M A S A R Y K O V A U N I V E R Z I T A Pedagogická fakulta Katedra matematiky Sbírka příkladů z diferenciálního počtu funkcí dvou proměnných Diplomová práce Brno 2009 Petr Okrajek Jméno a příjmení autora: Bc. Petr Okrajek Název diplomové práce v češtině: Sbírka příkladů z diferenciálního počtu funkce dvou proměnných Název diplomové práce v angličtině: Collected problems from differential calculus of functions of two variables Studijní obor, kombinace oborů: Učitelství matematiky pro základní školy, Učitelství fyziky pro základní školy Vedoucí diplomové práce: prof. RNDr. Zuzana Došlá, DSc. Rok obhajoby: 2009 Anotace v češtině Cílem diplomové práce bylo vytvoření sbírky příkladů z matematické analýzy, která se zabývá diferenciálním počtem funkcí dvou proměnných. Stěžejní částí této práce jsou řešené příklady týkající se pojmu funkce dvou proměnných, limity a spojitosti funkce, parciální a směrové derivace funkce a lokálních extrémů funkce. Tato práce má pomoci studentům bakalářského studia učitelství matematiky, nebo jiných přírodovědných a technických oborů. Annotation in English The aim of my diploma thesis is to create a collection of examples of mathematical analysis which deals with differential calculus of functions of two variables. The essential part of this work contains examples concerning notions such as a function of two variables, limits and continuity of function, partial and directional derivatives of function, and local extremes of function. This work is supposed to help students of a bachelor program of teaching mathematics or other natural science and engineering programs. Na tomto místě bych rád poděkoval paní prof. RNDr. Zuzaně Došlé, DSc. za její odbornou pomoc, poskytnutí cenných rad a čas, který mi věnovala při zpracování mé diplomové práce. Prohlašuji, že jsem diplomovou práci vypracoval samostatně s použitím uvedených pramenů. V Brně dne 10. dubna 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bc. Petr Okrajek Obsah Úvod 6 1 Funkce a její graf 8 1.1 Definiční obor a graf funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Limita a spojitost funkce 17 2.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Věty o limitách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Výpočet limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Spojitost funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Parciální derivace 34 3.1 Parciální derivace 1. řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Parciální derivace vyšších řádů . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3 Směrové derivace, gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.4 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4 Lokální extrémy 52 4.1 Lokální extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.2 Vázané extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 4.3 Cvičení . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Literatura 64 Úvod Předmětem diplomové práce je sbírka příkladů. Cílem diplomové práce je vytvořit sbírku příkladů z diferenciálního počtu funkcí dvou proměnných. Hlavním vodítkem a zdrojem použité teorie byla skripta [3]. V práci je uvedena pouze nutná teorie, která je potřebná k porozumění uvedeným příkladům a cvičením. Těžiště práce je v sestavení příkladů a cvičení, které byly vybrány z různých zdrojů, ale zejména byly použity [1], [2]. Z příkladů uvedených ve skriptech [3] byly použity jen ty, které jsou pouze jako cvičení, případně byly vhodně upraveny. Diplomová práce je rozdělena do 4 kapitol. První kapitola se zabývá zavedením funkcí dvou proměnných a jejím grafem. Důraz je kladen na základní pochopení funkce dvou proměnných, určení jejího definičního oboru a schopnosti sestrojit graf funkce, případně vrstevnice dané funkce. Obrázky použité v této kapitole byly sestrojeny v programu Maple 8, nebo byly použity z [5]. Ve druhé kapitole je popsána limita a spojitost funkce. Pojem limita a spojitost funkce patří mezi základní pojmy diferenciálního počtu. Kapitola je rozčleněna na sekce limita funkce, věty o limitách, výpočet limity a spojitost funkce. Třetí kapitola se zabývá parciálními derivacemi funkce dvou proměnných. V této kapitole jsou popsány a vyřešeny příklady na parciální derivace 1. řádu, parciální derivace vyšších řádů, směrové derivace a gradient funkce. Všechny výsledky příkladů a cvičení uvedné v této kapitole byly ověřeny programem Maple 8. Poslední čtvrtá kapilola se zabývá lokálními extrémy funkce. Tato kapitola je ještě doplněna o vázané extrémy funkce, které jsou obtížné, proto jsou v této kapitole uvedeny jen základní příklady týkající se tohoto tématu, bez uvedení potřebné teorie. Na konci každé kapitoly jsou uvedena cvičení, ve kterých si čtenář může ověřit porozumění danému učivu. Diplomová práce je určena studentům bakalářského studia učitelství matematiky na Přírodovědecké a Pedagogické fakultě Masarykovy univerzity, dále studentům nematematických přírodovědných disciplín, a také všem zá- jemcům o další studium. V práci je kladen důraz na velký počet řešených příkladů, které mají pomoci k lepšímu pochopení probíraného tématu. Práce byla vysázena systémem LATEX. Použité označení: N množina všech přirozených čísel Z množina všech celých čísel R množina všech reálných čísel R rozšířená množina všech reálných čísel, tj. R = R {+, -} Funkce a její graf 8 Kapitola 1 Funkce a její graf 1.1 Definiční obor a graf funkce Reálná funkce jedné reálné proměnné je zobrazení z R do R. Zobecněním tohoto pojmu je zobrazení R2 do R, které se nazývá funkce dvou proměnných. Definice 1.1. Nechť M R2 , M = 0. Zobrazení f : M R se nazývá reálná funkce dvou reálných proměnných a množina M se nazývá definiční obor této funkce a značí se D(f). Z definice funkce dvou proměnných plyne, že tato funkce je jednoznačně určena zadáním jejího definičního oboru D(f) a předpisem, kterým je každému bodu x = [x0, y0] D(f) přiřazena funkční hodnota f(x, y). Pokud je předpis dán vzorcem a není zadaný definiční obor funkce, pak definičním oborem rozumíme množinu všech bodů x R2 , pro které má tento vzorec smysl. Definice 1.2. Nechť f je funkce dvou proměnných definovaná na množině M R2 . Grafem funkce f nazýváme množinu bodů G(f) = {[x, y] R3 : x = [x0, y0] M, y = f(x)}. Poznámka 1.1. Pro funkci dvou proměnných je grafem funkce množina bodů v trojrozměrném prostoru. Pro zobrazení tvaru a průběhu zobrazované funkce budeme využívat řezy s rovinami x = 0, y = 0, z = 0, což jsou souřadnice stěn yz, xz, xy, a rovinami s nimi rovnoběžnými viz obr. 1.1 Definice 1.3. Nechť M R2 a f : M R je funkce dvou proměnných definovaná na M, c R. Množinu fc = {[x, y] M : f(x, y) = c} nazýváme vrstevnice funkce f na úrovni c. Funkce a její graf 9 Obrázek 1.1: Grafy některých funkcí dvou proměnných jsou plochy nebo jejich části, známé z analytické geometrie v prostoru. Bližší podrobnosti v [8]. Napíšeme-li jejich rovnice v explicitním tvaru, můžeme říci, že například grafem funkce f(x, y) = ax + by + c je rovina f(x, y) = r2 - x2 - y2 je horní polovina kulové plochy f(x, y) = -c 1 - x2 a2 - y2 b2 je dolní polovina elipsoidu f(x, y) = c 1 + x2 a2 + y2 b2 je horní polovina dvojdílného hyperboloidu f(x, y) = x2 p2 + y2 q2 je eliptický paraboloid f(x, y) = x2 p2 - y2 q2 je hyperbolický paraboloid. Výpočet a zobrazení definičního oboru funkce z = f(x, y) Množině dvojic reálných čísel x, y, které tvoří definiční obor funkce, odpovídá v souřadnicové rovině (x, y) množina bodů, kterou vymezíme jistými rovnicemi a nerovnostmi. Definiční obor funkce z = f(x, y) a jeho zobrazení v rovině (x, y) budeme vyšetřovat postupně pro různé druhy funkcí. Přitom u funkcí dvou proměnných hledáme dvojice reálných čísel x, y, pro které funkční předpis f(x, y) vůbec připouští přiřazení reálného čísla z. Funkce a její graf 10 Příklad 1.1. Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = 1 - x2 - y2 x2 4 + y2 - 2y . (1.1) Řešení. Výraz pod odmocninou musí být nezáporný, proto musí být splněna podmínka 1 - x2 - y2 x2 4 + y2 - 2y 0. To nastane právě tehdy, když 1 - x2 - y2 0 a x2 4 + y2 - 2y 0 nebo 1 - x2 - y2 0 a x2 4 + y2 - 2y 0. Vyšetřeme, kdy nastane rovnost. Rovnice x2 + y2 = 1 je rovnicí kružnice se středem v bodě [0, 0] a poloměrem r = 1, rovnice x2 4 + y2 - 2y = 0 je rovnicí elipsy se středem v bodě [0, 1] a poloosami a = 2 a b = 1. Rovnici elipsy lze převést na tvar x2 4 + (y - 1)2 = 1. Množina všech bodů [x, y] R2 splňující výše uvedené nerovnosti, tedy definiční obor funkce f, je znázorněna na obr. 1.2.1 (vyšrafovaná část). Příklad 1.2. Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = arccos x x + y (1.2) Řešení. Definičním oborem funkce arccos je interval [-1, 1], funkce (1.2) je tedy definována pro [x, y] splňující nerovnosti -1 x x + y 1 a x = -y. Funkce a její graf 11 Rozlišujeme dva případy: i) x > -y : -x - y x a x x + y, odkud dostáváme y 2x a 0 y. ii) x < -y : -x - y x a x x + y, odkud dostáváme y -2x a 0 y. Tedy množina všech bodů [x, y] R2 splňující uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce (1.2) je znázorněna na obr. 1.2.2. 