Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah 10 Diferenciální rovnice 1. řádu 3 10.1 Separace proměnných . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 10.2 Přechod k separaci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 10.3 Variace konstant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 10.4 Bernoulliova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 8 11.1 Systémy funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 11.2 Eulerova rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 11.3 Rovnice s konstantními koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 11.4 Metoda snižování řádu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 11.5 Nehomogenní rovnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 11.6 Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení . . . . . . . . . . . . . 13 11.7 Okrajové úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 11.8 Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce . . . . . . . . . . . . . . . 16 12 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic 18 12.1 Soustavy homogenních diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . . 18 12.2 Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic . . . . . . . . . . . 20 13 Posloupnosti a řady funkcí 23 13.1 Posloupnosti funkcí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 13.2 Funkční řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 13.3 Mocniné řady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 14 Fourierovy řady 30 15 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných proměnných 33 16 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina 35 17 Extrémy funkcí více proměnných 37 17.1 Optimalizační úlohy bez vazeb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 17.2 Optimalizační úlohy s vazbami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 18 Vícenásobné integrály 41 18.1 Dvojné integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 18.2 Trojné integrály . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 10 Diferenciální rovnice 1. řádu 10.1 Separace proměnných Příklad 1 : Najděte obecné řešení (obecný integrál) diferenciální rovnice y = tg x tg y . Separací proměnných převedeme rovnici na tvar Teorie dy dx = tg x tg y cos y sin y dy = sin x cos x dx a substitucemi u = sin y , v = cos x dostaneme po integrování ln |u| = - ln |v| + ln C , neboli sin y = C cos x (obecný integrál). 2. (xy2 + x)dx + (y - x2 y)dy = 0 1 + y2 = C(1 - x2 ) 3. xyy = 1 - x2 x2 + y2 = ln Cx2 4. y tg x - y = a [y = C sin x - a] 5. xydx + (x + 1)dy = 0 [y = C(x + 1)e-x ] 6. y2 + 1dx = xydy ln |x| = C + y2 + 1; x = 0 7. ey (1 + x2 )dy - 2x(1 + ey )dx = 0 1 + ey = C(1 + x2 ) 8. (x2 - 1)y + 2xy2 = 0 , y(0) = 1 y{ln(1 - x2 ) + 1} = 1 9. y sin x = y ln y , y( 2 ) = e y = etg x 2 10. sin y cos xdy = cos y sin xdx , y(0) = 4 cos x = 2 cos y 11. y cotg x + y = 2 , y( 3 ) = 0 [y = 2 - 4 cos x] Řešení pomocí webMathematicy 3 10.2 Rovnice umožnující přechod k separaci proměnných. Příklad 12 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = - 3 2 + 1 2(x + y) . Substitucí x + y = u , 1 + y = u převedeme rovnici na tvar Teorie u - 1 = - 3 2 + 1 2u du dx = 1 - u 2u . Separaci proměnných a integrováním dostaneme 2u 1 - u du = 1 dx , neboli - 2u - 2 ln |1 - u| = x - C a přejdeme k původním proměnným 3x + 2y + 2 ln |1 - x - y| = C . Příklad 13 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice (x + y + 2) dx + (2x + 2y - 1) dy = 0 . Substitucí x + y = u , dx + dy = du převedeme rovnici na tvar (u + 2) dx + (2u - 1)(du - dx) = 0 (3 - u) dx + (2u - 1) du = 0 . Separaci proměnných a integrováním dostaneme 2u - 1 3 - u du + 1 dx = -C , neboli - 2u - 5 ln |u - 3| + x = -C a přejdeme k původním proměnným x + 2y + 5 ln |x + y - 3| = C . 14. y - y = 2x - 3 [2x + y - 1 = Cex ] 15. y = sin(x - y) x + C = cotg(y-x 2 + 4 ) 16. y = 4x + 2y - 1 4x + 2y - 1 - 2 ln( 4x + 2y - 1 + 2) = x + C 17. y = cos(x - y - 1) y = x - 1 - 2 arcotg( 1 C-x) + 2k; k Z 18. y 1 + x + y = x + y - 1 x + C = 2u + 2 3 ln |u - 1| - 8 3 ln(u + 2) u = 1 + x + y webMathematica 4 Příklad 19 : Najděte obecné řešení diferenciální rovnice y = - x2 + 2xy xy . Substitucí y = ux , y = u x + u převedeme rovnici na tvar Teorie u x + u = - x2 + 2xux xux u du (u + 1)2 = - dx x . Integrováním dostaneme u + 1 - 1 (u + 1)2 du = ln |u + 1| + 1 u + 1 = - ln |x| + C a přejdeme k původním proměnným ln | y x + 1| + 1 y x + 1 = - ln |x| + C ln |x + y| + x x + y = C . 20. y = x+y x-y arcotg y x = ln C x2 + y2 21. y = 2xy x2-y2 x2 + y2 = Cy 22. xy - y = x2 + y2 x2 = C2 + 2Cy) 23. (3y2 + 3xy + x2 )dx = (x2 + 2xy)dy (x + y)2 = Cx3 e- x x+y 24. (x2 + y2 )y = 2xy y2 - x2 = Cy , y = 0 25. xy = y cos ln y x ln Cx = cotg(1 2 ln y x) y = xe2k , k Z 26. y + x2 + y2 - xy = 0 , y(1) = 0 y = x2 -1 2 27. (xy - y) arcotg y x = x , y(1) = 0 x2 + y2 = e y x arcotg y x 28. (y2 - 3x2 )dy + 2xydx = 0 , y(0) = 1 y3 = y2 - x2 29. y = y2 -2xy-x2 y2+2xy-x2 , y(1) = 1 [y = -x] webMathematica 5 10.3 Variace konstant Příklad 30 : Metodou variace konstanty řešte diferenciální rovnici y cos2 x + y = tg x . Nejdříve vyřešíme homogenní rovnici metodou separace proměnných Teorie y cos2 x + y = 0 ln y + tg x = ln C y = Ce-tgx . Řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru y = C(x)e-tgx . Po dosazení do původní rovnice dostaneme (C (x)e-tgx + C(x)e-tgx 1 cos2 x ) cos2 x + C(x)e-tgx = tg x . tedy C (x)e-tgx cos2 x = tg x C(x) = etgx (tgx - 1) + K . Obecné řešení rovnice má tvar y = Ce-tgx + tg x = 1 . 31. xy - 2y = 2x4 y = Cx2 + x4 32. xy + y + 1 = 0 [y = Cx - 1] 33. xy + (x + 1)y = 3x2 e-x xy = (x3 + C)e-x 34. (xy + ex )dx - xdy = 0 [y = ex (ln |x| + C)] 35. y = x(y - x cos x) [y = x(C + sin x)] 36. (xy - 1) ln x = 2y y = C ln2 x - ln x 37. y sin x + y cos x = 1 [y = sin x + C cos x] 38. (2ey - x)y = 1 [x = ey + Ce-y ] 39. y = y 3x-y2 x = Cy3 + y2 40. y = 1 x sin y+2 sin 2y x = 8 sin2 y 2 + Ce- cos y 41. y + 3y x = 2 x-3 , y(1) = 1 y = - 1 x3 + 2 x2 42. y - 2xy = 1 , y(0) = 0 y = ex2 x 0 e-t2 dt 43. 