Předmluva Toto skriptum by vydáno již dvakrát na Palackého univerzitě, a to v roce 1982 a v roce 1990. Za to, že nyní vychází znovu na Karlově univerzitě, vděčíme především paní Jaroslavě Švecové, vedoucí matematického oddělení knihovny MFF UK, která mne upozornila, že o skriptum je stále velký zájem a že knihovna by potřebovala další exempláře. Předlohou obou předchozích vydání byl ještě strojopis a v první řadě bylo nutné celé skriptum přepsat v TgXu. Vzhledem ke skutečnosti, že převážnou většinu skripta tvoří formule, to byla sisysfovská práce. Udělal jsem ji částečně já sám, ale větší část přepsala moje manželka Alena. Mnoho užitečných typografických rad jsem získal od RNDr. Jany Bočkové, CSc. Finální úpravu textu provedl doc. RNDr. Jaromír Kuben, CSc, skvělý odborník na zpracování matematických textů. Skriptum vychází na základě spolupráce MFF UK s PřF UP Všem výše jmenovaným patří můj dík. Po obsahové stránce vychází skriptum v nezměněné podobě. Snažil jsem se odstranit některé nalezené nedostatky, ale při rozsahu a složitosti textu nelze vyloučit, že jsme při přepisování do TeXu udělali nové chyby. Každopádně budu vděčen za všechny připomínky, které lze zaslat elektronicky na adresu vanzura@ipm. c z. Skriptum existuje i v hypertextové podobě ve formátu PDF. Brno, 21. dubna 2002 Jiří Vanžura Matematický ústav AVČR ni Obsah Předmluva iii 1 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti 1 1.1 Přípravná tvrzení...................................... 1 1.2 Příklady........................................... 4 2 Limita funkce 31 2.1 Přípravná tvrzení...................................... 31 2.2 Příklady........................................... 35 3 Spojitost funkce 118 3.1 Přípravná tvrzení...................................... 118 3.2 Příklady........................................... 119 4 Derivace funkce a její užití 131 4.1 Přípravná tvrzení...................................... 131 4.2 Příklady............................................ 135 v 1 Kapitola 1 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti 1.1. Přípravná tvrzení Věta 1.1. Buďte {a„}™v {bn}^L, dvě posloupnosti mající vlastní limity, lim a„ = a, lim b„ = b. Dále buď c číslo. Potom rovněž posloupnosti {an + b„}^_v {can}^=l, {anbn}™=l mají vlastní limity a platí a) lim (a„ + b„) = lim a„ + lim b„, n—roo n—roo n—roo b) lim can = c ■ lim a„, n—* co n—* co c) lim anbn = lim a„ ■ lim b„. n—roo n—roo n—roo Je-li navíc bn ^ 0 pro všechna přirozená n a lim b„ = b ^ 0, platí n—ťoo lim an d) lim n-^oo bn lim bn n—ťoo Poznámka. Hovoříme-li o čísle nebo o posloupnosti, máme na mysli komplexní číslo nebo posloupnost komplexních čísel. Protože každé reálné číslo je zároveň číslem komplexním, je Věta 1.1 přirozeně použitelná pro reálné posloupnosti. Většina našich příkladů v této kapitole dokonce budou reálné posloupnosti. Čtenář, který se podiví nad tím, že formulujeme „obecnou větu" pro komplexní posloupnosti a potom ji vlastně používáme téměř výlučně pro posloupnosti reálné, nechť si přečte Větu 1.15. Tato nám totiž ukazuje, že dovedeme-li dobře počítat limity reálných posloupností, není pak už většinou těžké počítat limity komplexních posloupností. Jsou ovšem na druhé straně mnohé věty, které lze vyslovit pouze pro reálné posloupnosti. Jsou to vesměs věty, v nichž se vyskytují nerovnosti. Komplexní čísla se totiž špatně uspořádávají. Ne že by nebylo možné komplexní čísla uspořádat (jak se bohužel občas slyší), ale žádné takové uspořádání nemá dost rozumné další vlastnosti. Věta 1.2. Buďte {a„}^_v {bn}™=l dvě reálné posloupnosti a buď c reálné číslo. Potom platí: a) Je-li posloupnost {an}™=l zdola omezená a lim b„ = +oo, potom n—ťoo lim (a„ + bn) = +00. n—^oo b) Je-li posloupnost {a„}™, shora omezená a lim b„ = — oo, potom «-> co lim (a„ + bn) = —oo. 2 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti c) Je-li c > O a lim a„ = +00, potom lim can = +00. Je-/z c > 0 a lim a„ = — 00, potom lim ca„ = — 00. Je-/z c < 0 a lim a„ = +00, potom lim ca„ = —00. Je-/z c < 0 a lim a„ = —00, potom lim ca„ = +00. d) Existuje-li číslo d > 0 ía/c, ze a„ > 0 ía/c, ze a„ > oo n->oo Věta 1.5. Buďte {a„}^_v {bn}™=l dvě posloupnosti. Nechť lim a„ = 0 a nechť posloupnost {bn}^=lje omezená. Potom lim anbn = 0. Věta 1.6. Buďte {a„}^_v {bn}™=l dvě reálné posloupnosti a nechť an < b„ pro všechna přirozená n. Nechť existují lim a„ a lim b„. Potom platí n—* cx n—* cx lim an < lim b„. Poznámka k Větě 1.6. Může se stát, že an < bn pro všechna přirozená n, ale přesto lim an = lim bn. Jednoduchým příkladem na tento jev jsou např. posloupnosti an = 0, bn = £ . Věta 1.7. Buďte {a„}%Lv {bn}'^=l dvě reálné posloupnosti a nechť an < b„ pro všechna přirozená n. Nechť lim a„ = +00 (respektive lim fe„ = —00/ Potom lim fe„ (respektive lim a„j existuje a platí K^-CX) K^-CX) n—roo K^-CX) lim fe„ = +00 (respektive lim a„ = —00/ Věta 1.8. Buďte {a„}^_v {b„}^_v {cn}^=l tři reálné posloupnosti a nechť an < bn < cn pro všechna přirozená n. Nechť existují lim a„, lim cn (případně nevlastní) a platí lim a„ = lim cn. Potom existuje íéz lim fe„ a rovwá se společné hodnotě lim a„ = lim c„. Věta 1.9. ÄMŕ/'lanJ^j monotónní reálná posloupnost. Potom existuje lim a„ (případně nevlastní). Je-/z {a„}^\ neklesající (nerostoucí) je lim a„ > —00 flim a„ < +00/ Je-li {an}°° , neklesající (nerostoucí), potom lim a„je vlastní právě tehdy, když {anY^_xje shora (zdola) omezená. 1.1 Přípravna tvrzení 3 Věta 1.10 (Stolzova). Buďte {a„}^_v {bn}™=l dvě reálné posloupnosti a nechť posloupnost {bn}^=lje rostoucí. Nechť existuje lim ---------------- n^oo bn+i - b„ (případně nevlastní). Potom existuje též lim f2- a platí lim — = lim «^co bn n^oo bn+i - bn Věta 1.11. Buďte {anY^_x, {bn}™=l dvě posloupnosti. Nechť an = bnpro všechna přirozená n s výjimkou konečně mnoha. Potom lim an existuje právě tehdy, když existuje lim bn. Jestliže jedna z nich (a tudíž n—roo n—roo pak i druhá) existuje, platí lim an = lim bn. n—roo n—ťoo Poznámka k Větě 1.11. Předchozí věta nám fakticky říká, že existence a hodnota limity posloupnosti nezávisí na konečném počtu členů této posloupnosti. Toto tvrzení nám umožňuje zeslabit předpoklady některých výše uvedených vět (přičemž přirozeně věty zůstávají v platnosti). Uveďme nyní přesně, kterých vět a kterých předpokladů se toto týká. Ve Větě 1.2, bod d) stačí předpokládat an > d (respektive an < d) pro všechna n s výjimkou konečně mnoha. Velice důležitý je případ, kdy existuje lim an (případně nevlastní) a je > 0 (respektive < 0). n—roo Potom vždy existuje d > 0 (respektive d < 0) tak, že an > d (respektive an < d) pro všechna n s výjimkou konečně mnoha. Výsledky bodu d) Věty 1.2 můžeme potom formulovat daleko jednodušeji: Je-li lim an ^ 0 (případně nevlastní) a je-li lim bn nevlastní, potom platí lim (anbn) = lim an ■ lim b„ n—ťoo n-^oo n—ťoo Zde používáme obvyklých definic a ■ (+oo) = +00, a ■ (—oo) = —oo pro a > 0, a ■ (+oo) = —oo, a ■ (—oo) = +oo pro a < 0, (+oo) • (+oo) = +00, (+oo) • (—oo) = —oo, (—oo) ■ (+oo) = +00, (—oo) ■ (—oo) = +00. Předchozí tvrzení můžeme chápat jako zobecnění Věty 1.1, bodu c). Ve Větě 1.6 a Větě 1.7 stačí předpokládat an < bn pro všechna n s výjimkou konečně mnoha. Ve Větě 1.8 stačí předpokládat an 0° n—roo lim an = lim inf an = lim sup an. 4 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Věta 1.15. Buď{an}™=l posloupnost. Pro každé n pišme an = a'n + ia'á, kde a!n respektive a'^je reálná respektive imaginární část čísla an. Potom posloupnost {an}^=i má vlastní limitu právě tehdy, když mají vlastní limity obě reálné posloupnosti {a^}^, a {a^}^Lv V případě, že existuje vlastní lim a„, nebo n—ťoo ekvivalentně, existují vlastní lim a'n a lim a", platí n—roo n—roo lim a„ = lim a'n + i lim ď. n—roo n—roo n—roo Na závěr uvedeme hodnoty některých často se vyskytujících limit (A: je reálné číslo), lim X/a = 1 pro a > 0, lim V« = 1, lim vra! = +00, nk an lim — = 0, lim — = +00 pro a > 1, n—fco cin n—)-oo n nk an lim — = +00, lim —- = 0 pro 0 < a < 1, n—fco cin n—)-oo n an ra! lim — = 0, lim — = +00 pro a > 0, n->oo fi\ n—)-oo cin / 1\« /li 1 \ hm 1 + - = lim 1 + - + - + ... + -)=e, n-rco \ n/ n-?co\ i; 2! ra!