2. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 28. 11.
SKUPINA A
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 bodu) Podmnožina M C IR3,
M = {(x, y, z) e R3 | x2 + y2 < 4, z < 6, z > \{x2 + y2) },
je rotační oblast (tento fakt nedokazujte).
a) Určete osu rotace a načrtněte průnik množiny M s rovinou y = 0.
b) Určete objem oblasti M.
2. (4.5 bodu)
a) Popište všechna řešení diferenciální rovnice y" + 3y' — Ay = 0.
b) Najděte obecné řešení diferenciám rovnice y" + 3y' — Ay = 8(x — l)2.
c) Určete řešení rovnice y"+3y' — 4y = 8(x — l)2 splňující počáteční podmínky y(0) = — ^ a y'(0) = 0.
3. (2 body) Máme tři urny s míčky:
— v urně I. je jeden černý, dva bílé a tři červené míčky,
— v urně II. je jeden černý, jeden bílý a dva červené míčky,
— v urně III. je dva černé, dva bílé a dva červené míčky.
Náhodně vybereme jednu z těchto uren a z ní tři míčky (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že byla vybrána druhá urna, jestliže tři vybrané míčky byly různých barev.
2. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 28. 11.
SKUPINA B
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 bodu) Podmnožina M C IR3,
M = {(x,y,z) G M3 | x2 + y2 < 16, z > -1, z<x2 + y2}, je rotační oblast (tento fakt nedokazujte).
a) Určete osu rotace a načrtněte průnik množiny M s rovinou y = 0.
b) Určete objem oblasti M.
2. (4.5 bodu)
a) Popište všechna řešení diferenciální rovnice y" + 3y' — 10y = 0.
b) Najděte obecné řešení diferenciám rovnice y" + 3y' — 10y = 10x2 + lAx + 24.
c) Určete řešení rovnice y" + 3y' — 10y = 10x2 + lAx + 24 splňující počáteční podmínky y(0) = -^až/(0) = 0.
3. (2 body) Studenti tří oborů (matematiky, fyziky a informatiky) jsou rozmístěni v učebnách A, B a C následovně:
— v učebně A jsou tři studenti matematiky, jeden student fyziky a jeden student informatiky,
— v učebně B jsou dva studenti matematiky, dva studenti fyziky a dva studenti informatiky,
— v učebně C je jeden student matematiky, dva studenti fyziky a dva studenti informatiky.
Náhodně vybereme jednu z těchto učeben a z ní tři studenty (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že byla vybrána učebna B, jestliže tři vybraní studenti byli z různých oborů.
2. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 28. 11.
SKUPINA C
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 bodu) Podmnožina M C IR3,
M = {(x,y,z) G M3 | x2 + y2 < 4, z < 3, z > -2(x2 + y2) },
je rotační oblast (tento fakt nedokazujte).
a) Určete osu rotace a načrtněte průnik množiny M s rovinou y = 0.
b) Určete objem oblasti M.
2. (4.5 bodu)
a) Popište všechna řešení diferenciální rovnice y" + Ay' — 5y = 0.
b) Najděte obecné řešení diferenciání rovnice y" + Ay' — 5y = 25(x — l)2.
c) Určete řešení rovnice y" + Ay' — 5y = 25(x — l)2 splňující počáteční podmínky y(0) = -fa#) = 3-
3. (2 body) Máme tři urny s míčky:
— v urně I. je jeden černý, jeden bílý a dva červené míčky,
— v urně II. je dva černé, dva bílé a dva červené míčky,
— v urně III. je jeden černý, dva bílé a tři červené míčky.
Náhodně vybereme jednu z těchto uren a z ní tři míčky (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že byla vybrána třetí urna, jestliže tři vybrané míčky byly různých barev.
2. vnitrosemestrální písemka - MB203 - podzim 2019 - 28. 11.
SKUPINA D
Na řešení je 60 minut. Pište jen na přední strany listů. (Zadní strany nebudou opraveny ani skenovány.) Veškeré odpovědi musí být zdůvodněny a výpočty musí být doprovozeny komentářem. (Řešení sestávající pouze z odpovědí budou považována za opsaná a hodnocena 0 body.)
1. (3.5 bodu) Podmnožina M C IR3,
M = {(x,y,z) eť \ x2 + y2 < 1, z > -2, z < -\(x2 + y2) }, je rotační oblast (tento fakt nedokazujte).
a) Určete osu rotace a načrtněte průnik množiny M s rovinou y = 0.
b) Určete objem oblasti M.
