Vektorové prostory a podprostory
1. Nechť F je množina všech reálných funkcí (tj. zobrazení R  R). Pro f, g  F
definujme součet f + g  F takto: (f + g)(x) = f(x) + g(x). Pro f  F, r  R
definujme součin r  f  F takto: (r  f)(x) = r  (f(x)) pro každé x  R. Dokažte,
že F je vektorový prostor nad R.
2. Nechť F je vektorový prostor všech reálných funkcí definovaný v příkladu 1. Rozhodněte,
zda jsou následující množiny podprostory F. Své rozhodnutí zdůvodněte.
(a) W1 = {f  F : f(0) = 1},
W2 = {f  F : f(0) = 0}
(b) W1 = {f  F : 2f(x) - f(0) = 0},
W2 = {f  F : 2f(x) - f(0) = 3}
(c) W1 = {f  F : f(1) = 0  f(-1) = 0},
W2 = {f  F : f(0) = -1  f(1) = 0}
(d) W = {f  F : 2f(x) - f(-x) = 0}
(e) W = Pn, kde Pn značí množinu všech polynomů stupně nejvýše n.
3. Nechť je dán vektorový prostor P2 (prostor všech polynomů stupně maximálně 2).
Rozhodněte, zda je množina W = {p(x) = ax2 + bx + c : a + c = 0  a - b = 0}
podprostorem P2. Své rozhodnutí zdůvodněte.
4. Rozhodněte, zda podmnožina W  Pn je podprostorem vektorového prostoru polynomů
Pn, je-li
a) W1 = {p  Pn : p(x) = p(-x)},
b) W2 = {p  Pn : 2p(0) + 3p(1) = 0},
c) W3 = {p  Pn : p(x) = x2 + ax + b, a, b  R},
d) W4 = {p  Pn : p(x) = ax2 + bx + c, a, b, c  R, a = 0}.
5. Rozhodněte, zda je podmnožina W  Rn podprostorem vektorového prostoru Rn,
je-li W = {(x1,    xn): x1,    , xn  Z}.
6. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R4:
U ={[u1, u2, u3, u4]  R4
: u1 + u2 + u3 - u4 = 0},
V ={[u1, u2, u3, u4]  R4
: u3 + u4 = 0}.
Určete U  V .
7. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R4:
U ={[u1, u2, u3, u4]  R4
: u1 + u2 - u3 + u4 = 0  -u1 - u3 = 0},
V ={[u1, u2, u3, u4]  R4
: u2 - 2u3 + u4 = 0}.
Určete U  V .
8. Jsou dány podprostory vektorového prostoru R3:
U ={[u1, u2, u3]  R3
: u1 + u2 - u3 = 0  u1 - 2u2 = 0},
V ={[u1, u2, u3]  R3
: u1 - u2 - u3 = 0}.
Určete U + V .
9. Udejte příklad vektorového prostoru nad R, který má konečně mnoho vektorů.
10. Udejte příklad nekonečné podmnožiny M v R5 tak, že M není podprostorem vektorového
prostoru R5.
Výsledky
1. F je vektorový prostor nad R.
2. (a) W1 není, W2 je podprostor,
(b) W1 je, W2 není podprostor,
(c) W1 je, W2 není podprostor,
(d) W je podprostor,
(e) W je podprostor.
3. W je podprostor,
4. (a) W je podprostor,
(b) W je podprostor,
(c) W není podprostor,
(d) W není podprostor.
5. W není podprostor.
6. U  V = [-1, 1, 0, 0], [2, 0, -1, 1]
7. U  V = [-1, 2, 1, 0], [0, -1, 0, 1]
8. U + V = [2, 1, 3], [1, 1, 0], [1, 0, 1]