+--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Kapitola: | 3 MATICE | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ V této kapitole se seznámíte s pojmem matice, s některými vlastnostmi matic a se základními operacemi, které lze s maticemi provádět. Uvedeme jen ty poznatky, které jsou nezbytné, abyste mohli s pochopením číst další části tohoto textu a abyste dokázali uspět s jejich používáním při studiu dalších aplikovaných matematických či ekonomických disciplín. To, co se zde dovíte o maticovém počtu, je jen nepatrnou částí jinak velmi rozsáhlé disciplíny s širokou aplikabilitou. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 3.1 Pojem matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem tohoto modulu je - zvládnout pojem matice a základní maticovou terminologii, - naučit se poznávat jednotlivé druhy matic. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.1.1 Matice a podmatice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 11. je matice typu 2x3, je matice typu 3x2, je matice typu 1x5. Úloha 9. Napište libovolné matice . Úloha 10. V matici A určete prvky , hlavní a vedlejší diagonálu a vektory : a) ; b) . Řešení: a) , hlavní diagonála: 2, 0, 1, vedlejší diagonála: -1, 0, -2, , , neexistuje; b) neexistují, hlavní i vedlejší diagonála: 1 , neexistuje. Příklad 12. Mějme matici . Vynecháním 1. řádku a 3. a 4. sloupce vznikne podmatice typu 3x3. Dále je např. podmatice, která vznikne z matice A vynecháním 3.řádku a 2. sloupce. Úloha 11. V matici A z předchozího příkladu určete tyto podmatice včetně jejich typů: a) D, která vznikne vynecháním 2. a 3. řádku a 1. a 5. sloupce; b) F, která vznikne vynecháním prvních tří řádků a prvních čtyř sloupců; c) G, která vznikne vynecháním 2. řádku a 4. sloupce. Řešení: a) typu 2x3; b) typu 1x1; c) typu 3x4. Příklad 13. Matice jsou-li si rovny, protože je splněna podmínka rovnosti matic . Úloha 12. Zjistěte, zda pro matice A,B platí A=B, je-li a) , ; b) , ; c) , ; d) , ; e) , . Řešení: a) b) c) d) e) . Úloha 13. Určete čísla x,y,z tak, aby platilo , je-li a) , ; b) , . Řešení: a) b) . +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.1.2 Druhy matic | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 14. Určete, které z následujících matic jsou jednotkové a které nulové: , , , , kde i je imaginární jednotka, , . Řešení: B,F jsou jednotkové, C,E jsou nulové. Úloha 15. Z následujících matic vyberte diagonální matice: , , , . Řešení: A, B, C jsou diagonální. Příklad 14. Vraťme se k maticím uvedeným v úloze 4. V případě a) platí , matice A,B jsou tedy vzájemně transponované. V případě b) platí o maticích A,B totéž. V případě c) platí a zároveň , jde tedy o jedinou symetrickou matici. Úloha 16. Určete transponované matice k maticím: , , , , . Řešení: Pro jednoduchost neuvádíme. Úloha 17. Určete x,y tak, aby matice A byla transponovaná k matici B, je-li , . Řešení: Příklad 15. Podle této definice jsou trojúhelníkovými maticemi např. , , . Matice , nejsou trojúhelníkové. TEST 5 A. Teoretická část Rozhodněte, zda jsou následující tvrzení pravdivá či nepravdivá. 1. Každá jednotková matice je zároveň diagonální maticí. (ano – ne) 2. Transponovaná matice k nulové matici je opět nulová. (ano – ne) 3. Všechny nulové matice jsou si rovny. (ano – ne) 4. Všechny jednotkové matice jsou si rovny. (ano – ne) 5. Symetrická matice nemusí být vždy čtvercová. (ano – ne) 6. Diagonální matice může být i obdélníková. (ano – ne) 7. Nulová matice je vždy čtvercová. (ano – ne) 8. Rovné matice musí mít stejný typ. (ano – ne) 9. Transponovaná matice je vždy rovna původní matici. (ano – ne) 10. Hlavní diagonála matice „končí“ vždy prvkem v posledním řádku a v posledním sloupci. (ano – ne) B. Praktická část 1. Určete druh a typ matice A, je-li a) ; b) . 2. K matici A určete matici transponovanou. a) ; b) . 3. Rozhodněte, zda platí , je-li a) , ; b) , . 4. Určete x,y tak, aby pro matice , platilo . 5. Určete x tak, aby matice A byla symetrická, je-li a) ; b) . +------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +------------------------------------------------+ A. 1. ano 2. ano 3. ano 4. ne 5. ne 6. ne 7. ne 8. ano 9. ne 10. ne B. 1. a) trojúhelníková obdélníková matice typu 3x4; 1. b) nulová matice řádu 2; 2. a) ; 2. b) ; 3. a) A=B; 3. b) ; 4. ; ; 5. a) ; 5. b) . Pokud jste nesprávně zodpověděli některou otázku v části A, vraťte se v modulu k příslušnému pojmu a pozorně jej prostudujte znovu. Totéž platí v případě nesprávného vyřešení příkladů v části B. V příkladech 3, 4, 5 navíc potřebujete některé poznatky ze středoškolské matematiky z oblasti goniometrie a některých typů rovnic. V případě potíží vás odkazujeme na skriptum OM, strany 92-104. Můžete se také pokusit vyřešit další doporučené úlohy (viz níže). Doporučené úlohy pro procvičování: Sbírka úloh S1, př. 24, 25, 26, str. 17. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 3.2 Základní operace s maticemi | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem tohoto modulu je - naučit se matice sčítat, odčítat a násobit reálnými čísly, - seznámit se s některými vlastnostmi těchto operací, - uvědomit si úzkou souvislost mezi množinami matic a vektorovými prostory. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.2.1 Početní operace s maticemi | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 16. Pro transponování matic platí . Ukažme to na maticích , . Platí , , , , . Úloha 18. Stejně jako v předchozím příkladě ukažte, že platí , kde r je libovolné reálné číslo. Použijte matici A nebo B z předchozího příkladu 6. Řešení: Pro jednoduchost neuvádíme. Úloha 19. Vypočtěte matici , kde E je jednotková matice, je-li a) ; b) . Řešení: a) ; b) . Úloha 20. Určete x,y tak, aby matice byla nulová. Řešení: . +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.2.2 Pravidla pro počítání s maticemi | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 21. Ověřte platnost zákonů 1.-8. v LA, str. 36-37. Zvolte , , , . Řešení: Není pro jednoduchost uvedeno. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.2.3 Vektorový prostor matic | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 22. Zjistěte, zda matice A,B jsou lineárně závislé, je-li a) , ; b) , . Řešení: a) ne; b) ano. Úloha 23. Zjistěte, zda matice A,B,C,D mohou tvořit bázi ve V[2x2], je-li . Řešení: ano. TEST 6 A. Teoretická část V následujících tvrzeních rozhodněte o jejich pravdivosti či nepravdivosti. 1. Sečíst můžeme libovolné dvě matice. (ano-ne) 2. Libovolnou matici můžeme vynásobit libovolným reálným číslem. (ano-ne) 3. Sčítání matic je komutativní. (ano-ne) 4. Sčítání matic není asociativní. (ano-ne) 5. Dimenze vektorového prostoru je rovna 6. (ano-ne) B. Praktická část 1. Je dáno , , . Určete a) matici ; b) matici ; c) matice, které jsou lineárně závislé. +-------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +-------------------------------------------------+ A. 1. ne 2. ano 3. ano 4. ne 5. ano B. 1. a) ; 1. b) ; 1. c) . V případě nesprávné odpovědi na některý z úkolů v části A nebo B testu se vraťte k příslušné učební jednotce a znovu ji prostudujte. Doporučené úlohy pro procvičování: S1, př. 27-31, str. 18-19. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 3.3 Hodnost matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem tohoto modulu je - porozumět pojmu hodnost matice, - naučit se určovat hodnost libovolné matice. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.3.1 Definice hodnosti matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 17. V jednoduchých případech lze hodnost matice určit ihned. a) Je-li , pak přímo podle poznámky 3.8 b) platí . b) Je-li , pak podle téže poznámky a) je , protože vektory a jsou lineárně závislé (a tedy maximální počet lineárně nezávislých řádkových vektorů je roven jedné). c) Z téhož důvodu pro matici platí . d) Hodnost matice určíme podle věty 3.3. Platí . +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.3.2 Určování hodnosti matice | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 18. Vypočtěte hodnost matice . Postupujeme podle příkladu 3.7. Nuly v prvním sloupci pod prvkem dostaneme pomocí postupných úprav zapsaných jako . Potom je ~ . Nyní vytvoříme nulové prvky ve 2. sloupci pod hlavní diagonálou. Provedeme postupně úpravy . Pak je ~ . Nyní provedeme úpravu a máme A ~ . Odtud je . Úloha 24. Určete hodnosti následujících matic , , . Řešení: . Příklad 19. Matice A z příkladu 7a) je singulární. Matice A z příkladu 7d) a z úlohy 16 jsou regulární. Úloha 25. Vyšetřete regulárnost, příp. singulárnost následujících matic: , , . Řešení: A,B jsou singulární, C je regulární. Příklad 20. Je dána matice A s parametrem R tvaru . Vyšetříme, jak její hodnost závisí na parametru . Úpravou na trojúhelníkový tvar dostaneme postupně ~ ~ . Je-li , pak je h(A) = 2. V opačném případě je h(A) = 3. TEST 7 A. Teoretická část Vyberte správnou odpověď ano-ne. 1. Neexistují matice s nulovou hodností. (ano-ne) 2. Matice typu 3x4 má hodnost nejvýše 3. (ano-ne) 3. Ekvivalentní matice jsou si vždy rovny. (ano-ne) 4. Maximální počet lineárně nezávislých řádků matice je roven maximálnímu počtu jejích lineárně nezávislých sloupců. (ano-ne) 5. Každou matici lze upravit na trojúhelníkový tvar. (ano-ne) 6. Existuje matice typu 3x5, která je regulární. (ano-ne) 7. Má-li čtvercová matice dva řádky stejné, je singulární. (ano-ne) B. Praktická část 1. Určete hodnost matice A, je-li a) ; b) . 