RNDr. Jiří Dočkal, CSc. MATEMATIKA I Řešené příklady Uváděné řešené příklady jsou vybrány a řazeny v návaznosti na orientační učební pomůcku Doc.RNDr.Ing. Josef Nedoma, CSc: MATEMATIKA I. Tato sbírka řešených příkladů je určena jako orientační pomůcka pro samostatnou přípravu ke konzultacím kombinovaného studia FSI VUT v Brně. BRNO, září 2002 autor Řazení příkladů: 9 10 11 12 13 14 15 16 Množiny .......... Matematická logika .......... Reálná a komplexní čísla......... Matice a algebraické vektory..... Determinanty .......... Soustavy lineárních rovnic....... Polynomy a jejich podíly ......... Geometrické vektory .......... Analytická geometrie v prostoru Funkce jedné reálné proměnné .. Limita a spojitost ............ Derivace funkce ............. Taylorova věta a aplikace......... Primitivní funkce ............. Riemannův integrál .............. Aplikace Riemannova integrálu . Seznam použité literatury: 1. Eliáš,J.,Horváth,J.,Kajan,L: Zbierka úloh z vyššej matematiky, l.časť (4.vydanie),Bratislava, Alfa,1976 2. Jirásek,F.,Kriegelstein,E,Tichý,Z.: Sbírka řešených příkladů z matematiky. Praha,SNTL-Alfa,1987 3. Mrhačová,LL: Cvičení z lineární algebry, Skriptum, VUT v Brně, ES Brno, 1982 4. Nedoma,J.: Matematika I,Shrnutí a přehled, Orientační metodická pomůcka, rukopis,2002 5. Nedoma,J.: Matematika I. Skriptum FSI VUT v Brně, 2002 6. Skála,L: Matematika I, řešené úlohy pro cvičení, Skriptum, VŠST v Liberci, 1982 7. Tomica,R.: Cvičení z matematiky pro I.ročník, Skriptum, VUT Brno, SNTL Praha, 1965 8. Vosmanská,G.,Rádl,P.: Cvičení z matematické analýzy, Skriptum,(3.vydání), VŠZ Brno,1994 2 3 1. Množiny 1.1.1 Určete všechny podmnožiny množiny M={3, —4,5>. Množina M má tyto podmnožiny: Prázdná množina 0 Podmnožiny o jednom prvku |3],|-4],|5] Podmnožiny o dvou prvcích |3, -4}, {3,5}, |-4,5} Podmnožiny o třech prvcích |3, —4,5 ] = M Množina M obsahuje 8 podmnožin včetně prázdné množiny a dané množiny. 1.1.2 Určete průnik A n B množin A, B , kde A je množina všech prvočísel, B množina všech sudých čísel. A={2,3,5,7,11,...}, B={2,4,6,8,10,...} AnB = {2} 1.1.3 Jsou dány množiny A={ 1,3,5,7}, B={4,5,6,7,8}, C={2,5,6,7,8,9}. Určete a)AnB, BnC b)AnBnC c)AuB, BuC d)AuBuC Hledané množiny jsou : a) AnB={5,7}, BnC ={5,6,7,8} b) AnBnC = {5,7} c) AuB ={l,3,4,5,7,8},BuC={2,4,5,6,7,8,9} d) AuBuC ={1,3,4,5,6,7,8,9} 1.2.1 Jsou dány intervaly A = (-4,3) , B = <-2,2> , C=(l,5> . Určete: a) AljB c) BuC e) An B g) BnC b) AuC d) AuB uC f) AnC h) AnB nC Hledané množiny jsou : a) AuB =(-4,3) c) BuC = <-2,5> e) AnB = <-2,2> b) AuC =(-4,5> d) AuB uC= (-4,5> f) AnC =(1,3) g) BnC =(1,2> h) AnB nC=(l,2> 1.2.2 Jsou dány intervaly A=(-oo,2),B= <1,3> ,C= ( -1,1 ) u < 2, oo) . Určete: a) (AuB) n C b) (CuB) n A c) AnB n C d) AuB u C Výsledné intervaly jsou: a) (AuB)nC = ( -1,1 > u <2,3> b) (CuB) nA = ( -1,2) c) AnB nC = { 1 } d) AuB uC = (-oo, oo) 3 4 2. Matematická logika 2.1.1 Rozhodněte, které z následujících slovních spojení je výrok . Pokud se jedná o výrok, určete jeho pravdivost: a) Číslo x je nezáporné. b) Číslo 5 je záporné. c) Každý obdélník je rovnoběžník. d) Trojúhelník AB C j e pravoúhlý. e) 3:0 je 0 Řešení : a) není výrok, protože o x nic nevíme b) je výrok a to nepravdivý c) j e výrok a to pravdivý d) není výrok, protože o trojúhelníku ABC nic nevíme e) není výrok, protože dělení nulou není definováno 2.1.2 Utvořte negaci výroků: a) dnes je svátek b) všichni žijící lidé jsou menší než 280 cm c) x>l, je-li x reálné číslo Řešení: a) dnes není svátek b) existuje žijící člověk, který má 280 cm nebo více c) x < 1, j e-li x reálné číslo 2.1.3 Utvořte disjunkci v dvou výroků p , q a určete pravdivost složeného výroku, je-li p = číslo 12 je násobkem čísla 2, q = číslo 12 je násobkem čísla 5 , Řešení : p v q = (číslo 12 je násobkem čísla 2) v (číslo 12 je násobkem čísla 5)= = číslo 12 je násobkem čísla 2 nebo 5 Složený výrok je pravdivý přesto, že výrok q je nepravdivý. 2.1.4 Určete konjunkci A dvou výroků p, q, je-li p = reálné číslo x je menší než 2 , q = reálné číslo x je větší nebo rovno číslu -1 , Řešení : p a q = (x<2) a (x>-l) = (-l,2> 4 5 Dosaďte výroky a) b) c) d) Řešení p= Ví p^q p^q q => p ,q^^p 2, q= 3 + 4 = 7 do uváděné výrokové formule a) je-li Ví = -2, pak 3+4=7 b) je-li Ví * -2, pak 3+4=7 c) je-li 3+4=7 , pak Ví = -2, d) je-li 3+4^7, pak Ví.-2, výrok pravdivý výrok pravdivý výrok nepravdivý výrok pravdivý 2.1.6 Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku ((2.3 = 6) v (3.4 = 16)) a (1 < p = (2.3 = 6), q = (3 A = 16), p v q = ((2.3 = 6) v (3.4 = 16)), v = ((2.3 = 6) v (3.4 = 16)) a (1 < 2) Pravdivostní tabulka pak má tvar: p q pvq v 10 11 Z uvedené tabulky plyne, že složený výrok je pravdivý. Určete pravdivostní hodnotu složeného výroku (p^q)<^ (-^p vq)o -,(/? A -,gr) (P <ú <=> (-> P v <ú <=> (p A ■-< ^ <2,3> c) M = (-l,oo) a) sup M = -2 , inf M =-5 , max M neexistuje (otevřená množina), min M =-5 b) sup M = 3 , inf M =0 , max M = 3, min M = 0 c) sup M neexistuje, infM=-l , max M neexistuje (otevřená množina), min M neexistuje 1.2 Zapište pomoci nerovnic s absolútni hodnotou okolí daného čísla o daném poloměru: a) okolí čísla 6 o poloměru 2 b) okolí čísla -3 o poloměru 1 c) okolí čísla 1.5 o poloměru 0.5 Řešením jsou nerovnice: a) (6-2,6+2) = (4 , 8 ) = {xe R; |x - 6| < 2 } b) (-3-l,-3+l) = (-4,-2) = {xe R;|x + 3|<1} c) (1.5-0.52,1.5+0.5) = (1 ,2)= {xe R; |x-1.5| < 0.5 } 1.3 Pomocí binomické věty řešte (2 — v 3 ) (3*) vOy (3*) vly (3°) v2y (3*) (2-Sf = .23.(-V3)°+ ' .23-\(Sy + .23~2.(->/3)2 + ; .23~3.(->/3): v3y 1.8.1 - 3.4.V3 + 3.2.3 -1.1.3.^ = 8 - I2V3 +18 - 3V3 = 26 - I5V3 2.1 Vypočtěte (2 + 3/)2 + (1 - 2/) (2 + 3/)2 + (1 - 2/) = (2 + 3/).(2 + 3/) + (1 - 2/) = 2.2 + 2.3/ + 2.3/ + 3.3/2 +1-2/ = 4 + 6/ + 6/ - 9 +1 - 2/ = -4 +10/ 2-3/ 2.2 Vypočtěte-------- 5 + 2/ 2 - 3/ _ 2 - 3/ 5 - 2/ _ (2 - 3/).(5 - 2/)_________________ 5 + 2/ ~ 5 + 2/' 5 - 2/ ~ (5 + 2/).(5 - 2/) ~ 25 +10/ -10/ - 4/2 10-19/-6 4-19/ 4 19. 10-15/-4/ + 6/2 25 + 4 29 29 29 6 3 Vypočtěte 2 —3z |2 - 3/| = V22+32 = V4 + 9 = Vl3 1 Řešte binomickou rovnici x —1 = 0 ^-1 = 0 (x3-l):(x-l) = x2+X + 1 x2+x + l = 0 x,2=----=--------=----±yJŠj 2 2 x3- x2 + 0 + x2-l x2 - X + 0 +X-1 x - 1 + 0 X0 = 1, X[ =-------h Za/3 , X2 = —X[ =-------h ÍJ3 Zkouška: (x - l).(x +- - i JŠ_).(X + - - í JÍ") = (x - l).