1.2.1: Graf definičního oboru funkce (1.1) 1.2.2: Graf definičního oboru funkce (1.2) Obrázek 1.2: Grafy definičních oborů funkcí (1.1) a (1.2) Příklad 1.3. Zobrazte v rovině definiční obor funkce f(x, y) = ln(x ln(y - x)) (1.3) Řešení. Definičním oborem funkce ln je interval (0, ), funkce (1.3) je tedy definována pro [x, y] splňující nerovnosti x ln(y - x) > 0 a y - x > 0. Součin x ln(y - x) > 0 je kladný právě tehdy, když Funkce a její graf 12 i) x > 0 a ln(y - x) > 0 odkud dostáváme x > 0 a ln(y - x) > ln 1 a po odlogaritmování druhé nerovnosti dostaneme x > 0 a y > 1 + x. ii) x < 0 a ln(y - x) < 0 odkud dostáváme x < 0 a ln(y - x) < ln 1 a po odlogaritmování druhé nerovnosti dostaneme x < 0 a y < 1 + x. Tedy množina všech bodů [x, y] R2 splňující výše uvedené nerovnosti, tj. definiční obor funkce (1.3) je znázorněna na obr. 1.2. Obrázek 1.3: Graf definičního oboru funkce (1.3) Příklad 1.4. Pomocí vrstevnic a řezů rovinami xz, yz zobrazte graf funkce f(x, y) = x2 + 4y2 (1.4) Řešení. Vrstevnice dané funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = x2 + 4y2 tedy k2 = x2 + 4y2 , kterou lze převést na tvar x2 k2 + 4y2 k2 = 1. (1.5) Funkce a její graf 13 Rovnice (1.5) je rovnice elipsy se středem v počátku a poloosami a = k, b = k 2 . Řez rovinou yz tj. x = 0 dává z = 4y2 = |2y|. Řezem je lomená čára s vrcholem v počátku daná rovnicí z = |2y|. Podobně řez rovinou y = 0 dává z = |x|. V obou případech je řezem lomená čára s vrcholem v počátku o rovnici z = |2y|, resp. z = |x|. Na základě získaných výsledků můžeme říci, že grafem funkce (1.4) je eliptický kužel s vrcholem v počátku a hlavní osou z, nacházející se v poloprostoru z 0 viz. obr 1.4. 1.4.1: Půdorys 1.4.2: Bokorys 1.4.3: Nárys Obrázek 1.4: Graf funkce (1.4) pomocí vrstevnic Příklad 1.5. Zobrazte v R3 graf funkce f(x, y) = x2 9 + y2 4 , (1.6) Řešení. Vrstevnice dané funkce na úrovni k > 0 jsou dány rovnicemi k = x2 9 + y2 4 , tedy x2 9k + y2 4k = 1, což jsou rovnice elipsy se středem v počátku a poloosami 3 k, 2 k. Řezy rovinami y = 0, x = 0 dávají z = x2 9 , z = y2 4 , což jsou rovnice parabol s vrcholem v počátku souřadných stěnách xz a yz. viz. obr. 1.5. Na základě získaných výsledků můžeme říci, že grafem je plocha, která se nazývá eliptický paraboloid. Funkce a její graf 14 1.5.1: Půdorys 1.5.2: Bokorys 1.5.3: Nárys Obrázek 1.5: Graf funkce (1.6) pomocí vrstevnic Příklad 1.6. Zobrazte vrstevnice funkce z = |x| - |y| + |x - y|. (1.7) Řešení. Nejprve musíme odstranit ve vyjádření funkční závislosti absolutní hodnoty. Provedeme diskusi v jednotlivých kvadrantech. Ia) x 0, y 0 x y z = x - y + x - y = 2(x - y). Ib) x 0, y 0 x < y z = x - y - x + y = 0. II) x < 0, y 0 (zde vždyx y) z = -x - y - x + y = -2x. IIIa) x < 0, y < 0, x y z = -x + y + x - y = 0. IIIb) x < 0, y < 0, x < y z = -x + y - x + y = 2(y - x). IV) x 0 y 0, x y z = x + y + x - y = 2x. Souhrnná situace je znázorněna na obr. 1.6.1. Protože pro libovolná [x, y] R2 platí nerovnost |x-y| |y|-|x|, je vždy f(x, y) 0, tj. pro c < 0 je fc = . Pro c 0 znázorníme v jednotlivých sektorech křivku |x|-|y|+|x-y| = c a pro c = 0, 1, 2, 3 je výsledek znázorněn na obrázku 1.6.2. Funkce a její graf 15 1.6.1: Graf funkce (1.7) 1.6.2: Vrstevnice funkce (1.7) 1.2 Cvičení Cvičení 1.1. Určete a zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) z = y x b) z = y x - y c) z = 1 x2 + y2 d) z = x + y 2x - 3y e) z = 10x r2 - x2 - y2 f) z = x2 - 2y y2 - 2x g) z = 5x - 7 2x2 + 3y2 - 12 h) z = x2 + y2 + 1 x2 - y2 Výsledky 1.1. a) [x = 0, y R; celá rovina (xy) bez osy y], b) [y = x; celá rovina (xy) bez bodů přímky y = x], c) [nesmí být současně x = 0, y = 0; rovina (xy) bez počátku], d) [y = 2 3 x; celá rovina (xy) bez bodů přímky y = 2 3 x], e) [x2 + y2 = r2 ; rovina (xy) bez bodů kružnice x2 + y2 = r2 ], f) [y2 = 2x; rovnina (xy) bez bodů paraboly y2 = 2x], g) [2x2 + 3y2 = 12; rovina bez bodů elipsy x2 6 + y2 4 = 1], h) [y = x, y = -x; rovina (xy) bez bodů přímek y = x, y = -x]. Cvičení 1.2. Určete a zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) z = sin 1 x + y b) z = cos x y c) z = arctg 1 x2 + 4y d) z = arccotg 1 x2 + y2 Výsledky 1.2. a) [x = -y; rovina (xy) bez bodů přímky y = -x ], b) [y = 0; rovina (xy) bez bodů osy x], c) [x2 = -4y; rovina (xy) bez bodů paraboly x2 = -4y], d) [nesmí být současně x = 0, y = 0; rovina (xy) bez počátku]. Funkce a její graf 16 Cvičení 1.3. Určete a zobrazte v rovině definiční obory funkcí: a) z = 3x - y b) z = 1 y - x c) z = x + 1 - y d) z = 1 - x2 - y2 e) z = 1 4 - x2 - y2 f) z = x2 + y2 - 1 Výsledky 1.3. a) [y 3x; dolní polovina vyťatá přímkou y = 3x], b) [y > x; vnitřek horní poloroviny vyťaté přímkou y = x], c) [y 1; dolní polorovina vyťatá přímkou y = 1 ], d) [x2 + y2 1; uzavřená kruhová oblast s hranicí: x2 +y2 = 1], e) [x2 +y2 < 4; otevřená kruhová oblast bez kružnice x2 +y2 = 4], f) [x2 +y2 1; rovina (xy) bez vnitřku kruhu omezeného kružnicí x2 +y2 = 1]. Cvičení 1.4. Určete rovnice vrstevnic daných funkcí: a) z = (x + y)2 b) z = x y c) z = x y d) z = y x e) z = y - b x - a f) z = 1 x2 + y2 g) z = y(x2 + 1) h) z = 1 - x2 4 - y2 Výsledky 1.4. a) [z = c, c R, c > 0; soustava přímek x+y = c], b) [z = c, c R; dvě soustavy rovnoosých hyperbol: y = c x ], c) [z = c, c R, c > 0; jedna soustava rovnoosých hyperbol: y = c2 x ], d) [z = c, c R; svazek přímek o středu v počátku: y = c x], e) [z = c, c R; svazek přímek o středu (a, b): y - b = c(x - a)], f) [z = c, c R, c > 0; soustava kružnic: x2 + y2 = 1 c ]. Limita a spojitost funkce 17 Kapitola 2 Limita a spojitost funkce Pojem limity funkce patří k základním pojmům diferenciálního počtu. Je to lokální vlastnost funkce, která popisuje chování funkce v ryzím okolí bodu, ve kterém limitu určujeme. Ryzím okolím bodu rozumíme okolí daného bodu kromě tohoto bodu, to znamená, že limita nezávisí na funkčí hodnotě funkce v tomto bodě. Funkční hodnota se může lišit od limity v tomto bodě nebo funkce nemusí být v daném bodě vůbec definovaná. K definici limity, spojitosti a všech dalších pojmů diferenciálního počtu je potřeba zavést metriku, v našem případě metriku na R2 . Metrika je funkce, která dvěma bodům přiřadí nezáporné číslo. Podle různého výběru metriky, můžeme např. v R2 získat euklidovskou metriku, která se využívá v geometrii 2([x1, y1], [x2, y2]) = (x1 - x2)2 + (y1 - y2)2, nebo čtvercové okolí lze získat volbou maximální metriky ([x1, y1], [x2, y2]) = max{|x1 - x2|, |y1 - y2|}. Tuto metriku budeme v dalším používat. Podrobnosti v [7]. Okolí bodu a R můžeme zapsat jako interval |x-a| < , > 0. Okolí bodu O(a) bodu a R2 je definováno pomocí metriky v R2 jako množina O(a) = {x R2 : (x, a) < }. Ryzím okolím bodu a rozumíme množinu O(a) {a}. Limita a spojitost funkce 18 Okolí nevlastních bodů v R2 jsou definována v souladu s maximální metrikou, tedy okolím nevlastního bodu [, ] rozumíme libovolnou množinu typu (a, ) × (b, ), a, b R. Analogicky definujeme okolí nevlastního bodu [-, ], [, -], [-, -] a také okolí bodů typu [a, ], [, a]. 2.1 Limita funkce Definice 2.1. Řekneme, že funkce f : R2 R má v bodě a (R )2 limitu L, L R , jestliže ke každému okolí O(L) bodu L existuje ryzí okolí O(a) bodu a = [a1, a2] takové, že pro každý bod x O(a)D(f) platí f(x) O(L). Píšeme lim xa f(x) = L. Poznámka 2.1. Množinu R = R{+, -}, kde - a + jsou symboly nepatřící do množiny R, která je úplně uspořádaná tak, že pro libovolné x R platí - < x < +, nazýváme rozšířenou množinou reálných čísel. Limitu nazýváme vlastní, jestliže L R, v opačném případě (L = ) limitu nazýváme nevlastní. Bod a (R )2 nazýváme limitní bod. Definice 2.1 limity je univerzální definice pro funkci dvou proměnných, pro vlastní či nevlastní limitu a pro vlastní i nevlastní limitní body, tj. alespoň jedna souřadnice je . Specifikací okolí pro vlastní limitní bod i limitu a R2 , L R dostaneme tzv. - definici vlastní limity ve vlastním bodě. Pro funkci dvou proměnných dostáváme následující definici. Definice 2.2. Řekneme, že funkce f : R2 R má v bodě [x0, y0] R2 limitu L R, jestliže ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každý bod [x, y] D(f) splňující |x - x0| < , |y - y0| < , [x, y] = [x0, y0], platí |f(x, y) - L| < . Píšeme lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = L. Číslo R, > 0 je libovolně malé číslo, ať se bod P = [x, y] R2 blíží bodu P0 = [x0, y0] R2 libovolným způsobem, tj. např. po jekékoliv křivce y = (x) procházející bodem x O(P0) D(f). Přitom funkce f(x, y) nemusí být v bodě (x0, y0) vůbec definována. Probíhá-li limitní proces tak, že souřadnice bodu P = [x, y] R2 jsou vázány rovnicí y = (x), pak limitu funkce lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) vypočteme po dosazení (x) za y jako limitu funkce jedné proměnné, tedy limxx0 f(x). Limita a spojitost funkce 19 Poznámka 2.2. Rovnice y = (x) vyjadřuje obyčejně jednoparametrický systém křivek, který je možné prokládat body x O(P0) D(f) a bodem [x0, y0] R2 . Jestliže vypočtená limita L je na parametru závislá (mění-li se pro různé hodnoty parametru), pak limita v bodě [x0, y0] R2 neexistuje. Je-li tato limita pro různé cesty y = (x) stejná, lze jen říci, že limita funkce f(x, y) může existovat. Najdeme-li třeba jen dvě různé cesty vedoucí k různým hodnotám L, limita funkce f(x, y) neexistuje. Příklad 2.1. Rozhodněte, zda v bodě [0, 0] existuje limita funkce f(x, y) = x + y x - y . (2.1) Řešení. Přibližujeme-li se k bodu [0, 0] po parabolické cestě y = ax2 , dostá- váme lim (x,y)(0,0) y=ax2 x + y x - y = lim x0 x - ax2 x - ax2 = lim x0 1 + ax 1 - ax = 1 . Označme P0 = [0, 0]. K limitě L = 1 dospějeme, ať se libovolným bodem [x, y] R2 libovolně malého okolí bodu P0 blížíme k bodu P0 po parabolické cestě y = ax2 . Výsledek by mohl vést k závěru, že limita existuje a že je L = 1. Zvolme však ještě jednu cestu po přímce PP0, kde P = [x, y], tj. po přímce o rovnici y = kx : lim (x,y)(0,0) y=kx x + y x - y = lim x0 x + kx x - kx = lim x0 1 + k 1 - k = 1 + k 1 - k . Pro různá k R, tedy pro různé přímky, je limita různá, a proto limPP0 x+y x-y neexistuje. Příklad 2.2. Rozhodněte, zda existuje limita lim (x,y)(2,3) y - 3 x + y - 5 . (2.2) Řešení. Přibližujeme-li se k bodu [2, 3] po přímce PP0 procházející body P = [x, y], P0 = [2, 3], která má rovnici y = k(x - 2) + 3, kde k R dostáváme lim (x,y)(2,3) y=k(x-2)+3 y - 3 x + y - 5 = lim (x,y)(2,3) kx - 2k + 3 - 3 x + kx - 2k + 3 - 5 = = lim x2 k(x - 2) (x - 2)(1 + k) = k 1 + k . Pro různá k R dostáváme různé limity, proto daná limita neexistuje. Limita a spojitost funkce 20 Příklad 2.3. Rozhodněte, zda existuje limita lim (x,y)(2,1) x + 3 2x - y + 7 . (2.3) Řešení. Nechť limitní proces nejprve probíhá po přímkách procházející body P = [x, y], P0 = [2, 1], která má rovnici y = k(x - 2) + 1 dostáváme lim (x,y)(2,1) y=k(x-2)+1 x + 3 2x - y + 7 = lim x2 x + 3 2x - kx + 2k - 1 + 7 = = 5 4 - 2k + 2k - 1 + 7 = 1 2 . Nezávisle na směrnici k, tedy po všech přímkách procházející body P, P0, je limita L = 1 2 . Volme nyní parabolické cesty. Považujme bod [2, 1] za vrchol parabol se společnou osou, rovnoběžné s osou y. Rovnice těchto parabol je: y - 1 = a(x - 2)2 tedy y = ax2 - 4ax + 4a + 1 (2.4) lim (x,y)(2,1) y=ax2-4ax+4a+1 x + 3 2x - y + 7 = lim x2 x + 3 2x - ax2 + 4ax - 4a - 1 + 7 = = 5 4 - 4a + 8a - 4a - 1 + 7 = 1 2 . Nezávisle na koeficientu a soustavy parabol je opět L = 1 2 . Limitu lze také vypočítat použitím základních vět o limitách: lim (x,y)(2,1) x + 3 2x - y + 7 = 2 + 3 4 - 1 + 7 = 1 2 . Tedy, daná limita existuje a je rovna L = 1 2 . 