2 xy - y = - sin x - cos x , y je omezená pro [y = cos x] 44. 2x2 y - xy = 2x cos x - 3 sin x , y 0 pro x y = sin x x 45. (1 + x2 ) ln(1 + x2 )y - 2xy = ln(1 + x2 ) - 2x arcotg x [y = arcotg x] y - 2 pro x - webMathematica 6 10.4 Bernoulliova rovnice Příklad 46 : Převodem na lineární diferenciální rovnici vyřešte x y - y = x2 y-1 . Teorie Substitucí z = y2 z = 2yy dostaneme xy y - y2 = x2 xz - 2z = 2x2 . Vyřešíme lineární rovnici 1. hom. rovnice 2. part. řešení xz - 2z = 0 x C x2 = 2x2 zh = C x2 C = ln |x|2 zp = ln x2 x2 3. obecné řešení z = C x2 + ln(x2 ) x2 y2 = C x2 + ln(x2 ) x2 . 47. y + 2y = y2 ex y(ex + Ce2x ) = 1, y = 0 48. xy - 2x2 y = 4y y = x4 ln2 Cx, y = 0 49. xy + 2y + x5 y3 ex = 0 y-2 = x4 (2ex + C), y = 0 50. (1 + x2 )y = xy + x2 y2 1 y = 1 1+x2 (C - x 2 1 + x2 - 1 2 ln(x + x2 + 1)) webMathematica 7 11 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 11.1 Systémy funkcí Příklad 51 : Máme rozhodnout o lineární závislosti nebo nezávislosti funkcí 1, x, x2 na intervalu I = (-, ) . Teorie Budeme zkoumat, kdy x I nastane rovnost c1 1 + c2 x + c3 x2 = 0 . Postupně pro x = 0 dostaneme c1 = 0, pak pro x = 1 a x = -1 dostaneme c2 + c3 = 0 a -c2 + c3 = 0. Odtud plyne c2 = 0, c3 = 0. Podle definice jsou funkce 1, x, x2 lineárně nezávislé. Wronskián daných funkcí je W(x) = 1 x x2 0 1 2x 0 0 2 = 2 = 0 . Tedy i podle věty 10.4 jsou funkce 1, x, x2 lineárně nezávislé. Rozhodněte o lineární závislosti nebo nezávislosti následujících funkcí 52. 1, 2, x, x2 [závislé] 53. ex , xex , x2 ex [nezávislé] 54. 5, cos2 x, sin2 x [závislé] 55. cos x, cos(x + 1), cos(x - 2) [závislé] 56. 1, arcsin x, arccos x [závislé] 57. cos x, sin x, cos 2x [nezávislé] Najděte Wronskián funkcí 58. 1, x [1] 59. e-x , xe-x e-2x 60. 2, cos x, cos 2x -8 sin3 x 61. 4, sin2 x, cos 2x [0] 62. e-3x sin 2x, e-3x cos 2x -2e-6x webMathematica 8 11.2 Eulerova rovnice Řešení Eulerovy rovnice xn y(n) + an-1xn-1 y(n-1) + + a1x y + a0y = 0 , kde a0, . . . , an-1 R hledáme ve tvaru y(x) = x , (popř. x ln x, . . . , x lnk-1 x) C. Teorie Příklad 63 : Dosazením funkce y(x) = x do rovnice x2 y - 4xy + 6y = 0 dostaneme x2 ( - 1)x-2 - 4xx-1 + 6x = 0 , tedy (2 - 5 + 6) x = 0 . Tato rovnost je splněna (při x = 0) pro kořeny 1 = 2, 2 = 3, uvedeného polynomu. Funkce y1(x) = x2 , y2(x) = x3 tvoří fundamentální systém dané rovnice a její obecné řešení má tvar y = C1 x2 + C2 x3 . Příklad 64 : Podobně při řešení rovnice x2 y - 3xy + 4y = 0 dostaneme 2 - 4 + 4 = 0 1,2 = 2 a fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi y1(x) = x2 , y2(x) = x2 ln x . Obecné řešení má tedy tvar y = C1 x2 + C2 x2 ln x . Příklad 65 : Řešení rovnice x2 y +3xy +2y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = x . Po dosazení do rovnice dostaneme 2 + 2 + 2 = 0 1 = -1 + i , 2 = -1 - i. Do fundamentálního systému tedy patří funkce y1(x) = x-1+i , y2(x) = x-1-i nebo y1(x) = x-1 cos(ln x) , y2(x) = x-1 sin(ln x) a obecné řešení rovnice má tvar y = C1 x cos(ln x) + C2 x sin(ln x) . 66. x2 y - 3xy - y = 0 y = C1x2+ 5 + C2x2- 5 67. x3 y + x2 y = 0 [y = C1 + C2x + C3x ln x] 68. x2 y + 5xy + 3y = 0 y = C1x-1 + C2x-3 69. x2 y + 7xy + 8y = 0 y = C1x-2 + C2x-4 70. x3 y - 6y = 0 y = C1x3 + C2 cos( 2 ln x) + C3 sin( 2 ln x) 71. x2 y - 2xy + 2y = 0 ; y(1) = 1, y (1) = 1 [y = x] webMathematica 9 11.3 Rovnice s konstantními koeficienty Příklad 72 : Řešení homogenní lineární diferenciální rovnice s konstantními koeficienty y - y - 12y = 0 hledáme ve tvaru y(x) = ex (popř. xex , . . . , xk-1 ex ), kde číselný parametr je kořenem charakteristické rovnice (charakteristického polynomu) 2 - + 12 = 0. Tedy 1 = -4 , 2 = 3 , fundamentální systém rovnice je tvořen funkcemi e-4x , e3x a obecné řešení rovnice má tvar y(x) = C1e-4x + C2e3x . Teorie Příklad 73 : Rovnice y - 4y + 4y = 0 má charakteristickou rovnici 2 - 4 + 4 = 0 1,2 = 2 . Fundamentální systém rovnice je nyní tvořen funkcemi y1(x) = e2x , y2(x) = x e2x a obecné řešení rovnice má tvar y = C1 e2x + C2 x e2x . Příklad 74 : K rovnici y + 4y = 0 přísluší charakteristická rovnice 2 + 4 = 0 s kořeny 1 = 2i , 2 = -2i. Fundamentální systém je tvořen funkcemi y1(x) = e2ix , y2(x) = e-2ix nebo y1(x) = cos 2x , y2(x) = sin 2x . Obecné řešení má tvar y(x) = C1 cos 2x + C2 sin 2x . 75. y - y - y + y = 0 ; y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3 [y = ex (1 + x)] 76. y - 4y + 3y = 0 ; y(0) = 6, y (0) = 10 y = 4ex + 2e3x 77. y + 6y + 11y + 6y = 0 y = C1e-x + C2e-2x + C3e-3x 78. y(6) + 2y(5) + y(4) = 0 y = C1 + C2x + C3x2 + C4x3 + e-x (C5 + C6x) 79. 4y - 8y + 5y = 0 y = ex (C1 cos x 2 + C2 sin x 2 ) 80. y - 8y = 0 y = C1e2x + e-x (C2 cos 3x + C3 sin 3x 81. y(4) +4y +10y +12y +5y = 0 [y = (C1 + C2x)e-x + (C3 cos 2x + C4 sin 2x)e-x ] 82. y - 2y + 2y = 0; y(0) = 0, y (0) = 1 [y = ex sin x] 83. y - 2y + 3y = 0; y(0) = 1, y (0) = 3 y = ex (cos 2x + 2 sin 2x) webMathematica 10 11.4 Metoda snižování řádu Pokud známe jedno řešení y1(x) homogenní rovnice, pak další partikulární řešení hledáme ve tvaru y(x) = y1(x) z(x) . Teorie Příklad 84 : Rovnice (sin x - cos x) y - 2 sin x y + (cos x + sin x) y = 0 má jedno řešení y1 = ex . Pro druhé řešení y(x) = ex z(x), platí y = ex (z + z ), y = ex (z + 2z + z ) a po dosazení do původní rovnice dostaneme (sin x - cos x) ex (z + 2z + z ) - 2 sin x ex (z + z ) + (cos x + sin x) ex z = 0 (sin x - cos x) (2z + z ) - 2 sin x z = 0 (u = z ) (sin x - cos x) u - cos x 2u = 0 (sin x - cos x) du = cos x 2u dx 1 2u du = cos x sin x - cos x dx ; vypočteme integrál vpravo cos x sin x - cos x dx = 1 2 2 cos x sin x - cos x dx = 1 2 cos x - sin x + cos x + sin x sin x - cos x dx = v = sin x - cos x dv = (cos x + sin x) dx = 1 2 -1 dx+ 1 2 1 v dv = - x 2 +ln | sin x-cos x |+C ; tedy 1 2 ln u = - x 2 + 1 2 ln | sin x-cos x |+ ^C u = Ce-x (sin x-cos x) (= z ) z = Ce-x (- sin x) y = ex Ce-x (- sin x) = -C sin x a obecné řešení má tvar y = C1ex + C2 sin x . Nalezněte obecné řešení následujících rovnic, jestliže znáte partikulární řešení 85. (1 - x2 )y - xy + 1 4y = 0 ; y1 = 1 + x y = C1 1 + x + C2 1 - x 86. x2 (x+1)y -2y = 0 ; y1 = 1+ 1 x y = C1(1 + 1 x) + C2(x 2 + 1 - x+1 x ln |x + 1|) 87. xy + 2y - xy = 0 ; y1 = ex x [xy = C1e-x + C2ex ] 88. y - 2(1 + tg2 x)y = 0 ; y1 = tg x [y = C1 tg x + C2(1 + x tg x)] 89. (ex + 1)y - 2y - ex y = 0 ; y1 = ex - 1 y = C1(ex - 1) + C2 ex+1 90. x2 (2x - 1)y + (4x - 3)xy - 2xy + 2y = 0 y = C1x + C2 x + C3(x ln |x| + 1) y1 = x, y2 = 1 x 91. (x2 - 2x + 3)y - (x2 + 1)y + 2xy - 2y = 0 y = C1x + C2ex + C3(x2 - 1) [y1 = x, y2 = ex ] webMathematica 11 11.5 Nehomogenní rovnice Příklad 92 : Metodou variace konstant vyřešíme rovnici Teorie y + 9y = 1 sin 3x . 