Algebra I – podzim 2017 – 4. termín
Všechna svoje tvrzení precizně zdůvodněte.
1. (10 bodů) Rozhodněte, zda množina H = { (a, a) | a ∈ Q \ {0} } je podgrupa,
případně normální podgrupa, grupy (G, ∗), kde G = (Q × Q) \ { (a, −a) | a ∈ Q }
a ∗ je operace definovaná pro všechna (a, b), (c, d) ∈ G předpisem
(a, b) ∗ (c, d) = ac + bc −
b
2
+
a
2
, ad + bd +
b
2
−
a
2
.
2. (10 bodů) Určete všechny prvky přechodového monoidu automatu
1
b
FF
a // 2
a
((
b
66 3
a
((
b

4
a
TT
b
hh
3. (15 bodů) Určete, které známé grupě je izomorfní grupa (G, ·)×(R\{0}, ·) /H,
kde
G =
p f
0 p
p ∈ Q \ {0}, f ∈ Q[x] ,
H =
p f
0 p
, p2
p ∈ Q \ {0}, f ∈ Q[x], f(1) = f(2) .
4. (10 bodů) Určete minimální polynom čísla
√
2 +
√
2 + 2 · i nad Q.
5. (15 bodů) Vyjádřete číslo
1
α5 − 10α3 − 17α2 − 18α − 7
,
kde α splňuje α3
= 3 · (α2
+ α + 1), bez použití jiných než racionálních čísel ve
jmenovateli.
6. (10 bodů) Dejte příklad grupy a jejích dvou prvků řádu 3 takových, že jejich
součin má řád 2.
7. (10 bodů) Dejte příklad grupy G a neinjektivního homomorfismu ϕ: G → G,
jehož jádro je rovno jeho obrazu.
8. (5 bodů) Definujte podílové těleso oboru integrity.
9. (5 bodů) Formulujte tvrzení popisující všechny ideály, prvoideály a maximální
ideály v okruhu polynomů nad tělesem.
10. (10 bodů) Dokažte, že v konečném případě je definice tělesa ekvivalentní definici
oboru integrity.