9. procvičení z MB 154, podzim 2023 Příklad 1. Určete, čemu se rovná        (Výsledek: (-l)n.)
Příklad 2. Ve volejbalové extralize je 13 týmů. Po první polovině má každý tým odehráno 12 zápasů, z každého z nich je možné získat 0/1/2/3 body, přičemž Brno předvedlo žalostný výkon a získalo 10 bodů z 36 možných. Jaká je pravděpodobnost stejného bodového zisku, pokud by se každý zápas místo odehrání losoval, se stejnou pravděpodobností 1/4 pro každou z variant 0/1/2/3 body.
(Výsledek: ((?) (£) - (?) (£) + (?) (£)) /4" = 209 352/4- = 1, 25%.)
Příklad 3. Nevyvážená kostka má pravděpodobnost, že padne šestka, dvakrát vyšší než pro ostatní čísla. Jaká je pravděpodobnost, že při hodech čtyřmi takovými kostkami padne součet 13? (Případně porovnejte s obyčejnou kostkou.) (Výsledek: Jedná se o koeficient u x13 ve výrazu
(1/7 • x + • • • + 1/7 • x5 + 2/7 • xe)4 = 1/74 •
jehož umocněním podle binomické věty a úpravou jako v předchozím příkladě dojdeme k výsledku ((?) - 4 • g) + 4 • ©) /74 = 200/74 = 8, 33%; pro obyčejnou kostku vyjde 140/64 = 10, 80%.)
Příklad 4. Rozviňte do mocninné řady funkci:
/1 \ x2-10 ^   ' x2+x-2
(2\ _2_
(Výsledky: Rozklady na parciální zlomky: 1 + ^ ~ ~ ^ + (s-2)2 • Rozvi-
nutí do mocniných řad: 1 + £fc>0((-l/2)fc + 3) • xfc ^ afc = [A; = 0] + (-l/2)fc + 3; £fc>0(-l + (l/2)fc+1 + (l/2)fc+r- (k + l))-xk^ak = -l + (l/2)fc+1 • (fc + 2).)
Příklad 5. Určete vytvořující funkci posloupnosti (O2, l2, 22, 32,...).
(Výsledek: k2 = 2 ■ (^) - 3 • (f) + 2 • (fc+°) =* a(x) =    *    -    3 +
i