Matematika III, 4. cvičení
Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 1. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Příklad 2. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 + 5 = 0.
Příklad 3. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1=0.
Příklad 4. Nechť je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí ys— 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Příklad 5. Necht: je funkce y = y(x) dána v okolí bodu f2^-, implicitně rovnicí y — = x. Určete y'(^) ay"(^).
Příklad 6. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za funkci y{x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Příklad 7. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | =0 leží v okolí bodu [1,3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Příklad 8. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, y/2, 2] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \[2yz = 1.
Příklad 9. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0.
Implicitně zadaná funkce
Nechť F(x, y): M2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xq, í/o] , dále F(xo,yo) = 0 a Fý(xo,yo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M —> M definovaná na nějakém okolí U bodu xq, přičemž F(x, f(x)) = 0 pro všechna x g U. Funkce y = f (x) je tedy rovností F (x, y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fý(xQ, yg) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Podobné tvrzení platí pro funkci více proměnných, uvedeme si ještě případ pro 3 proměnné: Nechť F(x, y, z): M3 R je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále F(xQ,yo, zq) = 0 a F'z(xq, yo, z$) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [a;o>yo]> přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna x g U. Pokud F'z(xQ,yQ, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Příklad 10. V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
1 2
Nápověda. Určete body [xo,yo>^o] na h splňující F'z(xQ,yQ, zq) = 0, kde F(x,y,z) = \ + |j —
4-i.
1
Příklad 11. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy - y2 - 8 = O nelze vyjádřit y jako funkci
y = m?
Příklad 12. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 - 2px = O, kde p > 0. nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y) ?
2