Číselné posloupnosti a řady
Def. Funkce, jejíž definiční obor je množina přirozených čísel N, nebo její podmnožina, se
nazývá posloupnost.
Podle definičního oboru rozlišujeme konečnou a nekonečnou posloupnost.
Jednotlivé hodnoty funkce, která je posloupností, nazýváme členy posloupnosti.
Funkční hodnotu posloupnosti v bodě nN nazýváme n-tý člen posloupnosti, a ozn. an.
Poslopnost budeme označovat takto: ( )
= 0nnna
Př. (tj. posloupnost: 0, 3, 2, 5, 4, 7, 6, ...)( )( 
=-+ 11 n
n
n )
Zadání posloupnosti:
* vzorcem pro n-tý člen
př. an=5n+1, n1, ( )
=+ 115 nn
* rekurentně
př. a1=-3, an+1=2an+1
* výčtem prvků (nejednoznačné)
př. 1, 4, 9, 16, 25, ...
Př. Je dána posloupnost a1 = 0, an+1 = 2 ­ an.. Vyjádřete tuto poslounost vzorcem pro n-tý
člen. [řešení: ( )( )
=-+ 111 n
n
]
Př. Je dána posloupnost a1 = 1, an+1 = 2an. Vyjádřete tuto posloupnost vzorcem pro n-tý člen.
[řešení: ( ) ]

=
-
1
1
2 n
n
Př. Je dána posloupnost ( . Vyjádřete jí rekurentně.)
=13log n
n
[řešení: 3log,3log 11 +== + nn aaa ]
Př. Je dána posloupnost
( )

=






+ 1
1
1
n
nn
. Vyjádřete jí rekurentně.
[řešení:
2
,
2
1
11
+
== +
n
n
aaa nn ]
Speciální posloupnosti:
aritmetická posloupnost
Def. Posloupnost se nazývá aritmetická, právě když existuje takové reálné číslo d, že pro
každé přirozené číslo n platí: daa nn +=+1 .
Číslo d se nazývá diference.
Př. a1 = 3, d = -2. (tj. posloupnost: 3, 1, -1, -3, -5, -7, ...)
V aritmetické posloupnosti s diferencí d platí:
* n-tý člen je dán vztahem an = a1 + ( n ­ 1 )  d
* mezi libovolnými dvěma členy ar a as je vztah ar = as + ( r ­ s )  d
* součet sn prvních n členů posloupnosti je ( )nn aa
n
s += 1
2
Př. Vypočítejte součet všech trojciferných čísel, která jsou dělitelná jedenácti.
Řešení: 110 + 121 + 132 + ... + 990
jde o aritmetickou posloupnost s d = 11
určíme počet trojciferných čísel dělitelných 11
an = 990 = a1 + (n ­ 1) d
n = 81
součet 81 čísel je tedy = 81/2  (110 + 990) = 44550
geometrická posloupnost
Def. Posloupnost se nazývá geometrická, právě když existuje reálné číslo q tak, že pro každé
přirozené číslo n platí: .qaa nn =+1
Číslo q se nazývá kvocient.
Př. a1 = 1, q = 1/2. (tj. posloupnost: L,
16
1
,
8
1
,
4
1
,
2
1
,1 )
V geometrické posloupnosti s kvocientem q platí:
* n-tý člen je dán vztahem an = a1  qn-1
* mezi libovolnými dvěma členy ar a as je vztah ar = as  qr-s
* součet sn prvních n členů posloupnosti je 1,
1
1
1 
-
=
q
q
q
as
n
n ,
1,1 == qansn .
Př. Na počátku roku 1995 žilo ve městě 23600 obyvatel. Kolik obyvatel lze ve městě očekávat
na počátku roku 2020, jestliže roční přírůstek se odhaduje na 1,8 % ?
Řešení: poč. 1995 ...... 23600
poč. 1996 ...... 23600 + 0,01823600 = 236001,O18
poč. 1997 ...... 23600(1,018)2
poč. 1998 ...... 23600(1,018)3
jde o geometrickou posloupnost s q = 1,018
počátkem roku 2020 to bude = 23600 (1,018)25 = 36864 lidí
Def. Je dána posloupnost (an)n=1

. Výraz, který obsahuje členy této posloupnosti a1, a2, ..., an,
... a má tvar
a1 + a2 + ... + an + ...,
se nazývá nekonečná řada. Členy posloupnosti jsou též členy nekonečné řady.
Nekonečnou řadu budeme zapisovat takto  .

