Cvičení 12: Náhodný výběr z normálního rozdělení, intervalové odhady
Teorie:
Případ, kdy je Xi,..., Xn náhodný výběr z normálního rozdělení N(fi, a2):
• M a S2 jsou nezávislé náhodné veličiny.
• M ~ N(fji, a2/n), a tedy U = (M - fj,)/(a/y/n) ~ ÍV(0,1).
• K= (n-l)52/íT2 -x2(n-l).
• £(*i-/07"2~x2fr).
. T = {M-n)l{Sly/n)~t(n-\).
Intervaly spolehlivosti (jeden, resp. 2 výběry):
yti (známe a2)	(M-^1_Q/2,M + ^1_Q/2)
H (neznáme a2)	(M "                " 1)>^ + ^h_a/2(n - 1))
a2 (neznáme /i)	/    (n-l)S2         (n-l)S2 \
A*i ~~ 1^2 (známe cr2,^)	Mi-M2±^/^ + ^.Ul_a/2
A*i ~~ ^2 (neznámé u2 = cr|)	M1-M2±S*yJ± + ±- íi_Q/2(m + n - 2)
podíl rozptylů o\jo\	/     s?/s°          sys$ \ \ ŕ,l-a/2(™-l,™-l) ' r,a/2(™-l,™-l) /
Příklad 1. Ze základního souboru, z rozdělení N(ji,a2), kde u2 = 0,06 jsme pořídili náhodný výběr s realizacemi 1,3; 1,8; 1,4; 1,2; 0,9; 1,5; 1,7. Určete oboustranný 95% interval spolehlivosti pro neznámou střední hodnotu.
Výsledek. 1,22 < fi < 1,58.
Příklad 2. Náhodná veličina X má normální rozdělení N(/i, a2), kde /i, a2 nejsou známy. V následující tabulce jsou uvedeny četnosti jednotlivých realizací této náhodné veličiny.
	8	11	12	14	15	16	17	18	20	21
četnost	1	2	3	4	7	5	4	3	2	1
Vypočtěte:
• výběrový průměr,
• výběrový rozptyl a výběrovou směrodatnou odchylku,
1
• 99% interval spolehlivosti pro střední hodnotu \i. Výsledek. 13,954 < fi < 16,671
Příklad 3. Nechť Xi,... ,Xn je náhodný výběr z rozdělení iV(/z, 0,04). Určete nejmenší počet měření, který je třeba provést, aby šířka 95% intervalu spolehlivosti pro /i nepřesáhla 0,16.
Příklad 4. Byla provedena čtyři nazávislá měření obsahu manganu u dvou vzorků oceli a byly získány výsledky:
1. vzorek	0,31%	0,30%	0,29%	0,32%
2. vzorek	0,59%	0,57%	0,58%	0,57%
Stanovte 95% interval spolehlivosti pro rozdíl středních hodnot \i\ — /i2 za předpokladu, že jde o realizace náhodného výběru z normálního rozdělení s neznámými, ale shodnými rozptyly.
2