IV120 Spojité a hybridní systémy Definice dynamického systému Spojité dynamické systémy David Šafránek, Jiří Barnat, Jana Dražanová IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém • veličiny dynamického systému jsou funkcí času (tzv. signály) • čas je reprezentován množinou časových okamžiků T (např. R, R+ , N0, Z) • v daném okamžiku t ∈ T: – na systém působí vstupní veličina (signál) u(t) – výstupem je výstupní veličina (signál) y(t) • vstupní i výstupní veličina jsou obecně vektorové u(t) = [u1(t), ..., ur(t)]T y(t) = [y1(t), ..., ym(t)]T 1/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém • přípustné hodnoty vstupních veličin tvoří množinu U – typicky bývá (z fyzikálních důvodů) ohraničená, uvažuje se jako vektorový prostor • vstupní signál je definován jako funkce u(t) : T → U • matematické a fyzikální požadavky kladené na systém mohou omezit volbu vstupních signálů, proto se zavádí třída přípustných vstupů = {u(t) : T → U} • analogicky je definována množina přípustných hodnot výstupních veličin Y (vektorový prostor) a třída přípustných výstupních signálů = {y(t) : T → Y} 2/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém • paměťová vlastnost dynamického systému: hodnota y(t) nezávisí pouze na aktuální hodnotě u(t), ale také na předcházejícím průběhu vstupní veličiny • k oddělení minulého od současného zavádíme klíčový pojem stav systému • stav systému v čase t ∈ T je určen vektorem vnitřních (stavových) veličin x(t) x(t) = [x1(t), x2(t), ..., xn(t)]T • znalost výchozího stavu x(t0) v čase t0 a znalost vstupu u(t) na intervalu t0 ≤ t ≤ t1 jednoznačně určuje výstup y(t) na tomto časovém intervalu 3/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Definice Dynamický systém ≡ (T, X, U, , Y, , φ, g) • T je uspořádaná množina časových okamžiků splňující vlastnosti pologrupy, • X je množina stavů (množina vektorů reprezentujích hodnoty vnitřních veličin), • U (resp. Y) je množina vektorů okamžitých hodnot vstupních (resp. výstupních) veličin, • je třída přípustných vstupních signálů splňující: 1. = 2. je uzavřena na sjednocení • je třída přípustných výstupních signálů 4/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Definice • φ je přechodová funkce tvořící stavy x(t): x(t) ≡ φ(t, τ, x(τ), u) Význam: Systém je ve stavu x(t) v čase t ∈ T, pokud v čase τ ∈ T byl ve stavu x(τ) ∈ X a jestliže vstupní signál u působil na intervalu 〈τ, t). • φ splňuje následující vlastnosti: 1. orientace času: φ(t, τ, x, u) je definována pro vš. t ≥ τ (nemusí být def. pro t < τ) 2. identita: ∀t ∈ T, x ∈ X, u ∈ U. φ(t, t, x(t), u) = x(t) 3. ∀t1 ≤ t2 ≤ t3, x ∈ X, u ∈ . φ(t3, t1, x, u) = φ(t3, t2, φ(t2, t1, x, u), u) 4. kauzalita: je-li u, ¯u ∈ a u(t) = ¯u(t) na intervalu t1 ≤ t ≤ t2, pak φ(t2, t1, x, u) = φ(t2, t1, x, ¯u) • g je výstupní zobrazení splňující y(t) = g(x(t), u(t), t). 5/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Definice • systém je ryze dynamický pokud platí: y(t) = g(x(t), t) • událost systému je dvojice (t, x(t)) pro t ∈ T, x ∈ X • událost okolí je dvojice (t, u(t)) pro t ∈ T, u ∈ U • pro neřízený (volný) systém platí = {0} • n nazýváme dimenzí (řádem) systému , zn. dim( ) = n, pokud existuje n ∈ N, t.