/ lim «a" = 0 pro |a| < 1. n^oo 1.2. Příklady Příklad 1.1. Určete lim —- k přirozené. n->oo n Řešení. Opakovaným použitím Věty 1.1, bod c) dostáváme 1 ,. /I 1 1\ /,. 1 lim — = lim f-------------) = ( lim - W lim -)■■■( lim -) = 0. k krát k krát „it i ™ «*-l Příklad 1.2. Určete lim (a^ra + o^-i« + • • • + «i« + «o), «* 7^ 0. Řešení. Zde se vlastně jedná o posloupnost {a„}^L1; kde a„ = P{n), přičemž P je polynom stupně k, v němž místo obvyklé proměnné x píšeme ra. Postupujeme tak, že vytkneme nejvyšší mocninu ra. k-l 1 1 1 \1 lim (akn + ak_\n + • • • + a\n + «o) n—roo lim nk{ak+ak-X- -\-------h «,—-- + a0 — ) = lim nk ■ lim (a* + «*_!- H-------h «i——-- +a0—) n—^oo n—*co\ fi fi l TI ' | —oo je-li «i < 0, I +00 je-li ak > 0. Tato rovnost platí na základě Poznámky k Větě 1.11. 1.2 Příklady 5 Budeme-li si tento výsledek pamatovat, nemusíme příklady tohoto typu vůbec počítat. Můžeme rovnou napsat výsledek, totiž nekonečno opatřené stejným znaménkem jako koeficient ak u nejvyšší mocniny proměnné n. Tak např. Příklad 1.3. Určete lim aknk +ak_ink 1 + lim (-7«j + 2« - 8) = n—^oo lim (ra4 + 1) = +00. -00, »^°o ßenl + ße-iti1-1 + ... + ß1„ + ßt , ak£ 0, ße ŕ o. Řešení. V tomto příkladě se jedná o posloupnost {a„}^L1; kde an = R (n), přičemž i? je racionální funkce, kde opět místo obvyklé proměnné x píšeme n. V čitateli i jmenovateli zlomku jsou výrazy nám již známé z Příkladu 1.2. Budeme tedy postupovat analogicky. V čitateli i jmenovateli vytkneme nejvyšší mocninu proměnné n. aknk +ak_ink l + + ai« +a0 hm „ „ , «-co ßene + ßt-xn1-1 +---+ß1n+ß0 nk(ak + ak_^ -\-------h uitft: + ot0\) = hm --------------------------------------------— «-00 ni(ßl +ßl_ll + ...+ßl7^.+ ß0J.) lim nk l-------------:-----------------:----------— . ßt + ßt-l\ + ■ ■ ■ + ßl^T + A>£ Nyní musíme rozlišit tři případy: a) případ k Zde dostáváme prostě ak+ak_l- + - •+a1^-ľ+a0^ Oik ^°° ßk + ßk-\\ + • ■ + ßi-J^r + ßojt ßk k <£ b) případ Použijeme-li Větu 1.1, bod c), dostáváme lim n -----------------:-----------------------:--------------7- ßt + ßt-x\ + ■ ■ ■ + ßi^r + ßoji 0- Ok ßt 0. c) případ k> Zde použijeme formuli z Poznámky k Větě 1.11. Dostáváme ,oík + aŕ-i-7 H-------h «i-ftt + «oj lim n n—roo k-l Oík i i i — (+oo) • ßl + ßi_ll + ... + ßl-^ + ß()lE ße -oo je-li f < 0, +00 je-li f, > 0. I v tomto případě tedy vidíme, že na základě znalosti obecného výsledku nemusíme limity výše uvedeného typu vůbec počítat, ale můžeme ihned psát výsledek. Je-li k = í, píšeme podíl koeficientů u nejvyšších mocnin proměnné n. Je-li k < l, píšeme vždy 0, a konečně je-li k > i, píšeme nekonečno se 6 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti znaménkem stejným jako je znaménko podílu koeficientů u nejvyšších mocnin proměnné ra. Např. tedy 2ra4 - 3« + 1 2 2 hm---------------------- = — = — , n^oo —3«4 + 2n2 — n — 3 3 lim 4±1 = 0, n^co n1 + 7 -ra6+ra3 + l -1 lim ———-— = — ■ (+oo) = -oo. n^oo Irť —l l V několika následujících příkladech bude na první pohled jasné, že se jedná o speciální typy Příkladu 1.3, tj. o limity racionálních výrazů v proměnné n. Jediný problém, který vzniká, je jak limitovaný výraz upravit na potřebný tvar lim "*",~\aBk~in, i"!""'"!"^1""!"^0 • K tomu by nám mělo stačit trochu početní J f f J n^oo ßenl+ßi-inl H----\-ßin+ßü J ť zručnosti a znalost vhodných součtových formulí. 10 1 Příklad 1.4. Určete lim (— + — H--------h —^-) Řešení. Je 1 2 ra - 1 1 + 2 + • • • + (ra - 1) (j^ n - 1 -t + -tH-------h - - ~ n2 n2 n2 n2 n2 2« Zde jsme použili vztah 1 + 2 + ••• +k = kí>k+l) . Dostáváme tedy /l 2 ra — 1\ « — 1 1 lim í— + — + ••• + —— j = hm —— = - . /l2 22 («-1)2\ Příklad 1.5. Určete lim (— + — + ••• +------^— ). Řešení Platí l2 22 (n- l)2 _ l2+22 +••• + («- l)2 _ (ra- l)ra(2ra - 1) ra3 ra3 ra3 ra3 6ra3 Zde jsme použili vztah l2 + 22 + • • • + k2 = ŕ(ŕ+1)6(2ŕ+1). Pak ,• í1 2 («-1)'\ ,. hm —- + —- H--------1---------— = hm n^oo \nó nó nó / n^oo (ra - \)n{2n - 1) hm 6ra3 (ra-l)(2ra-l) 2ra2 + --- 2 1 = hm---------------------= hm--------— = - = - . n^oo Sn2 n^oo ßn2 6 3 Všimněte si, že není nutné ani roznásobovat výraz (ra — l)(2ra — 1), protože k určení limity nám stačí znát koeficient u nejvyšší mocniny, tj. u ra2. Á l2 32 (2ra-l)2^ /r i (in — iľ\ Příklad 1.6. Určete lim (— + — + ••• +-------^— ) Řešení Je — + — + ••• + raJ raJ (2ra - l)2 l2 + 32 + • • • + (2ra - l)2 1.2 Příklady 7 Zde jsme postaveni před problém, jak vyjádřit součet l2 + 32 + • • • + (2« — l)2. Jsme-li však schopni vyjádřit součet kvadrátů k po sobě jdoucích pnrozených čísel (viz formuli v Příkladě 1.5), nemuselo by být tak obtížné vyjádřit součet kvadrátů k po sobě jdoucích lichých čísel. k k I2 + 32 + ... + (2k - l)2 = ^2(2i - l)2 = ^](4;'2 - M + 1) = ! = 1 !=1 _1y^-2 ^ ^ k(k + \)(2k + \) k(k + 1) k(2k - l)(2k + 1) i = l i=l i=l Takováto formule asi stěží stojí za zapamatování. Myslím však, zeje vhodné si zapamatovat postup, kterým jsme ji odvodili. Je zcela zřejmé, že stejným způsobem můžeme odvodit formuli pro součet (a + V)2 + (2a + b)2 H-------h (ka + b)2. Pokračujeme-li v našem příkladu, dostáváme l2 + 32 + --- + (2ra- l)2 n(2n-l)(2/1 + 1) (2n - l)(2n + 1) a tedy lim —- + —- H-------1-------------- = lim 3«3 3«2 (2« - 1)2\ (2« - 1)(2« + 1) 3«2 1,. /2/I-1 2n + l\ 1 ,. 2n-l ,. 2/1 + 1 12 2 4 i /z« — i z« + i\ i - lim I--------•--------) = - lir 3 n^co V n n ' 3 «^ lim --------• lim co n n-^co n 3 113 (2«-l)(2«+l) Čtenář nechť si povšimne, že k výpočtu lim i " n2"+ -'jsme pro změnu použili maličko jiný postup, než k výpočtu lim (" i)(2" *) (ačkoli jsme mohli použít postup úplně stejný). n—^co \n—\ Příklad 1.7. Určete lim 1 2 3 (-I)""1« ------+-------+ -—----- n n n n (Pozor! Výraz je v absolutní hodnotě.) Řešení Je 1 2 3 (-I)""1« _ 1-2 + 3------+ (_i)»-in n n n n n Záh se tedy, že jediný problém spočívá ve vhodném vyjádření součtu 1 -2 + 3------+ (-l)""1«. Je vidět, že tento součet můžeme chápat j ako rozdíl dvou aritmetických posloupností (obě maj í diferenci 2) — totiž konečné aritmetické posloupnosti 1 + 3 + 5 + • • • a konečné aritmetické posloupnosti 2 + 4 + + 6 + • • •. Obě posloupnosti jistě umíme sečíst, i když musíme trochu dávat pozor, které budou jejich poslední členy. Je to však postup zbytečně složitý. Stačí si uvědomit, že v případě n lichého máme 1 _ 2 + 3 - • • • + (-I)""1« = 1 + (-2 + 3) + • • • + (-(« - 1) + n) = ^yl = 1 + I a v případě n sudého 1-2 + 3------+ (-I)""1« = (1 - 2) + (3 - 4) + ••• + ((/!- 1) - n) = -^ . 