2. (4.5 bodu)
a) Popište všechna řešení diferenciální rovnice y" + 2y' — 8y = 0.
b) Najděte obecné řešení diferenciám rovnice y" + 2y' — 8y = 16(x + l)2.
c) Určete řešení rovnice y" + 2y' — 8y = 16(x + l)2 splňující počáteční podmínky y(0) = -f ai/(0) = -3.
3. (2 body) Studenti tří oborů (matematiky, fyziky a informatiky) jsou rozmístěni v učebnách A, B a C následovně:
— v učebně A jsou dva studenti matematiky, dva studenti fyziky a dva studenti informatiky,
— v učebně B je jeden student matematiky, dva studenti fyziky a dva studenti informatiky,
— v učebně C jsou tři studenti matematiky, jeden student fyziky a jeden student informatiky.
Náhodně vybereme jednu z těchto učeben a z ní tři studenty (bez vracení). Určete pravděpodobnost, že byla vybrána učebna B, jestliže tři vybraní studenti byli z různých oborů.
Řešení a bodování
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina A:
1. a) [lb] Množina M je část válce s osou z o poloměrem 2, která je zespoda ohraničená paraboloidem
z = \(x2 + y2) a seshora ohraničená rovinou z = 6. Osa rotace je osa z, [0.5b], a průnik s rovinou y = 0 je oblast mezi přímkami x = —2 a x = 2 zespoda ohraničená parabolou z = -^x2 a seshora ohraničená přímkou z = 6, [0.5b].
b) [2.5b] Použijeme válcové souřadnice, tj. provedeme transformaci do polárních souřadnic (x,y) = (r cos ip, r sin ip), přičemž z-tová souřadnice se nemění. Tedy budeme integrovat přes oblast nových proměnných
0<(P<2tt,   0<r<2   a   ^(x2 + y2) < z < 6, [0.5b]. Determinant z Jacobiho matice je r, [0.5b], takže hledaný objem V je
V = dxdydz = I      /      /        rdzdrdp = I /     dp \ I /    r(6 — |r2)dr
=27r[-|r4 + 3r2]2Q = 2tt • 10 = 20tt, [0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
2. a) [ 1 b] Diferenciální rovnice y" + 3y' — 4y = 0 má charakteristický polynom A2 + 3A — 4 = (A + 4) (A — 1),
[0.5b], který má kořeny —4 a 1. Tedy řešení jsou tvaru Cie~4x + C^e2-', C\, C2 G R, [0.5b].
b) [2.5b] Rovnice je y" + 3y' — 4y = 8(x — l)2 má pravou stranu 4(x + l)2 = 8x2 — Í6x + 8, což je polynom stupně dva - partikulární řešení yp(x) tedy budeme hledat ve tvaru polynomu stupně dva, [0.5b]. (Přesněji, pravá strana je tvaru 8(x2 — 2x + 1) • e0x, kde 0 nem kořenem charakteristického polynomu.) Tedy yp(x) = ax2 + bx + c, tj. y'p(x) = 2ax + b a yp(x) = 2a, což po dosazení do rovnice dává
2a + 3(2ax + b) - 4(ax2 + bx + c) = -4ax2 + (6a - 46)x + (2a + 3b - 4c) = 8x2 - Í6x + 8,
[0.5b]. Porovnáním koeficientů polynomů dostaneme soustavu rovnic —4a = 8, 6a — 4b = —16, 2a + 36 — 4c = 8, [0.5b], která má řešení a = —2, b = 1, c = — |, [0.5b]. Tedy hledané partikulární řešení je yp(x) = —2x2 + x — | a obecné řešení je, [0.5b],
y(x) = Cie-4x + C2ex -2x2+x-l,    d, C2 G R.
c) [lb] Použitím počátečních podmínek pro y(x) = Cie~4x + C^e2' — 2x2 + x — | dostaneme
y(0) = C1 + C2-|=-f   a   y'(0) = -4C1+C2 + l = 0,
[0.5b]. Tato soustava rovnic má řešení C\ = 0 a C2 = —1, tedy hledané řešení je y(x) = —ex — 2x2 + 9
4'
x-l [0.5b]
3. Pracujeme s jevem A, že budou vytaženy míčky různých barev, a také budeme potřebovat jevy Ui, že k výběru byla zvolena urna číslo i e {1, 2, 3}. Chceme určit P{U2\A). Platí P{Ui) = | a použijeme vztah
P(^2|A) = ^MM, [0.5b]. Platí
P(A) =P(A|Č71)P(Č71) + P(A\U2)P(U2) + P(A\U3)P(U3)
_ 6    1     21     8 1_12_2 ~2Ô '3 + I'3 + 2Ô'3~3Ô~5' [0.5b za postup a 0.5b za výsledek]. Tedy
P(t/2|A)--P(Ä)-- — - f - 12'
[0.5b].