=1n
na
Tímto symbolem označujeme nejen číselnou řadu, ale také její součet (pokud ovšem existuje).
Posloupnost, jejíž n-tý člen je roven součtu prvních n členů nekonečné řady nazýváme
posloupnost částečných součtů a ozn. ( )
=1nns .
nn aaas
aaas
aas
as
+++=
++=
+=
=
L
M
21
3213
212
11
Součet s nekonečné řady můžeme vyjádřit jako limitu posloupnosti částečných součtů.
Jestliže je sR, říkáme, že řada konverguje.
Jestliže je s = + nebo s = - , říkáme, že řada diverguje.
Jestliže součet s neexistuje, říkáme, řada osciluje.
Speciální řady:
* aritmetická řada 

=
-+
1
,,)1(
n
Rdadna
* geometrická řada 

=
-

1
1
,,
n
n
Rqaqa
* harmonická řada 

=1
1
n n
Př. Odhadněte 5.-tý a n-tý člen řady, znáte-li první 4 členy. Zapište řadu pomocí sumy a
určete n-tý částečný součet sn. Zdůvodněte konvergenci nebo divergenci řady a existuje-li
určete její součet s.
1) L++++
125
32
25
16
5
8
4
2) L+-+-
343
8
49
4
7
2
1
3) L-+-+- 1111
4) L++++
125
6
25
1
30
1
36
1
Návod: Všimněte si, že jde ve všech případech o geometrickou řadu.
[řešení: 1) 

=
-
+
-
+
=














-===
1
1
1
1
1
4
6
5
3
20
,
5
2
1
3
20
,
5
2
,
5
2
,
5
2
n
n
nn
n
n
n
n ssaa ; 2)
1
4
4
5
7
2
,
7
2
-






-==
n
naa ,


=
-
=














--=





-
1
1
9
7
,
7
2
1
9
7
,
7
2
n
n
n
n
ss ; 3) ( ) ( ) ( )( )

=
---=--=-=
1
5 ,11
2
1
,1,1,1
n
n
n
nn
n saa
s neexistuje; 4) 

=
-
-
-
+=








-





=





==
1
1
1
3
4
2
5 ,1
5
6
36
5
,
5
6
36
1
,
5
6
,
5
6
n
n
n
n
n
n
n ssaa ]
Př. Určete n-tý částečný součet sn a existuje-li, určete také součet s dané řady.
1) 

= +1 )1(
1
n nn
, 2) 

= +-1 )13()23(
1
n nn
, 3) 

= +1 1
ln
n n
n
,
Návod: U prvních dvou řad využijte rozklad na parciální zlomky a u třetí vlastnosti logaritmu.
[řešení: 1) 1,
1
1
1
1
11
1
=
+
-=





+
-= =
s
nkk
s
n
k
n ; 2) 





+
-=





+
-
=
= 13
1
1
3
1
13231
3
1
3
1
nkk
s
n
k
n ,
; 3)1=s =
-=
+
=
+
=
n
k
n s
nk
k
s
1
,
1
1
ln
1
ln ]
Náboj: Určete n-tý částečný součet sn a existuje-li, určete také součet s dané řady.


