23. října 2018, Skupina D
Příklad l.(2b.) Určete a v rovině načrtněte defíniční obor funkce f : IR2 —y IR
Jx~y
Vyznačte, které části hranice defíničního oboru do ní patří či nepatří.
Řešení, souřadnice x a, y musí mít stejná znaménka a je třeba vyjmout bodu hyperboly xy = ±1. □
Příklad 2. (3b) Ukažte, že implicitní předpis
x3 - y2 = 2
zadává jedinou funkci x = x{y) pro všechna reálná y. Pomocí implicitního popisu spočtěte derivaci x' a určete, kde je tato funkce rostoucí a kde klesající.
Řešení, x3 — 2 musí být nezáporné, pak y = ±\/x3 — 2, což dává hledanou funkci, nejlépe načrtnout. Zbytek dle znaménka derivace. Nebo jde i přímo spočíst derivaci pro obecné y a z toho určit, že funkce klesá pro záporné a roste pro kladné, v nule se dopočítá a máme celou funkci. □
Příklad 3. (5b.) Určete lokální extrémy funkce f : IR2 —y IR,
f(x, y) = x2 + xy2 + {x — 2)2 na IR2. Popište i chování funkce pro veliké hodnoty x nebo y.
Řešení. Nalezení tří stacionárních bodů [1,0], [0,2], [0,-2] - 1.5 bodu. Sestavení matice druhých derivací - 1 bod. Jediný extrém je minimum ([1,0]), další body sedlové - 1.5 bodu. Zbyly bod za nejaky popis limitních hodnot. □
1