6 1 2 1 8 1 (I)'3+(I)'3+(|)'3
Řešení a bodování
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina B:
1. a) [lb] Množina M je část válce s osou z o poloměrem 4, která je zespoda ohraničená rovinou z = — 1 a seshora ohraničená paraboloidem z = x2 + y2. Osa rotace je osa z, [0.5b], a průnik s rovinou y = 0 je oblast mezi přímkami x = —4 a x = 4 zespoda ohraničená přímkou z = — 1 a seshora ohraničená parabolou z = x2, [0.5b].
b) [2.5b] Použijeme válcové souřadnice, tj. provedeme transformaci do polárních souřadnic (x,y) = (r cos ip, r sin ip), přičemž z-tová souřadnice se nemění. Tedy budeme integrovat přes oblast nových proměnných
0<(p<2iľ,    0<r<4   a    - 1 < z < x2 + y2, [0.5b]. Determinant z Jacobiho matice je r, [0.5b], takže hledaný objem V je
v=u;     , , ,
' M Jíp=0 Jr=0 Jz=—l
=2tí [±r4 + \r2\l = 2tí • 72 = 144tí, [0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
a) [lb] Diferenciální rovnice y"+3y' — ÍOy = 0 má charakteristický polynom A2+3A—10 = (A+5)(A —2), [0.5b], který má kořeny —5 a 2. Tedy řešení jsou tvaru Cie~5x + C2e2x, C\, C*2 G R, [0.5b].
b) [2.5b] Rovnice je y" + 3y' — ÍOy = Í0x2 + Í4x + 24 má pravou stranu 10x2 + Í4x + 24, což je polynom stupně dva - partikulární řešení yv{x) tedy budeme hledat ve tvaru polynomu stupně dva, [0.5b]. (Přesněji, pravá strana je tvaru (10x2 + 14x + 24) • e0x, kde 0 nem kořenem charakteristického polynomu.) Tedy yp(x) = ax2 + bx + c, tj. y'p(x) = 2ax + b a y'p'{x) = 2a, což po dosazení do rovnice dává
2a + 3(2ax + b) - 10(ax2 + bx + c) = -10ax2 + (6a - 106)x + (2a + 36 - 10c) = 10x2 + 14x + 24,
[0.5b]. Porovnáním koeficientů polynomů dostaneme soustavu rovnic —10a = 10, 6a — 106 = 14,
"k n
řešení je yp(x) = —x2 — 2x — ^ a obecné řešení je, [0.5b],
dxdydz = /      /      /       rdzdrdp = (        d(p) (       r(r2 + l)dr) =
Jv=0 Jr=0 Jz=-1 \Jp=0       ' \Jr=0 '
2a + 36— 10c = 24, [0.5b], která má řešení a = —1, 6 = —2, c = — ^p, [0.5b]. Tedy hledané partikulární
y(x) = de-5x + C2e2x -x2-2x-f,    d, C*2 G M.
c) [lb] Použitím počátečních podmínek pro y(x) = C\e~^x + C2&2x — x2 — 2x — ^ dostaneme
y(0) = C1 + C2-f = a   y'(0) = -5C1+2C2-2 = 0,
[0.5b]. Tato soustava rovnic má řešení C\ = 0 a C2 = 1, tedy hledané řešení je y(x) = e2x— x2—2x— [0.5b].
3. Pracujeme s jevem D, že budou vybráni studenti různých oborů, a také budeme potřebovat jevy U a, Ub a Uc, že k výběru byl zvolena učebna A, B nebo C. Chceme určit P(Ub\D). Platí P(Ua) = P(Ub) =
P(UC) = | a použijeme vztah P(UB\D) = P(DlpfDP)(UB\ [0.5b]. Platí
3    18 14
P(I>) =P(I>|tfA)P(tfA) + P(I>|tfB)P(tfB) + P(D\Uc)P(Uc) = -^-3 + -^-š + -^-3
_ 3    1     8    1     4   1 _ 11 ~IÔ '3 + 2Ô'3+lÔ"3_ 30' [0.5b za postup a 0.5b za výsledek]. Tedy
8 i
P(UB\D)
[0.5b].