=








++
+





-+
1 )2()1(
1
3
2
2
1
n
n
n
nnn
Řešení: Daná řada je tvořena dvěmi geom. řadami a jednou nespeciální řadou. Pro zjištění sn u
geom. řad využijeme výše uvedený vzorec pro součet n členů geom. posloupnosti a u třetí
řady nám pomůže rozložení na parciální zlomky jejího n-tého členu.
Tedy: 1)
( )
2
1
2
1
1
1
1
2
1
,
2
1
-
-
==
n
nsq a součet 11 =s .
2)
( )
3
2
3
2
2
1
1
3
2
,
3
2
+
--
-=-=
n
nsq a součet
5
2
2 -=s .
3)
( ) ( )22
1
12
1
4
1
21
1
1
2
1
2
1
+
+
+
+=





+
+
+
-= = nnnnn
s
n
k
n a součet
4
1
3 =s .
Hledaný součet s dané řady je
20
17
321 =++= ssss .
Vzorec pro n-tý člen
Otázka zní: ,,Jak najít vzorec pro n-tý člen posloupnosti, máme-li ji zadanou
rekurentním vztahem a nejde o žádnou z výše uvedených speciálních posloupností?"
Je několik možností, jak se vzorce dopátrat. Jednou z nich je vypsat pár prvních členů zadané
posloupnosti a na vzorec se snažit přijít bez výpočtů, jen tak z hlavy. Tuto možnost můžeme
využít, pokud se nejedná o příliš "složitou" posloupnost. My si ukážeme způsob, který
můžeme využít téměř vždy a při kterém využijeme základních znalostí z teorie diferenčních
rovnic.
Př. Mějme posloupnost zadanou rekurentně a1 = 2, a2 = 7, an+2 = 7an+1 ­ 10an. Určete tuto
posloupnost vzorcem pro n-tý člen.
Řešení: První členy této posloupnosti jsou 2, 7, 29, 133, 641, ...
Jak tedy obecně vyjádřit n-tý člen?
Hledejme vzorec ve tvaru an = z n
.
Dosazením do rekurentního vztahu obdržíme následující rovnici.
z n+2 ­ 7z n+1 + 10z n = 0
Po vytknutí z n (z2
­ 7z + 10) = 0
Kdyby z = 0, muselo by jít o posloupnost s nulovými členy, což není náš případ. Proto z  0
a tedy z musí být kořenem kvadrat. trojčlenu (tzv. charakteristického polynomu) v závorce.
Odtud tedy z = 2, z = 5.
Hledaný vzorec bude lineární kombinací výrazů 2n
a 5n
, tj. ve tvaru an = C1 2n
+ C2 5n
, kde C1
a C2 jsou reálné konstanty. Jejich hodnoty získáme dořešením soustavy dvou rovnic o dvou
neznámých C1 a C2, které sestavíme z podmínek kladených na první dva členy zadané
posloupnosti
2 = C1 21
+ C2 51
, 7 = C1 22
+ C2 52
a obdržíme řešení C1=
2
1
, C2=
5
1
.
Vzorec pro n-tý člen je tedy an =
2
1
2n
+
5
1
5n
po úpravě an = 2n-1
+ 5n-1
.
Ukažme si ještě jeden příklad. V něm uvedeme strategii, jak postupovat, jestliže z
bude vícenásobným kořenem kvadratického trojčlenu.
Př. Nechť je posloupnost zadána rekurentně a1 = 2, a2 = 3, an+2 = 2an+1 ­ an. Určete tuto
posloupnost vzorcem pro n-tý člen.
Řešení: Opět hledejme vzorec ve tvaru an = z n
.
Charakteristický polynom je tentokrát z2
­ 2z + 1 = 0.
Řešením tohoto polynomu je jeden dvojnásobný kořen z1,2 = 1.
Hledaný vzorec bude lineární kombinací výrazů 1n
a n1n
. Výrazy, ze kterých vytváříme lin.
kombinaci musí být nezávyslé, což zaručíme vynásobením jednoho z výrazů 1n
výrazem n
a přitom zachováme správné řešení.
Vzorec bude tedy ve tvaru an = C1 1n
+ C2 n1 n
, kde vzhledem k hodnotám prvních dvou
členů posloupnosti jsou pak C1=1, C2=1.
Jedná se tedy o posloupnost, kde n-tý člen je an = 1 + n .
Př. Stejným postupem můžeme zjistit i vzorec pro n-tý člen Fibonacciho posloupnosti, jejíž
rekurentní zadání je a1 = 1, a2 = 1, an = an-1 + an-2.
[Řešení:
nn
na 






