Doc. RNDr. Jiří Zháněl, Dr.
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
(MATEMATICKÁ) STATISTIKA
DESKRIPTIVNÍ
(popisná)
ANALYTICKÁ
(inferentní, induktivní,
srovnávací)
DESKRIPTIVNÍ STATISTIKA se zabývá zpracováním
a popisem dat.
ANALYTICKÁ STATISTIKA umožňuje nám data
analyzovat tzn. vyhodnotit.
Např. (1) stanovit, zda výsledky testů dvou
tréninkových skupin vykazují významný rozdíl mezi
středními hodnotami ( vliv tréninkové metody),
(2) vyhodnotit léčebný účinek u 2 souborů pacientů.
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
ZÁKLADNÍ SOUBOR (generální soubor,Population
Grundgesamtkeit) je soubor všech jedinců, u kterých
bychom teoreticky měli šetření provádět.
VÝBĚROVÝ SOUBOR je náhodnou podmnožinou
prvků základního souboru, je získaný náhodným,
resp. záměrným výběrem.
ZÁVISLÉ SOUBORY
(test hod na koš, družstvo A 1., 2. pokusy)
NEZÁVISLÉ SOUBORY
(test hod na koš, družstvo A, družstvo B)
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
Správný postup při hodnocení výsledků výzkumu:
1. nejprve zhodnotit věcnou významnost jak absolutně
(v jednotkách měření), tak i relativně k podílu vlivu
ostatních faktorů.
Pouze a jen, jde-li o randomizovaný výzkum, pak
2. použít výpočet statistické významnosti, jakožto
kritérium pro posouzení rizika zobecnění.
VĚCNÁ A STATISTICKÁ VÝZNAMNOST
(1) STATISTICKÁ VÝZNAMNOST
Smysluplné použití posuzování výsledků výzkumu
pomocí statistické významnosti je omezeno jen na
soubory pořízené metodami náhodného výběru, resp. u
randomizovaných experimentů (často nerespektováno).
Hlavní nevýhoda testování H0 pomocí statistické
významnosti je její závislost na rozsahu souboru (n):
- u velkých výběrů jsou i nepatrný rozdíl nebo korelace
statisticky významné,
- u malých výběrů jsou i velký rozdíl či vysoká korelace
statisticky nevýznamné.
VĚCNÁ A STATISTICKÁ VÝZNAMNOST
(2) VĚCNÁ VÝZNAMNOST
U nenáhodných výběrů se doporučuje posuzovat
významnost rozdílů či vztahů pomocí tzv. věcné
významnosti („size of effect“, neboli „velikost efektu“,
např. pomocí Cohenova d).
Hlavní výhoda = nezávislost hodnocení věcné
významnosti na rozsahu souboru (n).
http://www.socscistatistics.com/effectsize/Default3.aspx
Test Effect size
small medium large
d .20 .50 .80
r .10 .30 .50
Chi2 .10 .30 .50
(1) Cohen (1992). Indexy velikosti efektu
(hodnoty pro malé, střední a velké efekty).
POSUZOVÁNÍ VĚCNÁ VÝZNAMNOST
(2) Soukup (2013). Effect size po úpravě do intervalů
POSUZOVÁNÍ VĚCNÁ VÝZNAMNOST
Test small medium large
d 0,2-0, 49 0,5-0,79 větší než 0,8
r 0,1-0,29 0,3-0,49 větší než 0,5
Chi2 0,1-0,29 0,3-0,49 větší než 0,5
Formulace: nulová (H0) resp. alternativní H1, HA
Příklad 1
H01: intersexuální rozdíly somatických a
motorických předpokladů mezi tenisty (n=221) a
tenistkami (n=193) ve věkové kategorii 11 -12 let
jsou nevýznamné.
Soubor/SC
H
Tenisté Tenistky Cohen´s d,
hodnocení
efektu
