Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace David Šafránek 29.11.2012 Tento projekt je spolufinancován Fvmpskym sociálním fondem s státním rozpočtem České repuhliky. NVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelováni kinetiky enzymů Modelováni dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMŮ Obsah transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelování kinetiky enzymů Modelování dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Dynamický model biologického systému Základní konstrukty stochastického modelu • sledované jevy — komplexní procesy, např. metabolismus • elementární procesy — diskrétní události (chemické reakce) • stavové proměnné — počet molekul jednotlivých látek =4> stav — vektor počtů molekul v určitém okamžiku • systém je chápán jako stochastický proces popisující vývoj pravděpodobnostního rozložení stavů v čase • rychlost reakce charakterizována frekvencí (tzv. rate) [s-1] (určeno za zjednodušujících podmínek) přeměna: A B syntéza: A + B AB rozklad: AB -^4 A + B Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Třídy modelů dynamiky Varianty způsobu zachycení času a změny stavových proměnných kvalitativní model proměnné diskrétni spojité Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Deterministické vs. stochastické modely dynamiky Deterministický model • makropohled — předpoklad vysoké molární koncentrace látek • populační pohled (průměrné chování) • stav = vektor aktuálních koncentrací látek • za daných podmínek generuje jediné chování Stochastický model • mikropohled — interakce individuálních molekul • individuální pohled (chování jedince) • stav= vektor aktuálního počtu molekul jednotlivých látek • za daných podmínek generuje více různých chování Modelování dynamiky KlNETIKA enzymů TrANSKRIPČNÍ REGULACE Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Energetický proces chemických reakcí • různé energetické stavy molekuly • např. komplex AB méně stabilní než individuální výskyt molekul A, B • při přechodu mezi energ. stavy dochází k výměně energie • energie požadována pro aktivaci procesu (aktivační energie) • energie uvolněna během procesu (volná energie) termodynamické podmínky ovlivňují kinetickou energii molekul • pro reakci (úspěšnou kolizi) musí byt splněno: • správná prostorová konfigurace (orientace) molekul • dostatek kinetické energie Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • uvažujeme konstantní fyzikální podmínky: • teplota, objem, tlak, vlivy prostředí • uvažujeme dobře promíchané médium (uniformní rozložení) • událost úspěšné kolize molekul chápeme jako stochastický jev —> lze definovat průměrnou pravděpodobnost úspěšné kolize molekul v libovolném časovém okamžiku • určeno fyzikálními vlastnostmi reagujících molekul (struktura, volná energie) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • přesné modelování by znamenalo: • reflektovat pozici, rychlost a charakter každého objektu v systému • uvažovat každou kolizní událost • včetně kolizí nereaktivních • zjednodušení znamená: • abstrakci od informace o pozici a rychlosti objektů • abstrakci od nereaktivních kolizí (mezi dvěma bezprostředními reaktivními událostmi je velmi mnoho nereaktivních.. .) • efekt nereaktivních kolizí je randomizace rychlosti a pozice molekul Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky • uvažujme systém n substancí S = {Si,S„} provázaných m reakcemi R = Rm} • uvažujeme pouze reakce 0., 1. a 2. řádu • systém zapisujeme pomocí stechiometrické matice M rozměru n x m: — K", je-li K • S/ reaktantem Rj AC, je-li K • S; produktem Rj • závislé reakce: dep(Ri, Rj) & 3k. Mki • Mkj < 0 Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad stechiometrické matice Ri : 2A + 3B^2C R2: C Rs-- -+A RA: A-> C -2 0 1 -1" -3 0 0 0 2-101 Předpokládáme Si = A, S2 = B, S3 = C. dep : (/?!, R3), (R3, RA), (/?!, R2).