Domácí úkoly Algebra I – podzim 2023 – 11. týden
1. Pro R ∈ {Z, Q, R, C} jsou na množině R × R definovány operace ⊕ a ∗ předpisy
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d),
(a, b) ∗ (c, d) = (−ad − bc, ac − bd).
Rozhodněte, zda (R × R, ⊕, ∗) je okruh/obor integrity/těleso.
2. Určete, pro která přirozená čísla n ≥ 2 je množina
In = { a + b
√
5 | a, b ∈ Z, [a]n = [b]n }
ideálem okruhu (R, +, ·), kde R = { a + b
√
5 | a, b ∈ Z }. Pro tato n nalezněte
nějakou konečnou množinu generátorů ideálu In, rozhodněte, zda se jedná o prvoideál
nebo maximální ideál, a ukažte, kterému známému okruhu je izomorfní okruh
(R, +, ·)/In.