8 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Obě formule bychom jistě rádi zapsali jednotným způsobem. S prvním sčítancem potíž není — stačí napsat V ; 2 Nyní musíme napsat určitý výraz tak, aby pro n liché byl roven ^ a pro n sudé nule. I to však lze udělat poměrně snadno. Stačí napsat Celkem tedy dostáváme 1 _ 2 + 3 - • • • + (-I)""1« = ("D""1^ + [1 + ("D""1]^ = ("D""1^ [2« + 1 + ("D""1], a tudíž Platí 1 2 3 n n n + (-I)""1« 2 + l + (-l) «-i lim ( n->oo \ 2 + l + (-l) «-1 )=2+ lim -[l + (-l)"-1]=2. / n^oo n Poslední limita je rovna nule podle Věty 1.5. Je totiž lim - = 0 a posloupnost 1 + (— 1)" l je omezená. n—^oo n Odtud podle Věty 1.3 plyne lim - n—)-oo 4 2 + l + (-l) «-1 Příklad 1.8. Určete lim n—roo 1 1 1 1-2 2-3 «(« + 1) Řešení. U tohoto příkladu je nutno si uvědomit, že jÁ 1 /l 1\ /l 1 *(*+!) -= I - ITT • Potom 1 1 1-2 2-3 «(« + 1) VI 2/ V2 3 Uvažovaná limita je tedy rovna 1 (i-2) + (2-3) + --- + t-^r) n+ 1 lim (l----------) = 1. n^co \ « + 1 / Příklad 1.9. Určete lim 1 1 + ■ »-►ooLl.2-3 2-3-4 + ••• + 1 n{n + \){n + 2)1 Řešení. Tato limita je velmi podobná limitě předchozí. Zkusíme proto postupovat velmi podobným způsobem. 1 1 1 k(k+l)(k + 2) k(k+l) k+ 2 \k k+lJ k+ 2 1 1 k(k + 2) (ifc+l)(ifc + 2) 1 1 1 2k ~ k + 1 + 2{k + 2) ' 2\k k + 2/ \k+l k + 2/ 1.2 Příklady 9 S použitím tohoto výsledku dostáváme " 1 y— ^ k(k + ■ i»i_» _^_ i» i Jfc(ifc+l)(Jfc + 2) 2^ k ^k + l 2^k + 2 K—í K—í K—í 1 " l__yv]_ ly^l_l I lAl 1 Al 1 2^k ^ k + 2^ k~ 2 + 4 + 2^ k 2 ^k n + l k=\ k=2 k=3 k=3 k=3 + lAl i i + i i i 2f^k 2{n + 1) 2(« + 2) 4 n + l 2(« + 1) 2(« + 2) Odtud 1 1 + lim «^co L 1 • 2 • 3 2-3-4 lim n-^oo + ••• + + 1 n (n + 1)0 +2) J 1 1 + 4 n+l 20 + 1) 2(ra + 2) 1 4 Existuje ovšem ještě jiný způsob, jak vypočíst danou limitu, který se ideově asi ještě více než právě použitý postup podobá způsobu výpočtu limity v předchozím příkladě. Platí totiž 1 U- 1 1 k(k + l)(k + 2) 2\k(k+l) (k + l)(k + 2) Užijeme-li tento vztah, dostáváme )■ E k=i 1 1 1 iE 1 £0 + 1)0 + 2) 2f^k(k + l) 2^(k + l)(k + 2) k=\ n+l iE- k=\ 1 1 2fr'jfc(jfc + l) 2^k(k+l) 2 1-2 2 (« + 1)0 + 2) k=l k=2 Tedy limV n->oo ^—' 1 lim rl k=\ 1 k{k + l){k + 2) n^oolA 20+ 1)0+ 2) J 4 1 Příklad 1.10. Určete /1 i 3 zra — l \ i^(2 + 2^ + 2^ + '" + ^H Řešení. Toto je již limita zcela odlišná od všech předchozích. Díváme-li se chvíli na výraz v závorce, může nás napadnout představit si ho v následující formě: 1 2Í + 1 1 1 + 22 + 22 + 2~2 + 11111 + 2?+2?+2?+2?+2? + + 2«+' 2" (2«-l)-krát 10 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Silně nápadné je, že ve sloupcích dostáváme samé (konečné) geometrické řady. Zkusíme tedy sčítat nikoli po řádcích, nýbrž po sloupcích. Dostáváme ii___L i i____L_ i i____1__ i i_I _|______2f_ i 9 _ 2"-' _| _|_ O _ 2n~k+1 , _|_ 9 _ 1____2 2'l-l22' 1 - I + " ' + 2* ' 1 - I +'"+2"'l-I' 2 2 2 2 Uvědomme si zde určitý technický moment. Obecný (k-tý) člen nás navádí k tomu, jak napsat poslední člen, kde k = n. Kdybychom poslední člen napsali prostě jako 2 • ^ , nebylo by možné v úpravách dále pokračovat. My ale máme i / i \ i / k _ + ¥-ž\ ~ 2»-*+1/ + '" + 2^2 V ~ 2/ = = (1-é) + (1 + h--- + 2^)-(W-1)2^ = 1 / 1 \ 1 = 1------+2(1-------r ) - (n - 1)------ = 2" V 2"-1 / 2"-1 1 ra + 1 11 n 1 ra = 3-------------'— =3-------------------------=3-3-------2- — . 9« 9//—i 9n 2n—^ 2n—i 2n 2n Tedy /135 2« — 1 \ 1 n lim ( - + — + — H-------1----------) = 3 - lim------2 lim — = 3. k Upozorňujeme, že poslední limita je speciálním případem limity lim ^ uvedené v tabulce. n->oo a <23-\ 33 - 1 «3-l\ Příklad 1.11. Určete lim f n->oo \ 23 + 1 33 + 1 «3 + L Řešení. Na první pohled nás může napadnout, že výrazy v čitatelích a jmenovatelích je možno rozložit. Je třeba ovšem prozkoumat, zda nám tyto rozklady budou k něčemu dobré. Dostáváme 23 - 1 33 - 1 (n - l)3 - 1 «3 - 1 23 + 1 33 + 1 (n - l)3 + 1 «3 + 1 (2-l)(22 + 2 + l) (3 - 1)(33 +3 + 1) ~ (2 + 1)(22 - 2 + 1) ' (3 + 1)(32 - 3 + 1) X " ' ((»-!)-!)((» -I)2 + (»-!) + !) (n-\)(n2 + n+\) X ((« - 1) + 1)((« - l)2 - (n - 1) + 1) ' (n + 1)(«2 - « + 1) ~ _ 1 • 2 • • • (n - 2)(n - 1) 22 + 2 + 1 32 + 3 + 1 3 • 4-• •/!(/! + 1) 22 - 2 + i' 32 - 3 + 1 X '" (n - l)2 + (« - 1) + 1 «2 + « + l V" __________________________________ . ________________ (n - l)2 - (n - 1) + 1 ra2 - n + 1 ' V prvním zlomku posledního výrazu se mnoho činitelů zkrátí. Další zlomky ovšem vypadají mnohem méně sympaticky. Zkusíme-li si však vyčíslit hodnoty čitatelů a jmenovatelů několika prvních z nich, nejspíše dospějeme k následujícímu vztahu: (k + l)2 - (k + 1) + 1 = k2 + 2k + 1 - k - 1 + 1 = k2 + k + 1. 1.2 Příklady 11 Tento vztah nám ukazuje, že čitatel zlomku (samozřejmě druhým zlomkem počínaje) se zkrátí se jmenovatelem zlomku následujícího (pokud za ním ovšem ten následující je). Uvažovaný výraz se pak podstatně zjednoduší a bude mít tvar 1-2 n2 + n + 1 2 n2 + n + 1 «(« + 1) 22-2+l 3 n2 + n Takto dostáváme 1 33 - 1 n3-l\ 2 n2 + n + l lim /2j - 1 3j - 1 nj-l\ lim —------• —------• • • —------ «^co\23 + l 33 + 1 «3 + l/ 23 + 1 33 + 1 «3 + l/ 3«^co n2 + n 3' A A k3 + 6k2 + 1 Ik + 5 Příklad 1.12. Určete lim V------------------------ „^coZ_^ (it + 3)! Řešení. Zde můžeme být na značných rozpacích, jak postupovat. Ale v čitateli je mnohočlen a mnohočleny často umíme rozložit. Jistě by bylo příjemné, kdyby se některý činitel v rozkladu mnohočlenu k3 + 6k2 + llk + 5 zkrátil proti (k + 1)!. Zkusíme tedy např. zda k + 1 nedělí uvažovaný mnohočlen. Bohužel však zjistíme, že v bodě k = — 1 má mnohočlen hodnotu — 1. Tedy k+l náš mnohočlen nedělí, ale z našeho výsledku plyne, že k + 1 dělí mnohočlen (k3 + 6k2 + llk + 5) + 1. Odtud je pak již jen krůček ke zjištění, že k3 + 6k2 + llk + 5 = (k + l)(k + 2)(k + 3) - 1. S použitím tohoto výsledku dostáváme A ifc3 + 6k2 + llk + 5 _"(k+ l)(jfc + 2){k + 3) - 1 _ y (FT3J! =y (FTšJ! = n , n , n , n+3 , = T--T—í— = T--T- = ^ k\ ^(k + 3)! t— k\ t— k\ k=\ k=\ v ' k=\ k=4 _ 1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! (« + !)! (ra + 2)! (n + 3)! Odtud A ik3 + 6k2 + 1 Ik + 5 lim > -------------------------- n^oo^ (k + 3)\ 1111 1 1 lim-----1------1----------- «^coVl! 2! 3! (n (n + 1)! (n + 2)! (n + 3)!/ _ 1 1 1 _ 5 ~T!+2! + 3!~3' A Příklad 1.13. Posloupnost {an}^L, je dána předpisem a\ = 0, an =-----------pro n > 2. Určete lim an. Řešení. V tomto příkladě je posloupnost definována pomocí rekurentní formule. Vypočteme-li první tři členy, zjistíme, že 3 15 a.\ = 0 < a? = — < a-t = — . 4 16 Posloupnost {a„ }^LX, alespoň na svém začátku, působí dojmem, že by mohla být rostoucí a shora omezená číslem 1. Zkusme tedy tato tvrzení dokázat. Zřejmě a\ < a2. Předpokládejme tedy, že ak < ak+\ pro 12 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti všechna k = 1, 2,....« — 1. Upravujeme-li nerovnost, jejíž platnost ovšem chceme teprve dokázat, dostáváme an < an+\, Cln — \ -\- 3 Clfi -\- 3 ----------- < -------- , 4 4 a„_i + 3 < an + 3, přičemž poslední nerovnost podle indukčního předpokladu platí. Předchozí postup ovšem nemůžeme považovat za důkaz, spíše za návod k důkazu. Formální důkaz by postupoval přesně opačným směrem. Podle indukčního předpokladu platí a„_i < an. Odtud úpravami dostáváme a„_i + 3 < an + 3, cin—\ -\- 3 cin -\- 3 ------------ < ---------, 4 4 an < an+\ ■ Tím je tedy dokázáno, že posloupnost {an}'^=l je rostoucí. Ukážeme nyní, že an < 1 pro všechna n e N. Zřejmě a.\ < 1. Předpokládejme, že ak < 1 pro k = 1,2, ...,« — 1. Potom a„_i +3 1+3 a„ =----------- < ------- = 1, 4 4 čímž je omezenost posloupnosti {an}c£=l dokázána. Podle Věty 1.9 má tedy posloupnost {an}'^=l vlastní limitu. Označíme lim an = a. V rovnosti an = a"~!