Matematika III, 2. cvičení
V tomto cvičení si procvičíme limity funkcí více proměnných, všimneme si rozdílů proti limitám funkcí jedné proměnné. Dále pak parciální a směrové derivace funkcí více proměnných také jejich diferenciál a jeho použití v Taylorově rozvoji. Zamyslíme se nad souvislostmi s tečnou rovinou ke grafu funkce. Tyto pojmy také využijeme při aproximacích funkce.
Limity funkcí více proměnných
Pro počítání limit jj a ^ nemáme k dispozici žádnou analogii ĽHospitalova pravidla, musíme tedy používat různé úpravy. Rozdíl mezi limitou funkce jedné proměnné a limitou funkce dvou proměnných spočívá v odlišnosti okolí limitního bodu: u funkce jedné proměnné se k tomuto bodu můžeme blížit jen po přímce, tj. ze dvou stran (pak má funkce limitu v bodě, pokud existují obě jednostranné limity, které se rovnají), ale u funkce dvou a více proměnných se k limitnímu bodu můžeme blížit nekonečně mnoha způsoby (po přímkách, parabolách, ...). Existence limity v daném bodě znamená, že nezáleží na cestě, po které se k danému bodu blížíme. Pokud tedy dostaneme různé hodnoty limity pro různé cesty, limita v daném bodě neexistuje. V následujících příkladech vypočítejte limity, případně dokažte, že neexistují.
Nápověda. Pokud po dosazení limitních bodů nevyjde neurčitý výraz, můžeme tyto limitní body dosadit. Pokud vyjde neurčitý výraz, můžeme zkoušet různé postupy:
(1) rozložit čitatel nebo jmenovatel na součin podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
(2) rozšířit čitatel i jmenovatel něčím vhodným podle nějakého známého vzorce a pak by se něco mohlo vy krátit;
/ o \   ohraničený výraz      nn/i        ■ -     ''      \ n
[á) -^—-— = U, U • (ohraničený výraz) = (J;
(4) použít vhodnou substituci, po které bychom dostali limitu jedné proměnné;
(5) převést limitu dvou proměnných do polárních souřadnic
x = r cos p, y = r sin p>
(je-li v limitě výraz x2 + y2, polární souřadnice většinou fungují, protože pak dostaneme jednodušší výraz x2 + y2 = r2 cos2 ip + r2 sin2 p = r2(cos2 p + sin2 ip) = r2, který nezávisí na tp);
(6) zvolit y = kx (k limitnímu bodu [0,0] se blížíme po přímkách, v případě jiného limitního bodu je potřeba drobná úprava, aby přímky limitním bodem procházely), y = kx2 (k limitnímu bodu [0, 0] se blížíme po parabolách, v případě jiného limitního bodu je opět potřeba drobná úprava), případně jinak vhodně parametricky nahradit x = f (k) a y = g (k), a pokud bude hodnota limity záviset na parametru k, limita neexistuje; tento postup lze použít pouze k důkazu neexistence limity, nikoliv k výpočtu její hodnoty za předpokladu, že existuje!
Příklad 1. Um(a.i!/)^(e2il) ^
Výsledek. 2.
Příklad 2. limM^(4i4)
1
Nápověda. Rozložte jmenovatel na součin podle vzorce pro rozdíl druhých mocnin. Výsledek. ^.
Příklad 3. Dokažte, že lim^j^^o) x^-y neex^uÍe-
Nápověda. Zkuste uvidět, proč limita neexistuje: zvolte y = kx2, tedy k bodu [0,0] se budeme blížit po parabolách.
Spojitost funkcí více proměnných
Funkce je spojitá v bodech, ve kterých má vlastní limitu (tj. limita existuje a je různá od ±00), která je rovna funkční hodnotě.
Příklad 4. Určete body, v nichž není spojitá funkce f(x,y) = -JfrlrT-
x -\-y 1
Výsledek. Kružnice k([0, 0]; 1).
Příklad 5. Určete body, v nichž není spojitá funkce
íf^ prv[x,y]r[0,0], \0 pro [x,y] = [0,0].
Výsledek. Funkce je všude spojitá, včetně bodu [0, 0]. Směrové derivace
Je-li u = (ui,U2) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [xo,yo] ve směru vektoru u je
fn(xo, yo) = lim---•
Zřejmě f'x = f'(lfl) a f'y = f'{Q^y
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x(xQ,yo) a fý(xQ,yo). Pak
fL(xo, yo) = fx(%o,yo) ■ ui + fý(xo, yo) ■ u2.
Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 6. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x3 + 4xy v bodě [2,-1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. /('1)3)(2,-1) = 32.
Příklad 7. Vypočtěte f'u(l, -1). kde f{x,y) = arctg(x2 + y2) au = (1,2). Výsledek. — |.