ž. X je množina vektorů dimenze n, pro lib. t ∈ T. x(t) = [x1(t), ..., xn(t)] ∈ X • systém nazýváme spojitý (resp. diskrétní), pokud T je spojitá (resp. diskrétní) množina • systém je konečněstavový pokud X je konečná množina 6/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Reverzibilnost • dynamický systém je reverzibilní, pokud φ(t, τ, x, u) definována pro vš. t, τ ∈ T • tedy zejména známe-li φ(t, τ, x, u), pak známe také φ(τ, t, x, u) • systémy jejichž přechodová funkce nezávisí na čase jsou typicky reverzibilní – např. systém logistického růstu, kinetika enzymů, výrobní linka, kyvadlo (obrácení znaménka vývoje, směru přechodů) – reverzibilitu lze pozorovat i u skákajícího míčku, termostatu (navíc nutno invertovat význam diskrétních událostí) ... • upozornění – pojem reverzibility je používán v jiném kontextu s jiným významem (např. reverzibilní Petriho síť) 7/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Stacionárnost • dynamický systém je stacionární (t-invariantní), pokud platí: – T tvoří aditivní grupu (uzavřenost na sčítání) – je uzavřena vůči posunutí v čase zν : u → ¯u: ∀t, ν ∈ T. ¯u(t) = u(t + ν) = zν (u(t)) – platí: φ(t, τ, x(τ), u) = φ(t + ν, τ + ν, x(τ + ν), zν (u)) • aktivita stacionárního systému nezávisí na výchozím okamžiku – nerozlišíme mezi lib. dvěma různými pozorováními systému – např. konstantní zesilovač signálu, kyvadlo v klidové poloze, ustálený logistický růst – výrobní linka je příkladem nestacionárního systému – většina přírodních systémů není stacionární, ale může se dostat do tzv. stacionární fáze 8/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Linearita • systém je lineární pokud – X, U, , Y, jsou vektorové prostory – φ(t, τ, ., .) : X × U → X je lineární zobrazení pro vš. t, τ ∈ T – g(., ., t) : X × U → Y je lineární zobrazení pro vš. t ∈ T • systém je nelineární pokud je lineárnost alespoň jednoho zobrazení z přech. definice porušena 9/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Hladkost • dynamický systém je hladký, pokud platí: – T = R – zobrazení (τ, x, u) → φ(., τ, x, u) je spojité zobrazení mapující prvky T × X × na prostor spojitých funkcí T → X • vývoj stavu (aktivita) je spojitou funkcí času pro libovolný vstupní signál • hladký systém lze popsat diferenciální rovnicí (někdy se hovoří o diferenciálních dynamických systémech) • srovnej se skákajícím míčkem 10/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Tvořící funkce • pro hladké systémy definujeme tvořící funkci f: φ(t + Δt, t, x, u) = x(t + Δt) = x(t) + f(x, u, t)Δt + ε(Δt) kde – Δt je malý časový okamžik – změna stavu za Δt je lineární funkcí Δt – ε(Δt) je chyba druhého řádu (z Taylorova rozvoje) • vyjádříme změnu stavu: x(t + Δt) − x(t) Δt = f(x, u, t) + ε(Δt) Δt • pro Δt → 0 dostáváme stavovou rovnici dx dt = f(x, u, t) 11/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Autonomní tvořící funkce • pro stacionární systém platí: φ(t + Δt, t, x(t), u) = φ(t + Δt + ν, t + ν, x(t + ν), u) • pokud x(t) = x(t + ν) potom: f(x(t), u, t) = f(x(t + ν), u, t + ν) Tvořící funkce je tedy nezávislá na čase, hovoříme o autonomní tvořící funkci. Zkráceně píšeme f(x, u). 12/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Operátor toku • tvořící funkce definuje rychlost toku (změnu stavu) pro každou vnitřní veličinu ve vektoru x • lze definovat operátor toku t jako zobrazení přiřazující výchozímu stavu x(0) hodnotu v čase t (x(t)): x(t) = t(x(0)) • z definice  a vlastností dynamického systému plyne: – s+t(x) = s(t(x)) – t(−t(x)) = 0(x) = x – −1 t = −t • inverzní operátor toku definuje stav systému v minulosti 13/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Stavové rovnice systému ˙x(t) = f(x, u, t) y(t) = g(x, u, t) • u ... řídící vektor, • x ... stavový vektor, • y ... výstupní vektor • pokud je f, g nelineární funkce, hovoříme o nelineárním spojitém dynamickém systému 14/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Stavové rovnice lineárního systému ˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) • A(t) ... matice systému (rozměr n × n) • B(t) ... matice řízení (rozměr m × m) • C(t), D(t) ... výstupní matice (rozměry m × n a m × r) • pokud je systém stacionární, jsou matice A, B, C, D nezávislé na čase • pro striktně ryzí systém je matice D nulová 