+ pišme n + 1 místo n. Dostáváme rovnost an + 3 an+\ = T , která platí pro všechna héN. Přechodem k limitě na obou stranách této rovnosti dostáváme ,. ,. a„ + 3 lim a„+i = lim ----------, n-^oo n—ťoo 4 a = -(lim a„ +3), 4 n->oo 1 a = — (a + 3), 4V a = 1. Připomeňme, že lim a„+i = anazákladě Věty 1.12, protože posloupnost {an+i}°°=l je vybranáz {an}c"=l. n—^oo Ukázali jsme tedy, že lim an = \. n—^oo Ukažme si ale ještě, než ukončíme tento příklad, jak jinak můžeme dospět k přesvědčení, že číslo 1 by mohlo být horní hranicí posloupnosti {an}'^=l. Postup, který ukážeme, se nám může hodit i leckdy jindy. K přesvědčení, že an < 1 pro každé n e N jsme původně dospěli odhadem. Pak jsme ovšem tuto nerovnost dokázali. Můžeme však postupovat i takto: Chceme-li dokázat, že an < c pro všechna n e N (c ovšem zatím neznáme), bylo by dobré, kdybychom byli schopni dokázat, že an < c implikuje a„+i < c: an + 3 c + 3 an+\ = —-— < —-— • 1.2 Příklady 13 Kdyby nyní platilo ^j- = c, byl by náš důkaz hotov. Z této rovnice ale ihned dostáváme c = 1. Můžeme ale nabídnout ještě další postup pro určení kandidáta na horní hranici posloupnosti {a«}^. V okamžiku, kdy už víme, že {an }™=l je rostoucí, můžeme uvažovat následujícím způsobem: Horní hranicí rostoucí konvergentní posloupnosti je její limita. Má-li posloupnost {an}'^=l vlastní limitu, označme lim an = a. Přechodem k limitě v rovnosti an+\ = ^j^- úplně stejně jako výše zjistíme, že a = 1. Takže, má-li posloupnost {an}'^=l vůbec horní hranici, potom číslo a = 1 je její horní hranicí. Á Příklad 1.14. Posloupnost {an}^L, je dána předpisem a\ > 0, an+\ = -la„ -\-----). Určete lim an. 2 V an / n^oo Řešení. Jedná se opět o posloupnost definovanou rekurentně, takže zkusíme stejný postup jako v Příkladě 1.13. Je-li posloupnost {an}'^=l vůbec monotónní, zjistíme téměř jistě druh monotónnosti srovnáním prvních dvou členů a\ a a2 = \{a\ + j-). (Nic nezjistíme pouze v případě a\ = a2.) Vyšetřujme tedy např. nerovnost a.\ < a.2, a.\ < 1 a\ < a\ ax < 1, 2 V a.\ / ' 2ai < a\ -\-----, a\ < 1. a.\ Zdá se tedy, že pro a.\ < 1 by naše posloupnost mohla být neklesající a pro a\ > 1 nerostoucí. Každopádně je ale jasné, že pro a\ = 1 je konstantní, přesněji an = 1 pro všechna n e N. Předchozí domněnka o monotónnosti je však velký omyl, který nám ukazuje, jak opatrní při matematických soudech musíme být. Jak ale zjistíme, že se jedná o omyl, a jak nalezneme správnou odpověď? Pokračujeme-li v našich předchozích úvahách, je přirozené snažit se v případě a\ < 1 dokázat, že naše posloupnost je neklesající. Vyšetřujme proto nerovnost an < an+\: an < an+\ > 1/ 1 a„ <-(a„-\-----), 2 v a„/ Lín 1 Lín an < 1. (Při násobení číslem an nedojde k obrácení nerovnosti, neboťjak se snadno dokáže indukcí {an}'^=l je posloupnost s kladnými členy.) Jistě by tedy bylo dobré dokázat, že an < 1 pro všechna neN. Pro « > 2 zde dostáváme a„ < 1, 1/ 1 \ - a„_!+----- < 1, 2 V a„_i/ 1 a„_i H--------< 2, «n-l a^_i + 1 < 2a„_i, (a„_! - l)2 < 0, 14 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti odkud ihned vidíme, že an < 1 neplatí ani pro n = 2. Navíc opakováním předchozího postupu snadno zjistíme, že pro libovolné n > 2 platí dokonce obrácená nerovnost an > 1. Přitom ale klidně může být a\ < 1. To ale znamená, že neplatí an < an+\, ale naopak že platí an > a„+i, ovšem pouze pro n > 2. Naše posloupnost tedy je, od druhého členu počínaje, vždy nerostoucí, bez ohledu na velikost kladného čí sla ai. Existuj e tedy lim a„. (Čtenář nechť si rozmyslí, že posloupnost, která j e monotónní až n—roo od určitého členu, musí mít nutně limitu zrovna tak jako posloupnost monotónní. Snadno to dokážeme např. užitím Vět 1.9 a 1.11.) Vzhledem k tomu, že an > 1 pro n > 2, je tato limita vlastní a různá od nuly. Označíme lim an = a. Přechodem k limitě v rovnosti a„+i = \(an + —) dostáváme a = \(a+la) a a = 1. Ukázali jsme tedy, že lim an = 1. Na této úloze stojí za povšimnutí následující skutečnost: Celá posloupnost je určena jejím prvním členem a\. Změníme-li její první člen (s výjimkou případu a[ = ■£-), změní se všechny její členy. Přitom ale ke změně limity nedojde. Á , an(a„ + 3c) Příklad 1.15. Posloupnost {a„}^\ bud dána předpisem a\ > 0, an+\ =--------------(c > Oje pevné). 3a£ + c Určete lim an. n—roo Řešení. Je to opět posloupnost zadaná rekurentně, takže by to pro nás mohla být rutinní úloha. Prozkoumejme třeba nerovnost an < a„+i: an < an+\ > an(al + 3c) 3a£+c 3aj + c < aj + 3c, a„ < Ve. (Úpravy jsou zcela v pořádku, neboť jak se snadno dokáže indukcí, {an}'^=l je posloupnost s kladnými členy.) Podstatný je tedy vztah členů posloupnosti k číslu */č. O členu a\ nevíme nic. Uvažme tedy nejprve případ a\ < */č a zkusme zjistit, zda potom platí an < *Jc pro všechna n > 1: a-n < Vč, a«-i(a^_i+3c) -------5------------ < Ve, 3an-l + C a-l-i + 3a„_ic < 3a^_j Vč+ c+/č, a\_x - 3a2n_^ + 3a„_!(V^)2 - (V^)3 < 0, (a„_! - Vč)3 < 0, a„_i - Ve < 0, ««-i < Ve- 1.2 Příklady 15 Důkaz indukcí bude tedy fungovat. Úplně stejně v případě, že a\ > *Jc dokážeme, že an > *Jc pro všechna neN. Užitím postupu uvedeného na začátku příkladu dostáváme nyní (opět indukcí): Je-li a.\ < Vč, je ian}T=i neklesající. Je-li a\ > *Jč, je {an}™=l nerostoucí. Přitom v prvním (druhém) případě je {an}'^=l omezená shora (zdola) číslem */č. V každém případě tedy existuje vlastní lim an, kterou označíme písmenem a. Měli bychom nyní vzít rovnost an+\ = ®\ a limitovat ji. Zde však musíme postupovat trochu opatrně. Na pravé straně nemůžeme totiž jen tak napsat a (a2+3c) lim [a„(a2+3c)] unyu ~r JLJ n—^oo lim ---------------- =------------------------, n^co 3a^ + c lim [3a2 + c] n—roo protože např. nevíme, zda náhodou není lim [3a^ + c] = 0. (To ovšem může nastat pouze v případě n—^oo c = 0. Tento případ však není vyloučen.) Nyní ukážeme, že pro c > 0 je a > 0, což použijeme k výpočtu a. V případě a\ < *Jc je a limitou neklesající posloupnosti kladných čísel, a tudíž a > 0. V případě a\ > *Jc je an > c, takže rovněž a > y/č > 0. Tedy v případě, že c > 0, limitováním rovnosti an+\ = a" ^ dostáváme a(a2 + 3c) a =---------------, 3a2 + c 3a -\- c = a + 3c, a tedy lim an = *J~č. V případě, že c = 0, má rovnost a„+i = a* V c tvar an+\ = ^f. Odtud limitováním lal+c """ "-"+1 ~~ 3 a a = — 3 a = 0. a tedy lim a„ = VÖ. V každém případě tedy můžeme napsat lim a„ = */č. A n—^oo n—^oo Příklad 1.16. Posloupnost {an}^Lx je dána předpisem a\ > 0, an+\ = -\lan -\—-), kde c > 0 je 3 V aLn) konstanta. Určete lim an. n—^oo Řešení. Zde je na první pohled obtížné odhadnout, zda je posloupnost monotónní a o který druh monotónnosti by se mělo jednat. Zkusme tedy vyšetřit, zda posloupnost není náhodou neklesající: an < a«+l; a„ < -(2a„ + -3 V c 3a„ < 2a„ + — , c a„ < ô2" ' *i< C, a„ < Vc\ 16 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Kdybychom tedy věděli, že an < Ifč pro všechna přirozená n, snadno bychom pak dokázali, že posloupnost je neklesající. Zkušený čtenář si ovšem všimne, že nemůžeme nikdy dokázat platnost nerovnosti an < Ifč pro všechna přirozená n, protože o členu a\ víme pouze, zeje kladný, přičemž může být klidně třeba větší než Ifč. Zdálo by se tedy, že je vše ztraceno a že nemůžeme dokázat vůbec nic. Ale nebývá dobré se vzdávat předčasně. Musíme se sice v našich požadavcích trochu uskrovnit, ale třeba to nebude tak zlé. Co když nerovnost an < Ifč platí jen pro n > než nějaké přirozené číslo! Půjde-li tato nerovnost dokázat, zřejmě to půjde indukcí. Předpokládejme tedy an < Ifč a zkusme indukční krok: ««+i < Vč, -f2a„ + 4) < >/č, 3 V alf c n 2a„ + — < 3Vc, al ■lf?.