Matematika III, 1. cvičení
ClL CVIČENI: Rozvoj základní představy o funkčních hodnotách závisejících na více proměnných, práce s jednoduchými výrazy pro takové funkce, znázornění funkce pomocí grafu. Zároveň v této souvislosti připomeneme jednoduché pojmy z elementární geometrie.
Definiční obory
Poznámka. Pro kružnici se středem v bodě [x, y] a poloměrem r budeme používat označení k([x,y];r).
Příklad 1. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) =    (x2 + y2 - 1)(4 - x2 - y2).
Řešeni. Musí platit: (x2 + y2 - 1 > 0, 4 - x2 - y2 > 0) nebo (x2 + y2 - 1 < 0,4 - x2 - y2 < 0), tj. (x2 + y2 > 1, x2 + y2 < 4) nebo (x2 + y2 < 1, x2 + y2 > 4), což je mezikruží mezi k([0, 0]; 1) a fc([0,0];2).
Výsledek. Mezikruží mezi k([0, 0]; 1) a fc([0, 0]; 2)
Příklad 2. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = \/l — x2 + v7! - V2-Výsledek. Je to čtverec se středem v bodě [0, 0], jeho vrcholy jsou v bodech [±1, ±1]. Příklad 3. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y)
x2 + y2 — x
v 2x — x2 — y2
Výsledek. Prostor mezi k([^, 0]; ^) a k([l, 0]; 1), menší kružnice tam patří, větší ne. Příklad 4. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
x 1
f(x, y) = arcsin
y \y\
Výsledek. Prostor mezi přímkami y = x a y = —x kromě těchto přímek (do této množiny patří osa y kromě bodu [0, 0], množina vypadá jako přesýpací hodiny).
Příklad 5. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
f(x,y) = yfl - x2 - 4y2.
Výsledek. Elipsa (i s vnitřkem) se středem v bodě [0, 0], hlavní poloosou a = 1 (prochází bodem [1,0]) a vedlejší poloosou b = | (prochází bodem [0, ^]).
Příklad 6. Určete definiční obor funkce f a zobrazte ho v rovině:
tJC^
Výsledek. Elipsoid (i s vnitřkem) se středem v bodě [0, 0, 0] a poloosami a (prochází bodem [a, 0, 0]), b (prochází bodem [0, b, 0]) a c (prochází bodem [0, 0, c]).
1
Vrstevnice funkcí, polární souřadnice
Máme funkci ./': M > kde M • a nechť cěí Množinu fc = {[x,y] G M; f (x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce / na úrovni c. Chápeme-li graf funkce / jako reliéf krajiny, pak vrstevnice funkce na úrovni c je množina všech bodů s nadmořskou výškou c, což se shoduje s pojmem vrstevnice v mapách.
Příklad 7. Určete vrstevnice funkce z = x2 + y2.
Výsledek. Vrstevnice jsou x2 + y2 = c. Pokud c < 0, pak zc = 0. Pro c = 0 je zq = [0, 0] a pro c > 0 máme x2 + y2 = \/č2, takže vrstevnice jsou kružnice k([0, 0]; y/c).
Příklad 8. Pomoct vrstevnic a řezů rovinami gxz: y = 0 a gyz: x = 0 určete v prostoru graf funkce
z = 2 — -y/x2 + y2.
Řešení. Vrstevnice jsou 2 — y/x2_+~y2 = c, tj. x2 +y2 = (2 — c)2, což jsou kružnice k([0, 0]; 2 — c), přičemž 2 — c > 0, tj. c < 2.
Řez rovinou £3^: platí y = 0, tudíž z = 2 — Vä?2 = 2 — Řez rovinou       platí x = 0, tudíž z = 2 — -y/y2 = 2 — |y|.
Celkem z toho dostáváme, že graf funkce z je rotační kužel s vrcholem v bodě [0, 0, 2] a hlavní osou, která je částí osy z od 2 do —00.
Graf funkce z = 2 — y/x2 + y2 se dá určit také převedením do polárních souřadnic r, </?:
x = r cos </?, y = r sin tp.
Souřadnice r udává vzdálenost bodu [x, y] od počátku [0,0] (tedy r > 0), </? je orientovaný úhel od kladné poloosy x k polopřímce začínající v bodě [0, 0] a procházející bodem [x, y]. Po dosazení dostaneme
z = 2 — ^/r2 cos2 </? + r2 sin2 </? = 2 — ^r2(cos2 </? + sin2 tp) = 2 — Vr2 = 2 — |r| = 2 — r,
tedy z nezávisí na tp. Z toho, že z = 2 — r, dojdeme ke stejnému výsledku jako výše.
Výsledek. Graf funkce z je rotační kužel s vrcholem v bodě [0, 0, 2] a hlavní osou, která je částí osy z od 2 do —00
Příklad 9. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gXz,Qyz určete v prostoru graf funkce
z = \J\ — x2 — y2.
Výsledek. Grafem je horní polovina kulové plochy (leží v poloprostoru z > 0), jejímž středem je bod [0, 0, 0] a poloměr je 1.
Příklad 10. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami gxz,gyz určete v prostoru graf funkce
z = x + y .
Výsledek. Grafem je rotační paraboloid ležící v poloprostoru z > 0, jeho vrchol („nejnižší" bod) je [0,0,0].
2
Křivky v irn, tečna ke křivce
Křivka v W1 je zobrazení c: M —> W1, tedy c zobrazí reálné číslo x na bod [ci(x),... ,cn(x)] v prostoru W1, přičemž c\,...,cn jsou funkce R —> M. Derivace funkce c v bodě to, tj. vektor c'(í0) = (c[(to), • • •, c'„(ro)), je tečným vektorem ke křivce c v bodě c(to). Přímka
P = {f(r0) + Sc'(í0);sel}
je tečna ke křivce c v bodě to.
Příklad 11. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (lni, arctgí, esm(7rí)) w bodě to = 1. Výsledek. Tečna p = {[s, | + |, 1 - 7rs]; s G M}.
Příklad 12. TVa křivce c(t) = (t2 — 1, —2í2 + 5ŕ, ŕ — 5) nejděte takový bod. že jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou g: 3x + y — z + 7 = 0.
Nápověda. Směrový vektor d (to) tečny ke křivce c(t) v bodě to musí být kolmý k normálovému vektoru roviny g. takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0. Pomocí tohoto skalárního součinu vypočítáme íq-
Výsledek. Bod [3,-18,-7].
Příklad 13. Určete parametrickou rovnici tečny v bodě [1,1, y/2] ke křivce, jež vznikla jako průsečík plochy o rovnici x2 + y2 + z2 = 4 s plochou x2 + y2 — 2x = 0.
Nápověda. Křivku si v okolí daného bodu vyjádřete stejným způsobem jako ve výše uvedených příkladech.
Výsledek. Tečna p = {[1 - V2s, 1, y/2 + s]: s G IR}.
3