Derivace Robert Mařík 26. září 2008 ta B Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Obsah X c x2 + 1 x2 y = x\n2x............................. 14 y = {x2 + 3x)e~2x ........................ 20 3/1 +A-3 y = 17--------........................... 30 y V 1 - x3 1 / 1 + A"3 \ / 1 + A"3 3 \j -A-3y 3' \j +A-3 1 /i -A- 1 -A"3 2/3 (1+x3)'(1-x3)-(1+x3)(1-x3)' (1-x 3\2 1 2/3 3a-2(1 - a-3) - (1 + a-3)(-3a-2) 3 V 1 + A"3 (1-X 3\2 Derivace v čitateli a jmenovateli je možno vypočítat jako derivace součtu (rozdílu) a mocninné funkce. ES El Q Ba ©Robert Marik, 20081 y = -y 3 1 /1 ,2/33x2(1 (1 + x3)(-3x2) 1 +x3 (1-x 3\2 Tohle zatím máme. ES El Q BS ©Robert Marík, 20081 , _ 1_ /1 - x3 V73 3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2) y ~ 3 \-\ + x3 ) (1-A- 3\2 1 /1~* 3 l 1 + X3 2/3 6a-^ (1-x 3\2 Upravíme čitatel ES El Q Ba ©Robert Marik, 20081 , _ 1_ /1 - x3 V73 3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2) y~3ll+A-3J (1-A- 3\2 1 (I-* 3 l 1 + x3 2/3 6x' (1-x 3\2 M+A-3 1-A-3 2x" 1 - X3 "[+X3 (1 - X3)2 . a ještě více upravíme. ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 ■ x3 \ 2/3 3x2(1 - x3) - (1 + x3)(-3x2) y=3lT7^ ------------------------- (1-x 3\2 2/3 6x' (1-x 3\2 M+x3 1-x3 2x' M +x3 2x2 1 - x3 1 + x3 (1 - x3)2 y 1 - *3 1 Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = ^ + 1 ta B Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x-\ x + ^ x+ 1 \x + 1 • Jedná se o druhou mocninu zlomku. Vnější složka, druhá mocnina, se derivuje jako mocninná funkce. • Derivace složky následuje (podle řetězového pravidla). (f2(x)Y = 2f(x)f'(x) ta □ Q 133 ©Robert Marik, 2008 Q 47 Derivujte y = x-\ x + ^ y' = 2 = 2 x-\ (x-\\ x + 1 \x + 1 x-\ (x-1)'(;r+1)-(*-1)(*+1)' 'x + ^ (X + 1)2 Derivace podílu: (S) ' u'v - uv' \ v2 .. ES El Q BS ©Robert Marík, 2008 Q r, ■ ■* (X-W Derivujte y = ------ . \x + i; = **-] x + 1 X+1J (x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)' (X + 1)2 1.(x + 1)-(x-1).1 "x+1 (x + 1) Derivace čitatele a jmenovatele jsou již lehké. ES El Q Ba ©Robert Marik, 20081 Derivujte y = x-1 x + 1 ~x - 1 X + 1 o*""" X + 1 o*""" X + 1 o*"1 X + 1 x-U' x + 1 (x-1)'(x+1)-(x-1)(x+1)' (X+ 1)2 1.(x + 1)-(x-1).1 (x~7W (x+1) Upravíme. ES El Q Ba ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x-1 x + 1 ~x - 1 X + 1 o*""" X + 1 o*""" X + 1 o*"1 X + 1 x-1\' X+1 (X-1)'(X+1)-(X-1)(X+1)' (X+ 1)2 1.(x + 1)-(x-1).1 (x + 1) = 4 x-1 (X+1)2 (X+1)3 Vynásobíme. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x\n(x2 - 1). EB EJ Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x \n(x2 -1)1 y' =A-'ln(A-2-1) + A-(ln(A-2-1)V Derivace součinu \ (uvy = u'v + uv' kde u = x a v = \r\(x2 - -1). ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x \n(x2 -1)1 y' =A-'ln(A-2-1) + A-(ln(A-2-1)V = iin(A-2-1)+x^—(a-2-1)' x2 - 1 / • Derivace u = x je lehká. \ • Funkce ln(x2 -složkou x2 - 1. ■ 1) je složená s vnější složkou In(-) a v s^ j EEI El q oa ©Robert Marík, 2008 Q 47 Derivujte y = x \n(x2 -1)1 y' =A-'ln(A-2-1) + A-(ln(A-2-1)V = iin(A-2-1)+x^—(x2-1)' x2 - 1 = \n(x2 - 1) +x--------2x x2 - 1 {x2-I)' = 2x-0 = 2a- E9 B B E3 ©Robert Marík, 2008 E] Derivujte y = x \n(x2 -1)1 y' =A-'ln(A-2-1) + A-(ln(A-2-1)V = iin(A-2-1)+x^—(x2-1)' x2 - 1 = \n(x2 - 1) +x--------2x x2 - 1 