1. Určíme obecné řešení homogenní rovnice y + 9y = 0 (viz metoda charakteristické rovnice, příklad (72)) 2 + 9 = 0 yh(x) = C1 cos 3x + C2 sin 3x . 2. Partikulární řešení yp nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru yp(x) = C1(x) cos 3x + C2(x) sin 3x . Funkce C1(x) , C2(x) splňují soustavu algebraických rovnic: C1 cos 3x + C2 sin 3x = 0 3C1 cos 3x sin 3x + 3C2 sin2 3x = 0 , -3C1 sin 3x + 3C2 cos 3x = 1 sin 3x -3C1 sin 3x cos 3x + 3C2 cos2 3x = cos 3x sin 3x . Odtud po sečtení rovnic dostaneme 3C2 = cos 3x sin 3x C2 = 1 9 ln | sin 3x| a z první rovnice plyne C1 cos 3x + cos 3x 3 = 0 C1 = -x 3 . Partikulární řešení má tvar yp(x) = - x 3 cos x + 1 9 ln | sin 3x| sin 3x . 3. Obecným řešením úlohy je funkce y(x) = yh(x)+yp(x) = C1 cos 3x+C2 sin 3x- x 3 cos 3x+ 1 9 ln | sin 3x| sin 3x . Řešte rovnice 93. y - 2y + y = ex x [y = ex (x ln |x| + C1x + C2)] 94. y - 2y + y = ex x2+1 y = ex (C1x + C2 - ln x2 + 1 + x arcotg x) 95. y + 3y + 2y = 1 ex+1 y = (e-x + e-2x ) ln(ex + 1) + C1e-x + C2e-2x 96. y + y + cotg2 x = 0 y = 2 + C1 cos x + C2 sin x + cos(x) ln | tg x 2 | Vyřešte rovnici y - y = f(x) , jestliže 97. f(x) = ex 1+ex [y = ex (x + C1) - (ex + 1) ln(ex + 1) + C2] 98. f(x) = e2x 1 - e2x y = 1 2ex (arcsin(ex ) + ex 1 - e2x + C1) + 1 3 (1 - e2x)3 + C2 99. f(x) = e2x cos(ex ) [y = C1ex - cos(ex ) + C2] webMathematica 12 11.6 Metoda odhadu tvaru partikulárního řešení Teorie Příklad 100 : Pomocí odhadu tvaru partikulárníbo řešení vyřešíme rovnici y - 5y = (x - 1)2 . 1. Charakteristická rovnice 2 - 5 = 0 , má kořeny 1 = 0 , 2 = 5 a homogenní řešení má tvar yh = C1 + C2 e5x . 2. Z rovnosti (x - 1)2 = eax (Pn(x) cos bx + Qm(x) sin bx) vyplývá a = 0 , b = 0 , n = 2 , m = 0 k = 2 , R2(x) = a2x2 + a1x + a0 , kde a2 , a1 , a0 jsou konstanty. Kritické číslo a + i b = 0 je jednonásobný kořen charakteristické rovnice, tedy r = 1 . Partikulární řešení nehomogenní rovnice hledáme ve tvaru yp(x) = x (a2x2 + a1x + a0) , potom yp(x) = a2x2 + a1x + a0 + x (2a2x + a1) = 3a2x2 + 2a1x + a0 , yp(x) = 6a2x + 2a1 . Po dosazení yp, yp do dané rovnice dostaneme: 6a2x + 2a1 - 5 (3a2x2 + 2a1x + a0) = (x - 1)2 , -15a2x2 + (6a2 - 10a1)x + 2a1 - 5a0 = x2 - 2x + 1 , a2 = -1 15 , a1 = 4 25 , = a0 = -17 125 , a partikulárním řešením je funkce yp(x) = x (-1 15 x2 + 4 25x + -17 125 ) . 3. Obecné řešení má tvar y(x) = C1 + C2 xe5x + x (-1 15 x2 + 4 25x + -17 125 ) . Metodou odhadu řešte rovnice 101. y + y = 4xex [y = C1 cos x + C2 sin x + (2x - 2)ex ] 102. y - y = 2ex - x2 y = C1ex + C2e-x + xex + x2 + 2 103. y + y - 2y = 3xex y = C1ex + C2e-2x + (x2 2 - x 3 )ex 104. y - 3y + 2y = sin x y = C1ex + C2e2x + sin x 10 + 3 cos x 10 105. y + y = 4 sin x [y = C1 cos x + C2 sin x - 2x cos x] 106. y - 3y + 2y = x cos x y=C1ex +C2e2x +( x 10 - 12 100) cos x-(3x 10 + 34 100) sin x 13 107. y + 3y - 4y = e-4x + xe-x y = C1ex + C2e-4x - x 5 e-4x - (x 6 + 1 36)e-x 108. y - 9y = e3x cos x y = C1e3x + C2e-3x + e3x ( 6 37 sin x - 1 37 cos x) 109. y - 2y + y = 6xex y = (C1 + C2x + x3 )ex 110. y + y = x sin x y = (C1 - x2 4 ) cos x + (C2 + x 4 ) sin x Řešte rovnice s počáteční podmínkou 111. y + 9y = 6e3x ; y(0) = y (0) = 0 y = -1 3(cos 3x + sin 3x - e3x ) 112. y -4y +5y = 2x2 ex ; y(0) = 2, y (0) = 3 y=e2x (cos x-2 sin x)+(x+1)2 ex 113. y +6y +9y = 10 sin x ; y(0) = y (0) = 0 y = (x+3 5)e-3x +1 5(4 sin x-3 cos x) 114. y + 4y = sin x ; y(0) = y (0) = 1 y = cos 2x + 1 3(sin 2x + sin x) 115. y + y = 2 cos x ; y(0) = 1, y (0) = 0 [y = cos x + x sin x] Odhadněte partikulární řešení následujících rovnic 116. y - 7y = (x - 1)2 A1x3 + A2x2 + A3x 117. y + 7x = e-7x Axe-7x 118. y - 8y + 16y = (10 - x)e4x (A1x3 + A2x2 )e4x 119. y + 25y = cos 5x [x(A cos 5x + B sin 5x)] 120. y + 4y + 8y = e2x (sin 2x + cos 2x) (A cos 2x + B sin 2x)e2x 121. y - 4y + 8y = e2x (sin 2x - cos 2x) x(A cos 2x + B sin 2x)e2x 122. y(4) - y = 4 Ax3 123. y + 2y + y = (2x + 1) sin x + (x2 - 4x) cos x (Ax2 + Bx + C) cos x+ +(Dx2 + Ex + F) sin x 124. y - y = ex sin x + 2x2 [ex (A cos x + B sin x)+] +x(Cx2 + Dx + E) 125. y(4) - 4y + 8y - 8y + 4y = ex (x cos x + sin x) x2 ex {(Ax + B) cos x+ [+(Cx + D) sin x}] 126. y(5) -y(4) +8y -8y +16y -16y = 3 cos 2x+1 x2 (A cos 2x + B sin 2x) + C [y = 3 cos 2x + 1] webMathematica 14 11.7 Okrajové úlohy Teorie Příklad 127 : Pomocí charakteristické rovnice a dosazením okrajových podmínek vyřešíme smíšenou okrajovou úlohu y - 2y - 8y = 0 , x (0, 1) , y(0) = 1 , y (1) = 0 . Charakteristická rovnice je 2 -2-8 = 0 1 = 4 , 2 = -2 a obecným řešením úlohy je funkce y(x) = C1 e4x + C2 e-2x . Z okrajových podmínek dostaneme 1 = C1 + C2 , 0 = 4C1e4 - 2C2e-2 , C1 = 1 1+2e6 , C2 = 2e6 1+2e6 . Řešením okrajové úlohy je funkce y(x) = 1 1+2e6 e4x + 2e6 1+2e6 e-2x . Řešte následující okrajové úlohy 128. y - y = 0 ; y(0) = 0, y(2) = 1 y = sinh x sinh 2 129. y + y = 0 ; y(0) = 0, y(2) = 1 [nemá řešení] 130. y - k2 y = 0 ; y(0) = v1, y(x0) = v2 y= 1 sinh kx0 (v1 sinh k(x0-x)+v2 sinh kx) 131. y - 2 y = 0 ; y(0) = v, y (x0) = 0 y = vcosh(x0-x) cosh x0 132. y -2 sy = 0 ; y(0) = 1 s, y (x0) = 0 s < 0; y = cos -s(x0-x) s cos -sx0 pro x0 = (2k+1) 2 -s pro x0 = (2k+1) 2 -s nemá řešení; s > 0; y = cosh s(x0-x) s cosh sx0 ; k = 1, 2, 3, ... 