(x2 + X + 1) = X3 -1 2 2 Řešte rovnici z +1 = 0. Budeme hledat řešení rovnice převedením na problematiku nalezení kořenů komplexního čísla z = -1 . z5+1 = 0 -> z5=-l -> z = lfÄ číslo z = -1 převedeme na goniometrický tvar -1 = cos;r + /sin;r pak sr— 7T + 2k7T 7T + 2k7T 1 n , _ . „ V-l =cos----------+ z'sin---------- pro k = 0,1,2,3,4. Dostaneme tedy pět kořenů : z0 = cos36° +/'sin36° , zx = cos 108° +7 sin 108° , z2 = cos n + i sin 7t , z3 = cos 252° +7 sin 252° , zA = cos 324°+7 sin 324° . 7 4. 4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.2.1 Vektory a matice Sečtěte vektory a = [l, 4, -2], b = [3, -2,2] a+b = [l, 4,-2] + [3,-2,2] = [1 + 3,4-2,-2 + 2] = [4,2,0] Odečtěte vektory a = [l, 4, -2], b = [3, -2,2] a-b = [1,4, -2] - [3, -2,2] = [1 - 3,4 + 2, -2 - 2] = [-2,6, -4] b-a = [3, -2,2] - [1,4, -2] = [3 - 1, -2 - 4,2 + 2] = [2, -6,4] Platí tedy: a-b= - (b-a) Určete vektor v = 2a, je-li a= [2,-5,1,9,-7] v = 2[2,-5,l,9,-7] = [4.-10,2,18,-14] Určete vektor v = -3a-0b , je-li a=[3,2,-l] b=[0,3,9] v = -3a-0b=-3[3,2,-l] -0[0,3,9] =[-9,-6,3] Jsou dány čtvercové matice A,B,C 3 0 -f 2 5 1 7 -2 0 A a) vypočtěte A+B A+B= b) vypočtěte B-A B-A c) vypočtěte 2.C B -3 2 1 6 5 4 0 2-4 C 1 2 f 2 2 1 0 -1 0 3 0 -f 2 5 1 + 7 -2 0 -3 2 1 ~ 6 5 4 = 0 2 -4 0 2 0" 8 10 5 7 0 -4 -3 2 1 ~ 6 5 4 - 0 2 -4 3 0 -f 2 5 1 = 7 -2 0 -6 2 2 4 0 3 -7 4 -4 2.C=2. 1 2 1" 2 2 1 = 0 -1 0 2 4 2 4 4 2 0-2 0 d) vypočtěte A-3B+2C A-3B+2C O 5 3 2 5 1 7-2 0 9 -6 -18 -15 0 -6 1 4 -3 -12 12 -3 2 6 5 0 2-4 2 4 2 4 4 2 0-2 0 + 2 12 1 3 0 2 2 1 = 25 0 -1 oj ^7 -2 14 -2 -2" -12 -6 -9 7 -10 12 1 O e) vypočtěte (A+B)-(B-A)-2A (A+B)-(B - A)-2A= 0 5 0 2 8 10 7 0-4 6 -2-2 -4 0 -3 7-4 4 -6 2 4 0 -7 4 -6 -4 -14 2 3 -4 0 -10 4 -1 5 1 2 0 0 2 8 10 7 0 2" "0 0 0" -2 = 0 0 0 0 0 0 0 4.2.2 Vypočtěte A+E je-li 2 4 6 8" 1 3 -1 2 5 -3 7 4 , E= 4 2 0 0 1 0 0 0" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 A+E= 2 4 6 8" 1 3 -1 2 5 -3 7 4 + 4 2 0 0 1 0 0 0" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 4 6 8" 1 4 5 7 -1 2 -2 4 4 2 0 1 4.2.3 Vypočtěte A+B , je-li a c d b , B= -a b c -b 1+ B= a d c b + -a c b" -b = 0 c+b d+c 0 9 1 Vypočtete součin matic A.B a B. A, jestliže A= "10" ] -5 7" , B= -3 4 2 9 4 5 7 A.B= " 3 -5 -2 9 "53 29" -9 64 B.A= 1 0 -3 4 5 7 3.1 + (-5).(-3) + 7.5 3.0 + (-5).4 + 7.7" (-2).l + 9.(-3) + 4.5 (-2).0 + 9.4 + 4.7 1 0 -3 4 5 7 3-5 7 -17 51 -5 1 38 63 2 9 1.3 + 0.(-2) l.(-5) + 0.9 1.7 + 0.4 (-3).3 + 4.(-2) (-3).(-5) + 4.9 (-3).7 + 4.4 5.3 + 7.(-2) 5.(-5) + 7.9 5.7 + 7.4 Přesvědčeme se, že platí A. E = E . A = A je-li Ejednotková matice stejného řádu jako matice A, která je tvaru A: A.E= E.A= "3 -7 4 5 _ "3 -7" "1 0" r 4 5 ' 0 1 "1 0" "3 -7" 0 1 4 5 3.1 + (-7).0 3.0 + 0.5" 4.1 + 5.0 4.0 + 5.1 "1.3 + 0.4 l.(-7) + 0.5 0.3 + 1.4 0.(-7) + 1.5 _ 3 -7 4 5 _ "3 "7" 4 5 A A Vypočtěte součin matic A.B a B . A, jestliže A= A.B = B.A = 1 ■4 -2 3 B= 5 7 6 -8 "1 -2" "5 6" -4 3 ' 7 -8 "5 6" "1 -2" 7 - 8 -4 3 -9 22 1 -48 -19 8 39 -38 10 4.3.4 Vypočtěte součin matic A.B a B . A, jestliže A=[5 2 -3] B= A.B = [5 2 -3] B.A = 2 -1 4 [-4] [5 2 -3] 10 4 -6" -5 -2 3 20 8 -12 4.3.5 Vypočtěte součin A , A , je-li A= A2 =A,A= A3 =A ,A.A 3 4 -2 1 3 A -2 1 3 4 -2 1 3 4 -2 1 3 4 -2 1 1 16 -8 -7 "3 4 -2 1 A2.A= 4.3.6 Vypočtěte součin matic A.B , kde 1 2 3 0 1 2 0 0 1 A.B 1 2 3 1 1 1 1 3 5 0 1 2 0 1 1 = 0 1 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1 B 11 4.4.1 Vypočtěte hodnost h(A) matice A,je-li A= 2 4 6-8 0 3 7 -2-15 10 22 8 -18 10 A= 2 4 6-8 0 3 7 -2-15 10 22 8 -18 10 12 3-4 0" 0 1 -11 11 5 0 1 -11 11 5 1(2) 12 3-4 0 \.ř ~ 3 7-2-15 +(l/).(-3) /(2) 5 11 4-9 5 +(l/).(-5) vynech. 12 3-4 0 0 1 -11 11 5 -> h(A) = 2 4.4.2 Vypočtěte hodnost h(A) matice A, je-li A= "1 -1" 2 3 3 2 -1 1 A= "1 -1" 2 3 3 2 -1 1 \.ř -2.(1/) -(\.ř + 2.ř) +l.ř ~ 1 -1" 0 5 "1 -1" 0 0 vynech. 0 5 0 0 vynech. -> h(A)=2 4.4.3 Rozhodněte, pro které číslo a má matice A hodnost h(A)=3 A= -2 0 f 1 2 1 0 3 a A= -2 0 1 2 0 3 -»3/ -»1/ ->2/ 1 2 1 \.ř 0 3a 2.ř -2 0 1 +2.(1 ř) "1 2 f 0 3 a 0 4 3 4 9 h(A)=3 jen pro 3 —a ^ 0 , tedy pro a ^ — lř 2.ř 1 2 0 3 0 0 3 a 4 a 12 13 5. Determinanty 5.1.1 Vypočtěte hodnotu determinantu det A= 3 4 5 -6 det A= 3 4 5 -6 (3).(-6) - (4).(5) = -18-20 = -38 5.1.2 Vypočtěte hodnotu determinantu det A- a c e g det A= a c e g a.g - c.e 5.1.3 Vypočtěte hodnotu determinantu det A- 2 + 3/ 1 + 7 1-7 2-3/ det A= 2 + 37 1 + 7 1-7 2-3/ (2 + 3/).(2 - 37) - (1 + 7).(1 - 7) = (4 + 9) - (1 +1) = 11 5.1.4 Vypočtěte hodnotu determinantu det E- detE= 1 0 0 1 1.1-0.0 = 1 5.1.5 Vypočtěte hodnotu determinantu det C- 1 0 0 1 sin x cos x -cosx sin x detC= sinx cos x - cos x sin x sinx.sinx - cosx.(-cosx) = sin2 x + cos2 x = 1 5.2.1 Vypočtěte hodnotu determinantu -3 4 6 5 -9 10 pomoci Sarrusova pravidla ,10, +2.6.10 + (-3).5.8 + 4.(-7).(-9) 4.6.8 - 2.5.(-9) - (-3).(-7).10 = +120 -120 + 252 -192 + 90 - 210 -60 13 Vypočtěte hodnotu determinantu a b c b c a cab pomocí Sarrusova pravidla a b c b c a cab a.c.b + b.a.c + c.b.a - c.c.c - b.b.b - c.c.c = 3. a.b. c -c -b -a 3 Z.3 „3 3 Vypočtěte hodnotu determinantu det J(r,x,z)= .cosx sin x 0 -r sin x r cos x 0 0 0 1 cos x.(r cos x). 1 + sin x.0.0 + (-r sin x).0.0 - .cos x sin x 0 det J(r,x,z)= -r sin x r cos x 0 0 0 1 -O.(rcosx).0-cosx.0.0-sinx.(-r.sinx).l = r.cos2 x + 0 + O-O-O + r.sin2 x : = r.(cos2 x + sin2 x) = r. 1 = r 4 Přesvědčete se, že determinant matice A a transponované matice A mají stejnou hodnotu, "1 -2 3" když matice A= -6 5 4 7 0 8 Původní matice A- 1 -2 3 -6 5 4 7 0 8 , transponovaná matice A 1 -6 7 -2 5 0 3 4 8 detA= 1 -2 3 -6 5 4 7 0 8 40-56-105-96 = -217 detAT 1 -6 7 -2 5 0 3 4 8 40-56-105-96 = -217 14 15 5.3.1 Vypočtěte hodnotu determinantu 4.řádu detD= 3 2 0 5 12-14 2-760 -8089 pomocí Laplaceovy věty o rozvoji determinantu a to podle 3.řádku detD 2.(-l)3 2 0 5 2 -1 4 0 8 9 3 2 0 5 12-14 2-760 -8089 3 2 5 1 2 4 -8 0 9 + 6.(54 - 64 + 80 -18) = -4 - 861 + 312 = -553 + (-7).(-l)3 3 0 5 1 -1 4 -8 8 9 + 6.(-l) 3+3 2.(-18 + 80-64) + 7.(-27 + 40-40-96) + 5.3.2 Přesvědčete se, že různé rozvoje dají stejnou hodnotu determinantu. Rozviňte determinant 4.řádu 2 10-1 2-113 4 0 12 0 2-1-4 podle l.řádku a podle 1.sloupce 2.(-iy + i(-i)1 + o + (-i).(-iy 2 10-1 2-113 4 0 12 0 2-1-4 = 2.(4 + 4 + 0-6-2-0)-(-8 + 0-12-0 + 4 + 16)+(0 + 0 + 8-0-4-4) = 0-0 + 0 = -1 1 3 0 1 2 2 -1 -4 2 1 3 4 1 2 0 -1 -4 2.(-iy + 2.(-l)2 + 4.(-l)3 2 10-1 2-113 4 0 12 0 2-1-4 = 2.(4 + 4 + 0-6-2-0)- 2.