Matematika III, 5. cvičení Integrální počet funkcí dvou proměnných
Pokud lze množinu S C R2 zadat pomocí spojité funkční závislosti souřadnic hraničních bodů tak, že pro danou první souřadnici (např. x G (a, b)) umíme zadat dvěma funkcemi rozsah další souřadnice y G (ip(x),ip(x)), pak
rb /  ľ'4>(x) \ f(x,y)dxdy = /      /      ,/(x,y)dy dx.
S Ja   \J<p(x) J
Příklad 1. Vypočtěte jj^Q      _x 2^(x2 + 2xy) dxdy. Výsledek. |.
' (0,1) x (0,3)
Příklad 2. Vypočtěte JJ,   , (Q 3)[3(x - l)2 + (y - 2)2 + 2] dx dy.
Výsledek. 12.
Příklad 3. Vypočtěte fQ Jx2 (2 - xy) dy dx.
Výsledek.
Příklad 4. Vypočtěte     J^(xsiny) dy dx. Výsledek. 1.
Příklad 5. Vypočtěte xi_\x+2 d^ ^x. (Tip: po nějaké době rozložte na parciální zlomky.)
Výsledek. 3 ln 2 —ln 3.
Příklad 6. Zaměňte pořadí integrace: J*Q2 /Jf ./(x, y) dy dx. Výsledek, Jn4 ff^ ,f(x, y) dx dy.
2
7T
Příklad 7. Zaměňte pořadí integrace: Jq JqI1x f(x, y) dy dx.
Výsledek. /J fžcsiny f(x, y) dx dy.
Příklad 8. Spočítejte J0V 2 Jv 2 y2smx2dxdy.
Nápověda. Protože integrál / sinx2 dx neumíme vypočítat, zaměňte nejdříve pořadí integrace a pak výsledný integrál spočítejte pomocí substituce t = x2. Výsledek. |.
Příklad 9. Spočítejte I = fjM 8y dx dy, kde M = {[x, y] G M2; x > 0, xy > 1, x + y < f}. Nápověda. 1 = f? f? X8ydydx.
2 x
Výsledek. |.
Příklad 10. Spočítejte ffs xy2 dxdy. kde S je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x2.
Výsledek.
Příklad 11. Spočítejte j jA x3 y dxdy. kde A je plocha v 1. kvadrantu ohraničená grafy funkcí y = x a y = x3.
Výsledek. 4r.
1