{R2, R4) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad stechiometrické matice Ri : 2A + 3B^2C + A R2: C Rs-- -+A RA: A-> C 0 1 -1" 0 0 0 -1 0 1 Předpokládáme Si = A, S2 = B, S3 = C. dep : (/?!, R3), (R3, RA), (/?!, R2).{R2, R4) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky • počet molekul substance S/ v čase t budeme značit A/,(t) náhodnou proměnnou rozložení počtů molekul substancí v čase t charakterizujeme vektorem: X(t) = (N1(t),...,Nn(t)) • vývoj tohoto rozložení X(t) v čase charakterizujeme jako stochastický proces ve spojitém čase: {X(t)\t G M+} Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí • uvažujme A/i molekul látky Si a N2 molekul látky S2 • náhodná proměnná XNi,N2,dt charakterizující pravděpodobnost kolize molekul Si a S2 v časovém intervalu (ŕ, c/ŕ] je určena: XNuN2,dt = x{Ni, N2) ■ dt kde x(A/i, A/2) = c • A/i • A/2 je tzv. hazardní funkce • předpokládáme Si a S2 různé látky • c je konstanta charakterizující průměrnou frekvenci úspěšných kolizí Modelování dynamiky Transkripční regulace KlNETIKA ENZYMU Model dynamiky chemických reakcí závislost frekvence kolizí c na absolutní teplotě T (Arheniův zákon): c oc e rt • Ea ... aktivační energie reakce • ŕ? ... plynová konstanta Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMŮ Transkripční regulace Přesné odvozeni je komplikované! Pouze pro informaci, nebude vyžadováno... R,: S] + 52—íL-> products >MOLECULE 2 MOLECULE 1 i7r?i • v,,5i Prob{vl2-collision in dt} = ^r^i2dt\ ProbJÄ^. |v„-collision} = pj(va). 0"J2)Ol2^) Prob that a randomly chosen S] pair does an Rj in next dt '\xPj(vi2)j xVi = \ ^-{vaPj(vu))^ )x1x2dt = cjxlx1dt i-.-^ a,.(x) c, J S, iff "cottisionalK.E">El => (vnP,(vl2)) =pa^exp[--Ej- x ' 'm s^Kmsl y kBT [v12J Arrhenius D. T. Gillespie. Exact Stochastic Simulation of Coupled Chemical Reactions. In Journal of Physical Chemistry, volume 81, No. 25, pages 2340-2381. 1977. Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Hazardní funkce pro všechny typy reakcí Hazardní funkci pro reakci R; budeme značit Xi{X)-Předpokládáme, že každé reakci R; je přiřazena frekvenční konstanta c-,. Tabulka níže uvádí hazardní funkci pro všechny typy uvažovaných reakcí: R 0 * Xi(X) = Q R Sj —> * Xi(X) = q ■ Nj R sp + sq ->• * Xi(X) = ci -Np-Nq R 2Sj * Xi{x) - d. N^ri] stochastický zákon zachování hmoty Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Hazardní funkce pro všechny typy reakcí Reakce vyššího řádu typicky nejsou uvažovány, neboř jsou fakticky složeny z něěkolika elementárních reakcí (1. a 2. řádu). V případě nutnosti lze modelovat homopolymerizaci: R K-Sj X/PO {Nj-K)\K\ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model dynamiky chemických reakcí Stochastický proces jako Markovův řetězec spojitého času • stochastický proces {X(ŕ)|ŕ G M+} • spojitý čas pobytu ve stavu • jaká je doba do nejbližší události (změny stavu)? • nutno najít vhodný statistický model charakterizující "čekací" dobu W mezi změnami stavů • v teorii pravděpodobnosti je vhodným modelem exponenciální rozložení • W ~ Exp(A) • j ... průměrná čekací doba • s takto modelovaným chováním v čase dostáváme specifický stochastický proces: tzv. Markovův řetězec ve spojitém čase Modelování dynamiky KlNETIKA enzymů Transkripční regulace Exponenciální rozložení X ~ Exp(A) pokud: fx{x)= ÍAe-Ax, x>0, Pro distribuční funkci dostáváme: 6c(x) Střední hodnota: 0, x < 0, 1 - e~Ax, x > 0. E(X) - i Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Exponenciální rozložení Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Spojitý Markovův řetězec Příklad Exp(aE) • průměrná čekací doba ve stavu Surf je 3 minuty, což je W = é hod =>- as = 20 • aw = 7.5 • Q!