(-4 + 0 + 0 + 2 + 2-0) + 4(-4+ 0-1 + 2 + 3-0) = 0 + 0 + 0 = -1 1 3 0 1 2 2 -1 -4 1 0 -1 0 1 2 2 -1 -4 1 0 -1 -1 1 3 2 -1 -4 15 16 5.3.3 Rozvojem dle řádku samých nul se přesvědčete, že hodnota determinantu A, jehož řádek (sloupec) obsahuje samé nuly má nulovou hodnotu. 12 2 1 detA: detA = + O.(-l) 0 0 1 0 o -1 0 1 2 2 1 0 0 0 1 0 -1 -1 0 1 2 1 2 2 2+4 2 1 0 -1 0 1 o.(-i) 2+1 2 2 1 1 0 -1 0 1 2 -0 + 0-0 + 0 = 0 + O.(-l) 2+2 1 2 2 0 -1 1 -1 + O.(-l) 2+3 2 1 0 5.4.1 Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu det D= 3 2 1 2 1 0 1 0 -1 det D 3 2 1 i l 3 1 3 2 1 0 = 3. 2 1 0 1 0 -1 1 0 -1 '■<-!> 1 1 3 1 3 0 1 2 0 0 0 l.ř -2.(1 r): -1.(1/) 3.(--).1.1.0 3 2 3 3 2 3 3 _2 3 4 3 3.(-i). 3 2 3 1 2 3 3 2 _4 3 \.ř 2.ř +(-)(2/) Zkouška pomocí Sarrusova pravidla : 3 2 1 2 1 0 1 0 -1 3.1.(-1) + 2.0.1 + 1.2.0 - 1.1.1 - 3.0.0 - 2.2.(-l) =-3-1 + 4 = 0 16 Úpravou na trojúhelníkový tvar vypočtěte hodnotu determinantu 3 13 17 4 6 28 33 8 10 40 54 13 8 37 46 11 3 13 17 4 6 28 33 8 10 40 54 13 8 37 46 11 1/ -2.(1 r) _J_ 3 + (-5).(2/)~3.5 .5-4.(3/) 3 13 17 4 0 2-10 0 -20 -3 -1 0 25 14 3 1/ 2.Ť +10.(2/) .4 + 5.(3/) 3.5.4 3 13 17 4 1/ 0 2 -1 0 2/ 1 0 0 -13 -1 3/ "3.5.4 0 0 41 7 +3.(3/) 3 13 0 2 0 0 0 0 17 4 -1 0 -13 -1 2 4 1/ 2/ 3/ 13 + 2.(3/) 1 3.5.4.13 3 13 17 4 0 2-10 0 0 -13 -1 0 0 0 50 3.2.(-13).5Q 3.5.4.13 3 Přesvědčete se, že hodnota determinantu A a determinantu transponované matice k matici Aje stejná. a c . . 2 det A= det AT b -a a b -a a.(-a) - c.b = -a - c.b = a.(-a) - b.c = -a2 - c.b Přesvědčete se, že výměna dvou po sobě jdoucích řádků způsobí změnu znaménka. 1 -2 3 det ,4 -2 1 2 3 2 1 Výměna prvých dvou řádků -2 1 2 1 -2 3 3 2 1 1-12-12-9-4-4 -40 det ,4 4 + 9 + 4 + 12 + 12-1 = 40 17 6. Řešení soustav lineárních rovnic 6.1.1 Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody 2x - 3y + 4z = 8 3x + 5y- z = 10 Ix- y + lz = \5 Í2 -3 4 81 3 5 -1 10 v7 -1 7 15> l.ř +(-l,5).(lr) ~ +(-3,5).(lr) Í2 0 9,5 0 9,5 A -2 -13 \.ř 2.ř +(-l).(2.ř) ^2 -3 0 9,5 0 0 Protože matice soustavy má hodnost h(A)=2 a rozšířená matice soustavy má hodnost h(A | B)=3, nemá soustava A.X=B dle Frobeniovy věty řešení 6.1.2 Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody x + 2^-3z = 5 3x-4y + 5z = 6 (\ 2 -3 3-4 5 5^ \.ř +(-3).(l.ř) (\ 0 -10 14 5^ -9 Matice soustavy i rozšířená matice soustavy mají hodnost h (A)=h (A | B)=2, počet proměnných n=3. Podle věty Frobeniovy je n-h (A) =1 proměnná volitelná. Zvolme tedy z = t. Pak ze soustavy plyne kde t je libovolné reálné číslo y= — (14/ + 9) 10 x = -(t + 16) 18 3 Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody 5x- 5j ; + 5z = 1 x-2y+ z = 0 2x + 3y + 3z = 2 '5 -9 5 \\ f\ -2 1 °1 1/ O -2 L 0^ 1/ 1 -2 1 0 Ir ~ 5-9 5 1 -5.(1/) ~ 0 1 C 1 -5.(1/) v2 3 3 2, v2 3 3 2, -2.(1/) v0 7 1 2, -2.(1/) f\ -2 1 °1 1/ f\ -2 1 °1 1/ ~ 0 1 0 1 2/ ~ 0 1 0 1 2/ v0 7 1 2, -7.(2/) v0 0 1 -5, -7.(2/) pětný chod: z = -5 y: = 1 x = ( )- z + 2 ,y = 5 + . 2 = 7 , když dosadíme vypočtené 4 Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=0 pomocí Gaussovy eliminační metody ť\-i I ZiA') I J ť\-o 4Xj + 7x2 + 5x3 Xj +6x2 + 10x3 Xj + x2 4x, 0 0 0 (\ 2 4 7 5 1 6 10 vl 1 -4y ri 2 0 1 0 o 3 ^ l.ř 4.(1 r) -(1/) -(1/) 3 ^ \.ř 7 -21 2.ř /(-21) n o o o (\ o -1 4 -1 2 1 0 0 1 3^ -i i -i 3\ 1 1/ 2.ř +4.(2.ř) iyynech) (\ 2 0 -1 V° 4 y h (A)—h (A I B)—n—3 , soustava má triviální řešení 3\ -1 1 1/ (-1) ' +(4).(2/) 19 20 Řešte soustavu lineárních rovnic A.X=B pomocí Gaussovy eliminační metody ť\-i 1 ZiA') 1 JA"i = 1 2Xj + 4x2 + 6x3 = 2 2Xj - 6x2 + x3 = 3 fl 2 3 2 4 6 v2 -6 1 2 3 n D 0 0 0 0 -10 -5 1> fl 2 3 1 ^ 0 h D 0 1 I I 2 -1 h(A)=2, h(A/B)=2, n=3, tedy jednu proměnnou volíme jako parametr 1 x3 = t l-2.(- J_ 10 1 10 )-3.t 12 10 ■2ŕ Pomoci Cramerova pravidla řešte soustavu lineárních rovnic x+ _y + 3z = 7 x-3y + 2z = 5 x+ y + z = 3 det(A) det(Ax) det(A) det(Az) 1 1 3 1 -3 2 1 1 1 7 1 3 5-3 2 3 1 1 1 7 3 1 5 2 1 3 1 1 1 7 1 -3 5 1 1 3 -3 + 3 + 2 + 9-2-1 = 8, det(A) ^ 0, tedy soustava má právě jedno řešení -21 + 15 + 6 + 27-14-5 = 8 x= ^ x =- = 1 feífy x = 1 5 + 9 + 14-15-6-7 = 0 ^: det(A) 8 det(Ay) o det(A) 8 0 tedy y = 0 -9 + 7 + 5 + 21-5-3 = 16 z = det(Az) = — = 2 teífy z = 2 det(A) 8 20 21 7.1.1 7.1.3 7.1.4 7.2.1 Polynomy a jejich podíl Rozložte polynom 2x +3x + lna součin kořenových činitelů. 2x2 + 3x +1 = 2x2 + 2x + x +1 = 2x(x +1) + (x +1) = (x + l)(2x +1) nebo 2x2 +3x + l = 0 -^ x12 = 1 -3 ± V9-8 -3 ± 1 2.2 "-, X2 ="! 2x2 + 3x +1 = 2.(x + -).(x +1) = (2x + l)(x +1) 7.1.2 Rozložte polynom X — 3X —2 na součin kořenových činitelů. x3 - 3x - 2 = x3 - 4x + x - 2 = x(x2 - 4) + x - 2 = x.(x - 2).(x + 2) + x - 2 = (x - 2)(x2 + 2x +1) = (x - 2).(x +1)2 Rozložte polynom x +7x +12 na součin kořenových činitelů. x2 +7x + 12 = (x + 3).(x + 4) Rozložte polynom x — 7x +14x —8 na součin kořenových činitelů. x3 - 7x2 + 14x - 8 = x3 - 8 - 7x(x - 2) = (x - 2)(x2 + 2x + 4) - 7x(x - 2) = = (x-2)(x2 +2x + 4-7x) = (x-2)(x2 -5x + 4) = (x-2)(x-l)(x-4) 7.1.5 Rozložte polynom X — 3x +4 na součin kořenových činitelů. x3 -3x2 +4 = x3 -2x2 -x2 +4 = x2(x-2)-(x2 -4) = (x-2)(x2 -x-2) = (x-2)2(x + l) Užitím Homérova schématu rozložte na součin kořenových činitelů x5 + 2x4 - 9x3 - 4x2 + 30x - 36 2 -9 -4 30 -36 1 3 -6 -10 20 -16 -1 1 -10 6 24 -60 2 4 -1 -6 18 0 2 6 11 16 50 -2 2 -5 4 10 3 7 20 54 180 -3 1 -4 6 0 -3 -2 2 0 x5 + 2x4 -9x3 -4x2 +30x-36 = (x-2)(x4 +4x3 -x2 -6x + 18) = (x - 2)(x + 3)(x3 + x2 - 4x + 6) = = (x-2)(x + 3)2(x2-2x + 2) 21 Užitím Homérova schématu rozložte na součin kořenových činitelů x6 - 6x5 +1 lx4 - 2x3 - 12x2 + 8x -6 11 -2 -12 8 0 0 -6 11 -2 -12 8 0 1 -5 6 4 -8 0 1 -4 2 6 -2 -1 -6 -2 -8 0 -1 -7 19 -27 2 -4 4 0 2 -2 0 2 0 x6 - 6x5 +1 lx4 - 2x3 - 12x2 + 8x = x(x - l)(x + l)(x - 2)3 1 Rozložte racionálni lomenou funkci f {x) (x + l)(2x +1) na parciálni zlomky A +—— /.(x + l)(2x + l) (x + l)(2x + 1) x +1 2x +1 x =A(2x + \) + B(x + \) x =x(2A + B) + (A+B) tedy A = \, B = -1 x 1 -1 ■ + ■ (x + l)(2x + 1) x +1 2x +1 2A + B = l A + B = 0 x -6x +llx-5 2 Rozložte racionálni lomenou funkci f (x) (x-2) x-6x+llx-5 A B C na parciálni zlomky D /.(x-2)4 (x-2)4 x-2 (x-2)2 (x-2)3 (x-2)4 x3 - 6x2 +1 lx - 5 = A(x - 2)3 + B(x - 2)2 + C (x - 2) + D x3 - 6x2 +1 lx - 5 = ^(x3 - 6x2 + 12x - 8) + B(x2 -4x + 4) + C(x-2) + D vyřešením soustavy pro A, B, C, D dostaneme A = \, 5 = 0, C = -l, D = \ x3 - 6x2 +llx-5 1 -1 1 (x-2)4 x-2 (x-2)3 (x - 2)4 22 „, ^ öx — 31 3 Rozložte racionální lomenou funkci / (x) = —=-------------- na parciální zlomky x2 -9x + 14 8X-31 A B .. „, „. +------ /.