Matice a determinanty
c ÚM FSI VUT v Brně
7. listopadu 2007
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
ˇ Příklad 1.
* Příklad 2.
* Příklad 3.
* Příklad 4.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1. Vynásobte matice:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2


Násobíme první řádek a první sloupec, násobíme čísla na odpovídajících
pozicích, dohromady sčítáme: 2  0 + 1  5 + (-1)  3 = 2.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16 -8


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16 -8 -8


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16 -8 -8
13


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16 -8 -8
13 -2


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 1.
Řešení:


2 1 -1
-3 2 2
0 2 1

 


0 2 2
5 -1 -2
3 0 1

 =


2 3 3
16 -8 -8
13 -2 -3


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2. Spočtěte determinant matice:


1 2 1
0 2 0
3 -1 2


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1
BBBBB 2 1
0 2
BBBBB 0
3 -1 2
1 2 1
0 2 0













= 4
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1 2 1
0
BBBB 2 0
3 -1
BBBB 2
1 2 1
0 2 0













= 4 + 0
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1 2 1
0 2 0
3
BBBBB -1 2
1 2
BBBBB 1
0 2 0













= 4 + 0 + 0
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1 2 1
0 2
|||||
0
3
|||||
-1 2
1 2 1
0 2 0













= 4 + 0 + 0 - (6)
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1 2 1
0 2 0
3 -1
||||
2
1
||||
2 1
0 2 0













= 4 + 0 + 0 - (6 + 0)
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 2.
Řešení:
1 2 1
0 2 0
3 -1 2
=













1 2 1
0 2 0
3 -1 2
1 2
|||||
1
0
|||||
2 0













= 4 + 0 + 0 - (6 + 0 + 0) = -2
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3. Spočtěte determinant matice:




2 1 1 0
-3 -1 -1 1
0 2 2 3
4 1 -1 2




c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: První řádek opíšeme, upravíme druhý řádek:
2 1 1 0
-3 -1 -1 1
0 2 2 3
4 1 -1 2
3
+
2
necháme
necháme
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 2 2 3
4 1 -1 2
Řádek, který jsme upravovali, jsme násobili 2, je tedy třeba výsledek
násobit 1
2.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: Třetí řádek začíná nulou, upravíme čtvrtý řádek:
2 1 1 0
-3 -1 -1 1
0 2 2 3
4 1 -1 2
(-2)
+
necháme
necháme
přičteme
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 2 2 3
0 -1 -3 2
První řádek násobíme (-2) a přičítáme ke čtvrtému.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: V nové matici upravíme třetí řádek:
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 2 2 3
0 -1 -3 2
necháme
(-2)
+
přičteme
necháme
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 0 0 -1
0 -1 -3 2
Druhý řádek násobíme (-2) a přičítáme ke třetímu.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: Upravíme čtvrtý řádek:
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 2 2 3
0 -1 -3 2
necháme
ˇ
+necháme
přičteme
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 0 0 -1
0 0 -2 4
Druhý řádek přičítáme ke čtvrtému.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: Protože ve třetím řádku je více nul než ve čtvrtém, vyměníme
je:
= 1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 2 2 3
0 -1 -3 2
necháme
necháme
ˇ
vyměníme
ˇ
= -1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 0 -2 4
0 0 0 -1
Výměna řádků má za následek změnu znaménka, proto výsledek
násobíme (-1).
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 3.
Řešení: : Výsledek lze tedy psát:
2 1 1 0
-3 -1 -1 1
0 2 2 3
4 1 -1 2
= -1
2
2 1 1 0
0 1 1 2
0 0 -2 4
0 0 0 -1
= -1
2  4 = -2
Matice je ve schodovitém tvaru, její determinant je pak součin prvků
na hlavní diagonále.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4. Spočtěte inverzní matici:


1 0 2
3 -1 1
0 2 -1


c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1


T
Prvek a
11 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem + (součet pozic 1, 1 je sudý).
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3


T
Prvek a
12 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem - (součet pozic 1, 2 je lichý).
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6


T
Prvek a
13 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem +.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4


T
Prvek a
21 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem -.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4 -1


T
Prvek a
22 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem +.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4 -1 -2


T
Prvek a
23 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem -.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4 -1 -2
2


T
Prvek a
31 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem +.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4 -1 -2
2 5


T
Prvek a
32 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem -.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 3 6
4 -1 -2
2 5 -1


T
Prvek a
33 je determinant z označených prvků matice A opatřený
znaménkem +.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 4 2
3 -1 5
6 -2 -1


Matici jsme transponovali. Zbývá určit determinant.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované ma-
tice:

1 0 2
3 -1 1
0 2 -1

 A =


-1 4 2
3 -1 5
6 -2 -1


detA = 11
Determinant určíme pomocí Sarrusova pravidla.
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty
Příklad 4.
Řešení: Výpočet provedeme pomocí algebraicky adjungované
matice:


1 0 2
3 -1 1
0 2 -1


-1
=
1
11


-1 4 2
3 -1 5
6 -2 -1


Podle vzorce A-1 = 1
detAA
c ÚM FSI VUT v Brně Matice a determinanty