Otevřené úlohy Posloupnosti a řady
a) Způsoby zadání posloupností, graf, limita posloupnosti
1) Určete vzorec pro n-tý člen posloupnosti, zadané výčtem prvků:
a) 4, 8, 12, 16, 20, .... b) 1, 4, 9, 16, 25, ....c) -1, 1, -1, 1, -1, .... Řešení : a) b)
c)
nan 4= 2
naN =
( )n
na 1-=
2) Zapište vzorcem pro n-tý člen : a) posloupnost všech přirozených sudých čísel
b) posloupnost všech přirozených lichých čísel
c) posloupnost všech přirozených čísel dělitelných jedenácti
Řešení : a) b) c)nan 2= 12 -= nan nan 11=
3) Posloupnost je dána vzorcem pro n-tý člen. Napište prvních pět členů posloupnosti a načrtněte graf:
a) b) c) ( )12 += nan
n
n na =
2. nnan .1-=
d)
1
1
+
-
=
n
n
an e) f)52
-= nan ( ) 1
1.
+
-=
n
n na
Řešení : a)3,5,7,9,11 b) 32
5
4
1
8
3
2
1
2
1
,,,, c) 0,2,6,12,20d) 3
2
5
3
2
1
3
1
,,,,0 e) ­4,-1,4,11,20 f) 1,-2,3,-4,5
4) Posloupnost je dána rekurentně. Určete prvních šest členů posloupnosti a určete vzorec pro n-tý člen:
a) b) c)
( )4
5
1
1
+=
=
+ nn aa
a
12
1
1
1
++=
=
+ naa
a
nn 2.1
1
12
1
1
+-=
-=
+
+ n
n
n aa
a
Řešení: a) 5,9,13,17,21,25 b) 1,4,9,16,25,36 c) -1,3,-1,3,-1,314 += nan
2
nan = ( ) 2.11
n
na -+=
5) Rozhodněte, které z následujících posloupností jsou konvergentní a v kladném případě určete jejich limitu
a)

=






1
5
nn
b) c)( )
=17 n

=






+ 113
4
nn
n
d) ( )

=






-
15
1
.1
n
n
n
e) ( )
=13 n
n
f)

=






+-
-+
1
2
2
32
14
n
nn
nn
Řešení : a) 0 b) 7 c) 3
4
d) 0 e) divergentní f) 2
1
b) Aritmetická posloupnost
1) Dokažte, že daná tři čísla tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti, určete diferenci :
a) log 16; log 8; log 4 b) 2000
3999
2000
2999
2000
1999
;; c) sin 60°; sin 0°; sin(-60°)
d) ( ) ( ) Raaaa ++- ,2;1;2
222
Řešení : a) d = log 2
1
b) d= 2
1
c) d= 2
3
- d) d =2a+3
2) Strany pravoúhlého trojúhelníku tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 24 cm. Stanovte jeho
obvod a obsah. Řešení : o = 72 cm, S=216 cm
2
3) Tři čísla, která tvoří tři následující členy aritmetické posloupnosti mají součet 60 a součin 7500. Určete
tato čísla. Řešení : 15,20,25
4) V aritmetické posloupnosti je a1 =3 , d=4. Kolik členů této posloupnosti musíme sečíst, aby součet byl
větší než 250? Řešení : alespoň 11 členů
5) Délky stran pravoúhlého trojúhelníku tvoří tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti. Obvod
trojúhelníku je 96 cm. Vypočtěte délky stran. Řešení : 24 cm, 32 cm, 40 cm
6) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte 4 čísla tak, aby spolu s vypočtenými016102
=+- xx
kořeny vzniklo šest Následujících členů aritmetické posloupnosti.
Řešení : 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 nebo sestupně.
7) V aritmetické posloupnosti známe první člen a1 =18 a diferenci d=-5. Určete nN tak, aby platilo
Řešení : n=221893 -=+ +nn aa
8) Určete první člen a diferenci aritmetické posloupnosti, ve které platí :
a) b)
32
8
2
5
2
3
53
=-
=+
aa
aa
2:
10
121
8754
=
=+++
aa
aaaa
Řešení : a) a1 =10, d= -2 b) a1 =2, d=0,1
c) Geometrická posloupnost
1) V geometrické posloupnosti je 81
4
72 ;12 -== aa . Vypočtěte a q a zapište posloupnost rekurentně.1a
Řešení : nn aaqa 3
1
13
1
1 ;;36 -=-=-= +
2) Součet prvních tří členů geometrické posloupnosti je 38, součet následujících tří členů je 27
304
.
Určete Řešení :.;1 qa 3
2
1 ;18 == qa
3) Tři racionální čísla tvoří geometrickou posloupnost. Jejich součet je 21 a součin krajních čísel je 36.
Určete tato čísla. Řešení : hledaná čísla jsou 3, 6, 12.
4) Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte 4 čísla tak, aby spolu s vypočtenými016102
=+- xx
kořeny vzniklo šest následujících členů geometrické posloupnosti.
Řešení : 8;84;24;162;42;2 5555
nebo sestupně.
5) Přičteme-li k číslům ­6; 2; 26 reálné číslo x, dostaneme první tři členy geometrické posloupnosti.
určete toto číslo, Dále a1 ,q. Řešení : x = 10, a 3;41 == q
1) Délky hran kvádru tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Součet délek všech hran je
84 cm. Vypočtěte povrch kvádru, víte-li , že jeho objem je 64 cm . Řešení : 1 cm, 4 cm, 16 cm S= 168 cm
3 2
2) Součet tří po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti je 9. První číslo necháme, druhé zvětšíme
o 12 a třetí zmenšíme o 3. Dostaneme tak tři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti.
Určete původní trojici čísel. Řešení : 3, -6, 12 nebo 12, -6, 3
d) Nekonečná geometrická řada
1) Určete n ­ tý člen a součet řady 1 ...81
16
27
8
9
4
3
2
+ - + -- Řešení : ;5
3
=nS ( ) 1
3
2 -
-=
n
na
2) Řešte v R rovnici ...1 32
2793
10
8
+-+-=+ xxxx Řešení : IxI>3; x  -10; x=- 6; x = 4
3) Řešte v R rovnici ( )

