Algebra I – podzim 2015 – 5. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpisy a ∗ b = a + b − 1 a a ⋄ b = a + b − ab, pro
a, b ∈ R, definují operace na množině R takové, že (R, ∗, ⋄) je okruh, případně
těleso.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
/.-,()*+1
a,b
GG/.-,()*+2
b
ÖÖ a GG/.-,()*+3
a,b
33
/.-,()*+4
a
—— bee
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 f g
0 1 h
0 0 1

 | f, g, h ∈ R[x], f má kořen 1, h má kořen 2



,
H =





1 f g
0 1 h
0 0 1

 ∈ G | f = h, g má kořeny 1 a 2



.
4. (10 bodů) Rozložte polynom x7
−x5
−2x4
−x3
+2x2
+2 na součin nerozložitelných
polynomů nad C, R, Q a Z, víte-li, že má kořen 3
√
2.
5. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla 3
√
2 ·
3
3 −
√
3 +
√
3 nad Q.
6. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
4√
27−
√
3+ 4√
3−2
bez použití jiných než racionálních čísel
ve jmenovateli.
7. (5 bodů) Dejte příklad dvou homomorfismů grup ϕ, ψ: G → H, které mají stejné
jádro, ale ϕ(G) ≇ ψ(G). Pokud takové homomorfismy neexistují, zdůvodněte proč.
8. (5 bodů) Dejte příklad monoidu, který je generovaný jedním prvkem, a jeho podmonoidu,
který jedním prvkem generovaný není. Pokud takový monoid neexistuje,
zdůvodněte proč.
9. (5 bodů) Dejte příklad grupy, která obsahuje šestiprvkovou podgrupu H a desetiprvkovou
podgrupu K takové, že |H ∩ K| = 2. Pokud taková grupa neexistuje,
zdůvodněte proč.
10. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
11. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechna konečná tělesa.
12. (5 bodů) Dokažte, že průnik libovolně mnoha ideálů daného okruhu je opět jeho
ideálem.