(x-7)(x-2) x2-9x + 14 x-7 x-2 8x-31 =A(x-2) + B(x-7) užijeme dosazovací metodu x = 2 -> 16-31 = 5(2-7) -> B = 3 x = 7 -> 56-31 = ^(7-2) -> A = 5 8x-31 5 3 ■ + - x2-9x + 14 x-7 x-2 4 Rozložte racionální lomenou funkci f(x) =-------— na parciální zlomky l + x 1 1 A Bx + C ,„ 3, /.(l + xj) l + x (x + l)(x -x + 1) x + 1 x-x + 1 1 = A(x2-x + \) + (Bx + C)(x + \) 1 =x2(A + B) + x(-A + B + C) + (A + C) A + B = 0 -A + B + C = 0 -> A = - , B = -- , C = - 3 3 3 A +C = \ 1 111 x-2 l+x 3x+l 3x-x+1 x3 + x -1 5 Rozložte racionální lomenou funkci fix) = —r-------— na parciální zlomky (x2 + 2)2 x3+x-l Ax + B Cx + D ,, 2 „x2 —7------T = —7------+ ^------T Mx +2) (x2+2)2 x2+2 (x2+2)2 x3 +x-\ = (Ax + B)(x2 +2) + Cx + D x3 + x -1 = x3 (A) + x2 (B) + x(2^ + C) + (25 + Z)) ^ =1 5 =0 2A +C =1 -> C = -l , D = -\ 2B +D = -l x3+x-l X x + 1 (x2+2)2 x2+2 (x2+2)2 23 24 8. Geometrické vektory .1.1 V trojúhelníku ABC je AB = a , BC = b , S je střed strany BC, T těžiště trojúhelníka . Pomocí vektoru a a b určete vektory AC , AS , AT. — — — - r — - lr — 2— 2- 1^ AC=AB+BC=a+b, AS = a+-b , AT = -AS=-a+-b 2 3 3 3 .1.2 Určete projekci vektoru a na přímku p , je-li dáno q> = — , \a\ = 2. 4 ' ' ap a TT „sÍ2 i- .cosß» , proto an = 2.cos— = 2.-----= V2 p 4 2 ;.2.1 Jaké musí být číslo x, aby dané dva vektory a = xi+5j , b = 3i - j byly kolineární. Musí platit a = k.b —» 5j =-k.j ^> k =-5 . Tedy je x=Ä:.3 = (-5).3 = -15 .2.2 Vyšetřete, zda dané tři vektory a= k , b = i-j-k , c = i-j + k jsoukomplanární. Jestliže ano, nalezněte vztah mezi nimi. Pro závislost musí platit m.a + Tl.b + p.c = 0 , tedy musíme řešit soustavu tří lineárních rovnic 0.m + l.n + l.p = 0 0.m-l.n-\.p = 0 1 m -1 .n +1 .p = 0 Z prvních dvou rovnic plyne/» = -1 a n = 1 , dosazením do třetí rovnice je m = 2. Dané tři vektory jsou komplanární. .3.1 Vynásobte skalárně vektory a = (3i-2j) , ô=(z' + 4y'). ab = (3/ - 2y).(z + 4/) = 3.1 + (-2).4 = -5 ;.3.2 Vynásobte skalárně vektory a = 2i + 3j + 3llk , b=-2i + 2j + lÍ4k. ab = (2/ + 3y + l/2k).(-2i + 2y + Ä) = 2.(-2) + 3.2 + ^2 .^4 = -4 + 6 + 2 = 4 24 3 Určete úhel vektorů a = 3i + 2j , b =i + 5 j . a = 3i + 2j , b =i + 5j coscp ab 3.1 + 2.5 13 13 \a\ V32+22.Vl2+52 V13.V26 I3.V2 V2 tedy (p ■■ TT 4 Zjistěte, zda vektory a=2i-5j + k , b = 3/ + 2 j + 4k jsou na sebe kolmé. a = 2/ - 5 j + k , o=3/' + 2 j + 4£ cos^» ab 2.3 + (-5).2 + 1.4 \a\ ^22 + (-5)2 +12 .V32 + 22 + 42 O . TT — .— = O -^

'-92z + 306 = 0 57x + 21.y + 46z-153 = 0 Tedy rovnice je tvaru 57x+21y+46z-153=0. Určete rovnici roviny, která prochází body M[3,4,5 ] aN[-6,7,2] a je kolmá k rovině 2x- 3y +4z -5=0. Vektor 1I2 normály hledané roviny je kolmý k vektoru MN =(V2—i"i)=(-9,3,-3) a k normálovému vektoru ni (2,-3,4) dané roviny, a proto je ni = {ri—i"i) x ni. Rovnice hledané roviny je pak (r- i"i). n2 =0 respektive (r- ri). n2 =0 . 3 i +30 j+21 k = (3,30,21) * J ' n2= -9 3 -3 2-3 4 (r- ri) = (x-3,y-4,z-5) , (r- r2 ) = (x+6,y-7,z-2) pak rovnice je tvaru 3(x-3)+30(y-4)+21(z-5)=0 , nebo 3 (x+6)+3 0(y-7)+21 (z-2)=0 . Po úpravách dávají obě rovnice týž výsledek x + 10y + 7z - 78 =0 Napišme obecnou rovnici roviny , která j e určena parametrickými rovnicemi x= 3 - 2u + 3v , y= 1 + u - 2v , z= 3 -4u + v . Z daných tří rovnic vyloučíme nejprve parametr u . Dostaneme x + 2y = 5 - v , z + 4y = 7 -7v . Vyloučením parametru v z těchto dvou rovnic dostaneme -7x - 10y + z = -28 . Po úpravě je obecný tvar rovnice roviny 7x + 10y -z - 28 = 0 . 27 28 9.2.2 Napište parametrické rovnice roviny určené třemi body A[3,-4,5], B[-5,7,3], C[2,4,-5] Platí AB = s(-$,ll,-2\ AC =t(-l,8,-10) .Tedy parametrické rovnice jsou x = 3 - 8u - v , y = -4 +llu + 8v, z = 5 - 2u -lOv . 9.3.1 Určeme vzdálenost bodu T[3,6,1] od roviny x+lOy +7z-78 = 0. Ze vzorce o vzdálenosti plyne 13+10.6+7.1-781 8 Wó v ^(1 + 100 + 49 VÍ5Ô 15 9.3.2 Určete úhel rovin x + y + z+l = 0 a x-5y-4z + 3 = 0 . Jde o ostrý úhel, který svírají normály obou rovin. Vypočteme jej pomocí skalárního součinu těchto normálových vektorů ni (1,1,1) a 112 (1,-5,-4). COS<£> \nvn2\ 1 — 5 — 4 K|.|«2| V3.V42 VÍ26 9.4.1 Napište rovnici přímky dané dvěma body M[2,9,3] aN[5,3,ll]. Směrový vektor přímky M>V=s(5-2,3-9,ll-3)=s(3,-6,8). Parametrické rovnice přímky jsou x = 2 + 3t , y = 9 - 6t , z = 3 + 8t. nebo x = 5 + 3t , y = 3 - 6t , z= ll + 8t. Vyloučením parametru dostaneme kanonický tvar rovnice přímky x-2 y-9 z-3 x-5 y-3 z-ll -------=-------=------ nebo ------=-------=-------- . 3-6 8 3-6 8 Přímku můžeme také určit jako průsečnici dvou rovin. Rovnice dostaneme vyloučením parametru t z parametrických rovnic, takže daná přímka je dána vždy dvojicí rovnic : 2x +y = 13 , 4y + 3z = 45 nebo 2x+y= 13 , 8x-3z = 7 nebo 4y + 3z = 45, 8x-3z = 7 . 9.4.2 Napište rovnici přímky , která je rovnoběžná s přímkou p , určenou body A[2,l,3], B[7,3,l] a prochází bodem C[-3,5,9] . Směrový vektor dané přímky je AB = s(7-2,3-l,l-3)= s(5,2,-2) . x + 3 y-5 z-9 Kanonické rovnice mají tvar -------=--------=------- , 5 2-2 Nebo jako průsečnice dvou rovin 2x - 5y + 31 = 0 a 2x + 5z -39 = 0 28 x y + 1 z -3 5.1 Vypočtěte vzdálenost bodu M[3,-5,-4] od přímky — =------=------ . 7 6 2 Bodem M proložíme rovinu kolmou k zadané přímce. Obecná rovnice roviny je tvaru 7(x-3) + 6(y+5) + 2(z+4) = 0 , úpravou 7x + 6y + 2z + 17 = 0. Přímku vyjádříme jako průsečnici dvou rovin ve tvaru 6x-7y=7 a 2x-7z = -21 . Řešíme tedy soustavu tří rovnic o třech neznámých 7x + 6y + 2z =-17 6x - 7y =7 2x - 7z = -21 , která má právě jedno řešení 119 191 233 P[------, - — ,----], což je průsečík přímky s rovinou. 89 89 89 Vzdálenost bodu M od zadané přímky je vzdáleností bodů M a P 119 , 191 , 233 , 6297 v = MP= (---------3)2+(-------+ 5)2+(-----+ 4)2 =...= ------ V 89 89 89 V 89 5.2 Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x = t +1 , y = -2/ - 1 , z = 3ř + 2 a roviny p : x- y - z = 0 Dosazením z rovnice přímky do rovnice roviny dostaneme / + 1 - (-2/ - 1) - (3/ + 2) = 0 2/ = 0 ->■ / = 0 ->■ tedy přímka p leží v rovině p 5.3 Určete úhel přímky p: x = t + 1 , y = t + 2 ,z = 3 , který svírá s rovinou p : 2x + 4y + 4z-3 = 0. Normálový vektor roviny je: ň =(2,4,4) , směrový vektor přímky je : s =(1,1,0). Tedy úhel q>, který svírá přímka s rovinou získáme z rovnice \n.š\ \2.1 + 4.1 + 4.01 6 1 H\s\ V22+42+42.Vl2+l2+0 6.V2 sil TT odkud plyne q> = —. 4 5.4 Vypočtěte ostrý úhel dvou rovin p : x + y + zV2 =3 , r : x - y + z\j2 = -2 Ostrý úhel dvou rovin je ostrý úhel jejich normál, tedy platí \np.