133. y - 2 y = 0 ; = 0, y(0) = 0, y(1) = 1 y = sinh x sinh 134. y - 2 y = 0 ; =, y(0) = 0, y (1) = 1 y = sinh x 2 cosh 135. y - 2 y = 0 ; =, y (0) = 0, y(1) = 1 y = cosh x cosh 136. xy + y = 0; y(1) = y (1) ; y(x) je omezená pro x [y = 0] 137. y(4) - 4 y = 0; y(0) = y (0) = 0, y() = y () = 0 [y = C sin kx pro = k] [k = 1, 2, 3, ... y = 0 pro ostatní ] webMathematica 15 11.8 Úlohy na vlastní čísla a vlastní funkce Teorie Příklad 138 : Určíme vlastní čísla a vlastní funkce okrajové úlohy y + y = 0 , y (0) = 0 , y () = 0 . Řešení hledáme ve tvaru y(x) = ekx , potom charakteristická rovnice má tvar k2 + = 0 k = - . * Pro < 0 je k1 = - , k2 = - - a obecné řešení má tvar y(x) = C1 e -x + C2 e- -x y (x) = - C1 e -x - - C2 e- -x . Z okrajových podmínek dostáváme soustavu rovnic pro neznámé konstanty C1, C2 0 = C1 + C2 , 0 = - C1 e - - - C2 e- - , C1 = 0, C2 = 0 y = 0 . * Pro = 0 má obecné řešení tvar y(x) = C1 + C2 x y (x) = C2 a z okrajových podmínek dostaneme C1 R , C2 = 0 y = C1 . * Pro > 0 má obecné řešení tvar y(x) = C1 cos x+C2 sin x y (x) = - C1 sin x+ C2 cos x . Z okrajových podmínek plyne 0 = C2 , 0 = -C1 sin , = n , n N . Dostáváme tak posloupnost vlastních čísel {1, 4, 9, 16, . . .} a posloupnost jim odpovídajících vlastních funkcí je {cos x, cos 2x, cos 3x, . . .}. Najděte vlastní čísla a vlastní funkce úlohy y + y = 0 , je-li 139. x < 0, >, y(0) = y () = 0 K = (2K-1)2 4 , yK = sin 2K-1 2 x, K N 16 140. x < 0, >, y (0) = y() = 0 K = (2K-1)2 4 , yK = cos 2K-1 2 x, K N 141. x < 1, 2 >, y(1) = y(2) = 0 K = K2 2 , yK = sin Kx, K N 142. x < 1, 2 >, y(1) = y (2) = 0 K = (2K-1)2 2 4 , yK = cos 2K-1 2 x, K N 143. x < 1, 2 >, y (1) = y(2) = 0 K = (2K-1)2 2 4 , yK = sin 2k-1 2 x, K N 144. x < 1, 2 >, y (1) = y (2) = 0 K = K2 2 , yK = cos Kx; K = 0, 1, 2, . . . 145. x < a, b >, y(a) = y(b) = 0 K = K2 2 (b-a)2 , yK = sin K(x-a) b-a , K N 146. x < a, b >, y(a) = y (b) = 0 K = (2K-1)2 2 4(b-a)2 , yK = sin (2K-1)(x-a) 2(b-a) , K N 147. x < a, b >, y (a) = y(b) = 0 K = (2K-1)2 2 4(b-a)2 , yK = cos (2K-1)(x-a) 2(b-a) , K N Najděte vlastní čísla a vlastní funkce následujících okrajových úloh 148. y + 2y + y = 0 ; x < 0, l >, y(0) = y(l) = 0 K = 1 + K2 2 ln2 l yK = l-x sin Kx l , K N 149. x2 y + xy + y = 0 ; x < 1, l >, y(1) = y(l) = 0 K = K2 2 ln2 l , yK =sin K ln x ln l 150. y + ( + 1)y = 0 K = K2 2 - 1, K N x < 0, 1 >, y(0)=y (0)=0, y(1)-y (1)=0 [yK =sin(arcotg(K)+Kx)] 151. y +2 xy +y = 0 ; y(l)=0, y je omezená pro x 0 K = K2 2 l2 , yK = 1 x sin Kx l 17 12 Soustavy lineárních diferenciálních rovnic Teorie Příklad 152 : Určíme fundamentální matici a obecné řešení homogenní soustavy y1 = 2y1 + y2 y2 = 3y1 + 4y2 . Matice soustavy je A = 2 1 3 4 a její vlastní čísla dostaneme z rovnice det(I - A)=det - 2 -1 -3 - 4 =( - 2)( - 4) - 3 = 0 1 =1 , 2 =5 . K vlastním číslům určíme vlastní vektory: 1 = 1 : (I - A)h = -1 -1 -3 -3 h1 h2 = 0 h1 = (1, -1)T , 2 = 5 : (5I - A)h = 3 -1 -3 1 h1 h2 = 0 h2 = (1, 3)T . Fundamentální matice má tedy tvar Y(x)= 1 -1 ex , 1 3 e5x = ex e5x -ex 3 e5x a obecné řešení má tvar y(x) = Y(x) C = C1 1 -1 ex + C2 1 3 e5x = C1 h1 ex + C2 h2 e5x . 12.1 Soustavy homogenních diferenciálních rovnic 153. y1 = y1 - y2 y1 = C1e-x + C2e3x y2 = y2 - 4y1 y2 = 2C1e-x - 2C2e3x 154. y1 + y1 - 8y2 = 0 y1 = 2C1e3x - 4C2e-3x y2 - y1 - y2 = 0 y2 = C1e3x + C2e-3x 155. y1 = y1 + y2 y1 = e2x (C1 cos x + C2 sin x y2 = 3y2 - 2y1 y2 = e2x {(C1 + C2) cos x + (C2 - C1) sin x} 18 156. y1 = y1 - 3y2 [y1 = ex (C1 cos 3x + C2 sin 3x)] y2 = 3y1 + y2 [y2 = ex (C1 sin 3x - C2 cos 3x)] 157. y1 + y1 + 5y2 = 0 [y1 = (2C2 - C1) cos 2x - (2C1 + C2) sin 2x] y2 - y1 - y2 = 0 [y2 = C1 cos 2x + C2 sin 2x] 158. y1 = 2y1 + y2 y1 = (C1 + C2x)e3x y2 = 4y2 - y1 y2 = (C1 + C2 + C2x)e3x 159. y1 = 3y1 - y2 [y1 = (C1 + C2x)ex ] y2 = 4y1 - y2 [y2 = (2C1 - C2 + 2C2x)ex ] 160. y1 = y1 + y3 - y2 y1 = C1ex + C2e2x + C3e-x y2 = y1 + y2 - y3 [y2 = C1ex - 3C3e-x ] y3 = 2y1 - y2 y3 = C1ex + C2e2x - 5C3e-x 161. y1 = 3y1 - y2 + y3 y1 = C1ex + C2e2x + C3e5x y2 = y1 + y2 + y3 y2 = C1ex - 2C2e2x + C3e5x y3 = 4y1 - y2 + 4y3 y3 = -C1ex - 3C2e2x + 3C3e5x 162. y1 = 4y2 - 2y3 - 3y1 [y1 = C1ex + C3e-x ] y2 = y3 + y1 y2 = C1ex + C2e2x y3 = 6y1 - 6y2 + 5y3 y3 = 2C2e2x - C3e-x 163. y1 = y1 - y2 - y3 [y1 = ex (2C2 sin 2x + 2C3 cos 2x)] y2 = y1 + y2 [y2 = ex (C1 - C2 cos 2x + C3 sin 2x)] y3 = 3y1 + y3 [y3 = ex (-C1 - 3C3 cos 2x + 3C3 sin 2x] 164. y1 = 4y1 - y2 - y3 y1 = C1e2x + (C2 + C3)e3x y2 = y1 + 2y2 - y3 y2 = C1e2x + C2e3x y3 = y1 - y2 + 2y3 y3 = C1e2x + C3e3x 165. y1 = y1 - y2 + y3 y1 = (C1 + C2x)ex + C3e2x y2 = y1 + y2 - y3 [y2 = (C1 - 2C2 + C2x)ex ] y3 = 2y3 - y2 y3 = (C1 - C2 + C2x)ex + C3e2x 166. y1 = 4y1 - y2 y1 = (C1 + C2x + C3x2 )e2x y2 = 3y1 + y2 - y3 y2 = {2C1 - C2 + (2C2 - 2C3)x + 2C3x2 }e2x y3 = y1 + y3 y3 = {C1 - C2 + 2C3 + (C2 - 2C3)x + C3x2 }e2x 19 12.2 Soustavy nehomogenních diferenciálních rovnic Příklad 167 : Řešení nehomogenní soustavy diferenciálních rovnic y1 = 2y1 + y2 + ex y2 = 3y1 + 4y2 . hledáme metodou variace konstant. * Nejdříve vyřešíme homogenní soustavu (viz příklad 152). Řešení homogenní soustavy má tvar y(x) = Y(x) C = C1 1 -1 ex + C2 1 3 e5x , kde Y(x) je fundamentální matice soustavy a C je vektor konstant. * Partikulární řešení dané rovnice hledáme ve tvaru yp(x) = Y(x) C(x) , kde C(x) je vektor funkcí. Po dosazení do soustavy dostaneme Y (x)C(x) + Y(x)C (x) = AY(x)C(x) + b(x) . Protože Y = AY, tak platí C1(x) 1 -1 ex + C2(x) 1 3 e5x = ex 0 Odtud vyplývá C1 ex + C2 e5x = ex -C1 ex + 3C2 e5x = 0 4C2 e5x = ex -4C1 ex = -3ex C2 = -1 16 e-4x C1 = 3 4 x a partikulární řešení soustavy má tvar yp(x) = 3 4 x 1 -1 ex + -1 16 1 3 ex * Obecným řešením nehomogenní soustavy je funkce y(x) = y(x)h+yp(x) = C1 1 -1 ex +C2 1 3 e5x +3 4 x 1 -1 ex +-1 16 1 3 ex . 