5. Vektorové prostory
5. Vektorové prostory ­ p. 1/13
Vektorové prostory
1. Algebraické operace
2. Vektorový prostor
3. Vlastnosti vektorových prostorů
4. Vektorové podprostory
5. Součet a průnik podprostorů
6. Vektory v matematice a ve fyzice
5. Vektorové prostory ­ p. 2/13
5.1 Algebraické operace
DEFINICE 1
(Binární) algebraická operace  na neprázdné množině
A je zobrazení
 : A × A  (a, b)  a  b  A.
Operace  na množině A tedy každé uspořádané dvojici
(a, b)  A × A prvků a, b  A přiřazuje jednoznačně
určený prvek a  b  A.
P ŘÍKLAD 1 Sčítání + definované na množině reálných čísel R,
které například dvojici (2, 3)  R × R přiřazuje prvek
2 + 3 = 5  R.
5. Vektorové prostory ­ p. 3/13
5.1 Algebraické operace
P ŘÍKLAD 2 Sčítání reálných (komplexních) aritmetických vektorů
stejné dimenze nebo sčítání a násobení reálných (komplexních)
čtvercových matic stejného řádu.
P ŘÍKLAD 3 Skládání zobrazení  definované na množině všech
zobrazení Z(A) dané množiny A do sebe. Tato operace přiřazuje
každé uspořádané dvojici zobrazení (f, g)  Z(A) × Z(A) složené
zobrazení f  g  Z(A) definované pro každé x  A předpisem
(f  g)(x) = f g(x) .
Jestliže například f  Z(R) a g  Z(R) jsou definovány předpisem
f(x) = x2
a g(x) = x2
+ 1, pak
(f  g)(x) = f g(x) = x2
+ 1
2
.
5. Vektorové prostory ­ p. 4/13
5.2 Vektorový prostor
DEFINICE 2
Reálným (komplexním) vektorovým prostorem rozumíme množinu
V s algebraickou operací + : V × V  (u, v)  u+v  V, kterou
nazýváme sčítání vektorů a zobrazením R(C)×V  (, v)  v 
V, které nazýváme násobení skalárem, přičemž platí:
VP1 u, v, w  V : u + (v + w) = (u + v) + w
VP2 o  Vu  V : u + o = o + u = u
VP3 u  V - u  V : u + (-u) = -u + u = o
VP4 u, v  V : u + v = v + u
VP5   R(C)u, v  V : (u + v) = u + v
VP6 ,   R(C)u  V : ( + )u = u + u
VP7 ,   R(C)u  V : (u) = ()u
VP8 u  V : 1u = u
5. Vektorové prostory ­ p. 5/13
5.2 Vektorový prostor
P ŘÍKLAD 4 Reálné aritmetické vektory daného řádu n se sčítáním
vektorů a s násobením skalárem po složkách tvoří reálný vektorový
prostor. Jeho nulový prvek je o = [0, . . . , 0], pro a = [a1, . . . , an] je
inverzním prvkem -a = [-a1, . . . , -an]. Pro n = 1 je množina
skalárů i vektorů stejná.
P ŘÍKLAD 5 Množina F všech reálných funkcí s operací +
definovanou pro každé reálné x rovností
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
a s násobením skalárem, které pro každé   R a f  F definuje
funkci f  F rovností (f)(x) = f(x), tvoří reálný vektorový
prostor. Nulový prvek o tohoto prostoru je dán předpisem o(x) = 0,
prvek opačný k f je definován pomocí (-f)(x) = -f(x).
5. Vektorové prostory ­ p. 6/13
5.3 Vlastnosti vektorových prostorů
V ĚTA 1
Nechť V je vektorový prostor s nulovým prvkem o, u  V a nechť
 je libovolný skalár. Pak platí následující rovnosti:
1. 0u = o
2. o = o
3. (-1)u = -u
D ŮKAZ:
1. 0u
VP2
= 0u + o
VP3
= 0u + 0u + -(0u)
VP1
= (0u + 0u) + -(0u) =
VP6
= (0 + 0)u + -(0u) = 0u + -(0u)
VP3
= o.
2. Použijeme-li 1 pro u = o, dostaneme 0o = o, takže
o = (0o)
VP7
= (0)o = 0o = o.
3. u + (-1)u
VP8
= 1u + (-1)u
VP6
= 1 + (-1) u = 0u
1
= o. 5. Vektorové prostory ­ p. 7/13
5.4 Vektorový podprostor
DEFINICE 3
Neprázdná množina U  V je podprostorem vektorového prostoru
V, jestliže U je vektorový prostor vzhledem ke sčítání vektorů a
násobení skalárem v prostoru V.
V ĚTA 2
Množina U  V je podprostorem vektorového prostoru V právě
tehdy, když pro libovolné dva prvky u, v  U a pro libovolný skalár
 platí:
1. u + v  U
2. u  U
D ŮKAZ: Z 2 plyne 0u  U i (-1)u  U, takže podle 1. a 3. věty 1 také nulový
prvek o = 0u i opačný prvek -u = (-1)u patří do U. Ostatní axiomy
vektorového prostoru jsou splněny zřejmě také.