ňT\ |l.l-1.1 + V2.V2I 2 2 CO S Cp ňP\\nÁ Vi2+i2+vľ.Vi2+(-D2+vľ ^^ 4 2 7t 9 = - 29 30 10. Funkce jedné proměnné 10.1.1 Určete sudost, lichost a periodičnost funkcí: a) f(x) = 6-sin 2x b) f(x) = -.x3 2 c) f(x)=2 (x-l) Zadané funkce mají tyto vlastnosti: a) f(-x) =6.sin2(-x) =-6.sin2x = - f(x) f(x + A7i) = 6.sin2(x+4;r)=6.sin2x = f(x) —> lichá funkce —> periodická funkce b) /(-x)=-(-x)3=-(-l)3.(x)3 = 2 2 polynom není periodická funkce 1 (x)3 = -f(x) —» lichá funkce c) /(-x)=2(-1)=2-(*+1)^-/(x) /(_x)=2(-^)=2-(-^ /(x) exponenciální funkce není periodická funkce —> není lichá funkce —> není ani sudá funkce 10.2.1 Určete definiční obor funkce f(x) = ln(x — 1) Zadaná funkce je posunutý přirozený logaritmus o jedničku doprava. Pro argument této funkce platí nerovnice (x -1) > 0 —» x > 1 —» x G (1, oo) Tedy D(f) = {x g D ; x > 1} 30 31 10.2.2 Určete definiční obor funkce f(x) = arcsin 2-x 4 1.5- O.í 2 -0.5 -1--1.5- iX 4 B Složená cyklometrická funkce má za argument polynom 1.stupně. Tento argument je tedy určen nerovnicí 2-x ■1<-------<1 ^-4<2-x<4 -^ -6<-x<2 4 -2 Definiční obor D(f) = {xgD ;-2 Jestliže an =-------- 3n ,. ,. 2« + l ,. 2n ,. 1 2,. 1 1,. 1 2 ft 2 hman = lim--------= lim-----h lim— = — hml + —lim— = —+ 0 = — «->«> n^oo 2n "^°° 3n "^°° 3« 3 "^°° 3 "^°° «3 3 _ n2 - n + 2 1.2 Vypočtěte limitu posloupnosti |an] Jestliže " n3+1 ,. n2-n + 2 lim an = lim--------------= (v čitateli je polynom n—>co n—>co ^ _)_ 2 nižšího stupně než ve jmenovateli, proto limita)=0 2.1 Vypočtěte limitu lim(x2-x + l) x->2 lim(x2 - x +1) = lim x2 - lim x + lim 1 = (lim x)2 - lim x + lim 1 - x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 x—>2 = 22-2 + 1 = 4-2 + 1 = 3 nebo přímo dosazením do polynomu —2 —2 + 1 = 4 — 2 + 1 = 3 ^TX 2.2 Vypočtěte limitu lim(x - l).(sin-----) x^2 4 TCX TCX 71 lim(x-l).(sin—) = lim(x-l).lim(sin—) = (2-1).sin— = 1 x->2 4 x->2 x->2 4 2 2.3 Vypočtěte limitu x3-3x + 2 hm- *->! x3 - x2 - X + 1 x3-3x + 2 ,. (x - l)(x2 + x - 2) ,. (x2+x-2) lim—----------------= lim-------—-------------- = lim---------------- ^ x3 - x2 - x +1 ^ (x - l)(x2 -1) ^ (x2 -1) ,. (x-l)(x + 2) ,. (x + 2) 3 = lim-------—-------- = lim--------- = — *-* (x-l)(x + l) ^ (x + 1) 2 32 33 ,. cos x-sin x 11.2.4 Vypočtěte limitu lim- x_>- cos2x 4 ,. -cosx + sinx ,. -(cosx-sinx) ,. -(cosx-sinx) lim------------------= lim ----------—— = hm- cos2x X^L cos2 x-sin2x *_,£ (cos x - sin x)(cos x + sin x) 4 4 4 lim ^ (cos x + sin x) yfl yfl Ji .. sinx sin5x 11.2.5 Pomocí vztahu lim------= 1 vypočtěte limitu lim-------- x—>0 j£ x—>0 x .. sin5x _ ,. sin5x í ^ ,. sin5x nl _ 1 _ lim--------= 5.lim--------= < protože lim--------= 1> = 5.1 = 5 x^O x x^O 5X x^O 5X 11.3.1 Vypočtěte jednostrannou limitu pomocí substituce x=a-t (resp.x=a+t) |x-2| a) lim x^2- x-2 x-2| Výpočet: b) lim x^2+ X_2 x-2 (2-0-2 -ř t a) lim J------- = limJ-------------- = limJ—- = - lim - = - lim 1 ^2- x-2 í^o (2 -1) - 2 ř^° -t ř^° ŕ ř^° |x-2| |(2 + ř)-2| \t\ t b) lim-------- = lim--------------L = lim — = lim - = lim 1 = 1 *->2+ x-2 ř^° (2 +1) - 2 ř^° t ř^° ŕ ř^° 11.3.2 Vypočtěte jednostrannou limitu lim(3x-5) x—>3- lim (3x - 5) = lim(3(3 -t)-5) = lim(4 - ř) = lim 4 = 4 x->3- r->0 r->0 r->0 ,. 2x-l 11.4.1 Vypočtěte nevlastní limitu lim - *->2 ln(x -1) 2x-l ,. 2(2-0-1 ,. 3-ř lim-----------= lim-----------------= lim----------= -qo *->2- ln(x -1) ř^° ln((2 -0-1) ř^° ln(l - 0 2x-l ,. 2(2 + 0-1 ,. 3 + r lim-----------= lim-----------------= lim---------- *->2+ ln(x -1) ř^° ln((2 + 0-1) ř^° ln(l + 0 33 ,. 2x-l 11.4.2 Vypočtěte nevlastní limitu lim-------- x^3 9 _ x2 .. 2x-l ,. 2(3-0-1 ,. 5-2ř lim-------- = lim—------—- = lim--------- = +oo *-*- 9 - x2 '-*> 9 - (3 - ff ř^o 6ř - ŕ2 ,. 2x-l ,. 2(3 + ř)-l ,. 5 + 2r ,. 5 + 2t lim-------- = lim —------—- = lim---------- = -lim--------- = -qo *^3+- 9 - x2 ř^° 9 - (3 + tf ř^° -6t - f ^° 6t + f X lim 11.5.1 Vypočtěte limitu funkce v nevlastním bodě x^+°° x +1 1 1 lim------= lim------= lim------= lim------= 1 t t ,. 2x2+3 lim . 11.5.2 Vypočtěte limitu v nevlastním bodě x^°° V3 X -1 2xz+3 ,. 2 + 3x~z + x1^^ 2 + 3.0 2 ,. _c2+3 :x2 ,. ° ' °"~2 lim , =—- = lim V3x4-i:*2 ^°°V3-x-4 /3_lim± JŠ-® J* 1 x i lim(l + —) = e resp. lim(l + x)x =e 11.5.3 Vypočtěte pomocí vztahů x^°° x 3 limitu v nevlastním bodě lim(l H—) X—>co X lim(l + -f = lim(l + — fz = (lim(l + -)z )3 = e3 11.5.4 Vypočtěte pomocí vztahů lim-------= 1 resp. lim--------= lna limitu x—>0 j£ x—>0 j£ 2x i 2x i z i ,• ß -1 ~,- ß -1 ~ ,• e -1 hm---------= 2hm---------= 2.hm-------= 2.1 = 2 34 35 2 11.6.1 Zjistěte, kde je nespojitá funkce f(x) (x-1)2 fix) =---------- i e racionální funkce, která není definovaná v nulovém bodě jmenovatele (x-1)2 x-l = 0 ->■ x = l , aleje definovaná v levém i pravém okolí tohoto bodu. Tedy funkce v bodě x=l není spojitá. 11.6.2 Zjistěte, kde je spojitá funkce f(x) = sin(2x + 7t) 71 f(x) = sin(2x + 7t) je goniometrická funkce sinx posunutá o — se základní periodou ti. 2 Je definována pro všechna reálná čísla. Jde tedy o funkci spojitou v R. 35 36 12. Derivace funkce 12.1.1 Vypočtěte 1.derivaci funkce /(x)=6.sinx f'(x) = 6.C0SX 12.1.2 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) = ex -2.1nx 2 12 /'(*) = ť x 12.1.3 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) = 5x4 - 4x3 + 8x2 - 7x - 6 f'{x) = (5x4 - 4x3 +8x2 -7x-6)'=(5x4)'-(4x3)'+(8x2)'-(7x)'-(6)' = 5.4.x3 -4.3.x2 + 8.2.x-7-0 = 20x3 - 12x2 + 16x-7 1.4 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) = \Jx.(x3 --Jx +1) i i i f(x) = (Vx.(x3 - Vx +1))'= (x2 .x3 - X2 .X2 + x2 )'= (x2 - X + X2 )' 7 I i ! T 7 2 r i ! = —X2-l + —X2 =—X VX-1 +----;= 2 2 2 2V^ 12.1.5 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x)=\0x-5\og2x f\x) = (10x - 51og2 x)' = (\0xy- 5.(log2 x)' = 10x.lnl0- 5.-.— x ln2 12.2.1 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) = (x2 -3x + 3).(x2 +2x-l) fix) = ((x2 - 3x + 3).(x2 + 2x -1))'= (x2 - 3x + 3)'.(x2 + 2x -1) + (x2 - 3x + 3).(x2 + 2x -1)'= = (2x - 3).(x2 + 2x -1) + (x2 - 3x + 3).(2x + 2) = 2x3 - 3x2 + 4x2 - 6x - 2x + 3 + 2x3 - 6x2 + + 6x + 2x2 - 6x + 6 = 4x3 - 3x2 - 8x + 9 12.2.2 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x)= sin x. cos x fix) = (sin x. cos x)' = (sinx)'.cosx + sinx.(cosx)' = cosx.cosx + sinx.(-sinx) = = cos2 x - sin2 x = cos 2x 36 37 arcsin x 12.2.3 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) =x.\l- X2 + ; f'(x) = (x.Vl - x2 + arcsin x)' = (x.vl - x2)' + (arcsin x)' = (x)'.Vl - x2 + + x.