14. Úvod do analytické geometrie 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 1/17 Úvod do analytické geometrie 1. Eukleidovský prostor 2. Přímky v E3 3. Roviny v E3 4. Vektorový součin 5. Určení některých úhlů 6. Některé metrické úlohy 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 2/17 14.1 Eukleidovský prostor DEFINICE 1 Nechť je dán vektorový prostor V se skalárním součinem, množina bodů E a zobrazení E × E (A, B) -- AB V. Množina E se nazývá eukleidovský bodový prostor se zaměřením V, jestliže platí: A1 Ke každému A E a v V existuje jediný bod B E tak, že -- AB = v. A2 Pro libovolné body A, B, C E platí -- AC = -- AB + -- BC. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 3/17 14.1 Eukleidovský prostor Z axiómů lze odvodit rovnosti, které odpovídají naší intuici. Například pro libovolné body A, B E platí -- AA = o, -- AB = - -- BA. Zvolíme-li si libovolný bod O E3 a ortonormální bázi E = (e1, e2, e3) zaměření E3, pak zobrazení E3 A -- OA E R3 bude každému bodu A přiřazovat jednoznačně aritmetický vektor. Bod O se nazývá počátek soustavy souřadnic a čtveřice (O, e1, e2, e3) kartézská soustava souřadnic E3. S její pomocí můžeme E3 i jeho zaměření ztotožnit s prostorem třírozměrných aritmetických vektorů se standardním skalárním součinem definovaným předpisem (u, v) = u1v1 + u2v2 + u3v3. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 4/17 14.1 Eukleidovský prostor Abychom mohli jednoznačně definovat nové operace v původním eukleidovském bodovém prostoru pomocí souřadnic, musíme specifikovat tzv. orientaci soustavy souřadnic. Budeme používat výhradně pravotočivé soustavy souřadnic, jejichž bázové vektory lze umístit po řadě ve směru palce, ukazováku a prostředníku pravé ruky (viz obrázek) e2 e1 e3 O 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 5/17 14.2 Přímky v E3 Nechť A E3 je zadaný bod a u E3 zadaný nenulový vektor. Pak přímka p procházející bodem A se směrem u je množina p = {A + tu : t R}. Rozepíšeme-li si tento zápis po složkách, dostaneme pro body X = [X1, X2, X3] přímky p procházející bodem A = [A1, A2, A3] ve směru u = [u1, u2, u3] tzv. parametrické rovnice přímky X1 = A1 + tu1 X2 = A2 + tu2 X3 = A3 + tu3, kde t R se nazývá parametr. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 6/17 14.2 Přímky v E3 Nechť p a q jsou přímky zadané předpisy p = {A + tu : t R} a q = {B + sv : s R}. Přímky p a q nemají žádný společný bod, právě když soustava A + tu = B + sv nemá řešení, což nastane, právě když h[u, v] < h[u, v, -- AB ]. (1) Platí-li (1) a h[u, v] = 2, pak jsou p a q mimoběžné. Když platí (1) a h[u, v] = 1, pak jsou p a q rovnoběžné. Přímky p a q mají alespoň jeden společný bod, právě když h[u, v] = h[u, v, -- AB ]. (2) Platí-li (2) a h[u, v] = 2, pak p a q leží ve stejné rovině a mají společný jediný bod, takže jsou různoběžné. Když platí (2) a h[u, v] = 1, pak jsou p a q totožné. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 7/17 14.3 Roviny v E3 Nechť A je zadaný bod a n je zadaný nenulový vektor. Pak rovina procházející bodem A s normálovým vektorem n je množina r = {X E3 : (n, -- AX ) = 0}. Rozepíšeme-li si tuto definici po složkách, dostaneme pro body X = [X1, X2, X3] roviny r procházející bodem A = [A1, A2, A3] s normálovým vektorem n = [n1, n2, n3] normálovou rovnici roviny n1(X1 - A1) + n2(X2 - A2) + n3(X3 - A3) = 0 nebo obecnou rovnici roviny aX1 + bX2 + cX3 + d = 0, kde a = n1, b = n2, c = n3 a d = -n1A1 - n2A2 - n3A3. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 8/17 14.3 Roviny v E3 Je-li dán bod A a dva nezávislé vektory u, v, pak r = {A + tu + sv : t, s R} definuje rovinu procházející body A, A + u a A + v. Rozepíšeme-li si tento zápis po složkách, dostaneme pro body X = [X1, X2, X3] roviny r parametrické rovnice roviny X1 = A1 + tu1 + sv1 X2 = A2 + tu2 + sv2 X3 = A3 + tu3 + sv3, v nichž můžeme snadno identifikovat souřadnice bodu A i vektorů u, v. Označme si r a s roviny r = {X E3 : ( -- AX, n) = 0} a s = {X E3 : ( -- BX, m) = 0}. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 9/17 14.3 Roviny v E3 Roviny r a s nemají žádný společný bod, právě když soustava (n, -- AX ) = 0 a (m, -- BX ) = 0 nemá žádné řešení. Rozepíšeme-li si rovnice soustavy na tvar n1X1 + n2X2 + n3X3 = n1A1 + n2A2 + n3A3 m1X1 + m2X2 + n3X3 = m1B1 + m2B2 + m3B3, lze ověřit, že to může nastat, jen když h[m, n] = 1 a (m, -- AB ) = 0. V tomto případě jsou roviny rovnoběžné, ale různé. Jestliže h[m, n] = 2, pak roviny r a s jsou různoběžné a mají společnou přímku, jejíž směrový vektor je ortogonální k m a n. Jestliže h[m, n] = 1 a (m, -- AB ) = 0, pak jsou roviny r a s totožné. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 10/17 14.3 Roviny v E3 Podobně můžeme podat výčet možností vzájemné polohy přímky p procházející bodem A se směrem u a roviny r procházející bodem B s normálovým vektorem n. Snadno se ověří, že přímka p má jediný společný bod s r, právě když (n, u) = 0. (*) Jestliže neplatí (*), pak lze rozlišit dva případy. Buď je přímka p rovnoběžná s r, ale neleží v r, což nastane když (n, u) = 0 a (n, -- AB ) = 0, nebo p leží v r, což nastane, když (n, u) = 0 a (n, -- AB ) = 0. 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 11/17 14.4 Vektorový součin DEFINICE 2 Vektor w = [w1, w2, w3] takový, že w1 = u2 u3 v2 v3 , w2 = u1 u3 v1 v3 , w3 = u1 u2 v1 v2 se nazývá vektorový součin vektorů u a v a budeme ho značit w = u × v. Lze snadno ukázat, že w = u × v je kolmý k u i v. Pro vektorový součin si můžeme zapamatovat jeho mnemotechnický zápis u × v = e1 e2 e3 u1 u2 u3 v1 v2 v3 . 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 12/17 14.4 Vektorový součin Geometrickým významem vektorového součinu je např. obsah rovnoběžníka či trojúhelníka. Poněvadž má rovnoběžnostěn výšku w a plochu základny P = u v sin , kde je odchylka přímek procházejících počátkem O se směrovými vektory u, v, platí P = w . Například plocha P trojúhelníka určeného body A, B, C E3 je dána vzorcem P = 1 2 -- AB × -- AC . u v w=u×v P O 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 13/17 14.5 Určení některých úhlů Odchylka přímek p a q se směrovými vektory u a v se definuje jako nejmenší odchylka dvou vektorů, které lze umístit na p nebo q, takže splňuje cos = |(u, v)| u v . Obdobně se definuje odchylka přímky p se směrovým vektorem u a roviny r s normálovým vektorem n. Můžeme ji vypočítat pomocí odchylky přímky p a libovolné jiné přímky se směrovým vektorem n ze vztahu sin = cos 2 - = |(n, u)| n u . Odchylka dvou rovin, což je nejmenší úhel dvou přímek, z nichž každá leží v jedné z rovin, vyjádříme snadno pomocí jejich normálových vektorů n1, n2 a vztahu cos = |(n1, n2)| n1 n2 . 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 14/17 14.6 Některé metrické úlohy K určení vzdálenosti d bodu M od roviny r = {X E3 : ( -- AX, n) = 0} stačí najít průmět vektoru -- AM do normálového směru n. Platí tedy d = |( -- AM, n)| n . n AM M r d {A 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 15/17 14.6 Některé metrické úlohy Vzdálenost d bodu M od přímky p procházející bodem A se směrem u určíme s pomocí obrázku. Z P = u× -- AM a P = u d dostaneme snadno d = u × -- AM u . p A P M u d 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 16/17 14.6 Některé metrické úlohy Obdobně určíme i nejkratší vzdálenost dvou mimoběžek p a q, kde p = {A + tu : t R} q = {B + tv : t R}. Pro objem V rovnoběžnostěnu určeného hranami -- AB, u, v platí V = | det -- AB, u, v | = P d, zatímco pro plochu P jeho základny platí P = u × v . Odtud d = V P = | det -- AB, u, v | u × v . A B p q V P u v d 14. Úvod do analytické geometrie ­ p. 17/17