\2 ^On_ /V£V Ifč V a„ / 3. (Zde úprava chtěla trochu technické šikovnosti.) Položme u = -§j=. Podle indukčního předpokladu je u < 1. Upravujeme-li dále, dostáváme 2„ + (i)2<3. 2u3 - 3u2 + 1 < 0. Zde snadno uhádneme jeden kořen — totiž kořen 1. Potom už výraz vlevo snadno rozložíme. l(u + -\u- l)2 <0, což skoro nikdy neplatí (pouze pro u = 1), neboť se snadno vidí, že vždy je an > 0 a tudíž i u > 0. Tato další katastrofa by nás měla přivést k zoufalství. Ale zde pozor! Zřejmě platí vždy 1 (M + -)(M-1)2>0. 2 Indukční krok by tedy fungoval, kdybychom dokazovali nerovnost obrácenou, totiž an > \fč\ Přitom, jak snadno zjistíme, k důkazu nerovnosti an+\ > Ifč indukční předpoklad an > Ifč vůbec nepotřebujeme! Odtud tedy plyne, že an > Ifč pro všechna n > 2. Potom ovšem nebude platit an < an+\, nýbrž přesně obráceně an > an+\, ale až pro n > 2. Všechno vzniklo proto, že jsme na začátku špatně odhadli typ monotónnosti. Taková věc se nám přirozeně může stát častěji, je ovšem třeba se naučit, podle objevujících se známek ve výpočtech, rozpoznat náš omyl. Každopádně jsme tedy ukázali, že posloupnost {an}f=l je od druhého členu počínaje nerostoucí a má tedy limitu lim an = a. Zároveň pro n > 2 platí 0 < an < a2, n—^oo takže tato limita je vlastní. Limitním přechodem v rovnosti an+\ = \(2an + -%) dostáváme J v an > C 3a = 2a H—- , a2 c a = —, aL a3 = c, a = Ifč. 1.2 Příklady 17 Nášpostupjesprávnýjenvpřípadě, žea 7^ 0. Připadá = 0 však nemůže nastat. Kdyby totiž a = 0, potom by byla lim -% = +00 a limitováním výše uvedené rekurentní formule by vyšlo 0 = +00, což je spor. Je tedy lim an = l/č. Opět si zde můžeme povšimnout, že limita této rekurentně zadané posloupnosti vůbec nezáleží na velikosti prvního členu a.\. Podotkněme ještě, že tato rekurentní posloupnost se v numerické matematice používá k přibližnému výpočtu l/č. A Příklad 1.17. Nechťal = 1, ak+l = (k + l)(ak + " í 1 \ 1). Vypočtěte lim \\ H----- "->°°jfc=i\ ak> Řešení. Součin \\ (l + ^-) lze upravit asi jen jedním způsobem, a to na tvar a.\ + 1 a.2 + 1 «3 + 1 an + 1 d\ fl-2 ®3 &n Zde by nás mělo napadnout použít vztah ak+i = (k + \){ak + 1). Dostaneme tak a\ + 1 a.2 + 1 «3 + 1 an + 1 a„ + 1 ai 2(ai + 1) 3(í?2 + 1) «0«-i + 1) «! Poslední výraz je alespoň podstatně jednodušší než výraz na začátku. Čemu však je rovna jeho limita, není ani nyní jasné. Zde asi nezbývá nic jiného, než an prostě vypočíst: an = ra(a„_i + 1) = n + «a„_i = n + n(n — l)(a„_2 + 1) = = «+«(«— 1) +«(« — l)a„_2 = = ...=«+«(«- 1) H-------h «(« - 1) • • • 2 + «(« - 1) • • • 2 • 1. Odtud a„ + 1 1 1 11 _1J1_ = 1+ - + ••• +----------+----------+ —. n\ 1! 0-2)! 0-1)! n\ Celkem potom dostáváme limf](l + l) = lim^Ü= lim f"! = e k=\ (viz tabulku limit v přípravné části). ŕ=l K k=0 /3 5 17 22* + l\ Příklad 1.18. Určete hm (- • - • —-------;—) . Řešení. Limitovaný výraz zapíšeme ve tvaru 22° + l 22' + l 222 + l 22" + l Čitatele upravíme následujícím způsobem: (22 +1)(22 +1)(22 +l)---(22 +1) = = (22° - 1)(22° + 1)(22' + 1)(222 + 1) • • • (22* + 1) = (22' - 1)(22' + 1)(222 + 1) • • • (22* + 1) = = (222 - 1)(222 + !)••• (22* + 1) = • • • = 22"+1 - 1. 18 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Jakým způsobem by měl čtenář tuto úpravu objevit, to mu autor není schopen vysvětlit. Chce to chvíli času a trochu zkušenosti v počítání. S úlohou podobného charakteru se konečně ještě setkáme. Jmenovatele ovšem upravíme snadno: 22° • 22' • 7}2 ■ ■ ■ 22" = 21+2l+22+'"+2" = 22"^-'1"1 = 22"+1_1 Takto dostáváme /3 5 17 22" + K 22"+1-l / 1 x lim ( - • - • — • • •----—— = hm ------,----- = lim 2--------,------ = 2. „^co\2 4 16 22 / n^oo 22"+1-1 n^coV 22*+ - 1 / A Příklad 1.19. Určete lim (y/l ■ X/l ■ X/l ■ ■ ■ 2l/2). n->oo Řešení. Limitovaný výraz napíšeme ve tvaru l-4r I ,4, -4, ,i „i+1+...+ i A-r^- ,1,1 2* • 2^ • 2? • • • 2^ = 2I+5í+'"+55r = 22 lA = 2 ■ —r- = 2 • 2^ 2l/2 ' Tedy hm(V2.V2.V2...2V2)=2.-----l— = 2, n->°° lim V2 n—^oo neboť lim 1s/l = 1. Poslední rovnost dostaneme použitím lim Xfa = 1 (viz tabulka limit) a Věty 1.12. n—> oo n—> oo a Příklad 1.20. Určtete lim (V« + 1 - V«). n—)-oo Řešení. Zde postupujeme následujícím způsobem: lim (V^TT - V^) = lim -^----------^ ,. (V« + 1 - V«)(V« + 1 + V«) ,. n + l-n lim-------------,------------------ = hm n^°° v« + i + V« n^°° V« +1 + v« = lim ,--------= 0. n^°° v« + 1 + v« Podobně lze postupovat i ve složitějších situacích analogického typu. S touto technikou se konečně ještě setkáme u limit funkcí. Á (n+l)2 1 Příklad 1.21. Určtete lim £ — . Řešení. Zde ra-tý člen uvažované posloupnosti má tvar 1 1 1 1.2 Příklady 19 přičemž počet sčítanců v tomto vyjádření je (« + l)2 — n2 + 1. Nejmenší z nich je , l a největší V("+!)2 4ť • Platí tedy ((n + l)2 - «2 + 1) , oo nP~T~ Řešení. U limit tohoto typuje dosti pravděpodobné, že bude možné je vypočíst pomocí Stolzovy věty. Položíme-li totiž an = \P +2" + ---+np, b„=np+\ vidíme, že máme vypočíst lim f1. Posloupnost {bn}°°=l je evidentně rostoucí, takže stačí vyšetřit existenci n—^oo n limity lim jt^t1. Tento postup se zdá výhodný, neboť výraz a„+i — an = {n + \)p je podstatně jednodušší než výraz pro an. Toto bychom obecně měli mít na mysli, rozhoduj eme-li se pro použití Stolzovy věty. Předem by nám prostě mělo být jasné, že buďa„+i — an bude jednodušší než an nebo bn+\ — bn bude jednodušší než bn. Většinou tomu tak je v případě, že máme určit limitu zlomku, v jehož čitateli nebo jmenovateli se vyskytuje „dlouhý součet". Je to právě náš případ. an+1 -an (n + 1)^ lim ------------ = lim n^oo bn+\ — bn n^oo (ji + 1)^+1 — Tlp+l np + členy nižšího stupně 1 lim Příklad 1.23. Určete lim n-^oo (p + \)nP + členy nižšího stupně p + 1 lp+3p--- + (2n- \)p lP+i Řešení. Příklad je zcela stejného typu jako příklad předchozí. Opět použijeme Stolzovu větu. ,. (2(n + 1) - l)p .. (2n + \)p lim---------------------— = lim 2pnp 4- členy nižšího stupně 2P lim n^oo (p 4- \)nP + členy nižšího stupně p + 1 20 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti / V + 2P + • • • + np n \ Příklad 1.24. Určete hm (--------------------------------------). n^oo \ np p + 1 / Řešení. Zde se sice vyskytuje „dlouhý součet", ale limitovaný výraz nemá tvar zlomku. Zlomek z něj ale zřejmě půjde udělat. Zda ovšem použití Stolzovy věty povede k výsledku lze stěží předem odhadnout. Musí se to prostě vyzkoušet. Je ľ ( + H--------v _ -H—\ - n^oo V np p + 1/ (p + l)(lp +2P + ■■■+ nP) - nP+1 lim n^oo (p -\- \)nP (p + 1)(« + 1)' - O + l)p+1 + nP+1 lim ---------------------------------------------------= n^oo (p+ \)[{n + \)p -nP] (p + \)nP + (p+ \)pnP~l - nP+1 - (p + \)nP - ^^nP'1 + ra^+1 + lim -------------------------------------------------------------------------------------------------- n^oo (p+ \)[nP + pnP~l -nP H-----] (p+i)p„p-i 2 nP-l+--- 1 = lim n^oo (p -\- \)pnp l + • • • 2 1 + V2 +V3H------Ylft, Příklad 1.25. Určete lim ----------------------------------- n->oo ft Řešení. Opět typický příklad na použití Stolzovy věty. lim -----------------------------------= lim n-* n n-* (n + 1) — n Zde musíme využít lim l/ň =1 — viz tabulku limit. c" Příklad 1.26. Určete lim —, c > 1 reálné. n->oo fi Řešení. I tuto limitu, ač na to nevypadá, lze velmi snadno vypočíst s použitím Stolzovy věty. Zde an = c", bn = n a ihned je vidět, že velmi jednoduchý bude výraz bn+i — bn. Dostáváme „n c"~*~^ __ Cn lim — = lim --------------= lim n^oo n n^oo (n + 1) — n n-* cn+l(l- -.)] říkl cn ad 1.27. Určete lim —, c > 0 reálné. n->oo fi\ (<4) +00 • ( 1-----) = +00. c> Řešení. Tuto limitu máme uvedenu v tabulce. Lze ji určit různými způsoby. My zde ukážeme jeden, který se zakládá na určení rekurentního vztahu. Označíme-li an = ^ , potom platí c«+i c c" c -%+l (ra + 1)! ra + 1 ra! ra + 1 du . Zřejmě -^— < 1 právě tehdy, když n > c — 1. Odtud je ihned vidět, že od indexu ra0 = [c] (zde [ ] značí celou část) je posloupnost {an}'^=l klesající. Protože se jedná o posloupnost kladných čísel (tedy zdola 1.2 Příklady 21 omezenou číslem 0), má tato posloupnost vlastní limitu. Označíme lim an = a. Limitováním vztahu an+\ = -^h • an dostáváme a = ( lim -------) • a, \n^oo n + 1 / a = 0. Tedy lim —^ = 0. Tento postup stojí za povšimnutí. Posloupnost sice nebyla zadána rekurentně, přesto nám však nalezení rekurentního vztahu umožnilo poměrně snadno určit její limitu. Á Tímto jsme ukončili příklady na určování limit posloupností. Celý zbytek této kapitoly bude věnován určování limes inferior a limes superior posloupností. Budeme zde používat značení bn — inf{a„, a„+i, a„+2, ...