(vl - x2)' + (arcsin x)' = \ll-x2 +x. -2x 1 ■ + - 2.Vl - x2 Vl-x2 r------- xl 1 (l-x2)-x2+l VI - x - , + - v ' 4\-x2 4\-x2 4 \-xL 2.(1-x2) 2V1" 12.3.1 Vypočtěte 1.derivaci funkce fix) 2x l^x~2 /X*) 2x ^ (2x)'.(l-x2)-(2x).(l-x2)' 1-x2 ,2\2 (1-x2) 2.(l-x2)-2x.(-2x) 2(1+ x2) 2\2 (1-x2) 2\2 (1-x2) 12.3.2. Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) sinx f „* X f\x) (ex)'.sinx-ex.(sinx)' _ ex.sinx-ex cosx vsinxy (sin x)2 sin2 x ex. (sinx -cosx) sin2 x 12.3.3 Vypočtěte 1.derivaci funkce f(x) 1-lnx 1 + lnx /'(*) 1-lnx Y (l-lnx)'.(l + lnx)-(l-lnx).(l + lnx)' ( x)(1 + lnx) 0 lnx">(J 1 + lnx (--).((l + lnx) +(1-lnx)) x____________________ (1 + lnx)2 (1 + lnx)2 _2 "x -2 (1 + lnx)2 x.(l + lnx)2 (1 + lnx)2 12.4.1 Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f(x) — sin- f'(x) = (sin—)' = cos—.(—)' = cos—.(—) = —cos — 2 2 2 2 2 2 2 37 38 12.4.2 Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f(x) =arccos 2x2-5 /'(*) arccos- 2x2-5^ v ^9-(2x2-5)2 '3 ^J9-{2x2 -5)2 12.4.3 Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f(x) —e 'l+x f(x) = (e^y=(e^~x).(JlTx)' Jl+x žVT 12.4.4 Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f(x) = arctan(5x - 3) f'(x) = (arctan(5x - 3)) , (5x-3)' l + (5x-3)2 l + 25x2-30x + 9 25x2-30x + 10 12.4.5 Vypočtěte 1.derivaci složené funkce f(x) — X 2x ,2x 2x.lnx\ř / 2x.lnx f(x) = (xzx)' = (ezxmx)' = (ezxmx).((2x)'.lnx + 2x(lnx)') = = (x2x).(21nx + 2x-) = (x2x).(21nx + 2) = 2.(x2x).(lnx + l) 12.5.1 Vypočtěte 2.derivaci složené funkce f(x) — sin2x f'(x) = (sin2x)'= 2cosx f"(x) = (2cosx)' = -2sinx 12.5.2 Vypočtěte 2.derivaci složené funkce f(x) ex-e-x /'(*) /"(*) fex-e-^ ex+e-x { 4 J íex +e-x^ f 1 4 fex -e x\ { 4 , l 4 ) 38 2x 12.5.3 Vypočtěte derivaci složené funkce fix) 1-x2 2x f(x) 1-x2 ,„ x , 2x ^ 2.(l-x2)-2x.(-2x) 2x2+2 2(x2+l) y-xl) (i-x2)z (i-x2)z (1-x2) 12.5.4 Vypočtěte 3. derivaci složené funkce fix) = 5x f{x) = 5x3 2 fix) = 15x /"(x) = 30x /"'(x) = 30 12.6.1 Vypočtěte l.a 2. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi x = 2(72 +1) , y = 2ŕ x = lit2 +1) , x = It , x = 2 .y = 2/ , ý = 6t2 , y = \2t y=— -> y= — = 3ŕ x 2ŕ r, ,ý< yx-x.ý ,, I2t.2t-2.6t2 \2t2 3 / = (-) =--------------7-^- -» /' =--------------------------------------- = --------— = — x x3 (20 8ŕ3 2ŕ 12.6.2 Vypočtěte l.a 2. derivaci funkce zadané svými parametrickými rovnicemi x = cost , _y = sin ŕ x = cos ŕ , x = -sinŕ , x = -cos t y = sin t , j; = cos ŕ , ý = -smt , ý , cost y = — -» / =-------= -cotŕ x -sin ŕ „ _ ý- _ y.x-x.ý ,, _ (-sin0(-sin0-(-cos0(cos0 y ~\.)~ .3 y ~ , s 3 xx (- sin 0 sin2 ŕ + cos21 -1 -sin3 ŕ sin3 ŕ 39 40 13. Taylorova věta a aplikace 13.1.1 Vypočtěte diferenciál df(x) funkce f(x) = 2(x2) df(x) = f(x).dx = (2(x-2)ydx = (2(x-2).ln2)dx 13.1.2 Vypočtěte diferenciál df(x) funkce f(x) = 3 cos-------v bodě x0 = 7t. 4f(x0) = f'(x0).(x-x0) = (3cos^—)Jx =JJ.y(x-7ť) = 3 = — (- sin(;r - 7t)).(x - 7t) = 0.(x - 7t) = 0 13.1.3 Vypočtěte drahý diferenciál d2f(x) funkce f(x) = tan x . d2 f (x) = f"(x).(dx)2 = (tanx)-.(dx)2 = (—!— )'.(dxf = -2^^(dxf sin x sin x 13.2.1 Vypočtěte Taylorův rozvoj 3.stupně funkce f (x) =------ v bodě x0 = 3 l-x /W = TJ- = (1-X)-1 1-x 1-3 2 /'(x) = (-l).(l- x)2. (-!) = -!— (l-x)2 r(3) - l - l /(3) (1-3)2 4 f"(x) = (-2).(l-x)-\(-l) = -^— (l-x) fY3) - 2 - 2 - ! / vJ/ — i — — (1-3)3 -8 4 f'"(x) = 2.(-3).(l - xr.(-l) = —*— (1-x) (1-3)4 16 8 1 =/(3)+/'P)(x_3)+/"(V l-x 1! 2! -3f + f'V\x 3)3 = 3! 1 3 = -- + -(x-3) + ^(x-3)2+-8-2 4 2 6 (x-3)3 = = -- + -(x-3)--(x-3)2+— (; 2 4 8 16 t-3)3 40 41 13.2.2 Vypočtěte Maclaurinův rozvoj funkce f(x) = COS X f(x) = cosx /(0) = 1 /'(*) =-sin x /'(0) = 0 /"(*) =-cos x /"(0) = -l /'"(*) = sin x /'"(0) = 0 /""(x) = cosx /""(0) = 1 1! 2! 3! 4! = l + 0--x2+0 + — x4+0-.... 2 24 13.3.1 Zjistěte, kde funkce fix) = x - 3x -1 je rostoucí, klesající, akde nabývá svého lokálního minima a maxima. f(x) = x3 - 3x -1 f'(x) = 3x2 - 3 -> 3x2 - 3 = 0 3.(x2-l) = 0 ->3.(x-l).(x + l) = 0 stacionární body x: = 1, x2 = -1 /(-2) = 12-3 = 9 >0 /(O) = -3 <0 /(2) = 12-3 = 9 >0 V intervalu (-oo,-l) funkce roste, v intervalu (-1,1) funkce klesá, v intervalu (l,oo) funkce roste. Bod x=-l je bodem lokálního maxima, bod x=l bodem lokálního minima. 13.3.2 Zjistěte, kde funkce fix) = e % Je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého lokálního minima a maxima. f{x) = e2* f\x) = 2e2* > 0 f'(x)>0 —> l.derivace je stále kladná funkce je rostoucí na celém definičním oboru D(f)=R, nemá žádné extrémy 13.3.3 Zjistěte, kde funkce fix) =------- je rostoucí, klesající, a kde nabývá svého x + 3 lokálního minima a maxima. 2 , -2 fix) =------- f ix) =---------7 < 0 s výjimkou bodu x=-3, kde f(x) není definovaná x + 3 (x + 3) Funkce je tedy po částech rostoucí na intervalech (-oo,-3), (-3,oo) 41 42 13.4.1 Zjistěte inflexni body, konvexnost a konkávnost funkce f(x) = (x ~ 1) • f{x) = (x -1)3 , f{x) = 3(x -1)2 , Z"(x) = 6(x -1) f"(x) = 0 —» 6(x -1) = 0 —» x = 1 je inflexni bod f"(0) = —6< 0 , f"(2) = 6 > 0 , tedy na intervalu (-oo,l)je funkce konkávni (pod tečnou) na intervalu (l,oo) je funkce konvexní (nad tečnou) 13.4.2 Zjistěte inflexni body, konvexnost a konkávnost funkce f(x) = ln(x — 2). 1 ,,„ . -1 /(x) = ln(x-2) f\x) f"(x) x-2 " v ' (x-2)2 Na D(f)=(2,co) je funkce konkávni, inflexi nemá. <0 13.5.1 Nalezněte tečnu a normálu k funkci f(x) =--------- 4 + x vboděT(2,?). /w f (2) 4 + x2 fXx) 1 , /'(2) -16x (4 + x2)2 -32 -32 -1 4 + 4 ' " v ' (4 + 4)2 64 2 Rovnice tečny ...... Y_f(xo) = f (xo )• (x ~ xo) Rovnice normály ...... y -f (x 0) -1 f'(x0) ,(x-x0) t: y-l =-(x-2) -> x + 2y-4 = 0 n: y-\ = -2.(x-2) ^•2x->'-3 = 0 42 43 13.5.3 Nalezněte tečnu a normálu k funkci zadané parametrickými rovnicemi 3at = T77 3at T77 y 3ať TT? v bodě t=2. 3at ,„. 6a 2a ,„. 12a 4a .ľ =-----t x(2) = — = — y(2) =-----= — \+ŕ 9 3 9 3 . 3a.(\ + f)-3at.3f . 6at.(\ + f)-3af.3t x =---------------—--------- , y = — 3\2 >_y y y'(2) (\ + ŕf ' ' (i + ť) 6at.(\ + ŕ)-3at2.3t2 _ 6at-3aŕ _ 3at.(\-f) _ t.(\-f) 3\2 (i + O x 3a.(\ + ŕ)-3at.3t2 3a-6af 3a.