Algebra I – podzim 2017 – 1. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda předpis
(x, y) ∗ (z, t) =
x + y + z − t
2
,
x + y − z + t
2
definuje operaci na množině
S = (x, y) ∈ Q × Q | x ≥ |y|
takovou, že (S, ∗) je pologrupa, případně monoid.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
a
 b // 2
b

a
!!
3
b
aa
a // 4
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa
(Z[x], +) × (C, +) /H,
kde
H = (f, f(1) + a · i) | a ∈ R, f ∈ Z[x] má kořen
√
2 .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
3 + 1 · i −
√
3 + 1 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
α2+3α+1
, kde α splňuje α2
· (α2
+ 2) = −26α − 6, bez
použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad dvou neizomorfních šestiprvkových grup.
7. (10 bodů) Dejte příklad oboru integrity R, který není těleso, a homomorfismu
ϕ: R → R, který není identitou na R a přitom ϕ ◦ ϕ identitou na R je.
8. (5 bodů) Definujte okruh a jeho charakteristiku.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení o existenci a jednoznačnosti podílového tělesa.
10. (10 bodů) Dokažte, že každá podgrupa nekonečné cyklické grupy je cyklická.