168. y1 = y2 + 2ex y1 = C1ex + C2e-x + xex - x2 - 2 y2 = y1 + x2 [y2 = C1ex - C2e-x + (x - 1)ex - 2x] 169. y1 = y2 - 5 cos x y1 = C1e2x + C2e-x - 2 sin x - cos x y2 = 2y1 + y2 y2 = 2C1e2x - C2e-x + sin x + 3 cos x 20 170. y1 = 4y1 + y2 - e2x y1 = C1e2x + C2e3x + (x + 1)e2x y2 = y2 - 2y1 y2 = -2C1e2x - C2e3x - 2xe2x 171. y1 = 2y2 - y1 + 1 [y1 = (C1 + 2C2x)ex - 3] y2 = 3y2 - 2y1 [y2 = (C1 + C2 + 2C2x)ex - 2] 172. y1 = 5y1 - 3y2 + 2e3x y1 = C1e2x + 3C2e4x - e-x - 4e3x y2 = y1 + y2 + 5e-x y2 = C1e2x + C2e4x - 2e-x - 2e3x 173. y1 = 2y1 - 4y2 y1 = 4C1ex + C2e-2x - 4xex y2 = y1 - 3y2 + 3ex y2 = C1ex + C2e-2x - (x - 1)ex 174. y1 = 2y1 - y2 y1 = C1e3x + 3x2 + 2x + C2 y2 = y2 - 2y1 + 18x y2 = -C1e3x + 6x2 - 2x + 2C2 - 2 175. y1 = y1 + 2y2 + 16xex y1 = 2C1e2x + C2e-3x - (12x + 13)ex y2 = 2y1 - 2y2 y2 = C1e2x - 2C2e-3x - (8x + 6)ex 176. y1 = 2y1 - y2 y1 = (C1 + C2x - x2 )ex y2 = y1 + 2ex y2 = {C1 - C2 + (C2 + 2)x - x2 }ex 177. y1 = y1 - y2 + 8x [y1 = C1 cos 2x - C2 sin 2x + 2x + 2] y2 = 5y1 - y2 [y2 = (C1 + 2C2) cos 2x + (2C1 - C2) sin 2x + 10x] 178. y1 = 2y1 - y2 y1 = C1ex + C2e3x + ex (2 cos x - sin x) y2 = 2y2 - y1 - 5ex sin x y2 = C1ex - C2e3x + ex (3 cos x + sin x) 179. y1 = y2 + tg2 x - 1 [y1 = C1 cos x + C2 sin x + tg x] y2 = -y1 + tg x [y2 = -C1 sin x + C2 cos x + 2] 180. y1 = -4y1 - 2y2 + 2 ex-1 [y1 = C1 + 2C2e-x + 2e-x ln |ex - 1|] y2 = 6y1 + 3y2 - 3 ex-1 [y2 = -2C1 - 3C2e-x - 3e-x ln |ex - 1|] 181. y1 = y1 - y2 + 1 cos x [y1 =(C1+x) cos x+(C2+x) sin x+(cos x-sin x) ln | cos x|] y2 = 2y1 - y2 [y2 =(C1-C2) cos x+(C1+C2) sin x+2 cos x ln | cos x|+2x sin x] 182. y1 = 2y1 + y2 - 2y3 - x + 2 [y1 = C1ex + C2 sin x + C3 cos x] y2 = 1 - y1 [y2 = x - C1ex + C2 cos x - C3 sin x] y3 = y1 + y2 - y3 - x + 1 [y3 = 1 + C2 sin x + C3 cos x] Najděte partikulární řešení následujících soustav diferenciálních rovnic 183. y2 = y2 + y3 ; y2(0) = 0, y3(0) = -1 y2 = e2x - e3x y3 = -2y2 + 4y3 y3 = e2x - 2e3x 21 184. y2 = 3y2 - y3 ; y2(0) = 1, y3(0) = 5 y2 = e-2x y3 = 10y2 - 4y3 y3 = 5e-2x 185. y1 = 3y1 + 8y2 ; y1(0) = 6, y2(0) = -2 [y1 = 2(2ex + e-x )] y2 = -3y2 - y1 [y2 = -ex - e-x ] 186. y1 = ex - y2 - 5y1 ; y1(0) = 119 900, y2(0) = 211 900 y1 = 4 25ex - 1 36e2x y2 = e2x + y1 - 3y2 y2 = 1 25ex + 7 36e2x 187. y1 = y2 ; y1(0) = y2(0) = 1 [y1 = cos x + sin x] y2 = -y1 [y2 = cos x - sin x] 188. y1 = 4y1 - 5y2 ; y1(0) = 0, y2(0) = 1 y1 = (1 - 2x)e-2x y2 = y1 y2 = xe-2x 189. y1 = y1 + y2 + x ; y1(0) = -7 9, y2(0) = -5 9 y1 = -4 3x - 7 9 y2 = y1 - 2y2 + 2x y2 = 1 3x - 5 9 190. y1 = y1 + 5y2 ; y1(0) = -2, y2(0) = 1 [y1 = (sin x - 2 cos x)e-x ] y2 = -3y2 - y1 [y2 = e-x cos x] 191. 2y1 = 6y1 - y2 - 6x2 - x + 3 ; y1(0) = 2, y2(0) = 3 y1 = e2x + e3x + x2 + x y2 = 2y2 - 2x - 1 y2 = 2e2x + x + 1 webMathematica 22 13 Posloupnosti a řady funkcí 13.1 Posloupnosti funkcí Teorie Příklad 192 : Budeme vyšetřovat konvergenci posloupnosti fn(x) = n2 n2+x2 . Pro bodovou konvergenci platí lim n n2 n2 + x2 = lim n n2 n2 1 + x2 n2 = 1 . Při hledání množiny M, na které posloupnost konverguje stejnoměrně nás zajímá rozdíl n2 n2+x2 - 1 = n2 -n2 -x2 n2+x2 = x2 n2+x2 . Zjistíme, kdy platí lim n sup xM x2 n2 + x2 = 0 . Pokud je M omezená množina, pak K x M : |x| K a platí x2 n2 + x2 K2 n2 lim n sup xM x2 n2 + x2 = 0 . Jestliže M = R, pak sup xM x2 n2+x2 = 1 lim n sup xM x2 n2+x2 = 1 . Daná posloupnost tedy konverguje stejnoměrně na každé omezené množině, na celé reálné ose konverguje bodově. Rozhodněte o stejnoměrné konvergenci posloupnosti {fn(x)}, je-li 193. fn(x) = xn [x(-1, 1 bodově, x -1 + , 1 - stejn.] 194. fn(x) = arcotg nx n+x [D(f1) = (-1, ), x(-1, +) stejn.] 195. fn(x) = xn + xn+1 [x -1, 1 bodově, x -1, 1 - stejn.] 196. fn(x) = xn - x2n [x(-1, 1 bodově, x -1 + , 1 stejn.] 197. fn(x) = nx 1+n2x2 fn 0 pro xR , ale fn(1 n) = 1 2 198. fn(x) = 2x 1+n2x2 [xR stejn.] 199. fn(x) = x + 1 n - x [x 0, + stejn.] 200. fn(x) = en(x-1) [x(-, 1) bodově, x(-, 1 - stejn.] 201. fn(x) = arctg nx [x(-, ) bodově, x(-, - , +) stejn.] 202. fn(x) = x arcotg nx [x 0, +) bodově i stejn.] 23 13.2 Funkční řady Teorie Příklad 203 : Máme najít obor konvergence řady n=1 lnn x . Použijeme odmocninové kritérium a zkoumáme, pro která xR platí nerovnost n | lnn x| = | ln x| < 1 , což je splněno pro 1 e < x < e. Pro x1 = 1 e dostaneme řadu n=1 (-1)n , která diverguje; podobně pro x2 = e řada n=1 1n opět diverguje. Obor konvergence dané řady je tedy interval (1 e, e) . Najděte obor konvergence řady n=1 fn(x), je-li 204. fn(x) = (-1)n 2n+1 (1-x 1+x)n [< 0, )] 205. fn(x) = 1 1+xn [x R- < -1, 1 >] 206. fn(x) = xn 1+x2n [x R - {-1, 1}] 207. fn(x) = (-1)n+1 xn [|x| > 1] 208. fn(x) = e-nx [x > 0] 209. fn(x) = cos nx enx [x > 0] 210. fn(x) = (5 - x2 )n 2 < |x| < 6 211. fn(x) = n- ln x2 [|x| > e] 212. fn(x) = n2 e-nx2 [x R - {0}] 213. fn(x) = xn 1-xn [|x| < 1] Dokažte stejnoměrnou konvergenci n=1 fn(x), je-li 214. fn(x) = 1 x2+n2 [x R] 215. fn(x) = (-1)n x+2n [x 0] 216. fn(x) = x 1+n4x2 [x R] 217. fn(x) = sin nx 3 n4+x4 [x R] 218. fn(x) = nx 1+n5x2 [x R] 24 219. fn(x) = arcotg 2x x2+n3 [x R] 220. fn(x) = cos nx n2 [x R] 221. fn(x) = x2 sin(n x) 1+n3x4 [x 0] 222. fn(x) = (arcotg x x2+n2 )2 [x 0] 223. fn(x) = ln(1 + x2 n ln2 n ) [n 2, |x| a, a > 0] 224. fn(x) = sin(x2 n ) x2 n+1 [|x| a, a > 0] 225. fn(x) = sin(x n ) sin 2nx x2+4n [x R] 226. fn(x) = n2 n! (xn + x-n ) 1 2 |x| 2 227. fn(x) = x2 e-nx [ x a, (, a > 0, < a)] webMathematica 25 13.3 Mocniné řady Teorie Příklad 228 : Najdeme obor konvergence řady n=1 5n x3n . Po substituci y = x3 dostaneme mocninnou řadu n=1 5n yn , která má poloměr konvergence R = 1 lim sup n n |5n| = 1 5 . Pro y = -1 5 dostaneme řadu n=1 (-1)n , která diverguje; podobně pro y = 1 5 řada n=1 1 diverguje. Obor konvergence původní řady n=1 5n x3n je tedy interval (- 1 3 5 , 1 3 5 ). Najděte poloměr konvergence řady 229. n=1 [3+(-1)n ]n n xn 1 4 230. n=1 2n n! nn x2n e 2 231. n=1 3n (n3 + 2)x2n 1 3 Najděte poloměr konvergence řady n=0 anxn , je-li 232. an = 1 n2 [1] 233. an = 1 n! [] 234. an = (1+i)n n2n 2 235. an = n2 (0 < < 1) [] 236. an = an n + bn n2 (a, b > 0) min(1 a, 1 b ) 237. an = 3- n n2+1 [1] 238. an = 1 an+bn (a, b > 0) [min(a, b)] 239. an = (-1)n-1 { 2n (n!)2 (2n+1)!}p [2p ] 240. an = (-1)n-1 n! (n e )n [1] 26 241. an = a(a+1)...(a+n-1)b(b+1)...(b+n-1) n!c(c+1)...