Matematika III, 3. cvičení V tomto cvičení se budeme věnovat extrémům funkcí více proměnných. Podobně jako u funkcí jedné proměnné, kde byla existence extrému diferencovatelné funkce v nějakém podmíněna nulovostí derivace v tomto bodě, je existence extrému funkce více proměnných podmíněna nulovostí všech parciálních derivací v tomto bodě. Další rozhodování o těchto bodech je jak uvidíme obtížnější. Prozkoumáme také Jacobiho matici zobrazení a její vztah k invertibilitě zobrazení. Lokální extrémy funkcí více proměnných Připomeňme, že pro funkci jedné proměnné /:I-íla její stacionární bod xq (tj. bod xq £ M, pro který platí /'(xq) = 0) platí: • je-li f"(xo) < 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální maximum, • pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální minimum, je /"(xq) > 0, • je-li f"(xo) > 0, má funkce / v bodě xq ostré lokální minimum, • pokud má funkce / v bodě xq neostré lokální maximum, je /"(xq) < 0. Pro jednoduchost budeme uvažovat funkci dvou proměnných /: M2 —> M, obecný případ pro funkci Wl —> M byl probrán na přednášce. Podobné tvrzení jako pro lokální extrémy funkcí jedné proměnné dostaneme pro funkce dvou (resp. více) proměnných: Nechť [xq, yo] je stacionární bod funkce /: M2 —> M (tedy platí f'x(xo,yo) = 0, fý(xo, y$) = 0) a nechť má tato funkce v nějakém okolí bodu [a;o>yo] spojité parciální derivace druhého řádu. Pak platí: má funkce / v bodě [a;o>yo] ostré lokální minimum, • Je-li fxX{xQ,yo) < 0 a det H/(xq, í/q) > 0, má funkce / v bodě [xq,í/o] ostré lokální maxi- • Je-li det H/(xq, yo) < 0, extrém v bodě [a;o>yo] nenastává, • V ostatních případech (tj. pokud det H/(xq, í/o) = 0), nic o extrému v bodě [xq, yo] nevíme, musíme použít různé triky. Dále platí, že funkce /: M2 —> M (platí to i pro funkce více než dvou proměnných) může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě nebo v bodě, kde alespoň jedna z parciálních derivací neexistuje. Příklad 1. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x3 + y3 — 3xy. Výsledek. Stacionární body jsou P\ = [0, 0], P2 = [1,1], v P\ není extrém, v P2 je ostré lokální minimum. • Je-li fxX(x0,y0) > 0 a mum. 1 Příklad 2. Určete lokální extrémy funkce j(x,y,z) =x + — H---h - 4x y z ležící v prvním oktantu (tj v části prostoru, káe jsou všechny tři souřaánice nezáporné) a určete jejich typ. Výsleáek. Jediný stacionární bod je [^,1,1], ve kterém je lokální minimum, neboť Hf = je pozitivně definitní např. podle Sylvestrova kritéria (an > 0, aiia22 — «12^21 > 0, det H f > 0). Příklad 3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x4 + y4 — x2 — 2xy — y2. Řešení Funkce, jejíž extrémy hledáme, je polynomem proměnných x, y, proto jsou její parciální derivace spojité v celém M2. Lokální extrémy mohou tedy nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic f'x = Ax3 -2x-2y = 0, f'y= 4y3 - 2x - 2y = 0. Odečtením rovnic dostaneme 4(x3 — y3) = 0, tj. (x — y)(x2 + xy + y2) = 0. Z první závorky plyne x = y, druhá závorka je nulová pouze pro x = y = 0, neboť pokud ji budeme uvažovat jako kvadratickou rovnici s proměnnou x, její diskriminant — 3y2 bude nezáporný pouze pro y = 0 a v tomto případě vyjde x = 0. Tento případ x = y = 0 je však již zahrnutý v prvním případě x = y. Dosazením x = y do obou rovnic výše uvedené soustavy dostaneme stejnou rovnici 4x3 — Ax = 0, tj. 4x(x + l)(x — 1) = 0, tj. x = 0, x = 1, x = —1. Dostáváme tři stacionární body: Pi = [0,0], P2 = [l,l], P3 = [-!,-!]