M SD M SD
Výška (cm) 155,10 7,62 154,60 6,94 0,07 (žádný)
Hmotnost
(kg)
43,50 6,68 43,49 7,17 0,00 (žádný)
MS (kp) 25,14 4,60 23,08 4,61 0,45 (malý)
RS 0,58 0,09 0,53 0,09 0,56
(střední)
Formulace: nulová (H0) resp. alternativní H1, HA
Příklad 2
HA1: intersexuální rozdíly somatických a
motorických předpokladů mezi tenisty (n=157) a
tenistkami (n=163) ve věkové kategorii 13 -14 let
jsou významné.
Category M (male) SD M (female) SD Cohen´s d
Height
(cm)
169.79 9.27 164.93 5.80 0.63 (med)
Weight
(kg)
57.05 9.26 53.57 6.31 0.44
(small)
MHSL (kp) 34.64 7.53 29.09 3.84 0.94
(large)
RHSL 0.61 0.10 0.55 0.06 0.73 (med)
VĚCNÁ VÝZNAMNOST – LITERATURA
Blahuš, P. (2000). Statistická významnost proti vědecké
průkaznosti výsledků výzkumu. Česká kinantropologie,
4(2), 53-72.
Cohen, J. (1992). A Power Primer. Psychological Bulletin,
1(112), 155-159. doi:10.1037/0033-2909.112.1.155
Soukup (2013). Věcná významnost výsledků a její
možnosti měření. Data a výzkum - SDA Info 2013, 7(2),
125-148. DOI:
http://dx.doi.org/10.13060/23362391.2013.127.2.41
http://www.socscistatistics.com/effectsize/Default3.aspx
HYPOTÉZA je podmíněný výrok o vztahu mezi
dvěma nebo více proměnnými (Kerlinger, 1972).
1. Pracovní hypotéza - subjektivní domněnky o
předmětu problému (formulovány všeobecně).
2. Výzkumná (věcná) hypotéza - předpoklad existenci
vztahu mezi dvěma či více proměnnými.
3. Statistická hypotéza - hypotetické tvrzení
vyjádřené ve statistických termínech o relacích,
vyvozených ze vztahů ve věcné hypotéze.
Zatímco stupeň obecnosti tvrzení klesá, stupeň
přesnosti vzrůstá (pracovní H > statistická H).
HYPOTÉZA NULOVÁ A ALTERNATIVNÍ
Základním typem úvahy při statistickém testování
tzv. nulová hypotéza (HO).
Podstatou nulové hypotézy je odůvodněný
předpoklad, že mezi dvěma jevy není statisticky
významný rozdíl (rozdíl je nulový).
Jako nulová hypotéza se označuje domněnka, že dva
statistické soubory se shodují v určitých
statistických parametrech (např. AP, r).
H0: µ = µ0 HA: µ ≠ µ0 ; HA: µ > µ0 ; HA: µ < µ0
NULOVÁ A ALTERNATIVNÍ HYPOTÉZA
Jestliže předpokládáme, že mezi dvěma jevy existuje
významný rozdíl, formulujeme tzv. alternativní
hypotézu HA.
K tomu, zda hypotézu (nulovou či alternativní)
zamítáme, či nezamítáme používáme tzv.
testovacích metod (viz dále).
Co je považováno za pravděpodobný (TV mužů a žen
je rozdílná, H1), resp. nepravděpodobný (TV M=Ž, H0)
výsledek, musí být stanoveno předem.
H0: µ = µ0 HA: µ ≠ µ0 ; HA: µ > µ0 ; HA: µ < µ0
Výsledky testování (statistická významnost) jsou
posuzovány na tzv. hladině významnosti.
Úroveň hladiny významnosti α=0,05 znamená, že
nulová hypotéza se zamítá, když je pravděpodobnost,
že nastane nulová hypotéza, menší než 5% (α = 0,01).
V tomto případě se přikláníme k platnosti
alternativní hypotézy.
Nejčastěji srovnáváme střední hodnoty dvou
výběrových souborů (rozsahu n1, n2), resp. závislosti.
TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ
STATISTICKÁ VÝZNAMNOST
1. NOMINÁLNÍ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva nezávislé
soubory (znaky
nabývají právě
dvou hodnot)
Zkouška
významnosti rozdílů
souborů
X2
-čtyřpolní test
(Fischerův test,
čtyřpolní tabulka)
Dva nezávislé
soubory (znaky
nabývají více
hodnot)
Zkouška
významnosti rozdílů
souborů
X2
-vícepolní test
(kontingenční
tabulka)
Dva závislé
soubory (znaky
nabývají právě
dvou hodnot)
Zkouška
významnosti změn
X2
-Mc Nemarův
test
Dva závislé
soubory
Hodnocení
závislosti
Koef. kontingence
C
1. Lyžaři
2. Lyžaři
Znak - kouření
2. ORDINÁLNÍ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ METODA
Dva nezávislé
soubory
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Medianový test
(jednoduchý), U-test
Mann-Whitneyho,
Kolmogorov-Smirnovův
test, Marshallův test
Dva závislé
soubory
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Znaménkový test,
Wilcoxonův test
Více nezávislých
souborů
Test rovnosti
centrálních
tendencí
Medianový test
(rozšířený), H-test
Kruskal-Wallisův (analýza
rozptylu)
Dva závislé
soubory
Hodnocení míry
závislosti
Spearmanův resp.
Kendallův koeficient
korelace
Více závislých
souborů
Hodnocení míry
závislosti
Friedmanova analýza
rozptylu
1. Gymnasté A
2. Gymnasté B
Znak - body
3. METRICKÁ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY I
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva nezávislé
soubory
Zkouška rovnosti
rozptylů
(homogenita)
F-test
Dva nezávislé
soubory
Zkouška rovnosti
středních hodnot
t-test
Dva nezávislé
soubory
Zkouška
nezávislosti
korelací
Korelační test
Dva závislé
soubory
Zkouška rovnosti
rozptylů
(homogenita)
F-test
Tenisté
Tenistky
Znak:
TV
3. METRICKÁ DATA - STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY II
PŘEDPOKLAD PROBLÉM TESTOVACÍ
METODA
Dva závislé
soubory
Zkouška rovnosti
středních hodnot
Diferenční t-test
(párový)
Dva závislé
soubory
Hodnocení
závislosti
Koef. součinové
korelace a regrese
Více nezávislých
souborů
Zkouška rovnosti
průměrů
Analýza rozptylu,
Duncanův test
pořadí, Bartlettův
test
Více nezávislých
souborů
Zkouška rovnosti
korelačních
koeficientů
Test homogenity
Tenisté
Tenistky
Znak:
TV
ROZHODOVACÍ DIAGRAM PRO UŽITÍ t-TESTU
DVA NÁHODNÉ VÝBĚRY
NEZÁVISLÉ ZÁVISLÉ
t-test pro t-test pro
nezávislé výběry závislé výběry
F-test
homogenní heterogenní
rozptyl rozptyl
s1
2 = s2
2 s1
2  s2
2
t-test pro t-test pro
homogenní heterogenní
rozptyl rozptyl
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
- dva závislé soubory
- zkouška rovnosti středních hodnot
PŘÍKLAD – Zjistěte, zda se na automobilu určité značky sjíždějí
obě přední pneumatiky stejně rychle
číslo automobilu 1 2 3 4 5 6
pravá pneumatika 1,8 1 2,2 0,9 1,5 1,6
leva pneumatika 1,5 1,1 2 1,1 1,4 1,4
rozdíl 0,3 -0,1 0,2 -0,2 0,1 0,2
H0 : μ = μ1 – μ2 = 0 HA : μ = μ1 – μ2 ≠ 0