=
-=1
2
1
34
n
n
x
x Řešení : x = 2
3
6) U daných nekonečných geometrických řad určete první člen a kvocient. Rozhodněte, které řady jsou
konvergentní a které divergentní. V případě, že se jedná o konvergentní řadu, určete její součet.
a) ...24
1
12
1
6
1
3
1
-+-+- b) ...12 2
1
2
2
++++ c) ...32 4
27
2
9
++++
Řešení : a) 9
2
2
1
3
1
1 ..;;; -=-=-= Skonvqa
b) 222:.;;2:;;21 2
12
1
1 +====+= Skonvqaneboqa ě
c) ídivergentnqa ;;2 2
3
1 ==
5) Stanovte hodnotu součinu ....3.3.3.3 84
=y Řešení : y = 9
6) Řešte v R rovnici 2...loglogloglog 8
=++++ xxxx č
Řešení : x=10
7) Řešte v R rovnici Řešení : x =10....931 2
=+++ xx 10
3
8) Vypočtěte n
n nnn
++++
++++
...321
....2793
kde n Řešení :N n+1
3
Posloupnosti a řady - souhrn
1. Napište prvních pět členů posloupnosti, pro jejíž členy platí
a) = 3 = 4 b) = 3,5 = - 1,5 c) =1a 1+na na 1a 1+na na 2+na
n
n
a
a 1+
31 -=a , 62 -=a
2. Posloupnost je dána vzorcem pro n- tý člen. Napište prvních 5 členů posloupnosti a načrtněte graf:
a) b)( ) 1
1.
+
-=
n
n na 52
-= nan
3. V aritmetické posloupnosti je dáno , d=-24,4501 =a 210=na . Vypočtěte a, .ns
4. Čtvrtý člen aritmetické posloupnosti je 16, osmý 24. Kolik členů je třeba sečíst, aby jejich součet byl 90 ?
5. Určete , d v aritmetické posloupnosti ve které platí:1a 10352 =-+ aaa 1761 =+ aa
6. Délky stran pravoúhlého trojúhelníka tvoří aritmetickou posloupnost. Delší odvěsna je 12 cm.
Vypočtěte obvod a obsah trojúhelníka.
7. Teplota Země přibývá o C na 33m. Jak je velká teplota v šachtě hluboké 1015m, je-li v hloubce 25m stálá
teplota + C?
o
1
o
9
8. Mezi kořeny kvadratické rovnice vložte čtyři čísla tak,aby spolu s vypočtenými kořeny
vzniklo 6 následujících členů a) aritmetické posloupnosti b) geometrické posloupnosti
016102
=+- xx
9. Určete q geometrické posloupnosti ve které platí:,1a 1441 =+ aa 423 -=+ aa
10. V geometrické posloupnosti je
81
4
,12 72 -== aa . Vypočtěte .,1 qa
Zapište posloupnost vzorcem pro n- tý člena rekurentně.
11. Přičteme-li k číslům 2,7,17 totéž číslo,vzniknou tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti.Určete je
12. Součet prvních tří členů GP je 38, součet následujících tří členů této posloupnosti je .
27
304
Určete .,1 qa
13.Podnikatel si vypůjčil v KB 200 000Kč na 5 let s 15% ročním úrokem. Jak velkou částkou splatí dluh
po 5-ti letech?
14. Tlak vzduchu ubývá se stoupající výškou ( při stálé teplotě) asi o 1,2% na 100 m.
Určete: a) tlak na vrcholu Sněžky, je-li normální atmosférický tlak na hladině moře 25
.10 -
mN
b) o kolik % klesne tlak vzduchu, vystoupíme-li do výšky 1 000 m.
15. Do banky uložíme 10 000Kč. Kolik peněz budeme mít po 1 roce, jestliže nám úroky připisují
a) ročně b) čtvrtletně c) měsíčně
(Zdanění úroků je 15%, úrokovací rok = 360 dnů, úrokovací měsíc = 30 dnů)
16. U daných nekonečných geometrických řad určete rozhodněte o konvergentnosti a divergentnosti,
pokud bude řada konvergentní, určete její součet
,1qa
a) ........
16
3
8
3
4
3
2
3
++++ b) ......
2
1
2
2
12 ++++
c) 