2.2 Věty o limitách Důležitým nástrojem pro výpočet limity funkce jedné poměnné je l`Hospitalovo pravidlo. Pro funkci dvou proměnných podobné pravidlo nemáme. V následujícím jsou uvedeny věty o limitách, které používáme při výpočtu limit. Limita a spojitost funkce 21 Věta 2.1. Funkce f má v bodě [x0, y0] R2 nejvýše jednu limitu. Věta 2.2. Nechť lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) = 0 a funkce g je ohraničená v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0] R2 (tj. existuje konstanta K 0 taková, že |g(x, y)| K v tomto ryzím okolí). Pak lim (x,y)(x0,y0) f(x, y)g(x, y) = 0. Věta 2.3. Nechť h(x, y) f(x, y) g(x, y) v nějakém ryzím okolí bodu [x0, y0] R2 a platí lim (x,y)(x0,y0) h(x, y) = lim (x,y)(x0,y0) g(x, y) = L. Pak lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = L. Věta 2.4. (Pravidla pro počítání limit) Nechť f, g jsou funkce dvou proměnných, lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = L1, lim (x,y)(x0,y0) g(x, y) = L2 a L1, L2 R. Pak platí a) lim (x,y)(x0,y0) cf(x, y) = cL, pro každé c R, b) lim (x,y)(x0,y0) [c1f(x, y) + c2g(x, y)] = c1L1 + c2L2, pro každé c1, c2 R, c) lim (x,y)(x0,y0) [f(x, y)g(x, y)] = L1L2, d) lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) g(x, y) = L1 L2 , je-li L2 = 0. Poznámka 2.3. Nechť funkce z = f(x, y) je definovaná v bodě P0 = [x0, y0] a nějakém ryzím okolí O(P0) bodu P0 = [x0, y0]. Bod P = [x, y] O(P0)D(f) se může přibližovat bodu P0 = [x0, y0] dvojím způsobem po pravoúhlé cestě, a to po přímkách y = p, x = q, kde p, q R jsou konstanty viz obr. 2.1. Pak limitu funkce f(x, y) nazýváme dvojnásobnou (postupnou) limitou, kterou lze vypočítat postupným limitním přechodem vždy pomocí jedné proměnné, přičemž druhou proměnnou považujeme za konstantu, tedy lim yy0 [ lim xx0 f(x, y)] = L1 lim xx0 [ lim yy0 f(x, y)] = L2 (2.5) Limita a spojitost funkce 22 Obrázek 2.1: Rovnost obou postupných limit je nutnou podmínkou k existenci limity lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = L. (2.6) To znamená, že je-li L1 = L2, může existovat limita, ale je-li L1 = L2, limita neexistuje. Má-li však funkce f(x, y) limitu a je-li lim(x,y)(x0,y0) f(x, y) = L, pak L = L1 = L2. Toho lze využít před výpočtem limity k ověření, zda limita funkce případně neexistuje. Příklad 2.4. Rozhodněte, zda existuje limita lim (x,y)(0,0) x - 2y 3x + y . (2.7) Řešení. Při výpočtu limity budeme postupovat podle rovnice (2.5). Tedy dvojnásobnou limitu vypočítáme postupným limitním přechodem pomocí jedné proměnné a druhou proměnnou budeme považovat za konstantu: L1 = lim y0 (lim x0 x - 2y 3x + y ) = lim y0 -2y y = -2 (2.8) L2 = lim x0 (lim y0 x - 2y 3x + y ) = lim x0 x 3x = 1 3 . (2.9) Tedy L1 = L2 a proto limita neexistuje. Příklad 2.5. Rozhodněte, zda existuje limita lim (x,y)(0,0) 5x2 - 3y2 x + 2y . (2.10) Limita a spojitost funkce 23 Řešení. Při výpočtu limity budeme postupvat analogicky, jako v příkladu 2.4. Dostáváme L1 = lim y0 (lim x0 5x2 - 3y2 x + 2y ) = lim y0 -3y2 2y = 0 (2.11) L2 = lim x0 (lim y0 5x2 - 3y2 x + 2y ) = lim x0 5x2 x = 0 . (2.12) Dospěli jsme k výsledku L1 = L2, proto limita (2.10) může existovat. Výpočet provedeme opět analogicky s příkladem 2.1. K bodu [0, 0] se budeme přibližovat po přímce y = kx. Toto zapíšeme: L = lim (x,y)(0,0) y=kx 5x2 - 3y2 x + 2y = lim x0 x2 (5 - 3k2 ) x(1 + 2k) = lim x0 x 5 - 3k2 1 + 2k = 0 Platí tedy nutná podmínka L = L1 = L2, proto limita (2.10) existuje a je rovna 0. Věta 2.5. Funkce f má v bodě [x0, y0] limitu rovnu L, jestliže existuje nezáporná funkce g : [0, ) [0, ) splňující limr0+ g(r) = 0 taková, že | f(x0 + r cos , y0 + r sin ) - L| < g(r) pro každé [0, 2] a r > 0 dostatečně malá. Speciálně, platí-li po transformaci do polárních souřadnic lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = lim r0+ h(r)g() kde limr0+ h(r) = 0 a funkce g() je ohraničená pro [0, 2), pak lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = 0. Příklad 2.6. Rozhodněte, zda existuje limita lim (x,y)(0,0) 1 + x2 y2 - 1 x2+y2 . (2.13) Řešení. K existenci limity (2.13) využijeme transformace do polárních souřadnic a tvrzení Věty 2.5. Zaveďme substituci x = r cos , y = r sin . Je-li (x, y) (0, 0), je r 0+ tedy lim (x,y)(0,0) 1 + x2 y2 - 1 x2+y2 = lim r0+ 1 + r2 cos2 sin2 - 1 r2 cos2 +r2 sin = = lim r0+ 1 + r4 sin2 cos2 - 1 r2 = lim r0+ eln(1+r4 sin2 cos2 ) - 1 r2 = = lim r0+ e- 1 r2 ln(1+r4 sin2 cos2 ) = lim r0+ eL = elimr0+ L , Limita a spojitost funkce 24 kde L = ln(1+r4 sin2 cos2 ) r2 . Využitím l`Hospitalova pravidla dostáváme L = lim r0+ ln 1 + r4 sin2 cos2 r2 = lim r0+ - 1 1+r4 sin2 cos2 4r3 sin2 cos2 2r = = lim r0+ - 2r2 sin2 cos2 1 + r4 sin2 cos2 = 0 1 = 0, odkud lim r0+ eL = elimr0+ L = 1. Podle Věty 2.5 je i původní limita rovna 1. 2.3 Výpočet limity Výpočet limity některých funkcí f(x, y) v bodě [x0, y0] provádíme podobnými způsoby a použitím podobných vět jako u funkce jedné proměnné. Přitom se můžeme přesvědčit o správnosti splněním nutné podmínky použitím postupných limit. Je-li vypočtená limita L a obě postupné limity L1, L2, musí být L = L1 = L2. * Pro výpočet limity u funkcí typu polynomů a některých racionálních lomených funkcí je možné postupovat pouhým dosazením x = x0, y = y0 do funkčního předpisu. Příklad 2.7. Vypočtěte limity následujících funkcí. a) f(x, y) = 2x2 - 3y + 5 v bodě [-2, 3] Řešení. Pokud můžeme souřadnice limitního bodu do příslušného výrazu dosadit (tj. po dosazení neobržíme neurčitý výraz), je hodnota limity dané funkce rovna funkční hodnotě v tomto bodě. Platí tedy lim (x,y)(-2,3) (2x2 - 3y + 5) = 4. b) f(x, y) = x3y-xy3+1 (x-y)2 v bodě [1, 2] Řešení. Souřadnice limitního bodu můžeme opět dostadit do příslušného výrazu, protože po dosazení neobdržíme neurčitý výraz, je hodnota limity dané funkce rovna funkcí hodnotě v tomto bodě. Tedy lim (x,y)(1,2) x3 y - xy3 + 1 (x - y)2 = -5. Limita a spojitost funkce 25 * Při výpočtu limit některých racionálních lomených funkcí vede někdy k cíli rozklad čitatele a jmenovatele, nebo vynásobení čitatele i jmenovatele vhodným výrazem. Příklad 2.8. Vypočtěte limity následujících funkcí. a) f(x, y) = x3-y3 x4-y4 v bodě [2, 2] Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu 0 0 , najdeme hodnotu limity tak, že čitatele i jmenovatele rozložíme a po úpravě dostaneme lim (x,y)(2,2) x3 - y3 x4 - y4 = lim (x,y)(2,2) (x - y)(x2 + xy + y2 ) (x - y)(x + y)(x2 + y2) = = lim (x,y)(2,2) (x2 + xy + y2 ) (x + y)(x2 + y2) = 3 8 . b) f(x, y) = 3(x2+y2) x2+y2+4-2 v bodě [0, 0] Řešení. Protože bychom dosazením souřadnic limitního bodu získali neurčitý výraz typu 0 0 , najdeme hodnotu limity tak, že čitatele i jmenovatele vynásobíme výrazem x2 + y2 + 4 + 2, využijeme zde algebraického vzorce a2 - b2 = (a - b)(a + b). Po této úpravě dostáváme lim (x,y)(0,0) 3(x2 + y2 ) x2 + y2 + 4 - 2 = = lim (x,y)(0,0) 3(x2 + y2 )( x2 + y2 + 4 + 2) ( x2 + y2 + 4 - 2)( x2 + y2 + 4 + 2) = = lim (x,y)(0,0) 3(x2 + y2 )( x2 + y2 + 4 + 2) (x2 + y2 + 4) - 4 = = lim (x,y)(0,0) 3(x2 + y2 )( x2 + y2 + 4 + 2) (x2 + y2) = = lim (x,y)(0,0) 3( x2 + y2 + 4 + 2) = 12. * Výpočet limity lze provést také převedením dvojné limity na limitu funkce jedné proměnné. Při vhodném tvaru funkce definované v jistém okolí bodu P0 = [x0, y0] zavádíme pro výpočet limity substituci: Limita a spojitost funkce 26 y = kx, pokud x 0, y 0, případně y = k(x - x0) + y0, pokud x x0, y y0, přičemž limitní cesty tvoří přímky svazku se středem v počátku [0, 0], případně v bodě [x0, y0], nebo zavedením polárních souřadnic r, definovaných vztahy x = r cos , y = r sin , pokud x 0, y 0, případně x = x0 + r cos , y = y0 + r sin , pokud x x0, y y0 a tedy r 0, přičemž limitní proces probíhá po polopřímkách se společným počátkem [0, 0], případně v bodě [x0, y0]. Příklad 2.9. Vypočtěte limity následujících funkcí. a) f(x, y) = 5x2-3y2 x-2y v bodě [0, 0] Řešení. K bodu [0, 0] se budeme přibližovat po přímce y = kx. Což zapíšeme: lim (x,y)(0,0) y=kx 5x2 - 3y2 x - 2y = lim x0 x2 (5 - 3k2 ) x(1 - 2k) = lim x0 x 5 - 3k2 1 - 2k = 0. b) f(x, y) = (x2 + y2 )x2y2 v bodě [0, 0] Řešení. Zavedením polárních souřadnic a využitím tvrzení věty 2.5 dostá- váme lim (x,y)(0,0) (x2 + y2 )x2y2 = lim r0 (r2 )r4 cos2 sin2 = = lim r0 [(r2 )r4 ]cos2 sin2 = (L)cos2 sin2 = 1 protože L = lim r0 e2r4ln r a využitím L`Hospitalova pravidla dostáváme L = lim r0 e2r4ln r = e2limr0 r4ln r = = e0 = 1 Podle Věty 2.5 je i původní limita rovna 1. c) f(x, y) = x2y2 (x2+y2)2 v bodě [0, 0] Řešení. Zavedením polárních souřadnic dostáváme lim (x,y)(0,0) x2 y2 (x2 + y2)2 = lim r0+ r4 sin2 cos2 r4 = sin2 cos2 . Protože výsledek závisí na , tj. na cestě, po které se blížíme k bodu [0, 0], uvedená limita neexistuje. Limita a spojitost funkce 27 * Limitu lze vypočítat také použitím základních limit lim (x,y)(a,b) sin g(x, y) g(x, y) = 1 (2.14) a lim (x,y)(a,b) tg g(x, y) g(x, y) = 1, (2.15) jestliže lim (x,y)(a,b) g(x, y) = 0 Příklad 2.10. Vypočtěte limity následujících funkcí. a) f(x, y) = sin(3x-2y) 3x-2y v bodě [2, 3] Řešení. Limitu funkce vypočeme použitím základních limity podle rovnice (2.14), tedy lim (x,y)(2,3) sin(3x - 2y) 3x - 2y = 1, protože lim (x,y)(2,3) (3x - 2y) = 0. b) f(x, y) = tg(xy) y v bodě [3, 0] Řešení. Limitu funkce vypočeme použitím základních limity podle rovnice (2.15) a rozšířením čitatele i jmenovatele výrazem x, tedy lim (x,y)(3,0) tg(xy) y = lim (x,y)(3,0) tg(xy) xy x = lim (x,y)(3,0) tg(xy) xy lim x3 x = 1 3 = 3, protože lim (x,y)(3,0) (xy) = 0. * Dalším způsobem je použitím základní limity lim (x,y)(a,b) (1 + g(x, y)) 1 g(x,y) = e, (2.16) pokud lim (x,y)(a,b) g(x, y) = 0. Limita a spojitost funkce 28 Použijeme-li substituci t = g(x, y), píseme t 0 místo x a, y b. Tedy lim t0 (1 + t) 1 t = e. (2.17) Příklad 2.11. Vypočtěte limitu lim (x,y)(,1) 1 + 1 x x2 x+y . Řešení. K výpočtu limity použijeme vzorce pro základní limitu podle rovnice (2.16). lim (x,y)(,1) 1 + 1 x x2 x+y = lim (x,y)(,1) 1 + 1 x x x x+y = L = e, neboť ln L = lim (x,y)(,1) x x + y ln 1 + 1 x x = = lim (x,y)(,1) x x + y ln lim (x,y)(,1) 1 + 1 x x = 1 ln e = 1. 