 -
-






 +
=
2
51
5
5
2
51
5
5
]
Problém nastane, když v rekurentním vztahu je zahrnut navíc výraz proměnné n. Na
dalším příkladě si ukážeme, jak se s tímto problémem vypořádat.
Př. Je dána posloupnost a1 = 5, an+1 = 2an + 2n
n. Určete tuto posloupnost vzorcem pro n-tý
člen.
Řešení: Postup určení n-tého členu nyní rozdělíme na dvě části. Hledaný vzorec pak bude
vyjádřen jako součet řešení z těchto dvou částí.
1. Výraz proměnné n položíme roven 0. Tím obdržíme zadání, které již umíme vyřešit výše
uvedeným postupem.
Tedy a1 = 5, an+1 = 2an . Charakteristický polynom je z ­ 2 = 0. Kořenem polynomu je 2.
První část hledaného vzorce je na = C12n
, kde C1 je reálná konstanta. Její hodnotu zjistíme
v úplném závěru řešení z podmínky na první člen posloupnosti.
2. Druhou část řešení budeme hledat v analogickém tvaru, jako je výraz proměnné n, který
jsme v první části položili roven 0 a jež můžeme upravit obecně do tvaru  n
 Ps(n), kde R
a Ps(n) polynomy s-tého stupně proměnné n. Takže druhá část řešení bude mít tvar
na = n r
  n
 Qs(n), kde r je hodnota násobnosti kořene  charakteristického polynomu
a Qs(n) polynomy s-tého stupně proměnné n s neurčitými koeficienty. Tyto koeficienty
získáme dosazením na do rekurentního zadání a následným výpočtem.
V našem případě je výraz proměnné n ve tvaru 2n
n (tj.  = 2, Ps(n) = n, tedy s = 1).
Podíváme-li se na charakteristický polynom, zjistíme, že  je jeho kořenem a to
jednonásobným, proto r = 1. Polynom Qs(n) musí být také polynomem prvního stupně, a tedy
Qs(n) = An + B, kde A, B  R.
Tvar druhé části řešení je na = n1
 2n
 (An + B) = 2n
 (An2
+ Bn).
Dosazením do zadání dostáváme 2n+1
(A(n+1)2
+ B(n+1)) = 22n
 (An2
+ Bn) + 2n
n,
po úpravách 4An + (2A + 2B) = n.
Porovnáním koeficientů polynomů na pravé a levé straně obdržíme A =
4
1
, B =
4
1
- .
Druhá část hledaného vzorce je na = 2n
4
1
(n2
- n).
Vzorec pro n-tý člen je an = na + na = C12n
+ 2n
4
1
(n2
- n), kde C1R.
Protože a1 = 5 je C1=
2
5
.
Jedná se tedy o posloupnost, kde n-tý člen je an = 52n-1
+ 2n-2
(n2
­ n) .
Náboj: Stanovte součet řady 

=
+
1
2
3
2
n
n
n
.
Řešení: Nejprve určíme sn, tj. posloupnost částečných součtů.
Rozepíšeme-li danou řadu je 

=
+
1
2
3
2
n
n
n
= a1 + a2 + a3 + ... + an + ... , kde nn
n
a
3
22
+
= .
Protože sn = a1 + a2 + a3 + ... + an a sn+1 = a1 + a2 + a3 + ... + an + an+1 ,
vidíme, že sn+1 - sn = an+1 =
( )
1
2
3
21
+
++
n
n
, tedy sn+1 - sn = 





++





1
3
2
3
1
3
1 2
nn
n
a s1 = 1, což je
rekurentně zadaná posloupnost a k najití vzorce pro n-tý člen můžeme využít postup uvedený
v předchozím příkladě. Obdržíme řešení ( ) 24
3
1
2
1 2
+++





-= nns
n
n . Součet řady
vypočteme jako limitu této posloupnosti a tedy s = 2.