5. Vektorové prostory ­ p. 8/13
5.4 Vektorový podprostor
P ŘÍKLAD 6 Nechť p je pevně zvolená přímka v prostoru
procházející zvoleným počátkem souřadnic. Pak množina všech
polohových vektorů bodů na přímce p tvoří podprostor vektorového
prostoru všech vázaných vektorů v prostoru.
P ŘÍKLAD 7 Pro dané k  1 je množina Pk všech mnohočlenů
stupně menšího než k podprostorem vektorového prostoru F
z příkladu 5.
P ŘÍKLAD 8 Nechť V je libovolný prostor. Pak O = {o} je
podprostorem V, neboť o + o = o a pro libovolný skalár  platí, že
o = o. Vektorový prostor O je nejmenší podprostor daného
vektorového prostoru a nazývá se nulovým podprostorem.
5. Vektorové prostory ­ p. 9/13
5.4 Vektorový podprostor
P ŘÍKLAD 9 Nechť S = {v1, . . . , vk} je konečná množina vektorů
vektorového prostoru V. Množina všech vektorů, které lze zapsat ve
tvaru u = 1v1 +    + kvk je podprostorem vektorového prostoru
V, který nazýváme lineární obal množiny S. Lineární obal dané
množiny vektorů S značíme S = v1, . . . , vk .
P ŘÍKLAD 10 U = {[u1, u2, u3]  R3
: u1 - 2u2 + u3 = 0} tvoří
podprostor vektorového prostoru R3
. Vyřešíme-li soustavu jedné
rovnice o třech neznámých u1 - 2u2 + u3 = 0 dostaneme řešení ve
tvaru u1 = 2t - s, u2 = t, u3 = s s parametry t, s  R. Pak můžeme
podprostor U zapsat ve tvaru:
U = {[2t - s, t, s], t, s  R} = {t[2, 1, 0] + s[-1, 0, 1], t, s  R} =
= [2, 1, 0], [-1, 0, 1] . 5. Vektorové prostory ­ p. 10/13
5.5 Součet a průnik podprostorů
Pro libovolné dva podprostory U, V daného vektorového prostoru
W můžeme vytvořit průnik podprostorů U  V jako průnik množin
U, V a součet podprostorů
U + V = {u + v : u  U, v  V}.
Průnik podprostorů není nikdy prázdný, neboť do něho vždy patří
nulový prvek.
V ĚTA 2
Nechť U, V jsou podprostory vektorového prostoru W. Pak U  V i
U + V jsou podprostory W.
D ŮKAZ: Nechť u, v  U  V, tedy u  U, u  V, v  U a v  V. Jelikož U a V
jsou podprostory téhož prostoru, platí u + v  U a u + v  V, tedy
u + v  U  V, a pro libovolný skalár  platí také u  U i u  V, takže
u  U  V. Důkaz, že U + V je podprostorem W je obdobný.
5. Vektorové prostory ­ p. 11/13
5.5 Součet a průnik podprostorů
P ŘÍKLAD 11 Jsou dány podprostory vektorového prostoru R3
:
U = {[u1, u2, u3]  R3
: u1 - 2u2 + u3 = 0} a
V = {[v1, v2, v3]  R3
: v2 + v3 = 0}
U  V = {[u1, u2, u3]  R3
: u1 - 2u2 + u3 = 0  u2 + u3 = 0} =
= {[u1, u2, u3] : u1 = -3t, u2 = -t, u3 = t, t  R} =
= {[-3t, -t, t], t  R} = [-3, -1, 1]
U + V = {[u1, u2, u3] : u1 = 2t - s, u2 = t, u3 = s, t, s  R}+
+ {[v1, v2, v3] : v1 = p, v2 = -q, v3 = q, p, q  R} =
= {[2t - s + p, t - q, s + q], t, s, p, q  R} =
= [2, 1, 0], [-1, 0, 1], [1, 0, 0], [0, -1, 1]
Jestliže průnik podprostorů U, V daného vektorového prostoru W je
nulový podprostor O, pak se součet U + V nazývá direktní (přímý)
součet podprostorů a značí se U  V. 5. Vektorové prostory ­ p. 12/13
5.6 Vektory v matematice a fyzice
Vektorové prostory zobecňují pojem vektoru
známého např. z fyziky, tj. veličina mající velikost a
směr
Nejedná se o veličiny, které mají velikost a směr
(Co je velikost vektoru z prostoru všech funkcí
F?)
Dokonce i veličiny, které mají velikost a směr
nemusí splňovat axiomy vektorového prostoru
V případě abstraktních vektorů je někdy možné je
pro zjednodušení nahradit "šipkami", tj. veličinami,
které mají velikost a směr.
5. Vektorové prostory ­ p. 13/13