(c+n-1) [1] Najděte obor konvergence mocninné řady n=0 an(x - x0)n , je-li 242. an = 1 n n , x0 = 1 [< 0, 2 >] 243. an = (2n-1 3n+2)n , x0 = -2 (-7 2, -1 2) 244. an = (-1)n 2n+1 , x0 = 0 [(-1, 1 >] 245. an = 1 3 n3n , x0 = 1 [< -2, 4)] 246. an = n4+3 n3+4n, x0 = -2 [(-3, -1)] 247. an = 5n +(-3)n n+1 , x0 = 0 < -1 5, 1 5) 248. an = 1 n+1 ln 3n-2 3n+2, x0 = -1 [< -2, 0 >] 249. an = 3 2n+1- 3 2n-1 n , x0 = -3 [< -4, -2 >] 250. an = n a - 1, x0 = 0, a > 0, a = 1 [< -1, 1)] 251. an = 3- n n2+n+1 , x0 = 1 [< 0, 2 >] webMathematica Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninou řadu 252. f(x) = e-x2 n=0 (-1)n x2n n! ; x R 253. f(x) = cos2 x 1 + n=1 (-1)n 22n-1 (2n)! x2n ; x R 254. f(x) = sin 3x sin 5x n=1 (-1)n 22n-1 (2n)! (1 - 24n )x2n ; x R 255. f(x) = sin3 x n=1 (-1)n+1 3(32n -1) 4(2n+1)! x2n+1 ; x R 256. f(x) = x2 (1+x)2 n=0 (-1)n (n + 1)xn+2 ; x (-1, 1) 257. f(x) = 5x-4 x+2 -2 + n=1 7(-1)n-1 2n xn ; x (-2, 2) 27 258. f(x) = 1 x2-2x-3 -1 4 n=0 1+(-1)n 3n+1 3n+1 xn ; x (-1, 1) 259. f(x) = ln 1+x 1-x n=0 x2n+1 2n+1 ; x (-1, 1) 260. f(x) = ln 3-2x 2+3x ln 3 2 + n=1 {(-3 2)n - (2 3)n }xn n ; x (-2 3, 2 3 > 261. f(x) = 1 1-x2 1 + n=1 (2n-1)!! (2n)!! x2n ; x (-1, 1) 262. f(x) = 1 + x2 1 + x2 2 + n=2 (-1)n-1 (2n-3)!! (2n)!! x2n ; x (-1, 1) 263. f(x) = (1 - x2 )-3 2 n=0 (2n+1)!! (2n)!! x2n ; x (-1, 1) 264. f(x) = x 1-2x x + n=1 (2n-1)!! n! xn+1 ; x (-1 2, 1 2) 265. f(x) = (1 + x2 ) arcotg x x + 2 n=1 (-1)n+1 4n2-1 x2n+1 ; x < -1, 1 > Najděte rozvoj funkce f(x) v mocninnou řadu 266. f(x) = ln(x + 1 + x2) x + n=1 (-1)n (2n-1)!! (2n)!! x2n+1 2n+1 ; x < -1, 1 > 267. f(x) = arcsin x x + n=1 (2n-1)!! (2n)!! x2n+1 2n+1 ; x < -1, 1 > 268. f(x) = arcotg x+3 x-3 - 4 + n=0 (-1)n+1 32n+1 x2n+1 2n+1 ; x < -3, -3 > 269. f(x) = 1 1-x-x2 n=0 1 5 {( 5+1 2 )n+1 + (-1)n ( 5-1 2 )n+1 }; |x| < 5-1 2 270. f(x) = 1 1+x+x2 2 3 n=0 sin 2(n+1) 3 xn ; x (-1, 1) 271. f(x) = x cos -x2 1-2x cos +x2 n=1 xn cos n; x (-1, 1) 272. f(x) = 1 4 ln 1+x 1-x + 1 2 arcotg x n=0 x4n+1 4n+1 ; x (-1, 1) 28 273. f(x) = x arcotg x - ln 1 + x2 n=1 (-1)n+1 x2n 2n(2n-1); x < -1, 1 > 274. f(x) = x arcsin x + 1 - x2 1 + x2 2 + n=1 (2n-1)!! (2n+2)!! x2n+2 2n+1 ; x < -1, 1 > 275. f(x) = ln(1+x) 1+x n=1 (-1)n-1 (1 + 1 2 + + 1 n)xn ; x (-1, 1) 276. f(x) = ex 1-x n=0 u k=0 1 k!xn ; x (-1, 1) 277. f(x) = arcotg2 x n=1 (-1)n-1 (1 + 1 3 + + 1 2n-1)x2n n ; x < -1, 1 > 278. f(x) = ex sin x n=1 2 n 2 sin(n 4 ) n! xn ; x R 279. f(x) = ex cos x n=1 2 n 2 cos(n 4 ) n! xn ; x R 280. f(x) = (arcsin x x )2 n=0 22n+1 (n!)2 (2n+2)! x2n ; |x| 1 Pomocí rozvoje v mocninnou řadu vypočtěte integrály 281. x 0 e-t2 dt n=0 (-1)n n!(2n+1)x2n+1 ; x R 282. x 0 sin t t dt n=0 (-1)n x2n+1 (2n+1)(2n+1)!; x R 283. x 0 dt 1-t4 x + n=1 (2n-1)!!x4n+1 (2n)!!(4n+1) ; x (-1, 1) 284. x 0 t2 dt 1+t2 x3 3 + n=1 (-1)n (2n-1)!!x2n+3 (2n)!!(2n+3) ; x < -1, 1 > webMathematica 29 14 Fourierovy řady Teorie Příklad 285 : Stanovíme Fourierovu řadu funkce f(x) = 1 pro 0 x 0 pro - x 0 podle základního trigonometrického systému, tj. ve tvaru a0 2 + + k=1 (ak cos kx + bk sin kx). Vypočteme koeficienty ak , bk : a0 = 1 0 1 d = 1 , ak = 1 0 cos k d = 1 k [sin k] 0 , k = 1, 2, . . . , bk = 1 0 sin k d =- 1 k [cos k] 0 = - 1 k [(-1)k - 1] , k = 1, 2, . . . . Výsledek píšeme ve tvaru: s(x) = 1 2 + 2 k=1 sin(2k - 1)x 2k - 1 Najděte Fourierovu řadu funkce f(x) na intervalu (-, ), je-li 286. f(x) = |x| Výsledku využijte k sečtení řady n=0 1 (2n+1)2 2 - 4 n=0 cos(2n+1)x (2n+1)2 ; 2 8 287. f(x) = 2 - x2 Výsledku využijte k sečtení řady n=1 1 n2 , n=1 (-1)n+1 n2 2 32 + 4 n=1 (-1)n+1 n2 cos nx; 2 6 , 2 12 288. f(x) = sign x Výsledku využijte k sečtení řady n=0 (-1)n 2n+1 4 n=1 sin(2n-1)x 2n-1 ; 4 289. f(x) = sin ax a Z 2 sin a n=1 (-1)n+1 n sin nx n2-a2 290. f(x) = cos ax a Z 2 sin a { 1 2a + n=1 (-1)n a cos nx a2-n2 } 291. f(x) = eax a = 0 2 sinh a{ 1 2a + n=1 (-1)n a2+n2 (a cos nx - n sin nx)} 30 292. f(x) = q sin x 1-2q cos x+q2 |q| < 1 n=1 qn sin nx; zaveďte eix = z Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li 293. f(x) = -x 2 , x (0, 2) n=1 sin nx n 294. f(x) = x, x (a, a + 2l) a + l + 2l n=1 1 (sin na l cos nx l - cos na l sin nx l ) 295. f(x) = x2 , x (0, 2) 42 3 + 4 n=1 cos nx n2 - 4 n=1 sin nx n 296. f(x) = eax , x (-h, h) 2 sinh ah{ 1 2ah + n=1 (-1)n ah cos(nx h )-n sin(nx h ) (ah)2+(n)2 } 297. f(x) = x cos x, x (- 2 , 2 ) 16 n=1 (-1)n+1 n (4n2-1)2 sin 2nx 298. f(x) = ex - 1, x (0, 2) e2 -1 {1 2 + n=1 (cos nx 1+n2 - n sin nx 1+n2 )} - 1 Najděte Fourierovu řadu funkcí fn(x) = sinn x a gn(x) = cosn x pro n = 2, 3, 4, 5. 299. f2(x) = 1 2 - 1 2 cos 2x g2(x) = 1 2 + 1 2 cos 2x 300. f3(x) = 3 4 sin x - 1 4 sin 3x g3(x) = 3 4 cos x + 1 4 cos 3x 301. f4(x) = 3 4 - 1 2 cos 2x + 1 8 cos 4x g4(x) = 3 4 + 1 2 cos 2x + 1 8 cos 4x 302. f5(x) = -5 8 sin x+ 5 16 sin 3x- 1 16 sin 5x g5(x) = 5 8 cos x + 5 16 cos 3x + 1 16 cos 5x Najděte Fourierovu řadu funkce f(x), je-li 303. f(x) = 4 - x 2 , x (0, ) (kosinová řada) 2 n=0 cos(2n+1)x (2n+1)2 304. f(x) = x2 , x (0, ) (sinová řada) 2 n=1 (-1)n+1 {2 n + 2 n2 [(-1)n - 1]} sin nx 305. f(x) = sin ax, a Z, x (0, ) (kosinová řada) 4a n=0 cos(2n+1)x a2-(2n+1)2 pro a sudé 4a { 1 2a2 + n=1 cos 2nx a2-4n2 }pro a liché 31 306. f(x) = cos ax, a Z, x (0, ) (sinová řada) -4 n=0 sin(2n+1)x a2-(2n+1)2 pro a sudé -8 n=1 n sin 2nx a2-4n2 pro a liché 307. f(x) = x( 2 - x), x (0, 2 ) podle soustavy {cos(2n - 1)x}, n N -2 n=1 1 (2n-1)2 {1 + 4(-1)n (2n-1) } cos(2n - 1)x {sin(2n - 1)x}, n N n=1 { 2(-1)n (2n-1)2 + 8 (2n-1)3 } sin(2n - 1)x Integrací Fourierova rozvoje funkce f(x) = x najděte rozvoj funkcí x2 , x3 , x4 , x5 pro x (-, ) 308. f(x) = x 2 n=1 (-1)n+1 sin nx n 309. f(x) = x2 2 3 + 4 n=1 cos nx n2 (-1)n 310. f(x) = x3 2 n=1 (-1)n 6-2 n2 n3 sin nx 311. f(x) = x4 4 5 + 8 n=1 (-1)n+1 6-2 n2 n4 cos nx 312. f(x) = x5 2 n=1 (-1)n+1 120-202 n2 +4 n4 n5 sin nx webMathematica 32 15 Limity, derivace a diferenciál funkcí více reálných pro- měnných Teorie Příklad 313 : Je dána funkce f předpisem f(x, y) = x+y x2+y2 , f(0, 0) = 0 a body M = [3, 4], Q = [2, 1]. a) Rozhodněte o spojitosti funkce f. b) Stanovte diferenciál funkce f v bodě M. c) Stanovte derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru v = (1, -1)T . d) Stanovte směr a velikost největšího spádu funkce f v bodě Q. Řešení: a) Funkce f je spojitá na R2 \ [0, 0] (polynomy jsou spojité funkce na R2 ). Musíme rozhodnout pouze o spojitosti v bodě [0, 0] , tzn. ověřujeme zda platí lim [x,y][0,0] x+y x2+y2 = 0. Přechodem k polárním souřadnicím x = r cos , y = r sin dostaneme lim [x,y][0,0] x+y x2+y2 = limr0 0,2) r(cos +sin ) r2 . Poslední limita závisí na volbě úhlu , tedy neexistuje a daná funkce není spojitá. b) Pro parciální derivace funkce f platí f x = x2 +y2 -(x+y)2x (x2+y2)2 = -x2 +y2 -2yx (x2+y2)2 , f y = x2 +y2 -(x+y)2y (x2+y2)2 = x2 -y2 -2yx (x2+y2)2 . V bodě M = [3, 4] je f x(M) = -17 625 , f y = -31 625 a diferenciál funkce f v bodě M je df(M, h) = -17 625 dx + -31 625 dy . c) Derivaci funkce f v bodě M ve směru vektoru v = (1, -1)T vypočítáme pomocí vztahu f v (M)= grad f(M) v = -17 625 , -31 625 (1, -1)T = 14 625 . d) Směr největšího spádu funkce f v bodě Q je dán vektorem -grad f(Q) = -7 25 , -1 25 , jeho velikost je v = 1 25 50 . Příklad 314 : Spočítejte derivaci funkce f = x3 +xy2 y2 , f(0, 0) = 0 v bodě [0, 0] ve směru vektoru v = (1, 1)T . Z definice dostaneme f v (0, 0)= lim t0 f([0,0]+t(1,1))-f(0,0) t = lim t0 t3+t t2 t2 -0 t = 2 . Parciální derivace f x(0, 0)= lim t0 f([0,0]+t(1,0))-f(0,0) t = lim t0 t3+t 0 0 -0 t neexistuje. 33 Rozhodněte o spojitosti fce f v bodě [0, 0]: 315. f(x, y) = x2 +y2 xy , f(0, 0) = 0 [není spojitá] 316. f(x, y) = x2 +sin y2 y , f(0, 0) = 0 [není spojitá] 317. f(x, y) = sin(xy2 ) x2+y2 , f(0, 0) = 0 [je spojitá] 318. f(x, y) = (1 + sin(x - y))ln |x-y| , f(0, 0) = 1 [je spojitá] Rozhodněte, zda fce f v bodě [0, 0] a ve směru (1, 1) roste nebo klesá 319. f(x, y) = (x2 + y2 ) sin x , [fce roste] 320. f(x, y) = - tg y ex , [fce klesá] 321. f(x, y) = x2 -y2 ey , [fce je konstantní] 322. f(x, y) = - ln |y + x + 1| cos x , [fce klesá] Najděte diferenciál funkce f v bodech [0, 0] a [1, 1] 323. f(x, y) = xy2 x2+y2 , f(0, 0) = 0 df = 0 dx + 0 dy , df = 1 2 2 dx + 3 2 2 dy 324. f(x, y) = (y + 2) tg x 2 , f(0, 0) = 0 [df = dx + 0 dy , neexistuje] webMathematica 34 16 Řešení funkcionálních rovnic, tečná rovina Teorie Příklad 325 : Je dána funkce F předpisem F(x, y) = x2 y3 + 2x - 3y a body A = [3, -1], B = [1, 1]. a) Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F(x, y) = 0 na okolí bodů A, B . Případně určete derivaci y v příslušném bodě. b) Stanovte vektor normály a tečnou rovinu ke grafu funkce F v bodě grafu C = [2, 1, ?]. c) Stanovte tečnu k hladině funkce F procházející bodem D = [1, 0] . a) Ověříme předpoklady věty o implicitní funkci: 1. Funkce F(x, y) = x2 y3 +2x-3y je spojitá na R2 , proto i spojitá na okolí bodů A, B. 2. Rovnosti F(A) = 0 , F(B) = 0 jsou splněny . 3. Parciální derivace Fy = F(x,y) y = 3x2 y2 - 3 je spojitá na R2 a platí Fy(A) = 24 = 0, Fy(B) = 0 . Na okolí bodů A tedy existuje jediné, spojité řešení y rovnice F(x, y) = 0; derivace řešení je y (3) = -Fx(A) Fy(A) = - 2xy3 +2 3x2y2-3 ([3,-1]) = --4 24 = 1 6 . O řešení rovnice F(x, y) = 0 na okolí bodu B nemůžeme na základě věty o implicitní funkci nic říci. b) Vektor normály n ke grafu funkce F(x, y) = x2 y3 + 2x - 3y v bodě grafu C = [2, 1, F(2, 1)] = [2, 1, 5] je n = (Fx(2, 1), Fy(2, 1), -1) = (6, 9, -1) a tečná rovina je dána rovnicí z - 5 = 6(x - 2) + 9(y - 1) . c) Tečna k hladině funkce F procházející bodem D = [1, 0] je dána rovnicí 0 = Fx(D)(x - 1) + Fy(D)(y - 0) 0 = 2(x - 1) - 3 y . Pomocí věty o implicitní funkci zjistěte, jestli existuje jediné, spojité řešení y rovnice F(x, y) = 0 na okolí bodů A, B, C . Případně určete derivaci y v příslušném bodě. 326. F(x, y) = -2 3x2 + y2 - xy - 2x - 3y , A = [0, 3], B = [1, -1], C = [-3, 0] . A : y (0) = 5 3, B : Neex. , C : Neex. 35 327. F(x, y) = x2 + 4y2 - 2x + 16y + 13 , A = [-1, -2], B = [1, -1], C = [1, 0] . [A : Neex, B : y (0) = 0 , C : Neex.] 328. Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) implicitně definované rovnicí z3 - 3xyz - 8 = 0 v bodě A = [0, 3] . A : zx = 3 2 , zy = 0 , 329. Ke grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou . f(x, y) = x2 + y2 - x , : 3x + 2y - z = 0 . [3(x - 2) + 2(y - 1) - (z - 3) = 0] 330. K nulové hladině funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou . f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2 - 21 , : x + 4y + 6z = 0 . [(x - 1) + 4(y - 2) + 6(z - 2) = 0 , (x + 1) + 4(y + 2) + 6(z + 2) = 0] webMathematica 36 17 Extrémy funkcí více proměnných Teorie 17.1 Optimalizační úlohy bez vazeb Příklad 331 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x2 - xy + y2 - 2x + y . Stacionární bod vypočteme ze soustavy grad f(x0, y0) = (0, 0) 2x - y - 2 = 0 -x + 2y + 1 = 0 [x0, y0] = [1, 0] . Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) = 2 -1 -1 2 . Potom Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu [1, 0] 2 -1 -1 2 M1 = 2 > 0 M2 = 5 > 0 1 = 1 > 0 1 = 3 > 0 bod minima Příklad 332 : Najdeme extrémy funkce f(x, y) = x2 + 6xy + 2y2 . Stacionární bod vypočteme ze soustavy grad f(x0, y0) = (0, 0) 2x + 6y = 0 6x + 4y = 0 [x0, y0] = [0, 0] . Hessova matice funkce f má tvar H(x, y) = 2 6 6 4 . Potom Stac. bod H Hlavní minory H vlastní čísla H Typ bodu [0, 0] 2 6 6 4 M1 = 2 > 0 M2 = -28 < 0 1 = 3 + 37 > 0 1 = 3 - 37 < 0 sedlový bod Najděte lokální extrémy funkce f 333. f(x, y) = x4 + y4 - x2 - 2xy - y2 [[1, 1], [-1, -1] min , [0, 0] sedlo] 334. f(x, y) = x2 + xy + y2 - 4 ln x - 10 ln y [[1, 2] min] 335. f(x, y) = x2 + y2 + z2 + 2x + 4y - 6z [[-1, -2, 3] min] 336. f(x, y) = xy + z(a - x - 2y - 3z) [a 5, a 10, a 10] sedlo 337. f(x, y) = xy ln(x2 + y2 ) [0, 1], [1, 0] sedla , [ 1 (2e) , 1 (2e) ] , [- 1 (2e) , - 1 (2e) ] min , [- 1 (2e) , 1 (2e) ] , [ 1 (2e) , - 1 (2e) ] max 37 17.2 Optimalizační úlohy s vazbami Teorie Příklad 338 : Stanovte extrém funkce f(x, y) = x3 + xy2 + 5x2 + y2 na přípustné množině V určené podmínkou h(x, y) = x + y = 0. Vázané extrémy budeme nejdříve hledat pomocí Lagrangeovy funkce L(x, y, ) = x3 + xy2 + 