2.4 Spojitost funkce Pomocí pojmu limita funkce definujeme spojitost funkce v bodě. Definice 2.3. Řekneme, že funkce f : R2 R je spojitá v bodě [x0, y0] (R )2 , [x0, y0] D(f), jestliže má v tomto bodě vlastní limitu a platí lim (x,y)(x0,y0) f(x, y) = f(x0, y0). Protože se spojitost funkce dvou proměnných definuje pomocí pojmu limity funkce stejně jako pro funkci jedné proměnné, obdobně platí věta, že součet, součin a podíl spojitých funkcí je opět spojitá funkce a dále také platí věta o spojitosti složené funkce. Věta 2.6. Jsou-li funkce f, g spojité v bodě [x0, y0] R2 , pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f + g, f g a je-li g(x0, y0) = 0, je v tomto bodě spojitá také funkce f/g. Věta 2.7. Nechť funkce g, h jsou spojité v bodě [x0, y0], u0 = g(x0, y0), v0 = h(x0, y0) a funkce f je spojitá v bodě [u0, v0]. Pak je v bodě [x0, y0] spojitá složená funkce F(x, y) = f(g(x, y), h(x, y)). Limita a spojitost funkce 29 Poznámka 2.4. Např. polynomy ve dvou proměnných, funkce sin u, cos u, eu , kde u je polynom ve dvou proměnných jsou příkladem funkcí spojitých v celé rovině. Stejně jako pro funkci jedné proměnné, platí pro funkci dvou proměnných Weierstrassova věta. Připomeňme, že Weierstrassova věta pro funkce jedné proměnné se týká funkcí spojitých na uzavřeném a ohraničeném intevalu, přičemž spojitost na uzavřeném intervalu znamená spojitost zleva (zprava) v pravém (levém) krajním bodě a normalní spojitost ve vnitřních bodech. Pro funkci dvou proměnných definujeme spojitost na množině takto: Definice 2.4. Řekneme, že fukce f je spojitá na množině M R2 , jestliže pro každý bod [x0, y0] M platí lim (x,y)(x0,y0) (x,y)M f(x, y) = f(x0, y0). Limitní vztah chápeme takto: Ke každému > 0 existuje > 0 takové, že pro každé [x, y] O([x0, y0]) M platí |f(x, y) - f(x0, y0)| < . Věta 2.8. (Weierstrassova) Nechť funkce f je spojitá na kompaktní množině M R2 . Pak nabývá na M své nejmenší a největší hodnoty. Poznámka 2.5. Důsledkem této věty je ohraničenost spojité funkce na kompaktní množině, což bývá někdy spolu s Větou 2.8 formulováno ve dvou větách jako první a druhá Weierstrassova věta. Příklad 2.12. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité. a) f(x, y) = 3x+y (x-2)2+(y+3)2 Řešení. Funkce f1 = 3x + y, f2 = (x - 2)2 + (y + 3)2 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definovaná a podle Věty 2.6 o podílu f2 = (x - 2)2 + (y + 3)2 = 0. Tedy [2, -3] je bodem nespojitosti, neboť funkce není v tomto bodě definovaná. b) f(x, y) = 1 2x2+3y2 Řešení. Funkce f1 = 1, f2 = 2x2 +3y2 . Funkce f1 je konstantní funkce, která je spojitá v celé rovině a funkce f2 je polynom ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definovaná a podle Věty 2.6 o podílu f2 = 2x2 +3y2 = 0. Tedy [0, 0] je bodem nespojitosti, neboť funkce není v tomto bodě definovaná. Limita a spojitost funkce 30 c) f(x, y) = 1 sin2 x+sin2 y Řešení. Funkce f1 = 1, f2 = sin2 x + sin2 y. Funkce f1 je konstantní funkce, která je spojitá v celé rovině a funkce f2 je goniometrická funkce ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definovaná a podle Věty 2.6 o podílu f2 = sin2 x + sin2 y = 0. Do definičního oboru nepatří body, pro které platí: sin x = 0 a současně sin y = 0, tedy x = m a y = n a po úpravě dostáváme x = m a y = n, kde m, n Z. Body nespojitosti jsou tedy body s celočíselnými souřadnicemi. d) f(x, y) = 1 x2-y2 Řešení. Funkce f1 = 1, f2 = x2 - y2 . Funkce f1 je konstantní funkce, která je spojitá v celé rovině a funkce f2 je polynom ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definovaná a podle Věty 2.6 o podílu f2 = x2 - y2 = 0. Do definičního oboru nepatří body, pro které platí: x2 - y2 = 0, tedy (x - y)(x + y) = 0, Body nespojitosti jsou tedy body, pro které platí y = x a y = -x. Křivkou nespojitosti jsou tedy přímky y = x, y = -x. e) f(x, y) = x+2y x2+y2-4 Řešení. Funkce f1 = x+2y, f2 = x2 +y2 -4 jsou polynomy ve dvou proměnných a ty jsou spojité v celé rovině. Funkce f není spojitá v bodech, ve kterých není definovaná, tj. x2 +y2 = 4 a podle Věty 2.6 o podílu f2 = x2 +y2 -4 = 0. Tedy body, v nichž funkce není spojitá tvoří kružnici se středem v počátku a s poloměrem 2. Příklad 2.13. Rozhodněte, zda funkce f(x, y) definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0, 0]: f(x, y) = xy2 x2+y2 pro [x, y] = 0 , 0 pro [x, y] = 0 . (2.18) Řešení. Nejprve ověříme, zda existuje lim(x,y)(0,0) f(x, y). Přibližujeme-li se k bodu [0, 0] po přímce o rovnici y = kx, můžeme psát: L = lim (x,y)(0,0) xy2 x2 + y2 = lim x0 x(kx)2 x2 + (kx)2 = lim x0 x3 k2 x2(1 + k2) = lim x0 kx 1 + k2 = 0. y = kx Limita a spojitost funkce 31 Vidíme, že výsledná limita nezávisí na k, proto uvedená limita existuje. Vyšetřeme nyní, zda je v bodě [0, 0] spojitá. Při výpočtu limity zavedeme polární souřadnice x = cos , y = sin , je-li (x, y) 0, je r 0+ a dle Věty 2.5 dostáváme: L = lim (x,y)(0,0) xy2 x2 + y2 = lim r0 r cos r2 sin2 r2 = lim r0 r sin2 cos = 0. Výsledná limita je rovna L = 0 i pro body [x, y] = 0, proto funkce (2.18) je spojitá v bodě [0, 0]. 2.5 Cvičení Cvičení 2.1. Rozhodněte, zda existuje limita: a) lim (x,y)(0,0) 5y x + y b) lim (x,y)(0,0) x x + y c) lim (x,y)(0,0) 3x - 2y 5x + 7y d) lim (x,y)(0,0) 5x2 - 3y2 x2 + 2y2 e) lim (x,y)(0,0) axn - byn cxn + dyn f) lim (x,y)(0,0) 3x2 y2 - 5x + 3y Výsledky 2.1. a) [neexistuje], b) [neexistuje], c) [neexistuje], d) [neexistuje], e) [neexistuje], f) [neexistuje, po cestách y = kx je L = 0, ale pro k = 5 3 je L = 27 25 ]. Cvičení 2.2. Pomocí postupných limit ověřte, že následující limity neexis- tují: a) lim (x,y)(0,0) x - y x + y b) lim (x,y)(0,0) x - 2y 3x + y c) lim (x,y)(1,2) x2 y2 - 4 x4 + y4 - 17 d) lim (x,y)(0,0) 2x3 - 3y2 x2 + y2 Výsledky 2.2. a) [neexistuje, L1 = -1, L2 = 1], b) [neexistuje, L1 = -2, L2 = 1 3 ], c) [neexistuje, L1 = 1 8 , L2 = 2 ], d) [neexistuje, L1 = 3, L2 = 0]. Limita a spojitost funkce 32 Cvičení 2.3. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x,y)(2,1) (5xy3 - 2y-1 ) b) lim (x,y)(1,0) ln(x + ey ) x2 + y2 c) lim (x,y)(1,1) sin 1 4 + x2y2 (2 x + y x2y2 ) d) lim (x,y)(1,-1) x2 - y2 x + y e) lim (x,y)(3,3) x4 - y4 x2 - y2 f) lim (x,y)(0,0) a - a2 - xy xy Výsledky 2.3. a) [L = 9], b) [L = ln 2 ], c) [L = 0 ], d) [L = 2 ], e) [L = 18 ], f) [L = 1 2a ]. Cvičení 2.4. Pomocí polárních souřadnic vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x,y)(0,0) 1 x4 + y4 e -1 x2+y2 b) lim (x,y)(0,0) x2y2 + 1 - 1 x2 + y2 c) lim (x,y)(0,0) (x2 + y2)2 + 1 - 1 xy2 d) lim (x,y)(,) x + y x2 - xy + y2 e) lim (x,y)(,) x2 + y2 x4 + y4 Výsledky 2.4. a) [L = 0], b) [L = 0 ], c) [L = 0 ], d) [L = 0 ], e) [L = 0 ]. Cvičení 2.5. Vypočtěte limity následujících funkcí: a) lim (x,y)(0,0) sin(x + 3y) x + 3y b) lim (x,y)(0,0) sin(6x2 + 6y2 ) 2(x2 + y2) c) lim (x,y)(0,0) 2xy sin xy d) lim (x,y)(0,0) sin(x3 + y3 ) x2 + y2 e) lim (x,y)(0,0) (1 + xy) 1 xy f) lim (x,y)(3,-2) (1 + 2x + 3y) 1 2x+3y g) lim (x,y)(2,2) (1 + x - y) 3 x-y Výsledky 2.5. a) [L = 1], b) [L = 3], c) [L = 2], d) [L = 0], e) [L = e], f) [L = e], g) [L = e3 ]. Limita a spojitost funkce 33 Cvičení 2.6. Určete body, v nichž nejsou následující funkce spojité: a) f(x, y) = 7x (x - 2)2 + (y - 2)2 b) f(x, y) = 1 x2 + y2 c) f(x, y) = 1 tg2 x + tg2 y d) f(x, y) = 5y 2x - y e) f(x, y) = x2 + 4y x2 - 4y f) f(x, y) = ln(1 - x2 - y2 ) Výsledky 2.6. a) [bod N = [2, 2]], b) [bod N = [0, 0]], c) [x = y = 2k+1 2 ; x = y = k, k Z ], d) [křivka nespojitosti: y = 2x], e) [křivka nespojitosti: y = x2 4 ], f) [kružnice se středem v počátku a poloměrem 1]. Cvičení 2.7. Rozhodněte, zda funkce f definovaná následujícím způsobem je spojitá v bodě [0, 0] : a) f(x, y) = x2y2 x4+y4 pro [x, y] = 0 , 0 pro [x, y] = 0. b) f(x, y) = x3y x4+y4 pro [x, y] = 0 , 0 pro [x, y] = 0. Výsledky 2.7. a) [není spojitá], b) [není spojitá]. Parciální derivace 34 Kapitola 3 Parciální derivace Pojem derivace funkce je druhým základním pojmem diferenciálního počtu. Připomeňme definici a geometrický význam derivace funkce jedné proměnné: derivace funkce f : R R v bodě x0 je limita f (x0) = lim xx0 f(x) - f(x0) x - x0 . (3.1) Derivace funkce v bodě udává směrnici tečny ke křivce y = f(x) v bodě [x0, f(x0)] R. Má-li funkce f derivaci v bodě x0, je v tomto bodě spojitá a existuje také limita funkce. Limita funkce dvou proměnných je komplikovanější pojem než v případě funkce jedné proměnné, protože k bodu [x0, y0] R2 se můžeme blížit několika způsoby. Blížíme-li se k bodu [x0, y0] ve směru souřadných os x a y, dostáváme se k pojmu parciální derivace funkce dvou proměnných. Parciální derivace funkce v libovolném bodě podle určité proměnné vypočítáme tak, že funkci derivujeme jen podle této proměnné, přičemž ostatní proměnné považujeme za konstanty. Říkáme pak, že tvoříme parciální derivace prvního řádu nebo prostě první parciální derivace. 