15/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Blokové schema 16/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – exponenciální růst • T = R+ 0 • = {0} • X = Y = R+ 0 • y(t) = x(t) (tím je určeno výstupní zobrazení g) • ˙x(t) = f(x, u, t) = αx(t) • systém je automní a neřízený, lze tedy psát f(x) = αx • systém je zjevně lineární a striktně ryzí • řešení: x(t) = ceαt pro počáteční podmínku x(0) = c 17/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – exponenciální růst • maticový zápis: ˙x(t) = Ax(t) y(t) = Cx(t) • A = (α) • B = D = 0 • C = E 18/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – logistický růst • T = R+ 0 , = {0}, X = Y = R+ 0 • y(t) = x(t) (tím je určeno výstupní zobrazení g) • ˙x(t) = f(x, u, t) = rx(t)(1 − x(t)) • systém je automní a neřízený, lze tedy psát f(x) = rx(1 − x) = rx − rx2 • systém je zjevně nelineární a striktně ryzí • řešení: x(t) = c c+(1−c)e−rt pro poč. podmínku x(0) = c 19/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – stejnosměrný motor • dynamika popsána soustavou rovnic: u = Ri + L di dt + kω ki = Jdw dt + mz dφ dt = ω • u(t) ... napětí na kotvě motoru • i(t) ... proud kotvy • ω(t) ... úhlová rychlost hřídele • φ(t) ... poloha hřídele • mz(t) ... zatěžovací moment hřídele • k, J ... momentová konst., moment setrvačnosti hřídele • R, L ... odpor a indukčnost kotvy 20/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – stejnosměrný motor • rovnice lze transformovat do stavového tvaru: di dt = − R L i − k L ω + 1 L u dω dt = k J i − 1 J mz dφ dt = ω • stavové veličiny: i(t), ω(t), φ(t) • vstupní (řídící) veličiny: u(t), mz(t) • výstupní veličina: y(t) = φ(t) 21/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Dynamický systém Příklady – stejnosměrný motor Maticový zápis: A = ⎡ ⎢ ⎣ − R L − k L 0 k J 0 0 0 1 0 ⎤ ⎥ ⎦ B = ⎡ ⎢ ⎣ 1 L 0 0 − 1 J 0 0 ⎤ ⎥ ⎦ C = [︁ 0 0 1 ]︁ D = [︁ 0 0 ]︁ 22/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Hladké autonomní dynamické systémy Základní vlastnosti Funkce f : D → R, D ⊂ R, je nazývána Lipschitz-spojitá právě když existuje κ > 0 t.ž. pro všechna x, y ∈ D platí: |f(x) − f(y)| ≤ κ|x − y| Picard-Lindelövova věta Nechť f : D → R je Lipschitz-spojitá a nechť x0 ∈ D. Potom existuje ε > 0 t.ž. iniciální problém dx dt = f(x), x(0) = x0 má právě jedno řešení x(t) pro všechna 0 ≤ t ≤ ε. 23/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Hladké automní dynamické systémy Základní vlastnosti • libovolná dvě řešení pro libovolné dva různé iniciální problémy mají prázdný průnik • výsledek lze přímo zobecnit na systémy rovnic • zejména každá funkce, která je spojitá a v každém bodě existuje její derivace, je Lipschitz-spojitá • tedy hladký dynamický systém má vždy Lipschitz-spojitou tvořící funkci 24/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Hladké autonomní dynamické systémy Vícedimenzionální systémy • dimenze systému n, uvažujeme stavový prostor X = R+n 0 • stav je vektor x(t) = 〈x1(t), x2(t), ..., xn(t)〉T ∈ • f(x(t)) = 〈f1(x(t)), f2(x(t)), ..., fn(x(t))〉T • ∀i. fi(x(t)) spojitá a diferencovatelná na X • soustava: d dt ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x1 . . . xn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ f1(x1, ..., xn) . . . fn(x1, ..., xn) ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 25/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Hladké autonomní dynamické systémy Fázový portrét • fázový portrét je dán pro danou množinu iniciálních podmínek soustavou parametrických křivek (trajektorií) • každý bod fázového prostoru náleží právě jedné trajektorii • trajektorie mají prázdný průnik 26/27 IV120: Definice dynamického systému, spojité dynamické systémy David Šafránek Hladké autonomní dynamické systémy Fázový portrét 27/27