Matematika III, 3. cvičení V tomto cvičení se budeme věnovat extrémům funkcí více proměnných. Podobně jako u funkcí jedné proměnné, kde byla existence extrému diferencovatelné funkce v nějakém podmíněna nulovostí derivace v tomto bodě, je existence extrému funkce více proměnných podmíněna nulovostí všech parciálních derivací v tomto bodě. Další rozhodování o těchto bodech je jak uvidíme obtížnější. Prozkoumáme také Jacobiho matici zobrazení a její vztah k invertibilitě zobrazení. Lokální extrémy funkcí více proměnných Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /:I-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí /'(xq) = 0) platí: • je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum, • pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum, je f"{xo) > 0, • je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum, • pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum, je /"(xq) < 0. Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných: Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí f'x(xo,yo) = 0, fý(xo, yo) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [a;o>yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí: • Je-li fxx(x0,y0) > 0 a detHf(x0,y0) = det (Sbf^\ ^'ľl) = f"^o,yo)f^x0,y0)-[f^x0,y0)]2 > 0, \Jxy{xO,yo) Jyy{XO,yo)J yy y má funkce / v bodě [xo,yo] ostré lokální minimum, • Je-li fxx(xQ,yQ) < 0 a detHf(xo,yo) > 0, má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální maximum, • Je-li det H/(xq, yo) < 0, extrém v bodě [a;o>yo] nenastává, • V ostatních případech (tj. pokud det H/(xq, yo) = 0), nic o extrému v bodě [xq, yo] nevíme, musíme použít různé triky. Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Příklad 1. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy. Příklad 2. Určete lokální extrémy funkce f{x,y,z) = x + -—i---h - 4x y z ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, káe jsou všechny tři souřaánice nezáporné) a určete jejich typ. Příklad 3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. Příklad 4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = xy ln(x2 + y2). 1 Jacobiho matice zobrazení z IR2 do IR2 a jeho inverze Nechť F = (f, g) : R2 -+ R2 a předpokládejme, že funkce f, g (tj. složky zobrazení F) mají v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace a že Jacobiho matice F'(xq,ijq) = f ^x°'vo^ fy(xo>y°) zobrazení F v bodě [xo,í/o] je regulárni, tj. det F'(xq, í/o) 7^ 0 (det F'(xq, í/o) se nazývá jacobián zobrazení F v bodě [xq, í/o])- P&k existuje okolí bodu [xq, í/o], v němž je zobrazení F prosté, tudíž k němu existuje inverzní zobrazení F^1 v okolí bodu F(xo,yo), a pro Jacobiho matici tohoto inverzního zobrazení v bodě [ííq,«o] = F(xo,yo) platí (F-1)1 (uq,vq) = [F'(xq, í/q)]_1- Příklad 5. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f, g) kde f (x, y) = x2 - y2, g(x, y) 2xy (tj. zobrazení z i—> z2, uvažujeme-li F jako zobrazení C —> C), prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V případě, že ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě F(2,l). Příklad 6. Rozhodněte, zda je zobrazení F = (f,g) : R2 —> R2, kde f(x,y) = xy,g(x,y) = |, prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě F'(2,1). Příklad 7. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (/, g) : R2 —> R2, kde f(x, y) = \J x2 + y2, g(x, y) = xy, prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F^1 v bodě F(0,1). Příklad 8. Spočítejte jacobián funkce F, která je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a příslušné inverzní transformace. Nápověda. Funkce F je definována následujícím způsobem: [x, y] i—> V1 x2 + y2, arctg — pro x > 0, L x\ [x, y] \Jx2 + y2,7T + arctg ^ [0, y] >->• y, ^ sgn(y) pro x < 0, Z polárních souřadnic nazpět je to i7 1 : [r, ip] i—> [r cos