5x2 + y2 + (x + y). Najdeme její stacionární body L x = 3x2 + y2 + 10x + = 0 L y = 2xy + 2y + = 0 L = x + y = 0 x1 = 0, y1 = 0 , 1 = 0 x2 = -2, y2 = 2 , 2 = 4 Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je d2 L = d2 f + d2 h = (6x + 10) dx2 + 4y dxdy + (2x + 2) dy2 a po dosazení vazební podmínky dh = dx + dy = 0 dostaneme d2 L = (8x - 4y + 12) dx2 . V bodě [0, 0, 0] je d2 L = 12 dx2 > 0, tedy bod [0, 0] je bodem minima funkce f vzhledem k množině V , v bodě [-2, 2, 4] je d2 L = -12 dx2 < 0, tedy bod [-2, 2] je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V . Tento příklad lze také řešit přechodem k jedné proměnné. Z vazby x + y = 0 plyne y = -x a po dosazení do původní funkce dostaneme f(x, y) = f(x) = x3 + x3 + 5x2 + x2 = 2x3 + 6x2 . Pro tuto funkci je f (x) = 6x2 + 12x a stacionární body jsou x1 = 0 , x2 = -2. Druhá derivace má tvar f (x) = 12x + 12 a f (0) = 12 > 0 v bodě [0, 0] je minimum funkce f vzhledem k množině V , podobně f (-2) = -12 < 0 v bodě [-2, 2] je maximum funkce f vzhledem k množině V . Nyní budeme hledat extrém stejné funkce f(x, y) = x3 + xy2 + 5x2 + y2 na přípustné množině V určené podmínkou g(x, y) = x + y 0. Kromě extrému na 38 hranici množiny V (V = V ), teď hledáme i extrémy uvnitř množiny V (zde g(x, y) < 0). Tedy grad f = 0, neboli f x = 3x2 + y2 + 10x = 0 f y = 2xy + 2y = 0 x1 = 0, y1 = 0 , x3 = -10 3 , y3 = 0 , x4 = -1, y4 = - 7 , x5 = -1, y5 = 7 . Pouze body [0, 0], [-10 3 , 0], [-1, - 7] patří do množiny V a pro druhý diferenciál funkce f v těchto bodech platí d2 f([0, 0]; h) = (6x + 10) dx2 + 4y dxdy + (2x + 2) dy2 |[0,0] = 12 dy2 > 0 , d2 f([-10 3 , 0]; h) = -44 3 dx2 < 0 , d2 f([-1, - 7]; h) = 4 dx2 - 4 7 dxdy . Bod [0, 0] je bodem minima funkce f vzhledem k R2 , tedy i vzhledem k množině V , podobně bod [-10 3 , 0] je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V . V bodě [-1, - 7] ve směru (dx, dy) = (1, 0) je d2 f = 4 > 0 a funkce f má v tomto směru minimum, ale ve směru (dx, dy) = (1, 1) je d2 f = 4 - 4 7 < 0 a f má v tomto směru maximum. Bod [-1, - 7] je tedy sedlovým bodem funkce f. Zbývá rozhodnout bod [-2, 2] V , pro který je = 4 > 0 grad f(-2, 2) = -4 grad g(-2, 2), (gradient funkce f směřuje do množiny V ) a funkce f může nabývat pouze minima vzhledem k V , ale vzhledem k hranici V nabývá maxima. Proto v bodě [-2, 2] není extrém funkce f vzhledem k množině V . Příklad 339 : Stanovte extrém funkce f(x, y, z) = xy + yz na přípustné množině V určené podmínkami h1(x, y, z)=y+z-2=0, h2(x, y, z)=x2 +y2 -2=0, x 0 , y 0 , z 0. Vázané extrémy budeme hledat pomocí Lagrangeovy funkce L(x, y, ) = xy + yz + 1(y + z - 2) + 2(x2 + y2 - 2) . Najdeme její stacionární body L x = y + 22x = 0 2 = -y 2x L y = x + z + 22y + 1 = 0 L z = y + 1 = 0 1 = -y x + z + 2 -y 2x y - y = 0 x2 + zx - y2 - yx = 0 L 1 = z + y - 2 = 0 z = 2 - y L 2 = x2 + y2 - 2 = 0 x2 = 2 - y2 x2 + (2 - y)x - y2 - yx = 0 2 - y2 + (2 - y)x - y2 - yx = 0 39 Odtud 2(1 - y2 ) + (2 - 2y)x = 0 (1 - y)(1 + y + x) = 0 a protože x 0 , y 0 , z 0 , tak jediný stacionární bod je B = [1, 1, 1] a 1 = -1 , 2 = -1 2 . Druhý diferenciál Lagrangeovy funkce je d2 L = 22 dx2 + 2 dxdy + 22 dy2 + 2 dydz a po dosazení vazebních podmínek v bodě B = [1, 1, 1] dh1 = dz + dy = 0 dz = -dy , dh2 = 2x dx + 2y dy = 0 dx = -dy dostaneme pro 1 = -1 , 2 = -1 2 d2 L = (-4 - 2 - 4 - 2) dy2 < 0 pro dx = dz = -dy = 0 . Tedy bod [1, 1, 1] je bodem maxima funkce f vzhledem k množině V . Najděte lokální extrémy funkce f vzhledem k množině V 340. f(x, y) = 2x2 + xy , V : 3x + 2y - 2 = 0 , [-1, 5 2] min 341. f(x, y) = 2x2 + xy , V : -3x - 2y + 2 0 , [ nemá extrém vzhledem k V ] 342. f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2 , V : 4x2 + y2 = 25 , [3 2, 4], [-3 2, -4] max , [2, -3], [-2, 3] min 343. f(x, y) = x2 + 12xy + 2y2 , V : 4x2 + y2 25 , [3 2, 4], [-3 2, -4] max , [2, -3], [-2, 3] min 344. f(x, y) = x - 2y + 2z , V : x2 + y2 + z2 = 1 , [1 3, -2 3, 2 3] max , [-1 3, 2 3, -2 3] min Najděte min. a max. hodnoty funkce f vzhledem k množině V 345. f(x, y) = x + y + z , V : x2 + y2 z 1 , -1 2 min , 1 + 2 max 346. f(x, y) = x2 + 2y2 + 3z2 , V : x2 + y2 + z2 100 , [0 min , 300 max] webMathematica 40 18 Vícenásobné integrály Teorie 18.1 Dvojné integrály Příklad 347 : Máme množinu M = {[x, y] R2 : xy 1, 4y x, y 3}. Vypočtěte I = M y2 x2 dxdy . Průsečík funkcí y = x 4 , y = 1 x je bod [2, 1 2], tedy 1 2 y 3 a pro x platí 4y x 1 y . Tudíž I = 3 1 2 4y 1 y y2 x2 dxdy = 3 1 2 - y2 x 4y 1 y dy = 3 1 2 - y 4 + y3 dy = - y2 8 + y4 4 3 1 2 = 1225 64 . 348. y2xy+2 y ex dx dy 1 2e4 + 5 2e 349. x2y 16-x2 x (1+y)2 dx dy [0] 350. 1x2y24 |x y| dx dy 15 2 351. M 1 x+y+1 dx dy , kde M je trojúhelník s vrcholy [1, 2], [5, 2], [4, 4] 72 5 ln 9 + 8 ln 16 352. M |x| dx dy , kde M je dána nerovnostmi x2 y , 4x2 + y2 12 36 3 - 14 353. M [2x + y - 1] dx dy , kde M je dána nerovnostmi 2x y x , x 1 2 3 354. M 1 - x2 - y2 dx dy , kde M je dána nerovnostmi x2 + y2 1 , x 0 , y 0 6 41 18.2 Trojné integrály Příklad 355 : Máme množinu M = {[x, y] R3 : x2 +y2 1, x2 +y2 +z2 4}. Vypočtěte objem tělesa M, tj. integrál I = M 1 dxdydz . Přechodem k cylindrickým souřadnicím x = r cos , y = r sin , z = z dostaneme r2 1 , z2 4 - r2 , 0, 2) a dxdy = r drd, tedy I = M 1 dz dxdy = 2 0 1 0 4-r2 - 4-r2 r dz dr d = 2 0 1 0 2 4 - r2 r dr d = u = 4 - r2 du = -2r dr = 2 0 3 4 - u du d = 2 0 2 3u 3 2 4 3 d = 4 3 (8 - 27) . 356. V 1 dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi x2 + y2 - z2 1 , 0 z 1 4 3 357. V xy3 z (1+z2)2 dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi x2 + y2 z 2, 0 x, 0 y - 1 60 + 1 16 ln 5 358. V x2 yz3 dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi 0 x 1 , 0 y x , 0 z xy 1 312 359. V x+y 4+z dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi x + y3 , 0y , 0 x , 0 z 4 [9 ln 2] 360. V xy (4+z)2 dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi x2 + y2 4z 16 [0] 361. V x2 yz dx dy dz , kde V je dána nerovnostmi 4x2 +y2 +z2 1, x 0, y 0, z 0 - 1 23 1 105 webMathematica 42