P(D\UB)P(UB) = fíT£ = é = ± P(Z?) ii        11 lť
Řešení a bodování
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina C:
1. a) [lb] Množina M je část válce s osou z o poloměrem 2, která je zespoda ohraničená paraboloidem
z = —2(x2 + y2) a seshora ohraničená rovinou z = 3. Osa rotace je osa z, [0.5b], a průnik s rovinou y = 0 je oblast mezi přímkami x = —2 a, x = 2 zespoda ohraničená parabolou z = —2x2 a seshora ohraničená přímkou z = — 1, [0.5b].
b) [2.5b] Použijeme válcové souřadnice, tj. provedeme transformaci do polárních souřadnic (x,y) = (r cos p, r sin p), přičemž z-tová souřadnice se nemění. Tedy budeme integrovat přes oblast nových proměnných
0<p<2iľ,    0<r<2   a    - 2(x2 + y2) < z < 3, [0.5b]. Determinant z Jacobiho matice je r, [0.5b], takže hledaný objem V je
V = ííí dxdydz = í     í     í        rdzdrdp = ( f    dp\ ( í    r(3 + 2r2)dr \ =
JJjM Jip=0 Jr=0 Jz=-2r2 ^Jip=0      ' Vr=0 '
=2tt [±r4 + |r2] \ = 2tt ■ 14 = 28tt, [0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
2. a) [ 1 b] Diferenciální rovnice y" + 4y' — 5y = 0 má charakteristický polynom A2 + 4A — 5= (A + 5) (A — 1),
[0.5b], který má kořeny —5 a 1. Tedy řešení jsou tvaru Cie~5x + C^e2-', C\, C*2 G R, [0.5b].
b) [2.5b] Rovnice je y" + 4y' — 5y = 25(x — l)2 má pravou stranu 25(x — l)2 = 25x2 — 50x + 25, což je polynom stupně dva - partikulární řešení yp(x) tedy budeme hledat ve tvaru polynomu stupně dva, [0.5b]. (Přesněji, pravá strana je tvaru 25(x — l)2 • e0x, kde 0 nem kořenem charakteristického polynomu.) Tedy yp(x) = ax2 + bx + c, tj. y'p(x) = 2ax + b a yp(x) = 2a, což po dosazení do rovnice dává
2a + 4(2ax + b) - 5(ax2 + bx + c) = -5ax2 + (8a - 5b)x + (2a + 4b - 5c) = 25x2 - 50x + 25,
[0.5b]. Porovnáním koeficientů polynomů dostaneme soustavu rovnic —5a = 25, 8a — 5b = —50, 2a + 4b — 5c = 25, [0.5b], která má řešení a = —5, b = 2, c = — 4p, [0.5b]. Tedy hledané partikulární řešení je yp(x) = —hx2 + 2x — 4? a obecné řešení je, [0.5b],
y(x) = Cie-5x + C2ex - hx2 + 2x - f, d,C2eR.
c) [lb] Použitím počátečních podmínek pro y(x) = C\e~bx + C2ex — hx2 + 2x — 4? dostaneme
5
y(0) = C1+C2-f = -f   a   2/'(0) = -5Ci+C2 + 2 = 3,
[0.5b]. Tato soustava rovnic má řešení C\ = 0 a C*2 = 1, tedy hledané řešení je = ex—5x2+2x— ^ [0.5b].
3. Pracujeme s jevem A, že budou vytaženy míčky různých barev, a také budeme potřebovat jevy Ui, že k výběru byla zvolena urna číslo i e {1, 2, 3}. Chceme určit P(U^\A). Platí P(Ui) = | a použijeme vztah
PW = ™, [0.5b]. Platí
p(a)
P(A) =P(A|Č71)P(Č71) + P(A\U2)P(U2) + P(A\U3)P(U3)
_2   1     8    1     6    1 _ 12 _ 2 _4'3 + 2Ô'3 + 2Ô'3_3Ô_5' [0.5b za postup a 0.5b za výsledek]. Tedy
2 1 8 1 6 1 (I)'3+(I)'3+(|)'3
P(U3\A)
[0.5b].