2
1;1


n
tTn
s
X
T hypotézu nelze
zamítnou
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
číslo automobilu 1 2 3 4 5 6
pravá pneumatika 1,8 1 2,2 0,9 1,5 1,6
leva pneumatika 1,5 1,1 2 1,1 1,4 1,4
rozdíl 0,3 -0,1 0,2 -0,2 0,1 0,2
 
     
1941,00377,0
0377,0
5
18833,0
5
1167,00167,02833,01167,01833,02167,0
1
1
0833,0
6
5,0
2,01,02,02,01,03,0
6
11
2
1
222222
22
1












ss
XX
n
s
X
n
X
n
i
i
n
n
i
571,20518,16
1941,0
00833,0
571,2975,0;5
2
05,0
1;16
2
1;1







n
s
X
T
ttt
n


STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
Protože 1,0518 < 2,571, nelze na základě získaných dat zamítnout
hypotézu, že se obě přední pneumatiky sjíždějí stejně rychle.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Párový t - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový párový t-test
na střední hodnotu
Dvouvýběrový párový t-test na střední hodnotu
pravá pneumatika leva pneumatika
Stř. hodnota 1,5 1,416666667
Rozptyl 0,24 0,109666667
Pozorování 6 6
Pears. korelace 0,961571662
Hyp. rozdíl stř. hodnot 0
Rozdíl 5
t Stat 1,051757905
P(T<=t) (1) 0,17053101
t krit (1) 2,015048372
P(T<=t) (2) 0,34106202
t krit (2) 2,570581835
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
- dva nezávislé soubory
- test rovnosti středních hodnot
PŘÍKLAD – U studentů rozdělených do dvou skupin byl zaznamenán
počet leh-sedů za 1 minutu. Jsou obě skupiny stejně výkonné?
H0 : μ1 = μ2
HA : μ1 ≠ μ2
   
 







2
1;2
22
2
11

mn
YX
tT
mn
mnnm
smsn
YX
T
hypotézu nelze
zamítnou
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
n1=6 n2=5 APX=57 APY=51,6 sX
2 =12,8 sY
2 =7,3
   
 
   
 
79,255,24
2,295,62
4,5
56
256.5.6
3,7158,1216
6,5157
2
11 22















mn
mnnm
smsn
YX
T
YX
262,279,2
262,2975,0;9
2
05,0
1;256
2
1;2



T
ttt
mm

STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t -test
Protože 2,79 ≥ 2,262 zamítáme hypotézu, že se obě skupiny studentů
jsou stejně výkonné.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
Dvouvýběrový t - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový t-test s
rovností rozptylů
Dvouvýběrový t-test s rovností rozptylů
1. skupina 2. skupina
Stř. hodnota 57 51,6
Rozptyl 12,8 7,3
Pozorování 6 5
Společný rozptyl 10,35555556
Hyp. rozdíl stř. hodnot 0
Rozdíl 9
t Stat 2,77122216
P(T<=t) (1) 0,010855041
t krit (1) 1,833112923
P(T<=t) (2) 0,021710083
t krit (2) 2,262157158
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
- dva nezávislé soubory
- zkouška rovnosti rozptylů
PŘÍKLAD – Na základě dat uvedených v předchozím příkladě
rozhodněte, zda oba základní soubory mají stejné rozptyly.
H0 : σX
2 = σY
2
HA : σX
2 ≠ σY
2



2
1;1,1
2
2
1,

mn
Y
X
FZ
Zabytakvolím
s
s
Z
hypotézu nelze
zamítnou
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
1. skupina 62 54 55 60 53 58
2. skupina 52 56 49 50 51
n=6 m=5 sX
2 =12,8 sY
2 =7,3
753,1
3,7
8,12
2
2

Y
X
s
s
Z
36,9753,1
36,9975,0;4,5
2
05,0
1;15,16
2
1;1,1



Z
FFF
mn

Protože 1,753 < 9,36 nelze zamítnout hypotézu o shodnosti rozptylů.
= > z tabulek
STATISTICKÉ TESTOVACÍ METODY
F - test
Pomocí Excelu – Analýza dat – Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
Dvouvýběrový F-test pro rozptyl
1. skupina 2. skupina
Stř. hodnota 57 51.6
Rozptyl 12.8 7.3
Pozorování 6 5
Rozdíl 5 4
F 1.753424658
P(F<=f) (1) 0.303172533
F krit (1) 6.256056502
Děkuji
za pozornost