2x2 = ln(x2-1) + x2-1 Upravíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 1 xz - Derivujte y = - In------ 4 x2 + x2-1 I x2 + 1 j ES El Q BS ©Robert Marík, 2008 Q 1 xz - Derivujte y = - In------ 4 x2 + x2-1 I x2 + 1 j " = 4 Funkce je konstantní násobek logaritmické funkce. ES Q Q oa ©Robert Marik, 2008 Q r, ■ ■* 1,^-1 Derivujte y = - In-------- 4 x2 + 1 y =T 1 x^ + 1 4 x2-1 • Logaritmus je pouze vnější funkce. Vnitřní funkcí je zlomek. • Derivujeme vnější složku podle pravidla (ln(x))' = - a podle řetězového pravidla. • Platí T{X) 1 x2 + 1 £=1 A-2-1 x2 + 1 ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 n . , 1 , x2 - 1 I Derivujte y = - In-------. I 4 x2 + 1 J ,_ 1_ x2 + 1 2x(x2 + 1)-(x2-1)2x y ~ 4V-1 ' (a-2 + 1)2 Pokračujeme derivací vnitřní složky. I EBl El ra laa ©Robert Marík, 2008 Q 47 Derivujte y = — In 1 . x2 - 1 4 a-2 + 1 ,_ 1_ x2 + 1 2x(;T + 1)-(;r -1)2* 4 a-2-1 (a-2 + 1 1 a-2 + 1 4a- |2 4 A-2-1 (A-2 + 1) Upravíme čitatel druhého zlomku. Cleny s x3 se ruší a zůstane 4a\ ES El Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y - 1. *2-1 I = -r In--------. 4 xz + A \ , 1 x2 + 1 2x(x2 + 1)-(x2-y ~ 4 A-2-1 (a-2 + 1)2 -1)2a- 1 x2 + 1 4x 4 A-2-1 (A-2 + 1)2 X (a-2-i)(a-2 + i; Vynásobíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = \/x + 1 - ln(1 + \/x + 1). I ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = yV+J -ln(1 + yV+l).) 1 1 /« 1 •1---------------- 0 + 2x7777 1 + ^/xT^ \ 2x7771 (x/X)' = (*?) = -X5-1 = -X" 2x/x podle derivace mocninné funkce. Toto musíme spojit s řetězovým pravidlem (\A" + 1)' = —r-----1 = —r---- 2x/Är7T 2x/Är7T EEI El ra laa ©Robert Marik, 20081 Derivujte y = yV+J -ln(1 + yV+l).) 1 1 /« 1 •1---------------- 0 + 2x/7+7 1 + x/TTT V 2x7771 i /, i 2Vx + 1 V 1 + x/xTT Vytkneme 2x7777 BI H 13 na ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = yV+J -ln(1 + yV+l).) 1 1 /« 1 y = —;------• 1---------;------ O + 2x7777 1 + ^/xT^ \ 2x7*71 1 /, 1 2Vx + 1 V 1 + Vx + 1 1 x/TTT 2x7x77 1 + Vx + 1 Převedeme na společného jmenovatele a sečteme. ES El Q BS ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = yV+J -ln(1 + yV+l).) 1 1 /« 1 •1---------------- 0 + 2x7777 1 + x/TTT V 2x7771 i /, i 2Vx + 1 V 1 + x/xTT 1______x/TTT 2Vx + 1 1 + \/x + 1 1 2(1 + x/TTT) Zkrátíme s/x + 1. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/l -xarcsin B B B BS ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/l - x arcsin \fx Ý = (\J-\ - x)' ■ arcsin \/x + \f~\ - x ■ (arcsin \Zx)' Derivace součinu. EBl El ra laa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/l -x arcsin y' = (\J-\ - x)' ■ arcsin \/x + \f~\ - x ■ (arcsin \Zx)' = — • (1 - x)' ■ arcsin x/x \/i-(v^)2 Řetězové pravidlo pro \/l - x a pro arcsiníx/x) BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = v/1 -x arcsin y' = (v/1 - x)' ■ arcsin \/x + \f~\ - x ■ (arcsin \Zx)' = — • (1 - x)' ■ arcsin x/x 2/TT5F + /TT7. 1 .(^y \/l-(v^)2 • arcsin x/x + v/1 - x • 2y/T^X y/T^X 2y/x Derivace vnitřní složky. BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 47 Derivujte y = \/l - x arcsin \íx Ý = (\J-\ - x)' ■ arcsin \/x + \f~\ - x ■ (arcsin \/x)' = — • (1 - x)' ■ arcsin \fx 2/TT5F \/i-(v^)2 =-----■—= -arcsin \ľx + vi-*- ——=------- 271^7 /TT? 2x73? arcsin y/x 1 2/TT* 2,/* Výraz \Z~\ - x se zkrátí. