíme matici X s jediným sloupcem plným jedniček. Výraz
Y = Xβ + σZ
komponenty v Y jsou nezávislé veličiny Yi ∼ Nβ, σ2, jde o
náhodný výběr rozsahu n z normálního rozdělení.
Obecná věta dává odhad
b = (XT
X)−1
XT
Y =
1
n
n
i=1
Yi = ¯Y
S2
=
1
n − 1
Y − X ¯Y 2
=
1
n − 1
n
i=1
(Yi − ¯Y )2
,
což jsou právě výběrový průměr a rozptyl, se kterými jsme již
počítali.
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
Zajímá nás přitom statistika
T =
¯Y − β0
S
√
n
Testování hypotézy β = β0 se nazývá jednovýběrový t-test. Na
hladině α hypotézu zamítáme, když je |T| ≥ tn−1(α).
Literatura Odhady Testování hypotéz Lineární modely Vícerozměrné Nm(µ, V ) Hlavní věta a použití
párový t-test
Je vhodný na případy, kdy testujeme dvojice náhodných vektorů
W1 = (Wi1) a W2 = (Wi2), o rozdílech jejichž komponent
Yi = Wi1 − Wi2 víme, že mají rozdělení N(β, σ2). Potřebujeme
navíc, aby byly veličiny Yi nezávislé (což neříká, že musí být
nezávislé jednotlivé dvojice Wi1 a Wi2!). Můžeme si představit
třeba hodnocení dvou různých vyučujících tímž studentem.
Testujeme hypotézu, že pro všechna i je E Wi1 = E Wi2. Používáme
statistiku
T =
¯W1 − ¯W2
S
√
n.