Algebra I — podzim 2016 — 2. termín — 31.1.2017
Jméno: UČO:
Hodnocení					
					
Na řešení je 150 minut.
Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem.
1. (15 bodů)
(a) Definujte pojem charakteristika okruhu.
(b) Definujte pojem obor integrity.
(c) Zformulujte a dokažte větu o charakteristice oboru integrity.
2. (15 bodů) Dejte příklad:
(a) komutativní grupy řádu 16, která neobsahuje prvek řádu 4;
(b) polynomu nad Q stupně 5, který nemá kořen v Q, a který není ireducibilní;
(c) homomorfismu okruhu polynomů (Z[rr], +, •) do okruhu (Q, +, •) takového, že tp(x2) = 3.
Pokud bude vaše odpověď, že takový příklad neexistuje, nezapomeňte odpověď řádně zdůvodnit!
3. (15 bodů) Na množině M = Z x Z2 definujeme binární operaci o vztahem
(a, [6] 2) o (c, [d]2) = (a + (-l)6c, [b + d]2), pro a, b,c,d g Z.
Dále uvažujme zobrazení / :M-í-Zag:M-í-Z2 daná předpisy /((a, [^2)) = a, 9((a, [6]2)) = [6]2.
(a) Dokažte, že (M, o) grupa.
(b) Rozhodněte, zda je / homorfismus z grupy (M, o) do grupy (Z, +).
(c) Rozhodněte, zda je g homorfismus z grupy (M, o) do grupy (Z2, +).
(d) Určete jádro homomorfismu / a g, pokud dané zobrazení je homomorfismus.
4. (20 bodů) Uvažme grupu Q = (IR3, +), kde sčítáme po složkách, tj. Q je součin grup (1 (IR, +) x (IR, +). Dále buď H = {(x, x, x) | x g M} podmnožina grupy Q.
x
(a) Dokažte, že H je normálni podgrupa grupy Q.
(b) Určete, které známé grupě (K, ■) je izomorfní faktorgrupa Q/H.
(c) Předchozí tvrzení dokažte tak, že definujte vhodné zobrazení a : IR3 —y K, a dokažte, že a je surjektivní homomorfismus grup, jehož jádrem je H.
5. (15 bodů) Nalezněte reálná čísla a, b G IR taková, že polynom s reálnými koeficienty 2x5 + 3x4 — 9x3 + llx2 + ax + b má komplexní kořen 1 + i. Výsledný polynom rozložte na součin ireducibilních faktorů postupně nad Q, K a C.
6. (20 bodů) Buď / = x3 + 3x2 - 3 G Q[x].
(a) Dokažte, že / je ireducibilní polynom nad Q. Označme a G C jeden z kořenů polynomu /.
(b) Určete ao, a±, a2 G Q taková, že ao + °i ' a + a2 • «2 = Qí5-
(c) Určete bo,bi,b2 g Q taková, že 6q + &i ' a + ^2 • «2 = («2