• Parciální derivace druhého řádu jsou f'J.x = 12x2—2, f"y = —2, fy = 12y2—2, tudíž det Hf(x, y) = (12x2 - 2){\2y2 - 2) - 4. Protože detfř/(l,l) = det Hf(-1,-1) = 96 > 0 a f'x'x(l, 1) = fxx( — l, —1) = 10 > 0, má funkce / v obou stacionárních bodech P2, P3 ostré lokální minimum. Pro stacionární bod P\ ale vychází det Hf{0, 0) = 0, takže o existenci extrému v tomto bodě zatím neumíme rozhodnout. Budeme tedy muset postupovat jiným způsobem: Jistě /(0, 0) = 0. Ukážeme-li, že funkce / nabývá v libovolném okolí bodu [0, 0] kladných i záporných hodnot, bude to díky faktu /(0, 0) = 0 znamenat, že v tomto bodě extrém nenastává. Funkci / si upravíme na tvar f(x,y) = x4 + y4 — (x + y)2). Volbou y = —x dostaneme f (x, —x) = 2x4 > 0 pro i/O. Jinou volbou y = 0 dostaneme f (x, 0) = x4 — x2 = x2 (x2 — 1) < 0 pro x G ( — 1,0) U (0,1). V libovolném okolí bodu [0,0] leží body [e,—e], [e, 0] pro dostatečně malé e > 0, přičemž f (e, —e) > 0 a f (e, 0) < 0, takže v bodě [0, 0] extrém nenastává. Výsleáek. Tři stacionární body: P\ = [0,0], P2 = [1)1]) P3 = [— 1) — !]• V P\ extrém nenastává, v obou bodech P2, P3 má funkce / ostré lokální minimum. Příklad 4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = xyln(x2 + y2). Výsleáek. J X 2x ln{x2+y2) + XZ _|_ yZ f' J V 2y 2 ln{xz+yz) + XZ _|_ yZ 2 stacionární body jsou Pi,2 = [0,±l], P3,4 = [±l,0], P5-8 = [±1/V2e~,±l/V2e~]. Dále 2xy(x2 + 3y2) 2 2, 4x2y2 2xy(3x2 + y2) (x2_|_y2)2 ' Jxy V Ť» '+ ^x2_)_y2-)2' ■'TO (a;2 + y2)2 ' det íř/(Pi_4) = det (2 0) = —4 < ^' tudíž v bodech P1-4 není extrém. Pro P5 = [1/v^i, l/V2e\ a P6 = [-1/v^, -1/v^] je /^(i^e) = 2 > 0, det P7(P5,6) = 4 > 0, tudíž v bodech P5, Pg je ostré lokální minimum. Pro P7 = [1/V2Í, -1/V2Í] a P8 = [-l/v^, 1/V2Í] je j^(P7,8) = -2 < 0, det F/(P5,6) = 4 > 0, tudíž v bodech P7, P8 je ostré lokální maximum. Jacobiho matice zobrazení z IR2 do IR2 a jeho inverze Nechť P = (f, g) : M2 —> M2 a předpokládejme, že funkce /, 5 (tj. složky zobrazení P) mají v bodě [xo,yo] spojité parciální derivace a že Jacobiho matice P'(xo,yo) = (^(^°'^°) g^(x0'ž/o)) zobrazení P v bodě [xo,yo] Je regulárni, tj. det P'(xo, yo) 7^ 0 (det F'(xq, yo) se nazývá jacobián zobrazení P v bodě [xq, í/o])- P&k existuje okolí bodu [xq, í/o], v němž je zobrazení P prosté, tudíž k němu existuje inverzní zobrazení P-1 v okolí bodu P(a?o,yo), a pro Jacobiho matici tohoto inverzního zobrazení v bodě [íío,í/o] = F(xo,yo) platí (P_1)'(uo> vq) = [F'(xq, í/o)]_1- Příklad 5. Rozhodněte, zda je zobrazení F = (/, g) : M2 —> M2, kde f (x, y) = x2 — y2, g(x, y) = 2xy (tj. zobrazeni z 1—> z2, uvažujeme-li F jako zobrazení C —> C), prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V případě, že ano, určete Jacobiho matici inverzního zobrazení v bodě P(2,l). Řešení. F'(x, y) = ( ^ ~ll) , F'(2,1) = (\~\) , det P'(2,1) = 16 + 4 / 0, tudíž v nějakém okolí bodu [2,1] je P prosté. Dále P(2,1) = [3, 4], -íwo^-wom-i-í4 _2\ 1 / 4 2 í _ / V5 1/10 r'm^iriuiľ'^;-;)"1-,,^ 47 - v-1/10 i/5 Výpočet inverzní matice k regulárni matici A = (" ^) je snadný, neboť A^1 = Výsledek. detP'(2,1) = 20 7^ 0, tudíž v nějakém okolí bodu [2,1] je P prosté. Dále -IV,•> „i _ ŕ 1/5 1/10 (^M-V-l/lO 1/5 Příklad 6. Rozhodněte, zda je zobrazení F = (f,g) : M2 —> M2, fceře f(x,y) = xy,g(x,y) = |, prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. V kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazení F-1 v bodě F'(2,1). Výsledek. detP'(2,1) = —4 7^ 0, tudíž P je prosté v nějakém okolí bodu [2,1]. Dále Příklad 7. Rozhodněte, zdaje zobrazení F = (f, g) : M2 —> M2, Me /(x, y) = \J x2 + í/2, 5(2;, y) = xy, prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. K kladném případě určete Jacobiho matici inverzního zobrazeníF1-1 í; 6oŕíe P(0,1). 3 Výsledek. detF'(0,1) -1 7^ O, tudíž F je prosté v nějakém okolí bodu [0,1]. Dále (F-1)'(i,o) = (J l Příklad 8. Spočítejte jacobián funkce F, která je transformací dvou proměnných do polárních souřadnic, a příslušné inverzní transformace. Nápověda. Funkce F je definována následujícím způsobem: [x, y] i—> V1 x2 + y2, arctg — pro x > 0, L x\ [x, y] \Jx2 + y2,7t + arctg - pro x < 0, [0, y] >->• |y, - sgn(y) Z polárních souřadnic nazpět je to i7 1 : [r, [r cos