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x I y' = ((x2 + 1)sinxj + (xcosx)' Derivace součtu. EBl El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x y' = ((x2 + 1)sinxj + (xcosx)' = (x2 + 1)'sinx + (x2 + 1)(sinx)' + x'cos x + x(cosx)' Dvakrát derivace součinu. EBl El ra laa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x I y' = ((x2 + 1)sinxj + (xcosx)' = (x2 + 1)'sinx + (x2 + 1)(sinx)' + x'cos x + x(cosx)' = 2xsinx + (x2 + 1)cosx + 1 -cos x + x(-sinx) Aplikace vzorců. (xdY = 2x ES Q Q oa (sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x I y' = ((x2 + 1)sinxj + (xcosx)' = (x2 + 1)'sinx + (x2 + 1)(sinx)' + x'cos x + x(cosx)' = 2xsinx + (x2 + 1)cosx + 1 -cos x + x(-sinx) = (2x -x)sin(x) + (x2 + 1 + 1)cosx Vytkneme goniometrické funkce BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1)sinx + x cos x I y' = ((x2 + 1)sinxj + (xcosx)' = (x2 + 1)'sinx + (x2 + 1)(sinx)' + x'cos x + x(cosx)' = 2xsinx + (x2 + 1)cosx + 1 -cos x + x(-sinx) = (2x -x)sin(x) + (x2 + 1 + 1)cosx = xsinx + (x2 + 2) cos x Upravíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) j y' = {x2 + 1)'cos(2x) + {x2 + 1)(cos(2x))' Derivace součinu. EBl El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) j y' = {x2 + 1)'cos(2x) + {x2 + 1)(cos(2x))' = 2a-cos(2x) + {x2 + 1)(-sin(2x))(2A-)' Vypočteme derivace. Derivujeme složenou funkci. 'i (cos x)' = -sin x [cos{f{x))Y = -s\n{f{x))-f'{x) v -1 ca h h Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) j y' = {x2 + 1)'cos(2x) + {x2 + 1)(cos(2x))' = 2a-cos(2x) + {x2 + 1)(-sin(2x))(2A-)' = 2xcos(2x) - (x2 + 1)sin(2x)2 Dopočítáme derivaci. BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1) cos(2x) j y' = {x2 + 1)'cos(2x) + {x2 + 1)(cos(2x))' = 2a-cos(2x) + {x2 + 1)(-sin(2x))(2A-)' = 2xcos(2x) - (x2 + 1)sin(2x)2 = 2xcos(2x) - 2(x2 + 1)sin(2x) Upravíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 (x2 + 1)3 Derivujte y =------------ Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1)3 [(*2 + 1)3]y-(*2 + 1)V)' {x 4\2 Derivace podílu. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (*2 + 1)3l x4 \ [(x2 + 1)3]V-(x2 + 1)3(x4)' (x4)2 3{x2 + ^)2{x2 + 1)V - {x2 + ^f4xí ZŤÄ Derivujeme složenou funkci. ~\ [CM)3]' = 3 (f (x))2 f'(x) (x3)' = 3a-2 eq ei q Qa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x2 + 1)3 [(x2 + 1)3l'x4-(x2 + 1)3(x4)' /' = ±------------i-------------------------- (x4)2 _ 3(x2 + 1)2(x2 + 1)'x4 - (x2 + 1)34x3 3(x2 + 1)2(2x)x4 - (x2 + 1)34x3 ES El Q 133 ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1)3 [(x2 + 1)3l'x4-(x2 + 1)3(x4)' /' = ±------------i-------------------------- (x4)2 _ 3(x2 + 1)2(x2 + 1)'x4 - (x2 + 1)34x3 3(x2 + 1)2(2x)x4 - (x2 + 1)34x3 2(x2 + 1)2x3[3x2-2(x2 + 1)] Vytkneme v čitateli. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = (x2 + 1)3 , [< x" + 1 3(x2 + 1 3(x2 + 1 2(x2 + 1 = 2 (x2 + 1 3/.A\i 'JV-í^ + dV (x4)2 2(x2 + 1)'x4-(x2 + 1)34x3 X2'4 !(2x)x4-(x2 + 1)34x3 2x3[3x2-2(x2 + 1)] V-2) EEI B B B3 ©Robert Marík, 20081 (x2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte íte. I Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q (x2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte. Y = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 Umocníme podle vzorce \ (a + b)3 = a3 + 3a2ó + 3ab2 + ó3. v. -< EB El Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q (a-2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte íte. I / = a-6 + 3a-4 + 3a-2 + 1 [a-2 + 3 + 3a-2 + a-4]' Vydělíme každý člen čitatele. ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 (x2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte íte. I / = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 [a-2 + 3 + 3a-2 + a-4]' 2a- + O + 3(-2)a-3 + (-4)a-5 Derivujeme součet (přesněji lineární kombinaci) čtyř mocninných funkcí. ES Q Q oa ©Robert Marik, 2008 Q (x2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte íte. I / = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 [a-2 + 3 + 3a-2 + a-4]' 2a- + O + 3(-2)a-3 + (-4)a-5 - 2a- - — - — Přepíšeme záporné mocniny na zlomky. ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 (x2 + 1)3 Derivujte y =------------tak, ze nejprve upravíte íte. I / = x6 + 3x4 + 3x2 + 1 = [a-2 + 3 + 3a-2 + a-4]' = 2a- + O + 3(-2)a-3 + (-4)a-5 6 4 2a-6 - 6a-2 - 4 Upravíme. Derivování bylo jednodušší než v předchozím postupu, ale hůřse bude řešit rovnice y' = 0. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = \n(x + arcsin(2\/Ä:)j I ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \n(x + arcsin(2\/Ä:)j (x + arcsin(2v/Äľ)) y = x + arcsin(2\/Ä:) 'Derivujeme složenou funkci \ (Inxľ = -x (m f (x))' -W)nx) v _^ ca b a Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \n(x + arcsin(2\/Ä:)j (x + arcsin(2v/Äľ)) 1 \/l-(2v^) y = 1 x + arcsin(2\/Ä:) 1 — (1+ 1 —&Jx\'\ x + arcsin(2x/x)v /^ Derivace součtu a derivace složené funkce. (arcsin^x)) = -ft v ; v/1 - /2M eq ei q iaa ©Robert Marik, 20081 Derivujte y = \n(x + arcsin(2\/Ä:)j (x + arcsin(2v/Äľ)) y = x + arcsin(2\/Ä:) 1 — ("I + 1 (2Jx\'\ x + arcsin(2,/*)^ L _(2^)2 ' --------------------(1 + —------2.1.X-V2) x + arcsin(2\/Ä:) ^ J] - Ax 2 ' Derivujeme složenou funkci y/x = X? (y/í)'-- 1 1-1 -.-X2 v ca b a Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = Iníx + arcsin(2\/Ä:)j y = x + arcsin(2\/Ä:) 1 /. 1 (x + arcsin(2v/Äľ)) (i + 1 (2^ď) x + arcsin^^)^ A, _(2x^)2 y 1 (l + _!------2.1.x-1/2) (1+ 1 ) x + arcsin(2\/Ä:)v ^fx\]\ -Ax' x +arcsin(2\/Ä:) ^ \/T^4x 1 Upravíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = arcsin \------- V x + 1 Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsin A-+1 y = 1- J^T x + ^ r ■> (arcsin x)' 1 (arcsin f {x))' = -r-!------r'M \/i - lfM]2 ^/^ -x* B B B B3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsin A-+1 y = '1-I^ITi x + ^ yx+1 _ x x+J\ x+J\ 2 \a-+1/ \x+-\) i^y = (xiy = :-x-i (^))' = l(myU2-f(x) 1 . B B B B3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsin A-+1 y = '1-I^ITi A-+1 1 1 / X \-5 i.f^p.f^y x+1 x+J\ 1 1 /A-+1V "l-ix + ^-X-^ +0) r 2 x+1 (x+1) eq ei q Qa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsin A-+1 y = '1-I^ITi A-+1 1 1 / X \-3 / X 1. (-L-Y*. (-L.)' 2 \x+1/ \x+1/ yx+1 _ x x+J\ x+J\ i i /*+i\* i-(a- + i)-a--(i +o) r 2 \ x ; (A- + 1)2 x+1 y------ 1 x/xTT 1 = v x + 1-------------------------- 2 ,/x" (x+1)2 B B B BS ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsin x+1 y = '1-I^ITT X+1 1 1 / X \-3 / X 1. (-L-Y*. (-L.)' 2 \x+1/ \x+1/ yx+1 _ x x+J\ x+J\ i i /x + iy i-(x + i)-x-(i+o) r 2 \ x j (x + i)2 x+1 I------ 1 x/xTT 1 = v x + 1 •----------------- 2 ^ (x+1)2 2(x + 1)x/3? B B B BS ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e -2x Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x. I y' = (x3 + 2x)'e~2x + (x3 + 2x) (e"2*)' Derivujeme součin funkcí (uv)' = u'v + uv' ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x. j y' = (x3 + 2x)'e~2x + (x3 + 2x) {e~2x)' = (3x2 + 2)e~2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' Derivujeme složenou funkci -• {exy = ex (enx)y = efW • f'{x) v EB El Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e '■ y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) (e~2x)' = (3x2 + 2)e~2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' = (3a-2 + 2)e~2x + (a-3 + 2x)e~2x(-2) ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e '■ y' = (x3 + 2x)'e-2x + (x3 + 2x) (e"2*)' = (3x2 + 2)e~2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' = (3a-2 + 2)e~2x + (a-3 + 2x)e~2x(-2) = e~2x (3a-2 + 2 - 2(a-3 + 2a-)) Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = (x3 + 2x)e 2x. I y' = (x3 + 2x)'e~2x + (x3 + 2x) (e"2*)' = (3x2 + 2)e~2x + (x3 + 2x)e-2x(-2x)' = (3a-2 + 2)e~2x + (a-3 + 2x)e~2x(-2) = e~2x (3a-2 + 2 - 2(a-3 + 2a-)) = e~2xí-2x3 + 3a-2 -Ax + 2\ ES Q Q oa Hotovo! ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte funkci y = (x2 - 1)sin(2x) - (3x - 1)cos(2x) EB EJ Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte funkci y = (x2 - 1)sin(2A-) - (3a- - 1)cos(2a-). k y = (a-2 - 1)'sin(2x) + (a-2 - 1)(sin(2x)ľ (3a- - 1)'cos(2a-) + (3a- - 1)(cos(2a-)V Derivujeme dvakrát součin (barevně odlišeno). ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 Derivujte funkci y = (x2 - 1)sin(2A-) - (3a- - 1)cos(2a-). k y = (a-2 - 1)'sin(2x) + (a-2 - 1)(sin(2x)ľ (3a- - 1)'cos(2a-) + (3a- - 1)(cos(2a-)V = 2A-sin(2A-) + (a-2 - 1)cos(2a-)2 - [3cos(2a-) + (3a- - 1)(-sin(2A-))2J Argumentem sinu a kosinu není a- ale funkce 2a-, užijeme tedy pravidlo pro derivaci složené funkce (řetězové pravidlo). ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte funkci y = (x2 - 1)sin(2A-) - (3a- - 1)cos(2a-). k y = (a-2 - 1)'sin(2x) + (a-2 - 1)(sin(2x)V (3a- - 1)'cos(2a-) + (3a- - 1)(cos(2a-)V = 2A-sin(2A-) + (a-2 - 1)cos(2a-)2 - [3cos(2a-) + (3a- - 1)(-sin(2A-))2J = sin(2x) [2a- + 2(3a- - 1)] + cos(2a-) [2(a-2 - 1) - 3] Vytkneme sinus a kosinus ze členů, kde se tyto výrazy vyskytují. ES Q Q oa ©Robert Marik, 2008 Q Derivujte funkci y = (x2 - 1)sin(2A-) - (3x - 1)cos(2a-). k y = (a-2 - 1)'sin(2x) + (a-2 - 1)(sin(2x)Y (3a- - 1)'cos(2a-) + (3a- - 1)(cos(2a-)V = 2A-sin(2A-) + (a-2 - 1)cos(2a-)2 - [3cos(2a-) + (3a- - 1)(-sin(2A-))2J = sin(2x) [2a- + 2(3a- - 1)] + cos(2a-) [2(a-2 - 1) - 3] = sin(2x) [8a- - 2J + cos(2a-) [2a-2 - 5] Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = J2 + cos(2x) I EEI El ia iaa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = J2 + cos(2a-) I y' = ľ(2 + cos(2x))i]' - • [2 + cos(2a-)]"5 • [2 + cos(2a-)]' • Odmocninu derivujeme jako mocninnou funkci s exponentem 1 • Pod odmocninou není x, ale vnitřní složka. Musíme proto násobit derivací vnitřní složky. BEI El ra laa ©Robert Marik, 20081 47 47 Derivujte y = J2 + cos(2a-) I y' = ľ(2 + cos(2x))i]' - • [2 + cos(2a-)]"5 • [2 + cos(2a-)]' [O - sin(2x) • 2] 2^/2 + cos(2a- / • Derivujeme součet. \ • Při derivaci funkce cos(2a-) opět užíváme pravidlo pro derivaci v — složené funkce, protože argumentem není a-, ale (2a-). EEI El a Ba ©Robert Marik, 2008 Q Derivujte y = J2 + cos(2a-) I y' = ľ(2 + cos(2x))i]' - • [2 + cos(2a-)]"5 • [2 + cos(2a-)]' 1 [O - sin(2x) • 2] 2^/2 + cos(2a-) sin(2A-) s/2 + cos(2a-) Upravíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = In \/------ V sinx EEI El ra iga ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sinx sinx (-1)(sinx) 2 cosx ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sinx 1 1/1 2 Vsinx (-1)(sinx) 2 cosx = vsinx- - • v^iíu-(-1) — 2 sln2x ■cosx ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sinx 1 1 1 2 Vsinx (-1)(sinx) 2 cosx = vsinx- - • \/siruŕ-(-1)—; 2 sln2x ■cosx = --cotgx ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = In \/------. V sinx ES Q Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sinx ■-•(Insinx)' Nejprve upravíme. y = In \Js\n 1x = lnsin s* =---Insin, ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sinx --•(Insinx)' 1 1 2 sinx cos x Derivujeme složenou funkci. Vnější složka je In(-) a sin(x). ES Q Q Ba složka je ©Robert Marík, 20081 47 Derivujte y = In sinx --•(Insinx)' 1 1 2 sinx - - • cotg x cos x ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = In sin e 3x Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = In sin e3*. I y = sine 3x (sine3*)' f Derivujeme logaritmus, vnitř N- n í složka je sine3*. N (In*)' = -x ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q 47 Derivujte y = In sin e3*. I y = sine _1_ sine 3x • (sine3*)' •cose3* • (e3*)' Derivujeme sinus, vnitřní; N. složka je e3x. ■í (sin x)' = cos x ES Q Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q 47 Derivujte y = In sin e3*. I y = sine _1_ sine 3x • (sine3*)' •cose3* • (e3*)' = cotg (e3*) • e3x{3x)' Derivujeme exponencielu, v nitmi složka je 3x. (exY = ex D B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q 47 Derivujte y = In sin e3*. I y' =----------(sine3*)' sine3* v ' =----------cos e3* • (e3*)' sine3* v ' = cotg (e3*) • e3x{3x)' = cotg (e3*) • e3* • 3 ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = J x + ln(9 Q B B E3 ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = J x + ln(9 - x) y' = 1. (x + ln(9 - x)Y'2 ■ (x + In (9 - x)\ Derivujeme odmocninu. eq ei q Qa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = J x + ln(9 - x) y' = 1. (x + ln(9 - x)Y'2 ■ (x + In (9 - x)\ 2 s/x + ln(9 - x) \ 9~x 1 + (0-1 Upravíme zápornou mocninu a doderivujeme vnitřní složku původní odmocniny. U logaritmu se jedná se opět o složenou funkci a derivujeme i vnitřní složku. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 47 47 Derivujte y = Jx + ln(9 - x) y'■ = 1. (x + ln(9 - x)Y'2 ■ (x + In (9 - x)\ 1 1 + 1 2 s/x + ln(9 - x) \ 9~x _______8^_______ 2(9 - x) sjx + ln(9 - x) (0-1 Sečteme výraz v závorce a upravíme. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y (x + 1)3' Q B B E3 ©Robert Marík, 20081 Derivujte y (A- + 1)3' (x2)'(x+1)3-*2[(* + 1)3]' y = (X + 1)32 Derivujeme podíl. (Hí u'v - uv' \ v2 .. ES El Q BS ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y (A- + 1)3' (x2)'(x+1)3-*2[(* + 1)3]' y = (A- + 1)3'2 2a-(a-+1)3-a-23(a-+1)2-1 (A-+1)6 Vypočteme jednotlivé derivace. Funkci (x + 1)3 derivujeme jako funkci složenou. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y (A- + 1)3' (x2)'(x+1)3-*2[(* + 1)3]' y = (X + 1)32 2a-(a-+1)3-a-23(a-+1)2-1 (A-+1)6 a-(a-+1)2[2(a- + 1)-3a-1 (A-+1)6 I Vytkneme. ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x2 (A-+1)3' * (x2)'(x+^f-x2[(x + ^)3] (A- + 1)32 2a-(a-+1)3-a-23(a-+1)2-1 (A-+1)6 a-(a-+1)2[2(a- + 1)-3a-1 (A-+1)6 x(2 - x) (A-+1)4 Zkrátíme (x + 1)2 a upravíme v hranaté závorce. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x\n A- + 1 Q B B E3 ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x\n A- + 1 x2 ( x2 y' = (x)' • In-------+ x • ( In------- x + 1 \ x + 1 Derivujeme součin. (uv)' = u'v + uv' EB El Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x\n A- + 1 x2 ( x2 y' = (x)' • In-------+ x • ( In------- x + 1 \ x + 1 x2 x + 1 / x2 1 -In------- + x------- x + ^ x + ^ Derivujeme jednotlivé členy. Logaritmus derivujeme jako složenou funkci. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x\n A- + 1 x2 (x2 y' = (x)' • In-------+ x • ( In------- x + 1 \ x + 1 „ , x x + 1 1 -In------ +x-------- A- + 1 2 A-+1 x- A- + 1 2x-(x + 1)-jr-(1+0) = 1 • In------ + 1-------------- x + ^ (x + 1) Vnitřní složka logaritmu je podíl, použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu. ÍUY - uv ~ uv' \v) ~ ^2 ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = xln x + 1 x2 (x2 y' = (x)' • In------+ x • ( In------ x + 1 \ x + 1 x2 x + 1 / x2 1 -In------ + x------- x + 1 x+1 , , xd , x + 1 2x-(x + 1)-x -(1 +0) = 1 • In------+ 1---------------^----------------^------- x + 1 x (A- + 1)2 x2 1 x2 + 2x = In------- +------------— x +1 x x +1 Zkrátíme (x + 1) a upravíme čitatel posledního zlomku. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x\n A- + 1 x2 (x2 y' = (x)' • In------+ x • ( In------ x + 1 \ x + 1 x2 x + 1 / x2 1 -In------ +x------- A- + 1 A-+1 , , )ŕ , x + 1 2x-(x + 1)-x -(1 +0) = 1 • In------+ 1---------------^----------------^------- A-+1 X (A- + 1)2 , x2 1 x2 + 2x x2 x+ 2 = In------- +------------— = In------- +------- x +1 x x +1 x + 1 x + 1 Upravíme do finálního tvaru. Hotovo! ES Q Q oa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = 2xarctgx - ln(1 + x2). I ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = 2xarctgx - ln(1 + x2). I y' = (2x)' ■ arctgx + 2x ■ (arctgx)' 1 1 +x2 (1 +x 2v Derivuje me součin a slože nou funkci. V (u(v(x)))' = u'(v(x)) ■ v'(x) (uv)' = u'v + uv' v J ES B Q E a ©Robert Marik, 2008 Q Derivujte y = 2xarctgx - ln(1 + x2). I y' = (2x)' • arctgx + 2x ■ (arctg x)'-------------(1 + x2)' 1 + x2 = 2 • arctq x + 2x---------------------2x M 1 + x2 1 + x2 Dokončíme derivování. EBl El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = 2x arctg x - ln(1 + x2). I y' = (2x)' • arctg x + 2x ■ (arctg x)'-------------(1 + x2)' 1 + x2 = 2 • arctg x + = 2 arctg x Poslední dva členy se odečtou. