Cvičení 8: Pravděpodobnost, náhodné jevy, náhodné veličiny, distribuční funkce
Příklad 1. V seminární skupině MB103 je 23 studentů. Studenti se dělí na
• 8 dobrých, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 90%;
• 12 průměrných, kteří mají pravděpodobnost složení zkoušky 60%;
• ostatní slabé, kteří na matematiku navíc „kašlou", a tak mají pravděpodobnost složení zkoušky jen 0,1.
a) Určete pravděpodobnost, že náhodně zvolený student zkoušku složí.
b) Určete pravděpodobnost, že náhodně vybraný student, úspěšně složivší zkoušku, byl z těch, kteří na matematiku „kašlali".
Výsledek, a) 0,639; b) 0,0204;
Příklad 2. Tyč délky d je náhodně rozlomená na tři části. Určete pravděpodobnost, že je možné z těchto částí sestrojit trojúhelník.
Výsledek. 0,25. Teorie:
• Náhodná veličina, distribuční funkce, pravděpodobnostní funkce, hustota;
• Nezávislost náhodných veličin, náhodný vektor, marginální a sdružené pravděpodobnostní funkce, hustoty a distribuční funkce.
Příklad 3. Střelec střílí do terče až do prvního zásahu. Má v zásobě 4 náboje. Pravděpodobnost zásahu je při každém výstřelu rovna 0,6. Nechť náhodná veličina X udává počet nespotřebovaných nábojů. Určete pravděpodobnostní a distribuční funkci X a nakreslete jejich grafy.
Příklad 4. Náhodná veličina X má pravděpodobnostní funkci
7r(x) = P(X =
pro i = 1, 2, 3,... jinak.
Určete
a) P(X < 3),
b) P(X > 4),
1
c) P(l < X < 4).
Příklad 5. Náhodná veličina má distribuční funkci
Fx(x) =
pro x < 3 1   pro 3 < x < 6 pro 6 < x.
a) Zdůvodněte, že jde skutečně o distribuční funkci.
b) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
c) Vypočtěte P (2 < X < 4).
Příklad 6. Náhodná veličina má distribuční funkci
0 pro x < —2
Fx(x)
1 '- \ arcsin f   pro — 2 < x < 2
pro 2 < x.
a) Určete hustotu pravděpodobnosti náhodné veličiny X.
b) Vypočtěte P(-l < X < 1).
Výsledek.
pro —2 < x < 2, jinak 0; ^.
Příklad 7. Hustota pravděpodobnosti náhodné veličiny X má tvar f (x) =       pro x G R.
Určete
a) koeficient a,
b) distribuční funkci,
c) P(-l < X < 1). Výsledek. -; - arctg x
i. i
2' 2'
Příklad 8. Diskrétní náhodný vektor má sdruženou pravděpodobnostní funkci danou tabulkou
xY	2	5	6
1	i	i	i
	5	10	20
2	1 10	i 20	0
3	3	1	3
	10	20	20
2
Určete
a) marginální distribuční a pravděpodobnostní funkce;
b) sdruženou distribuční funkci a vhodným způsobem ji znázorněte;
c) P(Y > 3X). Výsledek. Jj.
Příklad 9. Určete distribuční funkci náhodného vektoru (X,Y), jehož hustota je
í(4.t - y)   pro 1 < x < 2, 2 < y < 4,
0
iinak.
Určete dále P(Y > 2X). Výsledek. |.
Příklad 10. Určete marginální distribuční funkce, sdruženou a marginální hustotu náhodného vektoru {X,Y), je-li
0
F[x,Y){x,y) = <
12 2
ix y
MÍ 4
pro x < 0, nebo y < 0 pro 0 < x < 1,0 < y < 2 pro x > 1, y > 2 pro 0<x<l,y>2 pro x>l,0<y<2
3