Algebra I – podzim 2017 – 2. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda (C × C, ⊕, ∗), kde ⊕ a ∗ jsou operace definované
předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (−ad − bc, ac − bd),
pro všechna a, b, c, d ∈ C, je okruh a zda je to obor integrity.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b,c
HH
a // 2
a
 b,c
// 3
a,c
((
b

4
c
hh
a,b

3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)/H, kde
G =





1 f h
0 1 g
0 0 1

 f, g ∈ Z[x], h ∈ R[x], x2
+ 1 dělí f



,
H =





1 f h
0 1 g
0 0 1

 ∈ G f(2) = g(2), f má kořen 3, h má kořen i



.
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
2 + 8
√
2 nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo 1
α3+2α2+4
, kde α splňuje α4
+ 2α3
+ 2α2
+ 8α = −2,
bez použití jiných než racionálních čísel ve jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy G, která obsahuje právě 44 prvků x takových, že
x generuje G.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a injektivního homomorfismu ϕ: G → G, který
není izomorfismus.
8. (5 bodů) Definujte nerozložitelný prvek oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující nerozložitelné polynomy nad C a nad R.
10. (10 bodů) Dokažte, že každý ideál okruhu polynomů nad tělesem je hlavní.