Cvičení 9: Náhodné veličiny a náhodné vektory
Příklad 1. Určete hustotu pravděpodobnosti náhodného vektoru (X, Y), jehož distribuční funkce je
{0 pro x < — 1
^2 (arcsinx + |)(arctgy + |)   pro |x| < 1 ^(arctgy + f) pro x > 1.
Určete rovněž marginální hustoty a rozhodněte, jsou-li veličiny X a Y nezávislé.
Výsledek, f (x,y) = fi(x) ■ ^(y), kde fi(x) = ^^—^ Pro ~~ 1 < x < 1, jinak 0, a f2{x) = ?,. Jsou nezávislé.
Příklad 2. V urně je 14 kuliček - 4 červené, 5 bílých a 5 modrých. Náhodně bez vracení vybereme 6 kuliček. Určete rozložení náhodného vektoru (X, Y), označuje-li X počet tažených červených kuliček a Y počet tažených bílých kuliček. Určete rovněž marginální rozložení veličin laľ. Dále vypočtěte P(X < 3), P(l < Y < 4).
Příklad 3. Hustota náhodného vektoru (X, Y, Z) je
íc(x + y + z)   pro0<x<l,0<y<2,0<z<3 j(x, y,z) = <
I 0 jinak.
Určete konstantu c, distribuční funkci a vypočtěte P(0 < X < |, 0 < Y < |, 0 < Z < |). Výsledek, c = §, P{Q < X <\,Q <Y <\,Q < Z <\) = ^.
1