Řešení a bodování
Popsané bodování používá i půlbody. Počet bodů, který vidíte v naskenovaném opraveném řešení, je desetinásobkem počtu skutečných bodů.
Skupina D:
1. a) [lb] Množina M je část válce s osou z o poloměrem 1, která je zespoda ohraničená rovinou z = —2
a seshora ohraničená paraboloidem z = —^{x2 + y2). Osa rotace je osa z, [0.5b], a průnik s rovinou y = 0 je oblast mezi přímkami x = — 1 a i = 1 zespoda ohraničená přímkou z = —2 a seshora ohraničená parabolou z = — -^x2, [0.5b].
b) [2.5b] Použijeme válcové souřadnice, tj. provedeme transformaci do polárních souřadnic (x,y) = (r cos p, r sin p), přičemž z-tová souřadnice se nemění. Tedy budeme integrovat přes oblast nových proměnných
0<p<2iľ,    0<r<l   a    - 2 < z < -\(x2 + y2), [0.5b]. Determinant z Jacobiho matice je r, [0.5b], takže hledaný objem V je
V= ííí dxdydz= f     f     f       rdzdrdp = ( í    dp\ ( í    r{-\r2 + 2)dr\ =
JJJm Jip=0 Jr=0 Jz=-2 \Jp=0      '  Vr=0 '
[0.5b za správné pořadí integrace, 0.5b za postup integrování a 0.5b za správný výsledek].
2. a) [ 1 b] Diferenciální rovnice y" + 2y' — 8y = 0 má charakteristický polynom A2 + 2A — 8 = (A + 4) (A — 2),
[0.5b], který má kořeny —4 a 2. Tedy řešení jsou tvaru C\e~Ax + C^e22-', C\, C*2 G R, [0.5b].
b) [2.5b] Rovnice je y" + 2y' — 8y = Í6(x + l)2 má pravou stranu Í6(x + l)2 = Í6x2 + 32x + 16, což je polynom stupně dva - partikulární řešení yp(x) tedy budeme hledat ve tvaru polynomu stupně dva, [0.5b]. (Přesněji, pravá strana je tvaru Í6(x + l)2 • e0x, kde 0 není kořenem charakteristického polynomu.) Tedy yp(x) = ax2 + bx + c, tj. y'p(x) = 2ax + b a y'p'{x) = 2a, což po dosazení do rovnice dává
2a + 2(2ax + b) - 8(ax2 + bx + c) = -8ax2 + (4a - 8b)x + (2a + 2b - 8c) = Í6x2 + 32x + 16,
[0.5b]. Porovnáním koeficientů polynomů dostaneme soustavu rovnic —8a = 16, 4a — 8b = 32, 2a + 2b — 8c = 16, [0.5b], která má řešení a = —2, b = —5, c = — [0.5b]. Tedy hledané partikulární řešení je yp(x) = —2x2 — 5x — ^ a obecné řešení je, [0.5b],
y(x) = Cie-ix + C2e2x - 2x2 -5x-±f,    d, C*2 G R.
c) [lb] Použitím počátečních podmínek pro y(x) = C\e~Ax + C2&2x — 2x2 — bx — ^ dostaneme
y(0) = C1 + C2-f = -±i   a   j/(0) =-4Ci + 2C2 - 5 =-3, [0.5b]. Tato soustava rovnic má řešení C\ = 0 a C2 = 1, tedy hledané řešení je y(x) = e2x — 2x2 —
4
5x- f, [0.5b]
3. Pracujeme s jevem d, že budou vybráni studenti různých oborů, a také budeme potřebovat jevy U a, Ub a Uq, že k výběru byl zvolena učebna a, b nebo c. Chceme určit P(Ub\D). Platí P(Ua) = P(Ub) = P(UC) = | a použijeme vztah P(UB\D) = P{DWpb{)J'){Ub\ [0.5b]. Platí
P(D) =P(D\UA)P(UA) + P(D\UB)P(UB) + P(D\UC)P(UC) = ^ ' \ + ^ ' \ + ^ ' \ =
_ 8    1     4   1     3    1 _ 11 ~20~ '3+Kľ3 + TÔ'3~3Ô' [0.5b za postup a 0.5b za výsledek]. Tedy
4 1
p(Ub\d) =
P(D\Ub)P(Ub) = (l) ' ä = é = 4
p(d) íí     íí ir
30 30
[0.5b].