}, c„ = sup{a„, a„+i, a„+2, ... }• Potom lim inf a„ = lim b„ a lim sup a„ = lim c„. n—roo n—ťoo n—roo n—roo Příklad 1.28. Buďa„ = 1-----. Určete lim inf a„ a lim sup a„. Řešení. Zde je situace velmi triviální. Zkoumaná posloupnost má totiž limitu, přesněji lim (l — -) = 1. Potom ovšem podle Věty 1.14 platí lim inf (1-----) = lim sup (1-----) = lim (1-----) = 1. n-^ca \ n) n-*oo \ nf n^oo\ n) A Příklad 1.29. Buďa„ = (-1)""1 (2 + - ). Určete lim inf an a lim sup a„. Řešení. Zde máme 2 + 1 pro n liché, — (2 + 1) pro n sudé. Dostáváme tak pro n liché b„ = inf n sudé bn = inf 2 + l,-(2 + ^-), n V n + 1/ / 3\ 3 -(2 + -),2 +-------, V «/ «+ 1 -(' + ;)■ (Povšimněme si, že v tomto příkladě, jakož i v některých následujících příkladech, platí, že množina {a„, a„+i, a„+2, ...} má nejen infimum a supremum, ale dokonce též minimum a maximum. To nám právě umožňuje snadné určení členů bn a c„. Posloupnost {bn}™=l má tedy tvar (2 + |). -(2 + |), -(2 + |). -(2 + |), 22 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Vcelku snadno je vidět, že lim bn bude rovna —2. Tuto skutečnost je možno dokázat přímo z definice limity. My však zde zvolíme jiný postup. Označme {dn}c£=l posloupnost 2, 2, 4, 4, 6, 6, ... . Zřejmě d„>n a protože lim n = +oo, je na základě Věty 1.7 též lim dn = +oo. Nyní už snadno dostáváme liminf an = lim b„ = — lim (2 -\-----) = —2. K^-CO K^-CO n—ťOG\ dn / Podobně dostáváme pro n liché c„ = sup n sudé cn = sup Posloupnost {c«}^! má tedy tvar 3 3 2 + -,-(2 + ——), « ra + 1 3 3 _(2 + -),2 + ——, ra ra + 1 :2 + 2 n 2 + n + 1 3 3 3 3 3 2 + -,2 + -,2 +-,2 + -,2 + -, ... . ľ 3 3 5 5 Odtud úvahami stejného typu jako výše dospějeme k výsledku lim sup a„ = lim c„ = 2. n->oo n_>0° Na závěr ještě podotkněme, že liminf an ^ lim sup an, a tudíž podle Věty 1.14 posloupnost {an}'^=l nemá n^oo n->oo limitu. Á (_!)« i + (_i)« Příklad 1.30. Buďa„ =----------1----------------. Určete liminfa« a lim sup a„. H 2 n^oo „ .„ Řešení. Zde je Dostáváme pro n liché b„ = inf n sudé fc„ = inf- Posloupnost {bn}'^=l má tedy tvar —£ pro « liché, i + 1 pro « sudé. 1 1 1 + 1, 1 n n + 1 1 1 - + 1,-L« n + 1 « + 2 « + 2 « + 3 1 1 + 1 + 1, « + 3' « + 1 11111 ~T'~3'~3'~5'~5'"' ' Označme {dn}c£=l posloupnost 1, 3, 3, 5, 5, ... . Platí dn > n, odkud lim dn = +oo; máme tedy lim inf an = lim bn ■ lim — = 0. Dále dostáváme pro n liché c„ = sup n sudé cn = sup 1 1 + 1, 1 1 n n + 1 1 1 - + 1,----------,-------- L« n + 1 n + 2 « + 2 « + 3 1 1 + 1, + 1, 1 « + 3' « + 1 1 - + 1. n + 1, 1.2 Příklady 23 Posloupnost {cn}™=l má tvar 1111 —h 1, —hl, —hl, —hl,---, 2244 odkud lim sup an = lim c„ = 1. Á «—> co n~* °° Příklad 1.31. Buďa„ = 1 +2(-l)"+1 + 3(-l)^2^n-1\ Určete liminfa„ alimsupa„. Řešení. Tato úloha je velice jednoduchá. Je pouze třeba členy a„ vhodněji popsat. Hodnota (—1)"+1 zřejmě závisí pouze na tom, zda n je liché či sudé, tj. závisí na zbytkové třídě čísla n modulo 2. S hodnotou (— l)^/2)^"-1) je to už nepatrně složitější. Tato hodnota, jak snadno zjistíme jednoduchým experimentováním, závisí na zbytkové třídě čísla n modulo 4. Vcelkuje tedy vhodné vycházet ze zbytkové třídy čísla n modulo 4. Dostáváme takto pro n(n — 1) n = 4k-3 —-------- = (2k-2)(4k-3), (_1)"+1 = 1 C_1\(l/2)n(n-l) _ j n(n — 1) n=4k-2 —-------- = (2ifc-l)(4Jfc-3), (_1)"+1 = _1 C_1\(l/2)n(n-l) _ _j n = 4ifc-l ~ = (2fc- l)(4fc- 1), (_1)"+1 = 1 C_1\(l/2)n(n-l) _ _j n = Ak n n~ ) = 2&(4Ä: - 1), «+i _ i r n(i/2)«(«-i) Odtud vychází (_i)"+1 = _i c_jyi/^;«^-i; _ i ««-3 = 1+2 + 3 = 6, ««-2 = 1 - 2 - 3 = -4, a4í._! = 1+2 — 3 = 0, a4í: = 1—2 + 3 = 2. Množina {a„, a„+i, a„+2, ...} je tedy v každém případě čtyřprvková a obsahuje čísla —4, 0, 2, 6. Posloupnosti {bn}'^=l, {cn}™=l jsou tedy obě konstantní, přičemž bn = —4, c„ = 6. Je tedy liminfa« = lim bn = —4, n—* co //^- cx) lim sup a„ = lim c„ = 6. «^co "^^ Á Příklad 1.32. Buďa„ = (—1)"«. Určete liminf a„ a lim sup an. n—* n—roo Řešení. Zde máme I—n pro « liché, n pro « sudé. 24 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Zřejmě b2k-\ < a2k-\ = — (2k— 1). Odtud lim b2k-i = —oo. Posloupnost {bn}™=l má však vždy limitu a k^oo posloupnost {ŕ2í:-i}£i je zní vybraná. Podle Věty 1.12 je tedy lim bn = lim b2k-\ n—^oo k^oo tedy lim inf a„ = lim bn = — oo. Podobně c2k > a2i: = 2k, odkud lim c„ = +oc. Tedy lim sup a„ = lim c„ = +oc. »-> co "^* °° Příklad 1.33. Buďa„ = w^-1^. Určete liminfa« alimsupa«. Řešení. Zde je - pro n liché, « pro « sudé. -oo. Dostáváme Dále dostáváme pro n liché bn = inf n sudé fc„ = inf 1 1 -,n + 1,-------, L« « + 2 1 n +2, « + 1 Zřejmě je bn >0 pro všechna « e N, odkud lim fe„ > 0. Navíc bez ohledu na to, zda je n sudé či liché, n—^oo platí bn < - , odkud zase lim bn < lim - = 0. Z obou předchozích výsledků tedy plyne lim inf an = lim bn = 0. Podobně máme pro « liché c„ = sup « sudé c„ = sup Opět, ať j e n sudé či liché, platí cn>n. Tedy 1 1 -,n + 1,-------, L« « + 2 1 «,-------, n + 2, «+ 1 lim sup a„ = lim c„ = +oo. Čtenář si může povšimnout, že v tomto příkladě, narozdíl od většiny předchozích, jsme neurčili explicitně, čemuje rovno bn respektive c„ (přesto, že by to nebylo obtížné), nýbrž jsme použili vhodných odhadů. Á nsi Příklad 1.34. Buď an = 1 + n sin —. Určete lim inf an a lim sup an. 2 n^oo „^^ Řešení. Chování členu an zde zřejmě nejvíc ovlivňuje výraz sin ^. Argumentem u funkce sinus jsou celistvé násobky čísla f. Odtud je jasné, že an bude podstatně záviset na zbytkové třídě čísla n modulo 4. 1.2 Příklady 25 Dostáváme takto pro . (4fc-3)jt . / «: = 4k. — 3 sin-------------- = sin I — 2 . (4fc-3)jt . / 3 x « = 4k — 3 sin--------------= sin —jr 2 V 2 / . (4fc-2)jt « = 4k — 2 sin--------------= 0, 2 . (4k - l)jt . « = 4k — 1 sin--------------= sin 2 4k% n = 4k sin------= 0. 2 (-ŕ) Snadno nyní vidíme, že členy an s n = 4k — 2 nebo 4k (tedy sudé členy) jsou pro nás zcela nezajímavé. Platí však b4k-i < 04*-i = 1 - (4* - 1) = -4A: + 2, odkud lim b^-\ = — oo, a tudíž též lim bn = —oo. Tedy ifc—>oo n—^oo liminfa« = lim b„ = —oo. Podobně c4í:_3 > a4£_3 = 1 + (4k — 3) = 4k — 2, a tudíž lim sup a„ = lim c„ = +oo. , n nu Příklad 1.35. Bud an = 1 H----------cos —. Určete lim iní an a lim sup a„. TI + 1 2 «^co „^co Řešení. Zde opět, jako v předchozím příkladě, musíme brát v úvahu zbytkovou třídu čísla n modulo 4. Dostáváme pro (4fc - 3)jt / 3 x « = 4k — 3 cos--------------= cos —TT = 0, 2 V 2 / (4fc-2)jt « = 4k — 2 cos--------------= cos(—Tt) = — 1, 2 (4k - l)jr / 1 \ « = 4k — 1 cos--------------= cos —TT = 0, 2 V 2 / 4k% n = 4k cos —— = cos 0=1. Odtud «4ifc-3 — 1) 4k-2 O-Ak-2 = 1 4k- 1 «4ifc-l = 1) 4& a4r = 1 + 4& + 1 Přímé určení posloupností {bn}™=l a {c„}'^=l by bylo možné, ale poněkud zdlouhavé. Užijeme jiný postup. Z předchozího vyjádření vidíme ihned, že 0 < an < 2. Odtud ihned dostáváme 0 < bn < 2 a 0 < c„ < 2. Použijeme-li první z těchto nerovností a vyjádření pro a4£_2, máme 4&-2 0 < bAk_2 < «4r-2 = 1 - TI------7 • 4k — 1 26 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Odtud limitním přechodem na základě Věty 1.8 dostáváme lim b4k_2 = 0. Tedy k^oo Podobně dává lim c4k = 2, a tudíž k^oo lim inf a„ = lim bn = 0. 