2
Parciální a směrové derivace
Je-li u = (111,112) nenulový vektor, pak směrová derivace funkce f(x,y) v bodě [xo,yo] ve směru vektoru u je
\     -i ■ f(xo+u1t,y0+u2t)-f(x0,y0) fu(xo,yo) = jim---.
Zřejmě f'x = f'(lfl) &f'y = /('0 1}.
Jiný způsob výpočtu směrové derivace (pouze v případě, že funkce je diferencovatelná!): Nejdříve spočítáme obě parciální derivace f'x(xo,yo) a fý(xo,yo)- Pak
f'a(xo, yo) = fx(xo,yo) • Ul + fý(xo, yo) ■ u2. Pro funkce tří a více proměnných je to analogické.
Příklad 8. Dvěma způsoby vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x,y) = x^ + Axy v bodě [2, —1] ve směru vektoru (1,3).
Výsledek. /(li3)(2, -1) = 32.
Příklad 9. S využitím parciálních derivací vypočtěte f'a(l, —1), kde f(x,y) = arctg(x2 + y2) a u = (1,2).
Výsledek. — |.
Diferenciál, aproximace, tečná rovina
Pro funkci jedné proměnné y = f (x) je diferenciál v bodě xq dán vztahem df(x) = f'(xo)dx. Pro funkci dvou proměnných /: M2 —> M platí df(x,y) = f'x(x,y)dx + f'y(x,y)dy, diferenciál v pevném bodě [a;o>yo] je
df(x0,yo) = fx(xo,yo)(x ~ xo) + fý(xo,yo)(y - yo) = f'x(xo,yo)dx + fý(x0,y0)dy. Pomocí diferenciálu se určí rovnice tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) v bodě [xq, yo, f(xo, yo)]:
z = f(x0,yo) + fx(xo,yo)(x - xo) + fý(xo,yo)(y - yo)  (= f(xo,yo) + df(x0,y0)).
V okolí bodu dotyku tečné roviny můžeme tedy přibližně vypočítat funkční hodnoty (místo přesné funkční hodnoty vezmeme hodnotu z tečné roviny):
f(x,y) = f(x0,yo) +df(x0,y0) = f(x0,yo) + f'x(xo,yo)(x - x0) + fý(x0,y0)(y - y0).
Analogicky se pomocí parciálních derivací prvního řádu určí vztahy pro diferenciál a tečnou nadrovinu funkce více proměnných.
Příklad 10. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte \/2, 982 + 4, 052. Řešení. Použijeme diferenciál funkce f(x,y) = \/x2 + y2 v bodě [3,4]. Pak
^982+4,052 = 73^+7pL=(2, 98-3)+7pL=(4, 05-4) = 5-^+^ = 5, 028.
* s s 1 02
Příklad 11. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte arctg jfg^-Nápověda. Zvolte funkci arctg ^,%o = yo = 1-Výsledek, f+ 0,035.
Příklad 12.  Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x,y) = x2 + xy + 2y2 v bodě
[x0,yo,z0] = [1,1,?].
Výsledek, zq = 4, 3x + 5y — z = 4.
3
Taylorův polynom
Příklad 13. Určete Taylorův polynom druhého stupně funkce f(x,y) = x4y + xy2 + x + 2 v bodě 1,1].
Příklad 14. Pomocí Taylorova polynomu 2. stupně přibližně vypočtěte y/2, 982 + 4, 052.
Řešení. Zvolíme funkci /(x, y) = \J x2 + y2, xq = 3, yo = 4. Pak
/(3,4) = 5,    & = f =    JL^, tudíž £(3,4) = |,   /£(3,4) = |.
Druhé derivace vychází takto:
/  2        2" 2^c^
__zvx +y _     y_ fii (o a\ _ u
Jxx x2+y2 (x2+y2)|'    J**^*> 125'
^2/ w/ /0 JN _ 12
(xz + y2) 2
Jxy    -,2,1(2^' J-^0'^ 125'
f// =_2V^r^      x2       f// /o 4n = J_
Jra x2+y2 (x2+y2)ľ J 125'
Taylorův polynom je tedy
T2(x,y) = 5 +       - 3) + -5(y - 4) + |[^(x - 3)2 - ^(x - 3)(y - 4) + A(y - 4)2].
Pak
V2,982 +4,052 = 5 + -(-0, 02) + -(0, 05) + — [16(-0, 02)2+
5 5 250
+2(-12)(-0, 02)(0, 05) + 9(0, 05)2] = 5, 0282116.
Na straně 1 jsme aproximací pomocí diferenciálu (uvědomme si, že to je totéž jako výpočet pomocí Taylorova polynomu 1. stupně) získali přibližnou hodnotu 5,028, přesná hodnota je 5, 028210417... Vidíme tedy, že s použitím pracnějšího výpočtu získáme výrazně přesnější hodnotu.
4