1. procvičení z MB 154, podzim 2023
Příklad 1. Dokažte, že pro všechna celá čísla n platí: n3 dává zbytek 0, 1 nebo 8 po dělení 9. (Buď je n = 3k nebo n = 3k + 1 nebo n = 3k + 2.)
Příklad 2. Spočtěte Bezoutovy koeficienty pro největší společné dělitele (85,49) a (109,46). (Výsledky: 15 • 85 - 26 • 49 = 1 a 19 • 109 - 45 • 46 = 1.)
Příklad 3. Zjistěte, pro která přirozená čísla n je číslo n3 + An2 — n + 5 dělitelné číslem n + 2. (Výsledek: n = 1,3,11.)
Příklad 4. Zjistěte, pro která přirozená čísla n je číslo n3 — n2 + n — 8 dělitelné číslem n2 - 2n + 3. (Výsledek: n = 4.)
Příklad 5. Posloupnost an je zadána rekurentně an = 3an_i + 2an_2, Oo — 1, Oi — 1. Dokažte prvně, že an je liché (snadné) a pak spočtěte rekurentně (an, an_i). (Výsledek: 1.)
i