(\-2f) (l-2ŕ3) 14 3\2 (l+ť) 15 t : 4x - 5y + 4a = 0 «:15x + 12>'-26a = 0 13.6.1 Pomoci L Hospitalova pravidla vypočtěte limitu Hm xcosx-sinx x->0 ,. xcosx-sinx ,. cosx-xsinx-cosx ,. -sinx hm-----------------= hm-------------------------= hm- x->0 x^o 2 x1 1,. sin x 1 — hm------= — 3 *-><> x 3 ^° 3x 13.6.2 Pomocí LHospitalova pravidla vypočtěte limitu lim - x^° x - sin x ,. ex -e x -2x ,. ex +e hm----------------= hm x^° x - sin x 2 x . -x x -i ,. e +e ,. e -e — = hm----------= hm--------- x^° 1-cosx x^° sin x x^° cos x 13.7.1 Vyšetřete průběh funkce f (x) x - 3x +3x + l x-1 ■ i ' ' ' ' i 2X 4 -4 -2 -4-■8- 43 44 x * 1, tedy D(f)=(K», 1) u (1, oo) / i \ 3 i f {x) = 2------------—, x ž 1, kořeny x = 2 , lokálni minimum (x-1) na intervalech (-oo,l + V^2), (1 + V^2,1), (1,2) je klesající na intervalu (2,oo) je rostoucí f "(x) = 2------------—, x ži. kořeny x = 1 - , inflexníbod (x-1) konvexní na intervalech (-oo,l + y/-2), (1,2), (2, oo) konkávni na intervalu (1 + Asymptota bez směrnice : x=l , lim f (x) = -oo, lim /(x) = oo X->1- X->1+ 13.7.2 Vyšetřete průběh funkce f (x) = -x3 + 3x Funkce je lichá funkce, definovaná v R . Nulové body má x=0, x= ± V 3. Lokálni minimum je y=-2 v bodě x=-l, lokálni maximum j e y= 2 v bodě x= 1. Je klesající na intervalech (-oo,l) a (l,+oo),rostoucí na intervalu (-1,1). Inflexní bod je x=0 , na (-oo,0) je konvexní, na (0,oo) je konkávni. lim f (x) = +00, lim f (x) = -oo, 44 45 13.5.4 Vyšetřete průběh funkce f(x) l + x2 Všude definovaná, nezáporná, sudá funkce. Nulové hodnoty nabývá v bodě x=0. Lokální minimum v bodě x=0, na (-oo,0) je klesající, na intervalu (0,oo) rostoucí. -VŠ 1 VŠ 1 Inflexníbodyjsou [------,— J,[-----,—J. 3 4 3 4 V intervalech (-oo, ------ )a(-----,+oo) je konvexní, v intervale (------,-----) konkávni. 3 3 3 3 lim f(x) = lim f(x) = 1, asymptota se směrnicí je tedy y=l. 13.5.5 Vyšetřete průběh funkce f(x) lnx V* 1 0.5 -0.5 y -1 -1 .5 -2 10 15 20 25 D(f)=(0,+oo), nulový bod x=l . Lokální maximum y= —v bodě x=e , na (0,e ) je rostoucí, na(e ,+oo) klesající. e Inflexní bod [ e3, — e3 ] ,na intervalu (0,e3) je konvexní, na intervalu (e3 ,+oo). 3 Asymptoty : bez směrnice - lim f(x) = -oo , tedy x=0 , x->0+ se směrnicí - lim f(x) = O , tedy y=0 . 45 46 13.7.4 Vyšetřete průběh funkce f(x) = x arctan x Funkce je všude definovaná, nezáporná a sudá. Nulové hodnoty nabývá v bodě x=0 , minima nabývá v bodě x=0 , na intervalu (-oo,0) je klesající, na intervalu (0,oo) je rostoucí , funkce nemá inflexní body a je stále konvexní. Asymptoty bez směrnice nejsou, asymptoty se směrnicí jsou y=- — x -1 pro x ->■ -oo, 2 y= — x -1 pro x —>■ oo 2 13.5.6 Vyšetřete průběh funkce f(x) = x arccos 1-cosx l-2x 3 2.5 2 1 .5 —_1 0.5 -10 -S O 2 B 10 D(f)=(-oo,0>u< —, oo) , nulový bod x=0 . 3 2 Platí y'_ (0) = j/+ (—) = -co. Lokální minimum y=0 v bodě x=0, 3 2 2 lokální maximum y=7i v bodě x= — , na intervalech (-oo,0) a (—, oo) je klesající. 3 3 2 . Na intervalu (^o,0) je funkce konkávni a na intervalu ( — ,oo) je konvexní. 3 Asymptota se směrnicí y= — pro x ->■ +oo i pro x ->■ -oo 3 46 13.5.7 Vyšetřete průběh funkce f(x) = X 47 20 15 y 10 5 2 3 4 jí D(í)=(0,oo) , funkce je kladná, nulový bod nemá. Lokální minimum y=( —) v bodě x=— . e e L 1 Na intervalu (O, —) je klesající, na intervalu (—, oo) je rostoucí. e e Na celém definičním intervalu je konvexní, lim f(x) = 1 , lim f(x) = oo x—>0+ x—>+co 13.5.8 Vyšetřete průběh funkce f(x) = e 2x sin3x ■4 D(f)=(-oo,oo), spojitá, ani sudá ani lichá. Nulové body jsou x=k— , kde k je celé číslo. 3 -12 V bodech, kde tan(3 x) = — , má lokální extrémy, inflexní body v x, pro něž tan(3 x) =----. 2 5 47 Primitivní funkce 1.1 Užitím základních vzorců integrujte: 3 -. \_ 3 _\_ í(x5 +\jx -x4 +—j= + X)dx= \x5dx + \x2dx- \x4dx+ ľ x 3dx+ \dx x6 2 \ 4 \ 3 \ ^ x6 2 r 4 7rr 33/-r — + — X2 —x4 + —x3 +X + C = — + -XVX—x-ý/x + — ilx +X + C 6372 63 7 2 1.2 Užitím základních vzorců integrujte: r,„ . cosx. , „r . , 1 r , „ 1 . ^ (3 sin x------)dx =3 sin xax — cos xax = -3 cos x — sin x + C 5 J 5 1.3 Užitím základních vzorců integrujte 1 x _ -ax = — arctan — + C -9 3 3 f-L 1.4 Užitím základních vzorců integrujte: r cosx ... | ------ax = ln sin x + C J sinx 2.1 Integrujte pomocí úpravy integrandu: ľ—:----dx = \vydělíme\ = \ (x2 -1H--------)dx =-----x + arctan x + C Jx2+1 ' ' J 1 + x2 3 2.2 Integrujte pomocí úpravy integrandu: ľ-----------dx = Igon.vzorcel = ľ------------------—dx = — ľ-----—dx = —tanx + C J l + cos2x J 1 + cos x-sin x 2Jcos x 2 2.3 Integrujte pomocí úpravy integrandu: f 2 7 i i fl + cos2x , Ir , 1 r _ , cos xdx = \gon.vzorce\ = ------------dx = — \dx+—\ coszxdx = 1 ! • o ^ = —x + —sin2x + C 2 4 3.1 Pomocí substituce integrujte: dx (x-2)3 sub. x-2 = í dx = dt J ŕ -2 2(x-2)2 48 49 14.3.2 Pomocí substituce integrujte: í xex dx sub. x2 = t 2xdx = dt xdx = —dt 2 Ir (J 1 - édt = - OJ 9 ex +C 14.3.3. Pomocí substituce integrujte f , fCOSX , cot xdx = —----dx J J cm v sub. x = í cos xdx = dt : — = ln\t\ + C i t M 14.3.4. Pomocí substituce integrujte ľsin(5x + 3)dx sub. 5x + 3 = t 5dx = dt - \ sin tdt — cos t + C = — cos(5x + 3) + C 5 5 14.3.5. Pomocí substituce integrujte: 1-COS X . r sin x , r sin x , ri-cos x . , ----------dx= -----------sinxdx =-----------sin xdx J 2 +cos x J2 + cosx J 2 + cosx dt ------dt= -----------dt= ------^ dt + 3\ — J t + 2 J t + 2 J (^2) h + sub. cos x = t - sin xdx = dt ,2 2 t COS X -----2t + 3ln\t + 2\ + C =----------2cosx + 31n cosx + 2\ + C 2 ' ' 2 ' ' 14.4.1 Pomocí „per partes" integrujte: xe xdx p.p. u'= e2x 1 2* u =—e 1 2* 1 2 = — xe - ----- 2 ?, v = X v'=l -|Vxdx=-xe2x--Vx + C 1_ 4 14.4.2 Pomocí „per partes" integrujte: ľlnxdx= ľl.lnxdx: p.p. v'= 1 v = x u = In x w = — f 1 x In x- x—dx = xlnx-x + C J x 49 50 14.4.3 Pomocí opakované „per partes" integrujte: x sin xdx ■ p.p. v = x2 v'= 2x w'=sinx w = -cosx p.p. v = x v'= 1 w'=cosx w = sinx -x2 cos x + 2x sin x + 2 cos x + C -x2 cosx + 2Íxcosxí&: x2 cos x + 2(x sin x - ľ sin xdx) = 14 A A Pomocí „per partes" a převedením na rovnici integrujte: excos xdx ■ p.p. u = e u = e v = cos x v'= - sin x e COSX + \ex sin xdx - p.p. u = e u = e v = sin x v'= cos x : ex cos x + ex sin x - ex cos xdx 2 íex cos xdx =ex cos x + ex sin x r 1 ex cos xdx = — (ex cos x + ex sin x) 14.5.1 Integrujte racionální funkci: J (3x + : (3x + 2)3 5 1 dx sub. 3x + 2 = r 3dx = dt 5dx = —dt 3 5 rďŕ 5 3* tÄ 5 r , , — = - t dt ŕ 3J 5 r 5 1 3-2 6 ŕ2 + C: 6(3x + 2)2 ■ + C 14.5.2 Integrujte racionální funkci: 2x + - 2x + 2 , (2x + 2)-2 + - c r 3X+Z dx=i{_____5_dx = 5_ŕ________5-dx=l{ zx+z Jx2+2x + 10 2Jx2+2x + 10 2J x2+2x + 10 2Jx2+2x + 5. 