=
-






-
1
1
2
1
n
n
d) ( )

=
-
1
5
n
n
17. Určete pro která x R jsou dané geometrické řady konvergentní. Potom určete jejich součet.
a) . b).......16842 32
++++ xxx ( ) ( ) ....444
32
++++++ xxx
c) ( )

=
-
1
21
n
n
x
18. Vypočtěte:
....
2
.......
42
...............321
1
++++
++++
-n
nnn
n
n
19. Do čtverce o délce strany d je vepsána kružnice, do ní je znovu vepsán čtverec, atd.
Vypočtěte součet obsahů všech takto získaných a) čtverců b) kružnic
20. Řešte rovnice:
a) .....
2793
1
10
8
32
+-+-=
+ xxxx
b) ...33
3
5 432
++++= xxxx
c) ( )

=
-=1
2
1
34
n
n
x
x d) ( ) ( ) xxxx log6...log1log1log1
32
-=++++++
Řešení:
1. a) 3,12,48,192,768 b) 3,5; 2; 0,5; -1; -2.5 c) ­3,-6,2,
6
1
,
3
1
-- 2. a) 1,-2,3,-4,5 b)-4,-1,4,11,20
3. n=11, 4. 6 5.3630=ns 3,11 == da 6. O=36cm,s=54 7.2
cm C0
39
8. a) 2; 3,2; 4,4; 5,6; 6,8; 8 nebo opačně b) 8,84,24,162,42,2 5555
nebo opačně
9. 2,2;
2
1
,16 11 -=-=-== qaqa 10.
3
1
,361 -=-= qa , 





-=-=





-= + nn
n
n aaaa
3
1
36,
3
1
.108 11
11. 5,10,20 12.
27
1330
3
2
,18 61 === sqa 13. 402 271,40 Kč
14. a) b) asi o 11,37% 15. a) 10765 Kč b) 10 787,20 Kč c) 10 792,40 Kč24
.10.24,8 -
mN
16. a) konverg. 3,
2
1
,
2
3
1 === sqa b)
2
1
,211 =+ qa divergentní
c)
2
1
,11 -== qa konverg. S=
3
2
d)
5
5
,
5
5
1 == qa konverg. S=
4
15 +
17. a) 





-
2
1
,
2
1
x S=
x21
2
b)
( )3,5 --x S=
3
4
+
+
-
x
x
c) ( )1,0x S=
x
x
2
2118.
( 1
4
1
+n ) 19. a) b)2
2d 2
2
1
d
20. a) 10,3 -xx f , b)4,6 =-= xx
7
5
,
2
1
,1 -== xxx p c)
2
3
d) x=
10
1003