Matematika III, 1. cvičení
ClL CVIČENI: Rozvoj základní představy o funkčních hodnotách závisejících na více proměnných, práce s jednoduchými výrazy pro takové funkce, znázornění funkce pomocí grafu. Zároveň v této souvislosti připomeneme jednoduché pojmy z elementární geometrie.
Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bodě [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y];r).
Příklad 1. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) =    {x2 + y2 - 1)(4 - x2 - y2). Příklad 2. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = \/l — x2 + v7! - V2-Příklad 3. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f{x,y)
x2 + y2 — x
J 2x — x2 — y2
Příklad 4. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = arcsin--—-j—-.
y   \y\ - fI
Příklad 5. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = \/l - x2 - Ay2. Příklad 6. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
tJC^
Vrstevnice funkcí, polární souřadnice
Máme funkci ./': M > kde M • ?r a nechť cěM. Množinu fc = {[x,y] G M; f (x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce / na úrovni c. Chápeme-li graf funkce / jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou c, což se shoduje s pojmem vrstevnice v mapách.
Příklad 7. Určete vrstevnice funkce z = x2 + y2.
Příklad 8. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz: y = 0 a gyz: x = 0 určete v prostoru graf funkce
z = 2 — \J x2 + y2.
Příklad 9. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
z = \J\ — x2 — y2.
Příklad 10. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
2 , 2 z = x + y .
1
Křivky v irn, tečna ke křivce
Křivka v W1 je zobrazení c: M —> W1, tedy c zobrazí reálné číslo x na bod [ci(x),... ,cn(x)] v prostoru Mn, přičemž c±,... ,cn jsou funkce M —?► M. Derivace funkce c v bodě to, tj. vektor c'(ío) = (cí(ío)> • • • > cn(^o))) Je tečným vektorem ke křivce c v bodě c(to). Přímka
p = {c(í0)+íc'(í0);Sel}
je tečna ke křivce c v bodě to-
Příklad 11. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lni, arctgí, e^í71"*)) v bodě    = 1.
Příklad 12. Na křivce c(t) = (t2 — 1, — 2t2 + 5í,í — 5) nejděte takový bod, že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou g: 3x + y — z + 7 = 0.
Nápověda. Směrový vektor d (to) tečny ke křivce c(t) v bodě to musí být kolmý k normálovému vektoru roviny g, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0. Pomocí tohoto skalárního součinu vypočítáme to-
Příklad 13. Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [1,1, y/2] ke křivce, jež vznikla jako průsečík plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Nápověda. Křivku si v okolí daného bodu vyjádřete stejným způsobem jako ve výše uvedených příkladech.
2