2. Vypočtěte hodnost matice A, je-li a) ; b) . 3. Vyšetřete regulárnost, příp. singulárnost, matice . 4. Určete, jak na parametrech závisí hodnost, příp. regulárnost matice A, kde a) ; b) . +--------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +--------------------------------------------------+ A. 1. ne 2. ano 3. ne 4. ano 5. ano 6. ne 7. ano B. 1.a) ; 1.b) ; 2.a) ; 2.b) ; 3. A je regulární; 4.a) pro x = 5 je h(A) = 1 a matice A je singulární; pro je h(A) = 2 a matice A je regulární; 4.b) pro je h(A) = 2 a matice A je singulární pro je h(A) = 3 a A je regulární. Doporučené úlohy pro procvičování: +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Modul: | 3.4 Násobení matic | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Cílem tohoto modulu je - zvládnout operaci násobení matic, - seznámit se s vlastnostmi operace násobení matic. +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.4.1 Součin matic | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Příklad 21. Vypočtěme součiny AB a BA matic , . Matice A je typu 2x3, matice B je typu 2x2. Protože počet sloupců matice A není roven počtu řádků matice B, není součin AB definován. Součinem matic BA je matice typu 2x3, přičemž platí . Úloha 26. Jsou dány matice A typu 2x3, matice B typu 4x2 a matice C typu 3x4. Rozhodněte, které ze šesti možných součinů těchto matic jsou definovány a určete typ výsledné matice. Řešení: Jsou definovány součiny AC typu 2x4, BA typu 4x3 a CB typu 3x2. Úloha 27. Vypočtěte součin matic AB, je-li , . Řešení: . +--------------------------------------------------------------------------------------------+ |Učební jednotka: | 3.4.2 Vlastnosti operace násobení matic | +--------------------------------------------------------------------------------------------+ Úloha 28. Pro dané matice , , spočtěte výrazy A(BC), (AB)C, A(B+C), AB+BC a výsledky Řešení: . . TEST 8 A. Teoretická část Rozhodněte, zda následující tvrzení jsou pravdivá či nepravdivá: 1. Součin AB matic A a B lze spočítat pro libovolné matice A,B. (ano-ne) 2. Násobení matic je komutativní operace. (ano-ne) 3. Ke každé čtvercové matici A existuje matice X tak, že platí AX = A. (ano-ne) 4. Pro matice A,B stejného typu a pro libovolné reálné číslo r platí . (ano-ne) 5. Pro čtvercové matice A,B,C řádu n vždy platí . (ano-ne) B. Praktická část 1. Vypočtěte součin matic . 2. Pro matici vypočtěte . 3. Vypočtěte součin matic (AB)C pro matice , , . 4. Vypočtěte matici A(B+C), je-li , , . 5. Určete hodnoty x,y tak, aby platila rovnost matic . +------------------------------------------------+ |Správné odpovědi | +------------------------------------------------+ A. 1. ne 2. ne 3. ano 4. ano 5. ano B. 1. 2. 3. 4. 5. Doporučené úlohy pro procvičování: S1, př. 34,35,36 na str. 20-22. CVIČENÍ 2 Test TAA obsahuje příklady, jejichž řešení zašlete v dohodnutém termínu svému tutorovi. Správné a včasné vyřešení testu je podmínkou pro udělení zápočtu. 1. Napište matici typu 3x3, pro jejíž prvky platí pro i = j, pro i < j, pro i > j. 2. Rozhodněte platí-li A = B, je-li , . 3. Určete x,y tak, aby matice A byla transponovaná k matici B, je-li , . 4. Určete matici C = 2A – 3B + 4E, je-li , a E je jednotková matice řádu 3. 5. Určete hodnost matice A, je-li . 6. Rozhodněte, zda je matice A regulární nebo singulární, je-li . 7. Rozhodněte, zda matice tvoří bázi v prostoru všech čtvercových matic řádu 2 (tj. v prostoru ). 8. Vypočtěte součin matic AB, je-li , . 9. Pro matice A, B, C vypočtěte součiny (AB)C a A(BC) , , . 10. Určete matici 7A – 3B + 2C pro matice A,B,C z předchozího příkladu. DODATKY KE KAPITOLE 3 Klíčová slova: matice, řádkový vektor, sloupcový vektor, hlavní a vedlejší diagonála; druhy matic: nulová, čtvercová, obdélníková, jednotková, diagonální, transponovaná, symetrická, trojúhelníková; početní operace s maticemi: rovnost, součet, rozdíl, násobení matice reálným číslem, součin matic; hodnost matice, regulární a singulární matice, zaměnitelnost matice Doporučená literatura pro hlubší studium: DOLANSKÝ, P. a kol. Matematika pro distanční studium. 1. vyd. Plzeň: ZUČ, 2000, 196 s., ISBN 80-7082-643-6, strany 50-60.