£ = 15 Modelování dynamiky Kinetika enzymu Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace Cíl: X(0) -V X{tmax) • simulovat vývoj stochastického procesu z X(0) do X(rmax), kde tmax je požadovaný čas simulace Postup: X(t)->X(t + r) • předp. provedení vždy právě jedné reakce v intervalu (ŕ, t + r] • provedení reakce je okamžitý jev (trvá nulový čas) • ve stavu X(ř) = (A/i,Nn) je doba r do provedení reakce R; G R simulována rozložením: t ~ Exp(Xi(X(t))) DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPCNI Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B f0.8sW /Tl DYNAMIKY KlNETIKA ENZYMU TRANSKRIPČNÍ Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B A B Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Jednoduchý příklad (pouze 1 reakce, není soupeření) Uvažujme reakci: A —> B • hazardní funkce uvažována x{Na, Nb) = 1 • Na Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Příklad s více reakcemi (soupeření) Ri Xi(A/i,/V2) = ci • A/i R2 X2{N1,N2) = c2 • A/2 Rs S1 + S2-^>- X3{N1,N2) = c3 ■ A/i • N2 Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace - náznak formálního odvození • potřebujeme simulovat stochastický krok výpočtu: x(t)->x(t + r) • pokud Rj je nebližší reakce: r ~ £xp(xy(X(r))) • ve výchozím stavu Xo := X(r) očekáváme: • další reakce nastane v čase určeném nekonečně malým intervalem [t + t, t + t + dt) • a bude to reakce Rj po jejímž provedení nastane stav Xj • pravděpodobnost, že toto očekávání bude naplněno, lze formálně zapsat: p(X(t + T)=Xj\X(t) = Xo)dt = P{další reakce v čase (0,r + dt]\X(t) = X0} x P{X(t + r) = Xy|další reakce v čase (0,r + dt] a X(t) = X0} Pa Pb • složky Pa,Pb (náhodné proměnné) lze díky matematickým vlastnostem spojitého Markovova řetězce chápat jako nezávislé Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Stochastický model reakční dynamiky Simulace • průměrná doba do nejbližší další realizace Rj je x.(x(t)) • jaká je průměrná doba do nejbližší další (libovolné) události? 1 • x{X(t)) = YlILi Xi{X(t)) je hazardní funkce kombinující všechny reakce pozn.: exponenciální rozložení je uzavřené na součet náhodných proměnných p a ~ x(x(t))e-^^dt pB ~ ^x^l • formálně výše uvedené vztahy plynou z matematických vlastností exponenciálního rozložení a s.m.ř. Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Monte Carlo simulace SSA Gillespiho přímá metoda 1. inicializace X(0) 2. výpočet Xi{X{t)) V/ G {1,m} v aktuálním stavu X(t) 3. výpočet X^T,liXi(X(t)) 4- simulace doby t do následující události - sampluj t e Exp(\) aktualizace t :— t + t 6. výběr reakce Rj s pravděpodobností p — Xj^ť^ X(ř) '.— X^ + (update dle 7-tého sloupce stechiometrické matice) 8. pokud t < Tmax, iteruj (2) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Nástroj Dizzy • nástroj pro simulaci dynamiky sítí chemických reakcí • obsahuje stochastické i deterministické solvery • stochastické solvery jsou robustní • mimo přímý Gillespiho algoritmus zahrnuje další varianty stochastické simulace • vhodný zejména pro stochastickou simulaci http://magnet.systemsbiology.net/software/Dizzy/ Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Nástroj COPASI • nástroj pro simulaci dynamiky sítí chemických reakcí • obsahuje deterministické i stochastické solvery • deterministické solvery jsou robustní • stochastické solvery nestabilní, experimentální implementace • vhodný zejména pro deterministickou simulaci • stochastickou variantu lze zvolit v případě potřeby porovnání *\A (ilulJd 1 = II B || S 1 Ele Tools Hele 1 Pl ■ +- ,/£ssk [ Concentrators -j | i Mode 3-Tas ks i MultipleTesk 3-Outqut \jjljrmjy COPASI Version 4.4 (Build 26) The use of this software irdicates tho aoooptanoa oF vjew |_icense ťie at:ached license. -1 http://www.copasi.org Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelováni kinetiky enzymů Modelováni dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMŮ Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + e^es^p + e Stechiometrickou matici uvažujeme pro indexaci Si = S, S2 = E, S3 = ES, S4 = P\ "-1 -1 0 " -1 1 1 1 -1 -1 0 o 1 _ Závislosti mezi reakcemi: dep{R1,R2),dep{R1,R3) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + e^es^p + e Uvažujeme stav X = (#S, #E, #ES, #P): Ri S + E -> ES Xi{X) = c1-#E-#S R2 ES S + E X2(X) = c2 • #ES ES -> P + E X3(X) = c3 • #ES Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten <=3 ¥ p + e s + e* es C2 Ve stochastickém frameworku nelze přímo aplikovat kvazi-stabilní abstrakci. Lze však uplatnit redukci dimenzionality (taje uplatnitelná v deterministickém i stochastickém modelu): M -1-1 0 ' -111 1 -1 -1 0 0 1 Mezi proměnnými jsou následující lineární závislosti: #E + #ES = #E0 #S + #ES + #P = #S0 kde #Sq a #Eq jsou iniciální počty molekul. Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + e ^ es Matici M lze tedy redukovat: <=3 ¥ p + e -1 -1 0 0 0 1 a redukované substance vyjádřit algebraicky: #ES = #S0 - #S - #P #E = #E0 - #ES = #E0 - #S0 + #S + #P Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Kinetika Michaelis-Menten s + ec^es^p + e Po redukci dimenzionality uvažujeme stav X = (#S,#F): Ri S + E -> ES Xi(X) = ci • (#E0 - #S0 + #S + #P) • #S ES -^S + E X2(X) = c2 • (#S0 - #S - #P) Rs ES -> P + E X3(X) = c3 • (#S0 - #S - #P) Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Obsah Transkripční regulace Základní principy stochastických modelů dynamiky Modelování kinetiky enzymů Modelování dynamiky transkripční regulace Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Interakce při expresi genů v prokaryotické buňce Sigma protein recognizes promoter Core RNA polymerase DNA complementary strand Watson ■ DNA coding strand Crick JBIII to I3' 15' i\TTAATCATCGAACTAGfŤÄŤÄffŤKGTACG(J -35 box -10 box mRNA start Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů 0 re 2 re 3 ■0 0sr- -9 re2 Z_'_/re7 '0 rel g • spojitý model na úrovni regulační (Hillovy kinetiky) • zachycení transkripce (i translace) • lze modelovat pomocí zákona o aktivním působení hmoty • jak modelovat stochasticky? Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů Ri ■ g ~ ■> g + r R2 : r — > r + P R3 : r — R4 : P - • zachycení tvorby transkriptu a proteinu reakční kinetikou • zjednodušení reálné situace • g je konstantní g(0) ■ c, určuje výkon transkripce • výkon translace determinován aktuálním množství RNA Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů rs2 g R2: P -+ • g je konstantní =4> g(0) ■ c-, určuje výkon transkripce Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů R2: P -+ • g je konstantní =4> g(0) ■ c-, určuje výkon transkripce Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Model exprese genů - Simulace Transkripční regulace • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0; c\ = 0.1, c2 = 0.01 • rozložení v bodě t = 600 pro 2000 simulací Modelování dynamiky Transkripční regulace KlNETIKA ENZYMU Model exprese genů - negativní autoregulace re 2 g Ri: P + g^gP R2: gP^g+P Rs-- g^g + P R4: P -■> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model exprese genů - negativní autoregulace g gP re10 l Ri R2 R3 Ra P + g^gP gP^g + P g^g + P P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model negativní autoregulace - Simulace í n 1 i i I .1 Mhi. 1 2 3 4 5 67 8 910 11 1213 14 • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0, gP{0) = 0; Ci = C2 = 1, C3 = 0.1, C4 = 0.01 • rozložení v bodě t = 400 pro 2000 simulací KlNETIKA enzymů transkripční Model exprese genů - pozitivní autoregulace R2: gP-^g + P R3: gP~^gP + P R4: P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční Model exprese genů - pozitivní autoregulace re 9 g Ri : P + g^gP R2: gP~>g + P R3: gP-^gP + P /?4 : P -> Modelování dynamiky KlNETIKA ENZYMU Transkripční regulace Model pozitivní autoregulace - Simulace 1 lli- „lil li li ÚL i lil li lil ■...............................iMiBll lllllll ii|iiii|.T1..T ■.......................Tn nTrTTirmimrTmrTTiTrmrmimrTmrTTiTTTi' ľ 4 '5 8 l'J ľ14 i!j JS 2>2JJ4 25 28 S 32 34 !>j 384042444648505254 5658Q06íG455ij87Q72747C 1 3 5 7 9 111315 17 33 2123 25 2733133 35 37 3341434547435153555753616365676971737577 • nastavení simulace: g(0) = 5, P(0) = 0, gP(0) = 0; Ci = C2 = 1, C3 = 0.1, C4 = 0.01 • rozložení v bodě ŕ = 1000 pro 2000 simulací