3.1 Parciální derivace 1. řádu Definice 3.1. Nechť funkce f : R2 R je definovaná v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí. Položme (x) = f(x, y0). Má-li funkce derivaci v bodě x0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné x v bodě [x0, y0] a označujeme fx(x0, y0), resp. f x (x0, y0), fx(x0, y0). Parciální derivace 35 To znamená, že fx(x0, y0) = lim xx0 (x) - (x0) x - x0 = lim xx0 f(x, y0) - f(x0, y0) x - x0 . (3.2) Podobně, má-li funkce (y) = f(x0, y) derivaci v bodě y0, nazýváme tuto derivaci parciální derivací funkce f podle proměnné y v bodě [x0, y0] a označujeme fy(x0, y0), resp. f y (x0, y0), fy(x0, y0). To znamená, že fy(x0, y0) = lim yy0 (y) - (y0) y - y0 = lim yy0 f(x0, y) - f(x0, y0) y - y0 . (3.3) Poznámka 3.1. Má-li funkce z = f(x, y) parciální derivace ve všech bodech množiny N D(f), jsou tyto derivace funkcemi proměnných x, y. Označujeme je fx(x, y), fy(x, y), případně x f(x, y), y f(x, y), fx(x, y), fy(x, y), zx, zy, zx, zy. Věta 3.1. Nechť funkce f, g : R2 R mají parciální derivace podle proměnné xi, i {1, 2}, na otevřené množině M. Pak jejich součet, rozdíl, součin a podíl má na M parciální derivaci podle xi a platí xi [f(x) g(x)] = xi f(x) xi g(x), xi [f(x)g(x)] = xi f(x)g(x) + f(x) xi g(x), xi f(x) g(x) = xi f(x)g(x) - f(x) xi g(x) g2(x) , přičemž tvrzení o podílu derivací platí jen za předpokladu, že g(x) = 0. Vzorce pro výpočet parciálních derivací některých funkcí: Úmluva. Je-li funkce u funkcí jedné proměnné, pak u značí derivaci podle této proměnné. Tj. u (x) = du dx , v (y) = dv dy . Předpokládejme, že tyto vzorce platí všude tam, kde jsou příslušné funkce definované. Parciální derivace 36 z = u(x) + v(y), zx = u (x), zy = v (y), z = u(x)v(y), zx = u v, zy = u v . z = u(x) v(y) , zx = u v , zy = -u v v2 , z = [u(x)]v(y) , zx = vuv-1 u , zy = uv ln u v . z = [u(x, y)]n , zx = n[u(x, y)]n-1 ux, zy = n[u(x, y)]n-1 uy. z = sin u(x, y), zx = cos u(x, y) ux, zy = cos u(x, y) uy. z = tg u(x, y), zx = 1 cos2 u(x, y) ux, zy = 1 cos2 u(x, y) uy. z = au(x,y) , zx = au(x,y) ln a ux, zy = au(x,y) ln a uy. z = loga u(x, y), zx = 1 u(x, y) 1 ln a ux, zy = 1 u(x, y) 1 ln a uy. Parciální derivace 37 z = arcsin u(x, y), zx = 1 1 - [u(x, y)]2 ux, zy = 1 1 - [u(x, y)]2 uy. z = arctg u(x, y), zx = 1 1 - [u(x, y)]2 ux, zy = 1 1 - [u(x, y)]2 uy. z = [u(x, y)]v(x,y) = ev(x,y) ln u(x,y) , zx = [u(x, y)]v(x,y) vx ln u(x, y) + v(x, y) 1 u(x, y) ux zy = [u(x, y)]v(x,y) vy ln u(x, y) + v(x, y) 1 u(x, y) uy . Příklad 3.1. Vypočtěte parciální derivace funkce dvou proměnných a) z = x4 + y4 - 4x2 y2 . Řešení. Při výpočtu paricální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstantu, tj. zx = 4x3 - 8xy2 , Analogicky, při výpočtu parciální derivace podle proměnné y považujeme proměnnou x za konstantu, tedy zy = 4y3 - 8x2 y. b) z = 3x2 y + exy . Řešení. Při výpočtu budeme postupovat jako v předchozím příkladě, tedy zx = 6xy + exy y, zy = 3x2 + exy x. c) z = cos x2 y . Parciální derivace 38 Řešení. Protože proměnné x a y jsou separované, parciální derivace vypočteme tak, že jednu proměnnou považujeme za konstatntu a podle druhé proměnné derivujeme, tedy zx = -2x sin x2 y , zy = - cos x2 y2 . d) z = arcsin y x . Řešení. Při výpočtu budeme opět postupovat jako v předchozích příkladech, tedy zx = 1 1 - y2 x2 - y x2 = - y x2 1 - y2 x2 zy = 1 1 - y2 x2 1 x = 1 x 1 - x2 y2 . Příklad 3.2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkce f(x, y) = x2 + y2 ex2+y2 . Řešení. Při výpočtu paricální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstantu: x x2 + y2 ex2+y2 = x x2 + y2 1 2 ex2+y2 = = 1 2 x2 + y2 - 1 2 2x(ex2+y2 ) + (x2 + y2 ) 1 2 (ex2+y2 ) 2x = = x x2 + y2 (ex2+y2 ) + 2x(x2 + y2 ) 1 2 (ex2+y2 ) = = x(ex2+y2 ) x2 + y2 1 + 2(x2 + y2 ) . Analogicky, při výpočtu parciální derivace podle proměnné y považujeme proměnnou x za konstantu, tedy y x2 + y2 ex2+y2 = y x2 + y2 1 2 ex2+y2 = = 1 2 x2 + y2 - 1 2 2y(ex2+y2 ) + (x2 + y2 ) 1 2 (ex2+y2 ) 2y = = y x2 + y2 (ex2+y2 ) + 2y(x2 + y2 ) 1 2 (ex2+y2 ) = = y(ex2+y2 ) x2 + y2 1 + 2(x2 + y2 ) . Parciální derivace 39 Poznámka 3.2. U funkcí jedné proměnné plyne z existence derivace v daném bodě spojitost funkce, u funkcí dvou a více proměnných toto tvrzení neplatí. Má-li funkce f : R2 R paricální derivace v bodě [x0, y0], nemusí být v tomto bodě spojitá, jak ukazuje následující příklad. Příklad 3.3. Funkce definovaná předpisem f(x, y) = 2 pro x = 0 nebo y = 0 0 jinak má v bodě [0, 0] obě parciální derivace rovny nule a není zde spojitá, protože v tomto bodě neexistuje limita dané funkce (grafem funkce je rovina podstavy, ve které je ,,vyzdvižen počátek soustavy souřadnic). Parciální derivace udává pouze informaci o chování funkce ve směrech rovnoběžných se souřadnými osami, proto z existence parciální derivace neplyne spojitost funkce. V jiných směrech, než rovnoběžných se souřadnými osami, se funkce může chovat ,,velice divoce . Příklad 3.4. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f(x, y) = 1 - x2 - y2 (3.4) v bodě [x0, y0, z0] = [ 1 3 , 1 3 , ?]. Řešení. Připomeňme, rovnice tečny ke grafu má tvar f(x) = f(x0) + f (x0)(x - x0). (3.5) Analogicky, rovnice tečné roviny ke grafu má tvar f(x, y) = f(x0, y0) + f(x0, y0) x (x - x0) + f(x0, y0) y (y - y0). (3.6) Nejprve tedy musíme vyjádřit parciální derivace 1. řádu funkce (3.4) a pak nalézt jejich funkční hodnoty v daném bodě. Po úpravě dostáváme parciální derivace 1. řádu funkce (3.4): f(x, y) x = -x 1 - x2 - y2 , f(x, y) y = -y 1 - x2 - y2 Parciální derivace 40 a dosazením zadaného bodu jejich funkční hodnoty: f(x0, y0) x = f( 1 3 , 1 3 ) x = -1 f(x0, y0) y = f( 1 3 , 1 3 ) x = -1. Nyní už zbývá jen určit souřadnici z0, kterou získáme dosazením souřadnic [x0, y0] = [ 1 3 , 1 3 ] do předpisu zadaného rovnicí (3.4), tedy z0 = f(x0, y0) = 1 3 . Po dosazení vypočtených hodnot do rovnice (3.6) získáme hledanou rovnici tečné roviny ke grafu funkce (3.4) v bodě [x0, y0, z0] = [ 1 3 , 1 3 , 1 3 ], která má tvar f(x, y) = 1 3 - (x - 1 3 ) - (y - 1 3 ) a po úpravě dostáváme rovnici x + y + z = 3 . 3.2 Parciální derivace vyšších řádů Definice 3.2. Nechť [x0, y0] D(fx). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné x v bodě [x0, y0], nazýváme tuto derivaci parciální derivací 2. řádu podle x funkce f v bodě [x0, y0] a značíme fxx(x0, y0) nebo také f x2 (x0, y0). Existuje-li parciální derivace funkce fx(x, y) podle proměnné y v bodě [x0, y0], nazýváme tuto derivaci smíšenou parciální derivací 2. řádu funkce f v bodě [x0, y0] a značíme fxy(x0, y0) nebo také 2f xy (x0, y0). Analogicky definujeme parciální derivace 2. řádu fyx(x0, y0) a fyy(x0, y0). Parciální derivace n-tého řádu (n 3) definujeme jako parciální derivace derivací (n - 1)-tého řádu. Příklad 3.5. Vypočtěte parciální derivace 1. a 2. řádu funkce z = xy2 (3.7) Parciální derivace 41 Řešení. Zadanou funkci lze zapsat ve tvaru z = xy2 = eln xy2 . (3.8) Parciální derivaci prvního řádu funkce (3.7) podle proměnné x vypočítáme snadno přímo ze zadání, tedy zx = x z = y2 x(y2-1) = y2 xy2 x-1 = y2 xy2 x . Parciální derivaci prvního řádu funkce (3.7) podle proměnné y budeme počítat z rovnice (3.8), tedy zy = y z = eln xy2 (ln x 2y) = 2xy2 y ln x. Parciální derivace druhého řádu funkce (3.7) budeme počítat pomocí parciální derivace prvního řádu, tedy zxx = 2 x2 z = x (zx) = y2 (y2 - 1)x(y2-2) , zyy = 2 y2 z = y (zy) = ln x[2xy2 + (xy2 ln x 2y)2y]. Smíšené parciální derivace druhého řádu funkce (3.7) budeme počítat pomocí parciálních derivací prvního řádu, tedy zxy = 2 xy = y zx = 2yx(y2-1) + y2 x(y2-1) ln x 2y = 2yx(y2-1) (1 + y2 ln x), zyx = 2 yx = x zy = y2 x(y2-1) ln x + xy2 1 x 2y = 2yx(y2-1) (1 + y2 ln x). Všimněme si, že zxy = zyx. Následující věta ukáže, že tyto rovnosti nejsou náhodné. Věta 3.2. (Schwarzova) Nechť funkce f má spojité parciální derivace fxy, fyx v bodě [x0, y0]. Pak jsou tyto derivace záměnné, tj. platí fxy(x0, y0) = fyx(x0, y0). (3.9) Pro derivace vyšších řádů lze Schwarzovu větu zapsat následujícím způsobem. Věta 3.3. Má-li funkce f v bodě [x0, y0] a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace až do řádu n, pak hodnota parciální derivace řádu n v libovolném bodě z tohoto okolí závisí pouze na tom, kolikrát se derivovalo podle proměnné x a kolikrát podle proměnné y, nikoliv na pořadí, v jakém se podle těchto proměnných derivovalo. Parciální derivace 42 Příklad 3.6. Vypočtěte smíšené parciální derivace 2. řádu funkce f(x, y) = x4 + y4 - 4x2 y2 (3.10) a přesvědčte se o jejich záměnnosti. Řešení. Definičním oborem funkce (3.10) je množina D(f) = R2 . Při výpočtu parciální derivace podle proměnné x považujeme proměnnou y za konstatntu, tedy fx = x f(x, y) = 4x3 - 8xy2 . Dále při výpočtu parciální derivace podle proměnné y považujeme proměnnou x za konstatntu, tedy fy = y f(x, y) = 4y3 - 8x2 y. Smíšené parciální derivace druhého řádu budeme počítat pomocí parciální derivace prvního řádu, fxy = 2 xy = -16xy, fyx = 2 yx = -16xy. Vídíme tedy, fxy = fyx, že smíšené parciální derivace 2. řádu se sobě rovnají. Příklad 3.7. Vypočtěte smíšené parciální derivace 2. řádu funkce f(x, y) = x + y x - y (3.11) a přesvědčte se o jejich záměnnosti. Řešení. Definičním oborem funkce (3.11) je množina D(f) = {(x, y) R2 : x = y}. Nejprve musíme vypočítat parciální derivace 1. řádu funkce (3.11) podle proměnné x a proměnné y: fx = f(x, y) x = (x - y) - (x + y) (x - y)2 = - 2y (x - y)2 fy = f(x, y) y = (x - y) + x + y (x - y)2 = 2x (x - y)2 . Parciální derivace 43 Smíšené parciální derivace 2. řádu funkce (3.11) vypočítáme pomocí parciální derivace 1. řádu: fxy = f(x, y) xy = -2(x - y)2 - 4y(x - y) (x - y)4 = 2(y2 - x2 ) (x - y)4 fyx = f(x, y) yx = 