4k 1 -\------------= a4k < Cit < 2 4k+l - lim sup a„ = lim c„ = 2. n nit Příklad 1.36. Buďa„ =-------sin2 —. Určete lim inf a„ a lim sup a„. n + 1 4 n^oo „^^ Řešení. Ve srovnání s předchozími dvěma příklady by se mohlo zdát, že bude třeba rozlišit osm případů v závislosti na zbytkové třídě čísla n modulo 8. Nesmíme ovšem přehlédnout, že funkce sin2 x je periodická s periodou tt ! Budou tedy opět stačit čtyři případy. 7 (4& — 3) tt 7 / 3 \ 1 n = 4k — 3 sin --------------- = sin [ku------Tt) = - , 4 V 4/2 7 (4k — 2) tt 7 / 1 \ n = 4k — 2 sin -------------- = sin [ksi-----jt) = 1, 4 V 2 / / 1 \ 1 \kn--n) = -, 2(4k-\)n . 2/ 1 \ 1 --------= sin [kil-----Tt = - 4 V 4 / 2 n = 4k — 1 sin -------------- = sin n = 4k sin ------= sin kit = 0. 4 Chování samotné posloupnosti {-^h}%Li je jasné. Dále je vcelku zřejmé z předchozích výpočtů, že při násobení kvadrátem sinu nejdůležitější úlohu budou hrát indexy n = 4k a n = 4k — 2, kdy kvadrát sinu je nejmenší (totiž 0) a největší (totiž 1). Zdá se tedy, že limes inferior bude 0 a limes superior 1. Formálně můžeme postupovat následujícím způsobem: 0 < sin2 — < 1 4 ~ n 9 «Tt n 0 <-------sin7 — <------- < 1. ~ n+\ 4 ~ n+1 Odtud plyne liminfa« > 0 a lim sup an < 1. Dále b4k < a4k = 0, odkud lim bn < 0. S využitím nerovnosti lim inf an > 0 tak dostáváme n-^oo lim inf a„ = 0. Podobně s použitím nerovnosti c4k_2 > a-ik-2 = ttEt dostáváme nejprve nerovnost lim c4k_2 > 1, a konečně ve spojení s nerovností lim sup an < 1 dostáváme lim sup a„ = 1. 1.2 Příklady 27 , n — 1 2« TT Příklad 1.37. Bud an =-------cos-----. Určete liminf an a lim sup an. n + 1 3 n^oo „^^ Řešení. Zde jsou argumentem funkce kosinus přirozené násobky čísla |jt. Odtud již by nám mělo být jasné (díky tomu, že kosinus má periodu 2jr), že stačí uvažovat zbytkové třídy čísla n modulo 3. Dostáváme pro 2(3fc-2)jt / 4 n 1 n = 3k — 2 cos--------------= cos [2kn-----jr =—, 3 V 3 / 2 2(3fc-l)jt / 2 x 1 « = 3k — 1 cos--------------= cos 2/:jr-----jr =—, 3 V 3/2 2 • 3kn n = 3k cos —-— = cos 2k% = 1. Protože lim ^—j = 1, na základě předchozích výsledků lze opět očekávat, že limes inferior bude — \ a limes superior bude 1. Budeme postupovat následujícím způsobem. Z předchozích výsledků ihned plynou nerovnosti 1 2«jr — < cos----- < 1, 2 ~ 3 1 n — 1 n — 1 2«jt n — 1 ----•------- < -------cos----- < -------, 2 « + 1 n + \ 3 ra + 1 odkud Podobně liminfan > liminf I — •-------) = lim I — •-------) n^oo n^oo \ 2 « + 1/ n^oo \ 2 « + 1/ n — 1 n — 1 hm sup an < hm sup-------= hm ------- = 1. «^co «^co n + 1 n^co n + 1 DálejeŔ3ŕ_2 < a3ŕ_2 = -^-Ifrf , a tudíž lim bn < -± Podobně c3k > a3r = §-I atudíž lim c„ > 1. Dáme-li všechny tyto nerovnosti dohromady, dostáváme ihned lim inf a„ = — , lim sup a„ = 1. n^oo 2 „^oo 1\» (1 \" WJt 1 H— ) (—1)" + sin — . Určete liminfa„ alimsupa«. n> 4 n^oo „^^ Řešení. U výrazu (l + ^) nám uvažování o zbytkových třídách čísla n zjevně není nic platné. Výraz (—1)" závisí na zbytkové třídě čísla n modulo 2 a výraz sin ^f- závisí na zbytkové třídě čísla n modulo 8. 28 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Asi nám tedy nezbývá než uvažovat zbytkové třídy modulo 8. Dostáváme pro n = %k-l n = U-6 n = U-5 n = U-4 n = U-3 n = U-2 n = 8Jfc - 1 n = U sin sin sin sin sin sin srn- 8& - 7)jr 4 8& - 6)jr sin (-7r 4 8& - 5)jr 4 8ifc-4)jt sin í 5 ---------TT V 4 4 8& - 3)jr 4 8ifc-2)jt 4 • í 6 sin —jr V 4 5 4 • ( 4 sin —jr V 4 3 4' 2 sin 4 %k - l)jr • ŕ 2 sin —jr V 4 sin (-J- V2 2 ' 1, V2 0, V2 " 2 ' ■1, V2 " 2 ' 8&TT sin------= 0. Zde by se na první pohled mohlo zdát, že hodnotu lim inf an nejvíce ovlivní členy s n = &k — 2, protože n—roo zde sin ^ = —1. To ovšem není pravda, protože toto n je sudé, a první člen (l + i)"(—1)" tedy bude poměrně velký. Bude tedy lépe se poohlédnout po lichém n, pro které sin ^ bude nejmenší (mezi všemi lichými n). To je buď« = 8£ — 3 nebo n = %k — \. Budeme postupovat takto: 1\» (l \" rajt 1 + -) (-l)" + sin— >0, n) 4 n liché 1\» 1\» V2 (1 + .)(_ir + sm_>_(1 + .) Pro každé « tedy platí 1\» 1\» V2 (l+)(_l).+m >_(!+) odkud lim inf a„ > lim inf ■('♦;)■-# lim ■('♦;)"- f V2 Dále Odtud &8ifc-l < O-ik-l lim fe„ = lim bik-i < lim / 1 \8*-i V2 V1 + 8ifc-l/ 1 + M-V 2 1 x8ř-l ^2' 8ifc- 1 N.8K-1 y / V2 Ve spojení s předchozí nerovností tak dostáváme V2 lim inf an = — e---------. n^oo 2 1.2 Příklady 29 Vzpomeneme-li si, že {(l + £) } je rostoucí posloupnost konvergující k číslu e, dostáváme ihned odhad (l + I)Vir + sin^ «8,-6 = (1 + ^^j + 1, což dává 1 \Sk lim cn = lim c8r_6 > lim «—> co ř^> co fc—> co (1 \ SK—o l + iF37) +1 e+1. Vychází tedy lim sup an = e + 1. Příklad 1.39. Buďa„ = Vl+2"(-1)\ Určete liminf a„ a lim sup an. n—^co n^oo Řešení. Zde má zřejmě smysl rozlišovat n sudé a liché. Dostáváme pro n liché a„ = 71 H----- " >' 2" « sudé an = V1 + 2". Výraz ľ/l + ^ je blízký VT = 1 a odtud získáme podezření, že limes inferior asi bude 1. Podobně výraz = V1 + 2" je blízký X/ŤF = 2, což nasvědčuje tomu, že limes superior asi bude 2. Pokusme se to dokázat s použitím vhodných odhadů. Pro každé n zřejmě platí an > 1, odkud liminf an > 1. Dále b2k-i < fla-i = lk-\jl + w-T < a_V2. Odtud lim b2k-i < lim 2k \Jl = 1, takže liminfa« = 1. (Platí lim 2k'V2 = 1 — viz tabulka limit.) Dále platí c2k > a2k = Vl + 22r > V221 = 2, odkud lim sup an > 2. Trochu více musíme přemýšlet, jak získat obrácenou nerovnost. Bude ale určitě technicky výhodné získat pod odmocninou opět nějakou mocninu. Zřejmě platí pro n hché ,71 + — < nV¥+i = r 2" ~ «sudé VTT2"< ^2^ = 2^, . n+l takže an <2 ľ pro každé n. Odtud 2+1 „2+1 lim sup an < lim sup 2 » = lim 2 » =2. Tak vychází lim sup a„ = 2. 30 Limita posloupnosti, limes inferior a limes superior posloupnosti Příklad 1.40. Buďa„ = cos" 2« TT Určete lim inf a„ a lim sup a„. Řešení. Argumentem kosinu jsou přirozené násobky čísla |jt. Zároveň však znaménko členu an závisí na čísle n v exponentu. Je tedy též třeba uvažovat zbytkovou třídu čísla n modulo 2. Celkem tedy musíme uvažovat zbytkovou třídu čísla n modulo 6. Dostáváme pro n = 6k — 5 cos n = 6k - 4 n = 6k — 3 n = 6k — 2 n = 6k — 1 n = 6k 3 / K6ifc-5 /K6ÍÍ-5 V 2/ = V2/ 6k_42(6k-4)n 6k_4 cos--------------= cos (4kit - -Jt) 1\6i:-4 /l\6ifc-4 (4) =® i) cos«-32(6fe-3)JI= a_3 3 V 3 6k_2 2(6k -2)jr 6r_2 cos--------------= cos '(«"-I-) K6Í-2 /KSt-2 H) =() COS 6ifc- i) .! 2(6*: - l)jr cos6ŕ"1(4Ä:jr--jr) cos 6* V 2/ 2 • 6kn K6i-1 K6t-1 () „6* cos°Mibt = 1. Zde je téměř ihned jasné, že lim sup an = 1. Můžeme postupovat následujícím způsobem: cos" ^j- < 1 a odtud lim sup an < 1. Dále pak c6í: > a6k = \, což dává lim sup a„ > 1. Máme tedy n—roo n—roo lim sup a„ = 1. Určení limes inferior je zde očividně obtížnější. Zkoumáme-li však členy a„ mající záporné znaménko, zjistíme, že pro každé n platí cos"—>-(-). Odtud lim inf cos"----- > lim inf n—roo 3 n—roo C-Y =lim -C-Y =-IimfI)" = 0 \2/ n^co \2/ n^oo\2' 6k-l Na druhé straně ovšem ^-í < «e/t-i = — (5) , odkud lim fen lim ^6í:-l ■(ír 0. Takto dostáváme lim inf a„ = 0. 