Matematika III, 4. cvičení
Derivace funkce zadané implicitně
Funkci značíme písmenem y, proměnnou písmenem x, můžeme si představit, že y = f (x). Proto derivace x je 1, ale derivace y je y', takže např. (x2)' = 2x a (y2)' = 2yy'.
Příklad 1. Určete první a druhou derivaci, pokud x2 + y2 = 1.
Řešení. Po zderivování obou stran máme 2x + 2yy' = 0, z toho y' = — |. První rovnost je ekvivalentní s rovností x + yy' = 0, po zderivování dostaneme 1 + (y')2 + yy" = 0. Tedy
l + {y')2       l+x2/y2 y2+x2
y3
y" = -
Výsledek. y' = -^y" = -ylpl. Příklad 2. Určete derivaci, pokud xy2 — 2xy + x3 — 3y2 + 5 = 0. VI****, y' =
Příklad 3. Určete derivaci, pokud sin(x2) + cos(y2) — 1=0. Výsledek, y' = xc?six7).
Příklad 4. Nechť je funkce y = y{x) dána v okolí bodu [1,1] implicitně rovnicí y3 — 2xy+x2 = 0. Určete y'(l) a y"(l).
Výsledek. y'(l) = 0, y"(l) = -2.
Příklad 5. Necht: je funkce y = y (x) dána v okolí bodu f2^-, §] implicitně rovnicí y — ^rp = x. Určete y'{^) ay"{^).
Výsledek. y'(^) = l,y"(^) = -\.
Příklad 6. Rozhodněte, zda křivka x3 — y3 + 2xy = 0 leží v okolí bodu [1, —1] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Nápověda. Křivku v okolí bodu [1, —1] považujte za funkci y{x) zadanou implicitně, odpovězte podle hodnoty druhé derivace této funkce v daném bodě.
Výsledek. y"(l) = 16 > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 7. Rozhodněte, zda křivka |x2 — 3xy2 + y3 — | =0 leží v okolí bodu [1,3] nad (nebo pod) svojí tečnou.
Výsledek. y"(l) = ^ > 0, funkce je tedy konvexní a leží nad tečnou.
Příklad 8. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [1, y/2, 2] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí x2 + y2 + z2 — xz — \[2yz = 1.
Výsledek. 4(1, V2) = 2z^x^y = 0, zy(l, y/2) = 2^Z%y = 0, 4,(1, ^2) = 4,(1, yft) = -2,
4',(i,V2) = o.
Příklad 9. Vypočtěte všechny parciální derivace prvního a druhého řádu v bodě [—2, 0,1] funkce z = f(x, y) definované v okolí daného bodu implicitně rovnicí 2x2 + 2y2 + z2 + 8xz - z + 8 = 0.
Výsledek. 4("2,0) = -g^fc = 0, ^(-2,0) = ~š^i = °> 4r(-2,0) = ^(-2,0) = ^, 4,(-2,0) = 0.
1
Implicitně zadaná funkce
Nechť F(x, y): M2 —> M je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xq, y o] , dále F(xo,yo) = 0 a Fý(xo,yo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M —> M definovaná na nějakém okolí U bodu xq, přičemž F(x, f(x)) = 0 pro všechna x £ U. Funkce y = f (x) je tedy rovností F(x,y) = 0 implicitně definovaná v okolí bodu xq. Pokud Fý(xQ, yg) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Podobné tvrzení platí pro funkci více proměnných, uvedeme si ještě případ pro 3 proměnné: Nechť F(x, y, z): M3 R je spojitě diferencovatelná funkce v okolí bodu [xo,yo,zo], dále F(xo,yo, zq) = 0 a F'z(xq, yo, zo) 7^ 0. Pak existuje spojitá funkce /: M2 —> M definovaná na nějakém okolí U bodu [xo,yo]) přičemž F(x,y, f(x,y)) = 0 pro všechna x G U. Pokud F'z(xQ,yQ, zq) = 0, funkce / se zmíněnými vlastnostmi neexistuje.
Příklad 10. V okolí kterých bodů jednodílného hyperboloidu h o rovnici
x2 y2 z2 a2     b2 c2
nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x, y) ?
1 2
Nápověda. Určete body [xq,í/o5^o] na h splňující F'z(xq, yo, zq) = 0, kde F(x,y,z) =     + —
Výsledek. Množina hledaných bodů je elipsa obsahující body [xo,yo, 0], kde ^ + p- = 1. Příklad 11. V okolí kterých bodů křivky x2 + 2xy — y2 — 8 = 0 nelze vyjádřit y jako funkci
y = f{x)?
Výsledek. [2, 2], [-2, -2].
Příklad 12. V okolí kterých bodů parabolické válcové plochy z2 — 2px = 0, kde p > 0, nelze vyjádřit z jako funkci z = f(x,y)?
Výsledek. Všechny body osy y.
2