Spojité modely a statistika 2017
Řešení 2. příkladu ze zkoušky 10. 1. 2017
Příklad 2. Načrtněte obrázek a spočítejte objem a těžiště oblasti ohraničené
plochami ρ a σ.
ρ: (z − 2)2
= x2
+ y2
σ: 4 − z = x2
+ y2
Řešení. Budeme-li zkoumat řezy rovinami x = 0 a y = 0 a vrstevnice obou
ploch, zjistíme, že ρ zadává kužel a σ paraboloid.
Odečtením rovnice pro plochu σ od rovnice pro ρ
(z − 2)2
− (4 − z) = 0
z2
− 3z = 0 ⇒ z = 3 nebo z = 0,
zjistíme, že průnikem1
ploch je kružnice ve výšce z = 3 s poloměrem2
r = 1.
1
popravdě je průnik ještě v z = 0, ale ten uvažovat nebudeme
2
ten zjistíme dosazením z = 3 do rovnice jedné z ploch
1
Vyšravovanou oblast označme A. Pro výpočet objemu oblasti
V =
A
dz dy dx =
1
−1
√
1−x2
−
√
1−x2
4−x2−y2
2+
√
x2+y2
dz dy dx
použijeme transformaci válcových souřadnic [r, ϕ, z] (místo souřadnic x,y se
použijí polární souřadnice a souřadnice z se nechá).
x = r · cos ϕ
y = r · sin ϕ
z = z
Tato transformace má jakobián roven r. Meze válcových souřadnic pro r a ϕ
lze snadno určit z obrázku; pro určení mezí z si uvědomíme, že r2
= x2
+ y2
.
V =
A
dz dy dx =
1
0
2π
0
4−r2
2+r
r dz dϕ dr
=
1
0
2π
0
r · (4 − r2
) − (2 + r) dϕ dr = 2π
1
0
2r − r2
− r3
dr
= 2π
2
2
−
1
3
−
1
4
=
5π
6
Protože A je symetrická podle rovin x = 0 i y = 0, bude x-ová a y-ová
souřadnice těžiště nulová. Zbývá spočítat z-ovou souřadnici:
z0 =
1
V A
z dz dy dx =
1
V
1
0
2π
0
4−r2
r+2
z · r dz dϕ dr
=
1
V
1
0
2π
0
r ·
z2
2
4−r2
r+2
dϕ dr =
1
2V
1
0
2π
0
r · (4 − r2
)2
− (r + 2)2
dϕ dr
=
1
2V
1
0
2π
0
r5
− 9r3
− 4r2
+ 12r dϕ dr =
2π
2V
1
6
−
9
4
−
4
3
+
12
2
=
6
5
·
31
12
=
31
10
.
Těžiště má tedy souřadnice T = [0; 0; 3, 1].
2