Řešení 10. dobrovolného domácího úkolu
1. Není podokruh, ale je ideál.
2. Maximální jsou ty, které jsou generované prvočíslem. Jediný prvoideál, který není maximální, je zde {0}.
3. Vezměme polynomy f,g g Z[rr] takové, že f ■ g E I. Polynom, který vznikne součinem / • g označme jako h. Předpokládejme, že by oba z polynomů f a, g měly nějaký lichý koeficient a ukážeme, že dojdeme ke sporu. Nechť
n+m
i=0 i=0 i=0
f = ^2 clíx\ g = ^2 bix\ h = ^
Pak platí pro Ví g {1, 2,..., n + m}, že
j+k=i
Nyní označme i f (respektive ig) nejmenší takové i, pro které je koeficient a« v polynomu / lichý (respektive koeficient 6j v polynomu g). Pak platí, že cíf+íg Je také lichý koeficient a tedy polynom h nepatří do ideálu I. (V sumě
Yl aihk-
j + k=Íf+Íg
jsou sudé všechny sčítance kromě difbig, který je lichý. Celý součet je proto také lichý.)
1