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x3 arcs i n x + vi Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = x3 arcsinx + \/l - x2. y' = (x3)' ■ arcsinx + x3 ■ (arcsinx)' + - • (1 - x2) ? ■ (1 - x2)' Derivuje me součin a slože nou funkci. \ (u(v(x)))' = u'(v(x)) v'(x) (uv)' = u'v + uv' v ta □ Q 133 ©Robert Marik, 2008 Q Derivujte y = x arcs i n x + \/l - x2, t y' = (x3)' ■ arcsinx + x3 ■ (arcsinx)' + - • (1 - x2) ? ■ (1 - x2)' = 3x2 ■ arcsin x +---------+------------(-2x) \/l -x2 2\l\ -x2 Dokončíme derivování. BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x arcs i n x + \/l - x2.t y' = (x3)' ■ arcsin x + x3 ■ (arcsin x)' + - • (1 - x2) ? ■ (1 - x2)' = 3x2 ■ arcsin x +----------+-------------(- x) \/l -x2 \/l -x2 x3 — x = 3x2 arcsin x + v^ Zkrátíme dvojku a sečteme zlomky. EEI El ia iaa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x arcs i n x + \/l - x2.t y' = (x3)' ■ arcsin x + x3 ■ (arcsin x)' + - • (1 - x2) ? ■ (1 - x2)' = 3x2 ■ arcsin x +---------+------------(-2x) \/l -x2 2\l\ -x2 x3 — x = 3x2 arcsin x + v^" o 9 1 - X2 3x arcsin x - x ■ v^~ Vytkneme (-x) EEI El ia iaa ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = x arcs i n x + \/l - x2, t y' = (x3)' ■ arcsin x + x3 ■ (arcsin x)' + - • (1 - x2) ? ■ (1 - x2)' = 3x2 ■ arcsin x +---------+------------(-2x) \/l -x2 2\l\ -x2 x3 — x = 3x2 arcsin x + v^" „ 9 1 - X2 3x arcsin x - x- \l\ -x2 3x2 arcsin x - x ■ \F\-x2 Zkrátíme. Hotovo! BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 r, ■ ; \/l 'X2 Derivujte y =----------- arcs i n x Q B B E3 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/l -x2 arcs i n x (\/l - x2\ -arcsinx- \/l -x2-(arcsinx)' arcsin x Funkce je ve tvaru podílu, použijeme tedy pravidlo pro derivaci podílu. ÍUY - uv ~ uv' \v) ~ ^2 ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcs in x (\/l - x2\ -arcsinx- \f~\ - x2 -(arcsinx)' arcsin2x —r— • (-2x) • arcsinx - \f\~ -X2- i \/Í^ arcsin2x c \ • Dopočítáme derivace. • Pod odmocninou je vniť 'ní složka a užijeme pravidlo pro deri- vace složené funkce. N- ES Q Q Ba ©Robert Marik, 2008 Q 47 Derivujte y = \/l -x2 arcs in x (\/l -x2\ -arcsinx- \/l -x2 -(arcsinx)' arcsin2x —r— • (-2x) • arcsinx - \/T~ x2- i \/i-x2 arcs i n x -!— • (-2x)arcsinx 2\/1-A-2 arcsin x arcsin x Rozdělíme na dva zlomky a zkrátíme v čitateli druhého zlomku. I ES Q Q oa ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsinx (\/l - x2\ -arcsinx- \f~\ - x2 -(arcsinx)' arcsin2x —r— • (-2x) • arcsinx - \f\~ X2- i \/i-x2 arcsin2x —-!— • (-2x)arcsinx 2\/l-x2 1 arcsin2x arcsin2x arcsinx arcsin2x Provedeme krácení. ES Q Q Ba ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = arcsinx í \/l - x2] -arcsinx- \f~\ -x2-(arcsinx)' arcsin2x —r— • (-2x) • arcsinx - \/T~ x2- i y i-*2 2\/1-x2 arcs i n2 x (-2x)arcsinx arcsin2x arcsin2x /1-x2 1 arcsinx arcsin2x -x 1 \/l -x2-arcsinx arcsin2x BI H 13 na ©Robert Marík, 20081 Derivujte y = \/x + 1 arctg \/x + 1.1 ES El Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/x + 1 arctg \/x + 1.1 (1 + 0) • arctg \/x + 1 + y = y-------T 1 + vx+ 1 • ■ i + (x/7TT)2 2^^ (1+0) Derivuje me součin a slože nou funkci podle pravidel V (u{v{x)))' = u'{v{x)).v'{x) (í/l/)' = u'v + uv' v. J ES El Q E a ©Robert Marík, 2008 Q Derivujte y = \/x + 1 arctg \/x + 1.1 y' = — • (1 + 0) • arctg vx + 1 + 2\^TTT + \[x~T\-----------------r- J___-(1+0) 1 + (^TTT) 2v^7T arctg V x + 1 1 1 2x/7TT 2 x + 2 Upravíme a zkrátíme. BEI El ra laa ©Robert Marík, 20081 Konec ta B Q 133 ©Robert Marík, 2008 Q