Matematika III, 2. cvičení
V tomto cvičení si procvičíme limity funkcí více proměnných, všimneme si rozdílů proti limitám funkcí jedné proměnné. Dále pak parciální a směrové derivace funkcí více proměnných také jejich diferenciál a jeho použití v Taylorově rozvoji. Zamyslíme se nad souvislostmi s tečnou rovinou ke grafu funkce. Tyto pojmy také využijeme při aproximacích funkce.
Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit § a ^ nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(3) ohrani&g;ý výraz =0,0- (ohraničený výraz) = 0;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos p, y = r sin p>
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2(cos2 p + sin2 ip) = r2, který nezávisí na tp);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 1. lim(:E)ž/)^.(e2)1) ^ Příklad 2. limM^(4i4)
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Příklad 3. Dokažte, že lim^^^OjO) x^-y riee^s^ííJe-
Nápověda. Zvolte y = kx2, tedy k bodu [0, 0] se budeme blížit po parabolách.
1
Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±00), která je rovna funkční hodnotě.
Příklad 4. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = ^J^lry. Příklad 5. Určete body, v nichž není spojitá funkce
prv [x,y] ŕ [0,0],
f (x,y)
I 0 pro [x, y] = [0, 0].
Směrové derivace
Je-li u = (ui,u2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [xo,yo] ve směru vektoru u je
\     -i■    f{x0 +u1t,y0 +u2t) - f(x0,y0) fu(xo,yo) = jim---.
Zřejmě fx = /('liQ) a/£ = /('Qil).
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x(xa,ya) a fý(xa,ya). Pak
f'Áxo,yo) = fx(xo>yo) ■ ui + fý(xo,yo) • u2-
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 6. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + Axy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Příklad 7. Vypočtěte f'u{l,-1), kde f(x,y) = arctg(x2 + y2) a u = (1,2). Parciální a směrové derivace
Je-li u = (u\,U2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [xo,yo] ve směru vektoru u je
,//       \    1 ■    f{xo + u1t,yQ +u2ť) - f(x0,y0) fu{xo,yo) = lim---.
Zřejmě f'x = f'(lfl) &f'y = /('0 1}.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x{xQ,yo) a fý(xo,yo). Pak
fL(xoi yo) = f'x{xo,yo) ■ ui + fý(xo, yo) ■ u2.
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 8. Dvěma způsoby vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x^ + Axy v bodě [2, —1] ve směru vektoru (1,3).
Příklad 9. S využitím parciálních derivací vypočtěte f'u{l, —1), kde f(x,y) = arctg(x2 + y2) a « = (1,2).
2
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df{x) = f'(xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: M2 —> M platí df(x,y) = fx(x,y)dx + fý(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [a;o>yo] je
df(x0,y0) = fx(x0,y0)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0) = f'x(x0,y0)dx + fý(x0,y0)dy.
Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě [xq, ya, f(xo,yo)]:
z = f(x0,yo) + fx(x0,yo)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0)   (= f(x0,y0) + df(x0,y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f{x,y) = f(x0,y0) +df(x0,y0) = f(x0,y0) + f'x(x0,y0)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0).
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Příklad 10. Pomoct diferenciálu přibližně vypočtěte 982 + 4, 052. Příklad 11. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg 1,02
0,95'
Nápověda. Zvolte funkci arctg ^,%o = ž/o = 1-
Příklad 12. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = x2 + xy + 2y2 v bodě [x0,y0,z0] = [1,1,?].
Taylorův polynom
Příklad 13. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) = x4y + xy2 + x + 2 v bodě 1,1].
Příklad 14. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte y/2, 982 + 4, 052.
3