Zadání cvičení pro 2. týden: 24.-28.9. 2018
Ve druhém cvičení budete zkoumat tečny ke křivkám v rovině či prostoru a
počítat linární přiblížení (derivace) funcí více proměnných. Dostanete se letmo
i k Taylorovu rozvoji.
Křivka c(t) je zobrazení R → Rn
, tj. c(t) = (c1(t), . . . , cn(t)). Derivace křivky
je dána vektorem c (t) = (c1(t), . . . , cn(t)). Tečna ke křivce c(t) je v bodě t0 dána
parametricky jako T : x(t) = c(t0) + (t − t0)c (t).
Příklad. 1. Určete tečnu křivky dané předpisem c(t) = (ln t, arctg t, esin πt
)
v bodě t0 = 1.
Příklad. 2. Na křivce c(t) = (t2
− 1, −2t2
+ 5t, t − 5) najděte takový bod, že
jím procházející tečna je rovnoběžná s rovinou ρ : 3x + y − z + 7 = 0.
(Směrový vektor tečny ke křivce c(t) v bodě chceme mít kolmý k normálovému
vektoru roviny ρ, takže skalární součin těchto dvou vektorů musí být roven 0.)
Příklad. 3. Přímo i pomocí parciálních derviací vypočtěte směrovou derivaci
funkce f(x, y) = x3
+ 4xy v bodě [2, −1] ve směru vektoru (1, 3).
Příklad. 4. S využitím parciálních derivací vypočtěte směrovou derivaci duf
funkce arctg(x2
+ y2
) v bodě [1, −1] pro směr u = (1, 2).
Pro funkci jedné proměnné y = f(x) je diferenciál v bodě x0 dán vztahem
df(x) = f (x0)dx. Pro funkci dvou proměnných, df(x, y) = fx(x, y)dx +
fy(x, y)dy, tj. diferenciál v pevném bodě [x0, y0] je
df(x0, y0)(u) = fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0), u = (x − x0, y − y0).
Pomocí diferenciálu najdeme tečnou rovinu ke grafu funkce f(x, y) v bodě
[x0, y0, f(x0, y0)]:
z = f(x0, y0) + fx(x0, y0)(x − x0) + fy(x0, y0)(y − y0)
(což je rovina daná jako graf diferenciálu posunutý do bodu odpovídajícímu
hodnotě funkce). V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme přibližně vypočítat
funkční hodnoty.
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál
a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Příklad. 5. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte 2, 982 + 4, 052. (Použijte
diferenciál vhodné funkce v bodě [3, 4].)
Příklad. 6. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg 1,02
0,95 .
Příklad. 7. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = x2
+xy +2y2
v bodě [x0, y0, z0] = [1, 1, ?].
Příklad. 8. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x, y) = x4
y +
xy2
+ x + 2 v bodě [1, 1].
Příklad. 9. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte 2, 982 + 4, 052
(o kolik jsme lepší než jen s diferenciálem?).
1