6. r 1 , 5 T „x 5, i o 1 x + 1 _ + — (--) —:-------------dx = -L -37, =—In x + x + 10 -arctan------+ C 2 5 Jx2+2x + 10 2 2 ' ' 3 10 -dx + Integrál Ix řešíme podle vzorce --------dx = In /(x) + c J f (x) 2x + 2 r Zít/: 10 -dx = ln x2 +X + 10 +G 50 51 Integrál I2 řešíme úpravou a substitucí L = ľ—------------dx= ľ—----------------dx= ľ------------- Jx2+2x + 10 J (x2+2x + l) + 9 J(x + l)2+9 f 1 ,1 ,K ^ 1 (* + l) ^. = -------— at = — arctan(-) + C9 = — arctan----------h C9 J(9 + ŕ2) 3 3 2 3 3 2 dx sub. x +1 = t dx = dt 14.5.3 Pomoci rozkladu na parciálni zlomky integrujte racionální funkci: dx r dx r dx >-\ 6x-7x2-3x f ax _f :J , , 7 T=J 6x(x —x—) 6x(x—)(x + —) r=J dx x(2x-3)(3x + l) Rozklad na parciálni zlomky. 1 ^ 5 C +-------+ - x(2x-3)(3x + l) x 2x-3 3x + l 3 33 11 1 1 4 • + - 1 9 1 ■ + ■ 3x 332X-3 113X + 1 1 rdx 4 r dx — \ — + —\--------+ 3J x 33J2x-3 9 r dx _ 1 llJ 3x + l ~ 3 i i 2 i i 3 i In x + —In 2x - 3 + —In 3x +1 3 M 33 ' ' 11 ' ' 14.5.4 Pomoci rozkladu na parciálni zlomky integrujte racionální funkci: X-3X + 2 f X -JX + Z . fX -ÔX I = ------7------------dx = \--------- Jx(x +2x + l) J x(x + (x+\y dx Rozklad na parciálni zlomky: C x2-3x + 2 A B x(x + l) x x + 1 (x + 1) 2 -1 -6 = —+ ------- +---------T- {A = 2,B = -l,C = -6} 1 = 2 r dx r x x + 1 (x + 1) dx ^ f dx 6 x + 1 (x + 1)2 21n x -In x + 1 -6 x + 1 + C 2In x -In x + 1 +- x + 1 ■ + C 51 52 Pomocí rozkladu na parciální zlomky integrujte racionální funkci: dx r dx Jx3+i J(x+: (x + l)(x2-x + l) Rozklad na parciální zlomky: 1 A Mx + N - + - (x + l)(x -x + 1) x + 1 x-x + 1 A---.M 3 3 1 -x + 2 3(x + l) 3(x -x + 1) -dx x + 1 x-2 , 1 f 1 , If 2x-4 , 1 f 1 , 1 f2x-l-3 , ax=— ------dx— —;--------dx = — ------dx— —;--------dx ------dx — x + 1 6 3J x-x + 1 ľ 2x-l 3J x + 1 6J x-x + 1 3jx + l 6 J x-x + 1 x-x + 1 dx + - dx (x - x + -) + 4 4 1 I I 1 I 2 I 1 ------— = —lnx + 1—ln x -X + 1+ — K. 3 3 ' ' 6 ! ! 2 dx ln (x + 1)2 x-x + 1 1 2x-l ^ + —j= arctan —ř=- + C V3 V3 (x--)2+-2 4 Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: Sin2 x •1-cos x swé. cos x = t sin xdx = -ďŕ r sin x , r sin x . , m-cos x . ----------ax = \-----------sinxdx = -----------sinxdx J 2 + cosx J 2 + cosx J 2 + cosx = ------dr =-----------dr = . ^. áfc + 3------= \(t-2)dt + 3\----- J t + 2 J t + 2 J (><í) Jr + 2 J h + 2 /l 2 ř COS X =-----2r + 31n\t + 2\ + C =----------2cosx + 31n cosx + 2\ + C 2 ' ' 2 ' ' Integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: dx f ax _f ■" ř2 + cosx)sinx J (2 + sinx (2 + cos x) sin x J (2 + cos x) sin x J (2 + cos x)(l - cos x) dx = \------ JÍ2 + « sinx -dx sub. cos x = t sin xdx = -dt U2 + dt (2 + t)(ř-\) l r dt l r dt l r dt 1 , , - -------+ ---------------------= -ln2 3J 2 + ř 6h-\ 2h + \ 3 ' [... .pomocí rozkladu na parciální zlomky...........j + ŕ| + -ln|ŕ-l|--ln|ŕ + l| + C 1 6 ' ' 2 ' ' -ln (cos x + 2)2 (cos x -1) (cos x + 1)3 + C 52 53 14.6.3 Univerzální metodou integrujte složenou racionální funkci z goniometrických funkcí: sub. tan— = t, x = 2arctanr, dx =------dt 2 \ + t2 . x t sin cos- x 1 2 JřVl 2 JěVí . ._ x. _ . x x n t 1 2ř sinx = sin(2 —) = 2 sin — cos — = 2 —?------—;= = —---- 27 22 v^tiv^tt ř2+i ,_ x. 2 x . 2 x 1 ŕ2 1-ŕ2 cosx = cos(2—) = cos —sin — = —---------— =------ 2 2 2 ř2 +1 r2+l \ + f í--------------------dx = ľ-----------------------------dt = 2 ľ---------------dt = ľ---------- J^inr-dpncr J 2í ,1-ľl + ŕ J 6í - 4 + 4f i3t~2 + 3------^-4 3sinx-4cosx dt (2ŕ-l)(ŕ + 2) 2 r 1 , 1 r 1 2ŕ2 -í*: 1 + ŕ2 1 + ŕ2 {...pomoci rozkladu na parciálni zlomky..........} f i , i f i , 2 1,i . 1, i „i „ 1, --------íÄ-- -------í#=-----In 2ŕ-l --In ŕ + 2 +C = -ln J 2ŕ-l 5Jŕ + 2 52 2tan--l 2 tan - + 2 2 + C 14.7.1 Integrujte iracionální funkci: V2x + 1 í&: ŕ-l sub. 2x + \ = t x 2dx = dt dx = tdt ŕ-l tdt = 2\------dt ť-1 r i 2 \dt + 2 --------------dt = 2\dt + {...rozklad na parciálni zlomky...) 2\dt+---------------= 2/ + In 1/ + ll - In |ŕ - ll + C = 2>/2xTT + In J J t+\ J t-\ ' ' ' ' V2X+1+1 V2X+1-1 + C 53 54 14.7.2 Integrujte iracionální funkci: sjx l + Vx3 dx sub. x = t4 dx = 4t3dt j2 4r i+w2 Aťdt = 4 ľ ŕ ť dt - 4 ± Xj 2 £ D , z2 = 1 1 1 *3,4 = ± VI Integrujeme v intervalu (-1,1) , kde l + xz 2 >-x .Proto J, 1 + x 2 1 3 arctan x — x 6 , 1 , 1N 1 ;r 1 ;r 1 ;r 1 arctan 1-------arctan(-l) — =---------1---------=------- 6 6464623 58 59 16.1.4 Vypočtěte obsah obrazce omezeného křivkami (y — 1) =2x + l, x — y = 0 4-3-y2-\1" -i y V_jL^2 3 4 X Záměnou závislosti proměnných při průsečících y=0 a y=4 obdržíme: P = )(y-\y2+y)dy = \l(2y-\y2)dy 2 J- 3 6 16- 64_16 6 ~ 3 16.1.5 Vypočtěte obsah P kruhu o poloměru r Kruhje obrazec symetrický dle osy x, proto vezmeme dvakrát obsah horní poloviny 2 2 2 x +y =r -\lr ._y1=+Vr2-x2 ,y2 4 2 2 r -x P = 2 ]yfr^: dx sub. x = rcost dx = -r sin tdt 0 -r r 0 TT 0 0 ________________________ JI 2JVr2 -r2cos2t (-rsmt)dt = 2r2 [sin2 t dt lr\ fl-cos2ř T „ 2 ------dr = 2r2 1 2 1 • o -r--sin2ř 2 4 r. 2 -^ 2 2r — = ;rr 16.1.6 Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného křivkami, které jsou dány parametrickými rovnicemi x = 2t-f y = 2f-ř l2 P=\y/(t)(p(t)dt x = cp(t) = 2t-t2 dx = (p(t)dt = (2-2t)dt y = y/(t) = 2ř-f re<0,2> z, z, $(2t2-ŕ)(2- 2ť)dt = 2$(t4-3r+2t2)dt = 2 1 5 3 4 2 3 -ŕ5—ŕ+-ŕ 5 4 3 112 15 59 60 16.2.1 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o rovnici x + (y — ľ) = 4 pod osoux rovnice dolní půlkružnice je tvaru y=l-V4-x2 y2 =-------- průsečíky s osou x jsou Xj = -v 3 , x2 = +V3 Z = I -y/1 + (y (x)) dx = I , 1 +-------^& = I J-----------í—dx=2 | J-------rífe: -tfl 4"X -^ 4"X -VIV4-X ; ^ rr -dx=2 í J---- 5WÔ. x = 2 cos ŕ í/x = -2 sin fcÄ s -^ V3" n 5;r 0 T ;r 6 5;r ;r "L 6 6 4 = —;r 3 o -2 sin ŕ 5a 6 5a 6 . v ,_______=)dt = 2 ľ (—)dt = 2 ľ dt = 2\tV L V4-4cos2ŕ Í sinŕ i -6 16.2.2 Vypočtěte délku oblouku rovinné křivky, který má křivka o parametrických rovnicích x = t y = l + 2t pro t e <0,1> 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x r2 _________________________ L=U 60 61 16.3.1 Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy x. Obrazec P je omezen křivkami y = 2px , x = 3 . V = n ľ f1 (x)dx = 7T\2pxdx = 2np xp(9 - 0) = 9np 16.3.2 Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce P kolem osy x. 4 Obrazec P je omezen křivkami y — — , x = l, x = 4. x F = ;r |/"2(x)dx = ;r — dx = 16;r —^2x = 16;r -16;r(—\) = \2tc 16.4.1 Vypočtěte obsah rotační plochy (plášť rotačního tělesa) vzniklého rotací rovinného obrazce P omezeného přímkami x = 1 , x = 2 , osou y = 0 a grafem funkce y = \]9 — x b S = 2x$f(x)Jl + fdx y = f(x) = 49~ŕ , ,v , x xg<1,2> .ľ = / (x) V9" 2;r jvrí 2 W! 3V9-X ' +9-x 2 2 í& 2;rľ—, dx = 6tt\ dx = 67r\x\x = 6tt{2-1) i V9-x2 i 6tt 61 62 62