2(x - y)2 - 4x(x - y) (x - y)4 = 2(y2 - x2 ) (x - y)4 . Vidíme, že fxy = fyx, přesvědčili jsme se, že smíšené parciální derivace 2. řádu funkce (3.11) jsou záměnné všude, kde jsou definované. Příklad 3.8. Vypočtěte parciální derivace 2. řádu funkce f(x, y) = xy (3.12) a přesvědčte se o záměnnosti smíšených parciálních derivací. Řešení. Definičním oborem funkce (3.12) je množina D(f) = R2 . Nejprve musíme vypočítat parciální derivace 1. řádu funkce (3.12) podle proměnné x a proměnné y: fx = f(x, y) x = yxy-1 , fy = f(x, y) y = y ey ln x = xy ln x. Parciální derivace 2. řádu funkce (3.12) vypočítáme pomocí parciální derivace 1. řádu: fxx = 2 f(x, y) x2 = y(y - 1)xy-2 , fyy = 2 f(x, y) y2 = y xy ln x = xy ln x2 , pro x > 0. Smíšené parciální derivace 2. řádu funkce (3.11) vypočítáme pomocí parciální derivace 1. řádu: fxy = f(x, y) xy = yxy-1 ln x + xy 1 x = xy-1 (1 + y ln x), fyx = f(x, y) yx = ye(y-1) ln x + yey-1 ln x = xy-1 (1 + y ln x). Vidíme, že fxy = fyx, přesvědčili jsme se, že smíšené parciální derivace 2. řádu funkce (3.12) jsou záměnné. Parciální derivace 44 Příklad 3.9. Dokažte, že pro funkci (x, y) = xey + yex platí vztah x3 + y3 - xxy2 - yx2y = 0. (3.13) Řešení. Vypočítáme-li jednotlivé parciální derivace dané funkce, dostaneme x3 = 3 x3 (x, y) = yex , y2 = 3 y3 (x, y) = xey , xy2 = 3 xy2 (x, y) = ey , x2y = 3 x2y (x, y) = ex . Dosazením vypočtených derivací do rovnice (3.13) dostaneme: yex + xey - xey - yex = 0. (3.14) Tedy dokázali jsme vztah (3.13). 3.3 Směrové derivace, gradient Parciální derivace funkce f v bodě [x0, y0] R2 jsou obyčejné derivace, které získáme zúžením definičního oboru funkce f na přímku jdoucí bodem x a rovnoběžnou s i-tou souřadnicovou osou, kde i = {1, 2}. Zobecněním parciálních derivací jsou směrové derivace, které lze získat zúžením definičního oboru funkce na přímku jdoucí bodem x a mající směr daného vektoru u V2 . To tedy znamená, že pak vyšetřujeme funkci (t) = f(x + tu), která je funkcí jedné proměnné, pro kterou je pojem derivace již dobře znám. V2 je standardní označení pro zaměření dvou-rozměrného euklidovského pro- storu. Definice 3.3. Nechť f je funkce dvou proměnných, [x0, y0] je vnitřní bod D(f), u V2 . Položme (t) = f(x + tu). Má-li funkce derivaci v bodě 0, nazýváme ji směrovou derivací funkce f v bodě x (derivací f ve směru vektoru u) a označujeme fu(x). To znamená, že fu(x) = lim t0 (t) - (0) t = lim t0 f(x + tu) - f(x) t . (3.15) Parciální derivace 45 Poznámka 3.3. Nechť (e1, e2) je standardní báze v V2 (vektor ei, i = {1, 2} má na i-tém místě jedničku a na zbývajícím místě nulu). Pak fei (x) = fxi (x), tj. směrová derivace podle vektoru ei je totožná s parciální derivací podle proměnné xi. Definice 3.4. Nechť funkce f(x, y) má v bodě [x0, y0] R2 spojité obě parciální derivace prvního řádu. Pak gradient funkce f v bodě [x0, y0] je vektor gradf(x0, y0) = (fx(x0, y0), fy(x0, y0)). (3.16) Někdy gradient funkce f označujeme f (čteme: nabla) a platí f(x0, y0) = f(x0, y0) x , f(x0, y0) y . Nechť M je množina všech bodů [x, y] R2 , v nichž existuje gradf(x, y). Vektorovou funkci definovanou na množině M předpisem (x, y) gradf(x, y) nazýváme gradientem funkce f. Značíme ji gradf nebo f. Věta 3.4. Má-li funkce f(x, y) v bodě [x0, y0] R2 spojité parciální derivace prvního řádu obou proměnných x, y, potom má v bodě [x0, y0] směrovou derivaci ve směru každého (jednotkového) vektoru u V2 a platí fu(x0, y0) = gradf(x0, y0) u, (3.17) kde symbol označuje skalární součin vektorů. Poznámka 3.4. Platí fu(x0, y0) = |gradf(x0, y0)| |u| cos , < 0, >, kde je úhel vektorů gradf(x0, y0), u. Tedy fu(x0, y0) je maximální, když = 0. Odtud plyne, že gradf(x0, y0) určuje směr, kterým f v bodě [x0, y0] roste nejrychleji. Je-li gradf(x0, y0) = 0, je potom fu(x0, y0) = 0 pro každý vektor u V2 . Je-li gradf(x0, y0) = 0, existuje mezi všemi směrovými derivacemi funkce f v bodě [x0, y0] R2 maximální směrová derivace. Je to derivace ve směru vektoru v = gradf(x0, y0) |gradf(x0, y0)| , (3.18) pro kterou platí fv(x0, y0) = |gradf(x0, y0)|. (3.19) Příklad 3.10. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = x2-y2 x2+y2 v bodě [1, 1] a ve směru vektoru u = (2, 1). Parciální derivace 46 Řešení. Přímým dosazením do definice 3.3 a využitím l'Hospitalova pravidla dostaneme f(2,1)[1, 1] = lim t0 f [1, 1] + t(2, 1) t = lim t0 f(1 + 2t, 1 + t) t = lim t0 (1+2t)2-(1+t2) (1+2t)2+(1+t)2 t = = lim t0 3t2+2t 5t2+6t+2 t = lim t0 (6t + 2)(5t2 + 6t + 2) - (3t2 + 2t)(10t + 6) (5t2 + 6t + 2)2 = = 2 2 - 0 6 22 = 1. Příklad 3.11. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = x2 -y2 v bodě [1, 1] ve směru jednotkového vektoru, který svírá s kladným směrem osy x úhel 3 . Řešení. Nejprve určeme vektor u = (u1, u2). Platí u2 u1 = tg = tg 3 = 3, tedy u2 = 3 u1. (3.20) Dále pro jednotkový vektor platí u2 1 + u2 2 = 1. (3.21) Dosazením (3.20) do rovnice (3.21 ) dostáváme u2 1 + 3u2 1 = 1, po úpravě u1 = 1 2 . (3.22) Dosazením (3.22) do rovnice (3.20) dostáváme souřadnice vektoru u = (1 2 , 3 2 ). Výpočet směrové derivace můžeme provést dvojím způsobem: a) Přímým dosazením do definice 3.3 a využítím l'Hospitalova pravidla dostaneme f( 1 2 , 3 2 ) (1, 1) = lim t0 [(1 + 1 2 t)2 - (1 + 3 2 t)2 ] t = = lim t0 (1 + t + 1 4 t2 ) - (1 + 3t + 3 4 t2 )] t = = lim t0 t - 3t + t2 t = lim t0 (1 - 3 + 2t) = 1 - 3. Parciální derivace 47 b) Využitím definice 3.4 dostaneme, že pro gradient funkce f platí gradf(x, y) = (2x, -2y) (3.23) a dále dosazením souřadnic bodu [1, 1] do rovnice (3.23) dostaneme gradf(1, 1) = (2, -2). Tedy fu(1, 1) = gradf(1, 1) u = 2, -2 1 2 , 3 2 = 1 - 3. Příklad 3.12. Vypočtěte směrovou derivaci funkce f(x, y) = x2 y + ln(x y ) v bodě a = [2, 3] ve směru vektoru u = (1, -2). Řešení. Využitím definice 3.4 dostaneme, že pro gradient funkce f platí gradf(x, y) = f(x, y) = 2xy + 1 x , x2 - 1 y (3.24) a dále dosazením souřadnic bodu a do rovnice (3.24)dostaneme gradf(a) = 25 2 , 11 3 . Tedy fu(a) = gradf(a) u = ( 25 2 , 11 3 ) (1, -2) = 31 6 . Příklad 3.13. Určete bod, ve kterém je gradient funkce f(x, y) = ln(x + 1 y ) roven vektoru u = (1, -16 9 ). Řešení. Vypočítáme gradient funkce f(x, y) = ln(x + 1 y ). Pro parciální derivace prvního řádu platí fx(x, y) = 1 1 + 1 y = y xy + 1 (3.25) fy(x, y) = 1 1 + 1 y -1 y2 = -1 xy2 + y . (3.26) Odtud gradf = y xy + 1 , -1 xy2 + y . Dále gradient funkce f porovnáme se zadaným vektorem u = (1, -16 9 ). Platí y xy + 1 , -1 xy2 + y = 1, - 16 9 . Parciální derivace 48 Z rovnosti složek vektorů dostaneme systém rovnic y xy + 1 = 1 (3.27) -1 xy2 + y = - 16 9 (3.28) Dosazením rovnice (3.27) do rovnice (3.28) dostáváme 1 y2 = 16 9 . Odtud plyne y = 3 4 . Dopočítáme souřadnici x, pro y1 = 3 4 je x1 = -1 3 a pro y2 = -3 4 je x2 = 7 3 . Gradient zadané funkce je roven vektoru (1, -16 9 ) v bodech [-1 3 , 3 4 ], [7 3 , -3 4 ]. Příklad 3.14. Určete body, ve kterých se velikost gradientu funkce f(x, y) = (x2 + y2 ) 3 2 rovná 2. Řešení. Vypočítáme gradient funkce f(x, y) = (x2 + y2 ) 3 2 . Pro parciální derivace prvního řádu platí fx(x, y) = 3 2 x2 + y2 1 2 2x = 3x x2 + y2 (3.29) fy(x, y) = 3 2 x2 + y2 1 2 2y = 3y x2 + y2. (3.30) Odtud gradf = (3x x2 + y2, 3y x2 + y2). Pro velikost gradientu funkce f platí |gradf| = (fx)2 + (fy)2 = 9x2(x2 + y2) + 9y2(x2 + y2) = = 9(x2 + y2)2 = 3(x2 + y2 ). Dostáváme tedy rovnici 3(x2 + y2 ) = 2. (3.31) Velikost gradientu funkce f(x, y) = (x2 +y2 ) 3 2 se rovná 2 v bodech, které leží na kružnici x2 + y2 = 2 3 . Příklad 3.15. Ověřte, zda je funkce f(x, y) = x3 + y v bodě A = [1, 2] ve směru vektoru u = (-3, 1) rostoucí. Parciální derivace 49 Řešení. Vypočítáme derivaci funkce f(x, y) = x3 + y v bodě A = [1, 2] ve směru vektoru u = (-3, 1). Nejprve určíme parciální derivace prvního řádu funkce f v bodě A. fx(x, y) = 3x2 2 x3 + y , fx(A) = 3 2 3 (3.32) fy(x, y) = 1 2 x3 + y , fy(A) = 1 2 3 . (3.33) Odtud plyne gradf(A) = 3 2 3 , 1 2 3 . Určíme derivaci ve směru fu(A) = gradf(a) u = 3 2 3 , 1 2 3 (-3, 1) = 9 2 3 + 1 2 3 = - 4 3 . Protože derivace fu(A) je záporná, funkce f je v bodě A ve směru vektoru u klesající. 3.4 Cvičení Cvičení 3.1. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí a) z = 3x2 - 5y3 + 1 b) z = 4 3 x5 - ln y2 c) z = 5x2 y4 d) z = 5x3 y2 - x2 y3 e) z = x4 + y4 - 4x2 y2 f) z = sin x ln y Výsledky 3.1. a) [zx = 6x, zy = -15y2 ], b) [zx = 20 3 3 x2, zy = -2 y ], c) [zx = 10xy4 , zy = 20x2 y3 ], d) [zx = 15x2 y2 - 2xy3 , zy = 10x3 y - 3x2 y2 ], e) [zx = 4x3 - 8xy2 , zy = 4y3 - 8x2 y], f) [zx = cos x ln y, zy = sin x y ]. Cvičení 3.2. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí a) z = x - y x + y b) z = 3xy x - y c) z = x2 + y2 x2 - y2 d) z = x3 + y3 x2 + y2 Výsledky 3.2. a) [zx = 2y (x+y)2 , zy = -2x (x+y)2 ], b) [zx = -3y2 (x-y)2 , zy = 3x2 (x-y)2 ], c) [zx = -4xy2 (x2-y2)2 , zy = 4x2y (x2-y2)2 ], d) [zx = x4+3x2y2-2xy3 (x2+y2)2 , zy = y4+3x2y2-2x3y (x2+y2)2 ]. Parciální derivace 50 Cvičení 3.3. Vypočtěte paricální derivace 1. a 2. řádu funkcí: a) z = xy b) z = yx+1 Výsledky 3.3. a) [zx = y xy-1 , zy = xy ln x, zxx = y(y - 1)xy-2 , zyy = xy ln2 x, zxy = zyx = xy-1 (1 + y ln x) ] b) [zx = yx+1 ln y, zy = (x + 1)yx , zxx = yx+1 ln2 y, zyy = x(x + 1)yx-1 , zxy = zyx = yx [1 + (x + 1) ln y] ] Cvičení 3.4. Vypočtěte paricální derivace 1. a 2. řádu funkcí: a) z = 5x2 y - y3 + 7 3 b) z = x x2 + y2 c) z = sin y2 x d) z = x sin(x + y) Výsledky 3.4. a) [zx = 30(5x2 y - y3 + 7)2 xy, zy = 3(5x2 y - y3 + 7)2 (x2 - 3y2 ), zxx = 600(5x2 y -y3 +7)x2 y2 +30(5x2 y -y3 +7)2 y, zyy = 6(5x2 y -y3 + 7)(x2 -3y2 )2 -18(5x2 y-y3 +7)2 y, zxy = zyx = 60(5x2 y-y3 +7)(5x2 -3y2 )xy+ 30(5x2 y - y3 + 7)2 x], b) [zx = 1 x2+y2 - x2 (x2+y2)3 , zy = - xy (x2+y2)3 , zxx = -3x (x2+y2)3 + 3x3 (x2+y2)5 , zyy = 3xy2 (x2+y2)5 - x (x2+y2)3 , zxy = zyx = - y (x2+y2)3 + 3x2y (x2+y2)5 ,] c) zx = -y2 x2 cos(y2 x ), zy = 2y x cos y2 x , zxx = -y4 x4 sin y2 x + 2y2 x3 cos y2 x , zyy = -4y2 x2 sin y2 x + 2 x cos y2 x , zxy = zyx = 2y3 x3 sin y2 x - 2y x2 cos y2 x , ] d) [zx = sin(x+y)+x cos(x+y), zy = x cos(x+y), zxx = 2 cos(x+y)-x sin(x+ y), zyy = -x sin(x + y), zxy = zyx = cos(x + y) - x sin(x + y). Cvičení 3.5. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = 1 3 y x b) z = exy c) z = e -x y d) z = x e y x Výsledky 3.5. a) [zx = y x2 1 3 y x ln 3, zy = -1 x 1 3 y x ln 3], b) [zx = y exy , zy = x exy ], c) [zx = -1 y e -x y , zy = x y2 e -x y ], d) [zx = e y x (1 - y x ), zy = e y x ]. Parciální derivace 51 Cvičení 3.6. Vypočtěte parciální derivace 1. řádu funkcí: a) z = 1 2 ln(x2 + y2 ) b) z = ln x - y x + y c) z = arcsin x y d) z = arcsin x x2 + y2 e) z = arctg y x f) z = 1 arctg y x Výsledky 3.6. a) [zx = x x2+y2 , zy = y x2+y2 , ], b) [zx = 2y x2-y2 , zy = -2x x2-y2 , ], c) [zx = 1 y2-x2 , zy = -x y y2-x2 ], d) [zx = |y| x2+y2 , zy = -x|y| y(x2+y2) ], e) [zx = -y (x2+y2) , zy = x x2+y2 ], f) [zx = y (x2+y2)(arctg y x )2 , zy = -x (x2+y2)(arctg y x )2 ]. Cvičení 3.7. Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce v daném bodě: a) f(x, y) = x2 + xy + 2y2 , [x0, y0, z0] = [1, 1, 4] b) f(x, y) = arctg y x , [x0, y0, z0] = [1, -1, ?]. Výsledky 3.7. a) [3x + 5y - z = 4 ], b) [z0 = - 4 , x + y - 2z = 2 ]. Cvičení 3.8. Určete gradient funkce: a) f(x, y) = x 1 + y2 b) f(x, y) = arcsin x2 - y2 x2 + y2 . Výsledky 3.8. a) [gradf = 1 1+y2 , -2xy (1+y2)2 ], b) [gradf xy 2 (x2+y2) x2-y2 , -x2 2 (x2+y2) x2-y2 ]. Cvičení 3.9. Vypočtěte směrovou derivaci funkce v daném bodě a daném směru: a) f(x, y) = ln(x + y), [x0, y0] = [1, 2], u = 2 2 , 2 2 , b) f(x, y) = ln(x2 + y2 ), [x0, y0] = [1, 2], u = (1, 1), c) f(x, y) = arctg(xy), [x0, y0] = [1, 1], u = 2 2 , 2 2 , d) f(x, y) = ln(ex + ey ), [x0, y0] = [0, 0], u = (cos , sin ). Výsledky 3.9. a) [fu(1, 2) = 2 3 ], b) [fu(1, 2) = 2 3 ], c) [fu(0, 0) = 2 2 ], d) [fu(0, 0) = sin +cos 2 ]. Lokální extrémy 52 Kapitola 4 Lokální extrémy Vyšetřování extrémů funkcí je jednou z nejdůležitějších částí diferenciálního počtu. Je to proto, že v každodenním životě se každý z nás setkává s řešením nějakých extremálních úloh, jako jsou např. přírodovědné děje probíhající tak, že jistá veličina nabývá své největší nebo nejmenší hodnoty (vykonaná práce, dodané teplo). Při studiu lokálních extrémů vyšetřujeme danou funkci pouze lokálně tj. v okolí nějakého bodu. 4.1 Lokální extrémy Definice 4.1. Řekneme, že funkce f : R2 R nabývá v bodě (x0, y0) R2 : * lokálního maxima, jestliže existuje okolí O(x0, y0) bodu (x0, y0) takové, že pro každé (x, y) O(x0, y0) platí f(x, y) f(x0, y0), * ostrého lokálního maxima, jestliže existuje okolí O(x0, y0) bodu (x0, y0) takové, že pro každé (x, y) O(x0, y0) (x0, y0) platí f(x, y) < f(x0, y0). Analogicky pro f(x, y) f(x0, y0), resp. f(x, y) > f(x0, y0) definujeme lokální minimum, resp. ostré lokální minimum. Pro (ostrá) lokální maxima a minima budeme používat společný termín (ostré) lokální extrémy. Příklad 4.1. i) Funkce f(x, y) = x4 + y4 má v bodě [x, y] = [0, 0] ostré lokální minimum, protože f(0, 0) = 0 a pro každé [x, y] = [0, 0] je f(x, y) > 0. ii) Funkce f : R2 R definovaná předpisem f(x, y) = x4 + y4 pro [x, y] = [0, 0], 1 pro [x, y] = [0, 0] Lokální extrémy 53 má v bodě [0, 0] ostré lokální maximum, protože pro [x, y] = [0, 0] dostatečně blízko počátku platí f(x, y) < f(0, 0) = 1. Poznámka 4.1. Předcházející příklady ukazují skutečnost, že pro existenci lokálního extrému v nějakém bodě funkce nemusí mít daná funkce v tomto bodě parciální derivace a nemusí zde být dokonce ani spojitá. V případě, že funkce má v daném bodě parciální derivace si uvedeme nutné a postačující podmínky pro existenci lokálního extrému. Definice 4.2. Nechť f : R2 R. Řekneme, že bod [x0, y0] R2 je stacionární bod funkce f, jestliže v bodě [x0, y0] existují parciální derivace funkce f a platí f(x0, y0) x = 0, f(x0, y0) y = 0. (4.1) Následující věta, která zastupuje nutnou podmínku existence lokálního extrému, bývá v některé literatuře označována jako Fermatova věta. Věta 4.1. Nechť funkce f : R2 R má v bodě [x0, y0] R2 lokální extrém a v tomto bodě existují parciální derivace funkce f. Pak je bod [x0, y0] jejím stacionárním bodem, tj. platí (4.1). Poznámka 4.2. Funkce f : R2 R může mít lokální extrém pouze ve svém stacionárním bodě, nebo v bodě, kde neexistuje alespoň jdena z parciálních derivací. Stacionární bod nemusí být bodem lokálního extrému, může nastat případ, kdy funkce f má stacionární bod [x0, y0], který v tomto bodě nemá lokální extrém, pak takový bod nazýváme sedlem. Věta 4.2. (Postačující podmínka pro existenci lokálního extrému) Nechť funkce f : R2 R má v bodě [x0, y0] R2 a nějakém jeho okolí spojité parciální derivace druhého řádu a nechť [x0, y0] je její stacionární bod. Jestliže D(x0, y0) = fxx(x0, y0)fyy(x0, y0) - [fxy(x0, y0)]2 > 0, (4.2) pak má funkce f v [x0, y0] ostrý lokální extrém. Je-li fxx(x0, y0) > 0, jde o minimum, je-li fxx(x0, y0) < 0, jde o maximum. Jestliže D(x0, y0) < 0, pak v bodě [x0, y0] lokální extrém nenastává. Jestliže D(x0, y0) = 0, pak funkce f může, ale nemusí mít v bodě [x0, y0] lokální extrém. Pokud taková situace nastane, je třeba k vyšetření extrému rozhodnout jedním z následujících způsobů: Lokální extrémy 54 a) podle definice 4.1. Pro body (x, y) z okolí bodu (x0, y0) musí platit: f(x, y) f(x0, y0), tedy f(x, y) - f(x0, y0) 0 pro případ lokálního minima (4.3) a f(x, y) f(x0, y0), tedy f(x, y) - f(x0, y0) 0 pro případ lokálního maxima. (4.4) b) použitím svazku přímek y - y0 = k(x - x0). Danou funkci pak vyšetřujeme na těchto přímkách jako funkci jedné proměnné x, přičemž výraz závislý na parametru k rozhodne o extrému. Tím vlastně hledáme extrémy řezů plochy s rovinami svazku o, osa je rovnoběžná s osou z (o||z) a proložené bodem (x0, y0). Všechny tyto řezy mají v bodě (x0, y0) stejný extrém jako funkce z = f(x, y), pokud extrém existuje. Příklad 4.2. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = 2x3 - xy2 + 5x2 + y2 . Řešení. Zadaná funkce f je polynom proměnných x, y, tedy její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech, které najdeme jako řešení soustavy rovnic fx(x, y) = 6x2 - y2 + 10x = 0 (4.5) fy(x, y) = -2xy + 2y = xy - y = y(x - 1) = 0. (4.6) Z rovnice (4.6) plynou dva případy: i) y = 0 nebo x - 1 = 0 Dosazením do rovnice (4.5) y = 0 dostáváme 6x2 + 10x = 0 odkud x1 = 0, x2 = - 5 3 . Funkce má stacionární body P1 = [0, 0], P2 = [-5 3 , 0]. Dále dosazením do rovnice (4.5) x = 1 dostáváme y2 = 16 Lokální extrémy 55 odkud y1 = 4, y2 = -4. Dohromady dostáváme další dva stacionární body P3 = [1, 4], P4 = [1, -4]. ii) y = 0 a současně x - 1 = 0 Dosazením do rovnice (4.5) dostáváme 6 + 10 - 0 = 0. Vidíme, bod [1, 0] první rovnici nevyhovuje, není tedy řešením soustavy rov- nic. Daná funkce má čtyři stacionární body P1, P2, P3, P4. Nyní budeme vyšetřovat, který ze stacionárních bodů splňuje postačující podmínku existence extrému dle Věty 4.2. Parciální derivace 2. řádu jsou rovny: fxx(x, y) = 12x + 10, fyy(x, y) = -2x + 2, fxy(x, y) = -2y. Pro bod P1 = [0, 0] dostáváme: fxx(P1) = 10, fyy(P1) = 2, fxy(P1) = 0 D(P1) = fxx(P1) fyy(P1) - f2 xy(P1) = 10 2 - 0 = 20 > 0. Postačující podmínka pro lokální extrém dané funkce v bodě P1 = [0, 0] je splňena. Dále vidíme, že znaménko druhé parciální derivace fxx(0, 0) = 12 0 + 10 = 10 > 0, proto ve stacionárním bodě P1 = [0, 0] nastává lokální minimum. Pro ostatní body postupujeme zcela analogicky. Bod P2 = [-5 3 , 0], platí fxx(P2) = -10, fyy(P2) = 16 3 , fxy(P2) = 0 D(P2) = fxx(P2) fyy(P2) - f2 xy(P2) = -10 16 3 < 0, proto v bodě P2 nenastává extrém. Lokální extrémy 56 Bod P3 = [1, 4], platí fxx(P3) = 22, fyy(P3) = 0, fxy(P3) = -8 D(P3) = fxx(P3) fyy(P3) - fxy(P3)2 = 22 0 - (-82 ) < 0, v bodě P3 nenastává extrém. Bod P4 = [1, -4], platí fxx(P4) = 22, fyy(P4) = 0, fxy(P4) = -8 D(P4) = fxx(P4) fyy(P4) - f2 xy(P4) = 22 0 - 82 < 0, v bodě P4 nenastává extrém. Příklad 4.3. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = -3x4 - 5y4 . Řešení. Zadaná funkce f je polynom proměnných x, y, tedy její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. fx(x, y) = -12x3 = 0, fy(x, y) = -20y3 = 0. Vidíme, že daná funkce f má jediný stacionární bod P = [0, 0], vyšetřeme tedy postačující podmínku extrému: fxx(x, y) = -36x2 , fyy(x, y) = -60y2 , fxy = 0. Potom D(P) = fxx(P) fyy(P) - f2 xy(P) = 0, vidíme tedy, že o lokálním extrému nelze tímto způsobem rozhodnout. Ukážeme si několik způsobů, jak postupovat. Zkoumejme tedy okolí bodu P = [0, 0] : a) použitím rozdílu funkcích hodnot podle (4.3) a (4.4): f(x, y)-f(x0, y0) = -3x4 -5y4 -0 < 0 pro každý bod [x, y] R2 z okolí bodu [x0, y0] = [0, 0]. Proto daná funkce f má v bodě [0, 0] lokální extrém, a to lokální maximum. Funkční hodnota tohoto lokálního maxima je f(x, y)max = 0. Jiný lokální extrém dané funkce neexistuje. Lokální extrémy 57 b) použitím svazku přímek y = kx : Příslušná funkce proměnné x je dána rovnicí: z = -x4 (3 + 5k4 ). Její derivace: z = -4x3 (3 + 5k4 ), z = -12x2 (3 + 5k4 ), z(iii) = -24x(3 + 5k4 ), z(iv) = -24(3 + 5k4 ). Až derivace 4. řádu je pro x = 0 různá od nuly, ale je závislá na parametru k tak, že pro každé k R je stále záporná. Jde tedy o extrém, a to o lokální maximum. Jiný lokální extrém dané funkce neexistuje. c) někdy lze o existenci i kvalitě extrému rozhodnout úsudkem, např. v daném případě je zřejmě z < 0 pro každé (x, y) R2 a z = 0 pro x = 0, y = 0. Z toho plyne, že v bodě [0, 0] má funkce největší hodnotu, proto se jedná o lokální maximum dané funkce. V jednoduchých případech můžeme využít geometrického znázornění, zvláště když grafem dané funkce je plocha, kvadrika apod., jejíž polohu si dovedeme v soustavě sořadnic představit. Příklad 4.4. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = (x - 1)3 (y + 2)3 . Řešení. Zadaná funkce f je polynom proměnných x, y, tedy její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. Tyto body jsou určeny rovnicemi fx(x, y) = 3(x - 1)2 (y + 2)3 = 0, (4.7) fy(x, y) = 3(y + 2)2 (x - 1)3 = 0. (4.8) Po vydělení rovnice (4.7) rovnicí (4.8) dostaneme rovnici y + 2 x - 1 = 0, kde vidíme, že rovnice má jediný stacionární bod P = [1, -2]. Vyšetřeme postačující podmínku pro extrém: fxx(x, y) = 6(x - 1)(y + 2)3 , fyy(x, y) = 6(y + 2)(x - 1)3 , fxy = 9(x - 1)2 (y + 2)2 . Potom D(P) = fxx(P) fyy(P) - f2 xy(P) = 0, vidíme tedy, že o lokálním extrému nelze tímto způsobem rozhodnout. Proto zkoumáme okolí bodu P = [1, -2] : Lokální extrémy 58 a) z definice 4.1: vyšetřeme rozdíl f(x, y) - f(1, -2) = (x + 1)3 (y + 23 ) - 0 * je záporný pro x < 1, y > -2 a pro x > 1, y < -2, * je kladný pro x < 1, y < -2 a pro x > 1, y > -2. V okolí bodu [1,-2] nemá rozdíl stále stejné znaménko a proto extrém v bodě P = [1, -2] neexistuje. b) použitím svazku přímek procházející bodem [1, -2]. Jde o přímky, které mají rovnici y + 2 = k(x - 1), k R. Rovnici svazku přímek upravíme a dostáváme y = kx - k - 2. Příslušná funkce proměnné x má tvar: z = (x - 1)6 k3 . Její derivace: z = 6(x - 1)5 k3 , z = 30(x - 1)4 k3 , z(iii) = 120(x - 1)3 k3 , z(iv) = 360(x - 1)2 k3 , z(v) = 720(x - 1)k3 , z(vi) = 720k3 . Vidíme, že až derivace 6. řádu je pro x = 1 různá od nuly, ale je závislá na parametru k. Protože pro různá k nemá tato derivace stále stejné znaménko, extrém v bodě P = [1, -2] nenastává. Příklad 4.5. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = ex2-y (5 - 2x + y). Řešení. Zadaná funkce f je polynom proměnných x, y, tedy její parciální derivace jsou spojité v celém R2 . Proto lokální extrémy mohou nastat pouze ve stacionárních bodech. Platí fx(x, y) = ex2-y (-4x2 + 2xy + 10x - 2) = 0, fy(x, y) = ex2-y (2x - y - 4) = 0. Protože ex2-y > 0 pro všechna [x, y] R2 dostáváme soustavu rovnic -4x2 + 2xy + 10x - 2 =0, 2x - y - 4 =0. Lokální extrémy 59 Řešení soustavy rovnic dosazovací metodou vede k rovnici 2x-2 = 0, odkud dostáváme x = 1 a dále y = -2. Existuje jediný stacionární bod P = [1, -2]. Vyšetřeme postačující podmínku extrému: fxx(x, y) = ex2-y (-8x3 + 4x2 y + 20x2 - 12x + 2y + 10), fyy(x, y) = ex2-y (-2x + y + 3), fxy(x, y) = ex2-y (-4x2 + 2xy + 6x - 2). Potom fxx(1, -2) = -2e3 , fyy(1, -2) = -e3 , fxy(4, 4) = -4e3 , dále D(P) = fxx(P) fyy(P) - f2 xy(P) = 2e6 - 16e6 < 0. Daná funkce nemá lokální extrém v bodě P = [1, -2]. Poznámka 4.3. Kromě stacionárního bodu může vést k lokálnímu extrému funkce z = f(x, y) také bod (x0, y0), ve kterém obě parciální derivace prvního řádu fx, fy neexistují, nebo také bod, ve kterém je jedna derivace rovna nule a druhá neexistuje. Funkce musí být zřejmě v bodě [x0, y0] definována a bod musí být vnitřním bodem definičního oboru. Má-li funkce v tomto bodě skutečně extrém, zjistíme opět vyšetřováním okolí tohoto bodu, zpravidla použitím rozdílu funkčních hodnot f(x, y)-f(x0, y0). S takovými případy se setkáváme nejčastěji u iracionálních funkcí. Příklad 4.6. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = 5 (2 + x)2 5 (2 - y)2. Řešení. Parciální derivace prvního řádu funkce f jsou: fx(x, y) = 2 5 (2 - y)2 5 5 (2 + x)3 , fy(x, y) = -2 5 (2 + x)2 5 5 (2 - y)3 . Pro rovnice stacionárních bodů dostaneme fx(x, y) = 0, když y = 2, fy(x, y) = 0, když x = -2. Neexistuje tedy dvojice [x, y], pro niž jsou obě derivace rovny nule. Funkce nemá stacionárni bod, a proto neexistují lokální extrémy ve stacionárních bodech. Lokální extrémy 60 Vyšetřujeme tedy body, ve kterých parciální derivace neexistují: a) Obě derivace neexistují v bodě [-2, 2]. Funkce může mít v tomto bodě lokální extrém. Použijeme tedy rozdílu funkčních hodnot f(x, y) - f(x0, y0) v okolí bodu [-2, 2] : f(x, y) - f(-2, 2) = 5 (2 + x)2 5 (2 - y)2 - 0 > 0 pro každou dvojici [x, y] z okolí bodu [-2, 2]. V bodě [-2, 2] má daná funkce lokální minimum. b) Pro body přímky x = -2 derivace fx(x, y) neexistuje a derivace fy(x, y) = 0. V bodech přímky x = -2 může nastat neostrý lokální extrém. f(x, y) - f(-2, y) = 5 (2 + x)2 5 (2 - y)2 - 0 > 0 pro každou dvojici [x, y] z okolí bodů přímky x = -2. V bodech přímky x = -2 má daná funkce neostré lokální minimum. c) Pro body přímky y = 2 derivace fx(x, y) = 0 a derivace fy(x, y) neexistuje. V bodech přímky y = 2 může nastat neostrý lokální extrém. f(x, y) - f(x, 2) = 5 (2 + x)2 5 (2 - y)2 - 0 > 0 pro každou dvojici [x, y] z okolí bodů přímky y = 2. V bodech přímky y = 2 má daná funkce neostré lokální minimum. Příklad 4.7. Určete lokální extrémy funkce f(x, y) = x y - x2 - y + 6x + 3, y 0. Řešení. Parciální derivace prvního řádu funkce f jsou: fx(x, y) = y - 2x + 6 (4.9) fy(x, y) = x 2 y - 1. (4.10) 1) Určeme stacionární body. Tyto body jsou řešením soustavy y - 2x + 6 = 0 x 2 y - 1 = 0, Lokální extrémy 61 které vyhovuje bod P = [4, 4] a je jediným stacionárním bodem. Vyšetřeme postačující podmínku extrému: fxx(x, y) = -2, fyy(x, y) = - x 4y y , fxy(x, y) = 1 2 y . Potom fxx(4, 4) = -2, fyy(4, 4) = - 1 8 , fxy(4, 4) = 1 4 . a D(P) = fxx(P) fyy(P) - f2 xy(P) = 1 4 - 1 14 > 0 a dále vidíme, že fxx(4, 4) = -2 < 0, tedy funkce f má v bodě P = [4, 4] lokální maximum. 2) Body, ve kterých neexistuje některá parciální derivace. Z rovnic (4.9), (4.10) plyne, že fx(x, y) = 0 v bodě [3, 0] a fy(x, y) neexistuje v bodě [3, 0]. To tedy znamená, že v bodě [3, 0] by funkce f mohla mít lokální extrém, ale protože tento bod není vnitřním bodem definičního oboru (leží na hranici), lokální extrém v tomto bodě neexistuje. 4.2 Vázané extrémy Určujeme-li lokální exrém funkce z = f(x, y), jsou-li proměnné x, y vázány podmínkou (x, y) = k, kde k R, mluvíme o vázaném extrému. Určení vázaných extrémů funkcí je obecně velmi obtížné. Ukažme si zde některé základní příklady. Funkce z = f(x, y) za podmínky (x, y) = 0 je funkce jedné proměnné. Její zápis ve tvaru z = f1(x), resp. z = f2(y) dostaneme tak, když z rovnice (x, y) = 0 bude možné jednu z proměnných x, y vyjádřit jako funkci druhé proměnné a pak dosadit do funkce z = f(x, y) za y, případně za x. Příklad 4.8. Vypočtěte vázaný extrém funkce z = x3 + y3 , (4.11) jestliže x + y - 3 = 0. Lokální extrémy 62 Řešení. Z rovice x+y-3 = 0 si vyjádříme jednu proměnnou, např. y = 3-x, dosadíme do rovnice (4.11) a vypočteme její derivace: z = x3 + (3 - x)3 = 27 - 27x + 9x2 , z = -27 + 18x, z = 18. Nutná podmínka pro lokální extrém funkce jedné proměnné: -27 + 18x = 0, odkud dostáváme x = 3 2 , a po dosazení za x do rovnice y = 3-x, dostaneme y = 3 2 , která vede k extrému, protože z = 0 pro všechna x R. Dále z > 0 vede bod [3 2 , 3 2 ] k lokálnímu minimu funkce (4.11), s podmínkou, že x + y - 3 = 0. Příklad 4.9. Vypočtěte vázaný extrém funkce z = xy, (4.12) jestliže x + y = 1. Řešení. Z rovice x + y = 1 si vyjádříme jednu proměnnou, např. y = 1 - x, dosadíme do rovnice (4.12) a vypočteme její derivace: z = x(1 - x) = x - x2 , z = 1 - 2x, z = -2. Nutná podmínka pro lokální extrém funkce jedné proměnné: 1 - 2x = 0, odkud dostáváme x = 2 2 , a po dosazení za x do rovnice y = 1-x, dostaneme y = 1 2 , která vede k extrému, protože z = 0 pro všechna x R. Dále z < 0 vede bod [1 2 , 1 2 ] k lokálnímu maximu funkce (4.12), s podmínkou, že x + y - 3 = 0. 4.3 Cvičení Cvičení 4.1. Určete lokální extrémy funkce: a) z = x2 + xy + y2 - 6x - 9y b) z = 2xy - 2x - 4y c) z = 9 - (x - 5)2 + (y - 4)2 d) z = x3 + xy2 + 6xy e) z = x3 - 3xy + y3 f) z = xy + 50 x + 20 y g) z = 3 + (x2 + y)ey Lokální extrémy 63 Výsledky 4.1. a) [zmin = -21 v bodě P = [1, 4] ], b) [neexistují], c) [neexistují ], d) [zmin = -6 3 v bodě P1 = [ 3, -3], zmax = 6 3 v bodě P2 = [- 3, -3] ], e) [zmin = -1 v bodě P = [1, 1] ], f) [zmin = 30 v bodě P = [5, 2] ], g) [zmin = 3 - 1 e v bodě P = [0, -1] ]. Cvičení 4.2. Určete lokální extrémy funkce: a) z = x3 - 3xy + y2 + y - 7 b) z = x2 + a2 + 2ax cos y, a > 0 c) z = x3 y2 (12 - x - y) d) z = sin x + sin y + cos(x + y) Výsledky 4.2. a) [zmin = -7 v bodě P = [1, 1] ], b) [zmax = 2 36 + a2 - a 6 v bodě P = [- 6 , 3 ] ], c) [zmax = 27 648 v bodě P = [6, 4] ], d) [zmax = 3 2 v bodech P1 = [ 6 + 2n, 6 + 2m], P2 = [5 6 + 2n, 5 6 + 2m], m, n Z ]. Cvičení 4.3. Vypočtěte vázané extrémy funkce: a) z = x + y, jestliže xy = 1 b) z = x + y, jestliže x2 + y2 = 1 c) z = 1 x + 1 y , jestliže 1 x2 + 1 y2 = 1 Výsledky 4.3. a) [zmax = -2 v bodě P1 = [-1, -1], zmin = 2 v bodě P2 = [1, 1] ], b) [zmax = 2 v bodě P1 = [ 1 2 , 1 2 ], zmin = - 2 v bodě P2 = [- 1 2 , - 1 2 ] ], c) [zmax = 2 v bodě P1 = [ 2, 2], zmin = - 2 v bodě P2 = [- 2, - 2]] Literatura [1] Berman G. N.: Sbornik zadač po kursu matematičeskogo analiza, Nauka, Moskva 1971 [2] Děmidovič B. P.: Sbírka úloh a cvičení z matematické analýzy, Fragment, 2003. ISBN 80-7200-587-1 [3] Došlá Z., Došlý O.: Diferenciální počet funkcí více proměnných, Brno : Přírodovědecká fakulta MU, 2003. ISBN 80-210-2052-0 [4] Došlá Z., Kuben J.: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné, Brno : Přírodovědecká fakulta MU, 2004. ISBN 80-210-3121-2 [5] Došlá Z., Plch R., Sojka P.: Matematická analýza s programem Maple, 1. Diferenciální počet funkcí více proměnných, Brno : Masarykova univerzita v Brně, 1999. ISBN 80-210-2203-5 [6] Kopáček J. a kol.: Příklady z matematiky pro fyziky II, Praha : MATFYZPRESS, 2002. ISBN 80-86732-13-4 [7] Došlá Z., Došlý O.: Metrické prostory: teorie a příklady, Brno : Přírodovědecká fakulta MU, 2000. ISBN 80-210-1328-1 [8] Janyška J., Sekaninová A.: Analytická teorie kuželoseček a kvadrik, Brno : Přírodovědecká fakulta MU, 2001. ISBN 80-210-2604-9 [9] Lomtatidze L., Plch R.: Sázíme v LATEXu diplomovou práci z matematiky, Brno : Přírodovědecká fakulta, 2003. ISBN 80-210-3228-6 [10] Rybička J.: LATEX pro začátečníky, 3. vydání, Brno : KONVOJ, 2003. ISBN 80-7302-049-1