31 Kapitola 2 Limita funkce 2.1. Přípravná tvrzení Věta 2.1. Buďte f(x) a g(x) dvě funkce definované na redukovaném okolí bodu a. (Může být a = —oo nebo a = +oc. Potom je ovšem třeba výraz redukované okolí nahradit výrazem okolí.) Buď c číslo. Nechť existují vlastní limity lim f{x), lim g{x). Potom existují rovněž limity lim(/(jc) + g(x)), lim(c/(x)), x—*a x—*a x—*a x—*a lim (f(x)g(x)), přičemž platí x—*a a) lim (/O) +g(x)) = lim f(x) + lim g(x), x—>a x—>a x—>a b) lim(c/(x)) = c • lim f(x), x—^a x—^a c) lim(f(x)g(x)) = lim f(x) ■ lim g(x). x—>a x—>a x—>a Je-li navíc lim g(x) ^ 0, potom existuje též lim ^f\ , přičemž platí f(x) lim fW r\ i- J V'V x—*a d) lim-------=------------. x^a g(x) lim g(x) x—*a Zcela analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. Poznámka. Podobně jako u posloupností, funkcí zde rozumíme komplexní funkci reálné proměnné a číslem rozumíme komplexní číslo. Většinou budeme ovšem stejně počítat limity reálných funkcí reálné proměnné. Limity komplexních funkcí většinou pak už spočítáme snadno podle Věty 2.13 (viz dále). Věta 2.2. Buďte f{x) a g{x) dvě reálné funkce definované na redukovaném okolí bodu a (může být opět a = —oo nebo a = +oo.) a buď c reálné číslo. Potom platí a) Je-li funkce f{x) zdola omezená na nějakém redukovaném okolí bodu a a lim g(x) = +oc, potom x—*a lim (/O) +g(x)) = +00. x—>a b) Je-li funkce f(x) shora omezená na nějakém redukovaném okolí bodu a a lim g{x) = —oo, potom x—^a lim (/O) + g{x)) = -oo. x—>a c) Je-li c > 0 a lim f(x) = +00, potom lim(c/(x) = +00. x—^a x—^a Je-li c > 0 a lim f(x) = —00, potom lim(c/(x) = —00. x—^a x—^a Je-li c < 0 a lim f(x) = +00, potom lim(c/(x) = —00. x—^a x—^a Je-li c < 0 a lim f(x) = —00, potom lim(c/(x) = +00. 32 Limita funkce d) Existuje-li číslo d > O tak, že f (x) > d na nějakém redukovaném okolí bodu a aje-li lim g (x) = +00, x—*a potom lim(/(x)g(x)) = +00. x—*a Existuje-li číslo d > O tak, že f (x) > dna nějakém redukovaném okolí bodu a aje-li lim g (x) = — 00, x—*a potom lim(/(x)g(x)) = —00. x—*a Existuje-li číslo d < O tak, že f (x) < d na nějakém redukovaném okolí bodu a aje-li lim g (x) = +00, x—*a potom lim(/(x)g(x)) = —00. x—*a Existuje-li číslo d < O tak, že f (x) < dna nějakém redukovaném okolí bodu a aje-li lim g (x) = — 00, x—*a potom lim(/(x)g(x)) = +00. x—*a Analogická tvrzeníplatí též pro jednostranné limity. (V bodech a) a b) potom stačí předpokládat omezenost funkce f (x) na příslušném jednostranném redukovaném okolí. Podobně v bodě d) nerovnosti typu d > O stačí předpokládat na příslušném jednostranném redukovaném okolí.) Poznámka k Větě 2.2. ad a) Je-li lim f (x) vlastní nebo +00, potom je f (x) na nějakém redukovaném okolí bodu a zdola x—*a omezená, adb) Je-li lim f (x) vlastní nebo —00, potom je f (x) na nějakém redukovaném okolí bodu a shora x—^a omezená. Z Věty 2.1 a), Věty 2.2 a) a b) a z předchozích poznámek ad a) a ad b) snadno plyne, že existují-li limity lim f (x) a lim g{x) (případně nevlastní) a jejich součet má smysl, potom existuje též lim (/(x) + g{x)) x—^a x—^a x—^a a platí lim (f (x) + g (x)) = lim f (x) + lim g (x). x—*a x—*a x—*a Toto tvrzení je v případě reálných funkcí zobecněním Věty 2.1 a). ad d) Je-li lim f(x) < 0 (> 0), potom existuje číslo d < 0 (> 0) takové, že f(x) < d (> d) na nějakém x—^a redukovaném okolí bodu a. Výsledky bodu d) můžeme potom formulovat daleko jednodušeji: Je-li lim f(x) 7^ 0 (případně nevlastní) a platí-li předpoklady bodu d) Věty 2.2 týkající se funkce x—^a g(x), potom platí lim(/(x)g(x)) = lim f(x) ■ lim g(x) x—*a x—*a x—*a při použití obvyklého rozšíření operace násobení reálných čísel. Toto tvrzení můžeme chápat jako rozšíření Věty 2.1c). Předchozí věta se zdánlivě nezmiňuje o výpočtu lim ^- Uvědomme si však, že podíl ^y můžeme chápat též jako součin f(x) ■ —---. Analogické poznámky lze vyslovit též pro jednostranný případ. Věta 2.3. Nechť existuje lim f{x). Potom existuje též lim |/(x)| a platí x—*a x—*a lim|/(x)| = |lim/(x)|. x—*a x—*a Analogické tvrzeníplatí též pro jednostranné limity. Poznámka k Větě 2.3. Věta 2.3 platí i v případě reálné funkce s nevlastní limitou, když definujeme I + 001 = +00, I — 001 = +00. 2.1 Přípravna tvrzení 33 Věta 2.4. Buď f {x) funkce definovaná na redukovaném okolí bodu a. Potom lim f(x) = O právě tehdy x—*a když lim |/(x)| =0. Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. x—*a Věta 2.5. Buďte f{x) a g{x) dvě funkce definované na redukovaném okolí bodu a. Nechť lim f{x) = O x—*a a nechť g{x) je omezená na nějakém redukovaném okolí bodu a. Potom lim f{x)g{x) = 0. Analogické x—*a tvrzení platí též pro jednostranné limity. (Omezenost funkce g{x) potom stačí předpokládat na příslušném jednostranném redukovaném okolí.) Věta 2.6. Buďte f{x) a g{x) dvě reálné funkce definované na nějakém redukovaném okolí bodu a. Nechť na nějakém redukovaném okolí bodu a platí f{x) < g{x) a nechť existují lim f{x) a lim g{x). Potom x—*a x—*a platí lim f(x) < limg(x). x—*a x—*a Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. Poznámka k Větě 2.6. Může se stát, že f{x) < g{x) na nějakém redukovaném okolí bodu a, ale přesto lim f{x) = lim g{x). Jednoduchým příkladem jsou např. funkce f{x) = 0, g{x) = x2 na nějakém x—^a x—^a redukovaném okolí bodu a = 0. Věta 2.7. Buďte f{x) a g{x) dvě reálné funkce definované na nějakém redukovaném okolí bodu a. Nechť na nějakém redukovaném okolí bodu a platí f'(x) < g{x). Nechťlim f{x) = +oo (respektive lim g{x) = x—*a x—*a = —oo). Potom limita lim g{x) (respektive lim f{x)) existuje a platí lim g{x) = +oo (respektive x—*a x—*a x—*a lim f{x) = —oo. Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. x—*a Věta 2.8. Buďte f{x), g{x), h{x) tři reálné funkce definované na nějakém redukovaném okolí bodu a. Nechť na nějakém redukovaném okolí bodu a platí f{x) < g{x) < h{x). Nechť existují lim f{x) a x—*a lim/z(x) (případně nevlastní) a platí lim f{x) = lim/z(x). Potom existuje též lim g{x) a rovná se x—*a x—*a x—*a x—*a společné hodnotě lim f{x) = lim h{x). Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. x—*a x—*a Věta 2.9. Buď f{x) monotónní reálná funkce definovaná na intervalu (a, b) (může být a = — oo nebo b = +00. Potom existují lim f{x)a lim /'(x) (případně nevlastní). x^a+ x-*b — Je-li f{x) neklesající (nerostoucí), potom lim f{x)je vlastní právě tehdy když f'(x) je zdola (shora) x—*a-\- omezená. Je-li f{x) neklesající (nerostoucí), potom lim f{x)je vlastníprávě tehdy, když f'(x) je shora (zdola) x—rb— omezená. Věta 2.10. Buď f{x) funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a a buď g{x) funkce definovaná na nějakém okolí (nikoli redukovaném) bodu a a spojitá v bodě a. Nechť f{x) = g{x) na nějakém redukovaném okolí bodu a. Potom existuje lim f{x) a platí lim f{x) = g (a). Speciálně, x—*a x—*a je-li f{x) definována na nějakém okolí (nikoli redukovaném) bodu a a je spojitá v bodě a, potom lim f{x) = f (a). Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. (Spojitost je potom nutno nahradit x—*a jednostrannou spojitostí.) Věta 2.11. Buď f (x) funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a. Potom lim f{x) existuje x—*a právě tehdy, když existují lim f{x)a lim f {x) a platí lim f{x)= lim f (x). Existuje-li lim f (x), x—*a— x—*a-\- x—*a— x—*a-\- x—*a potom platí lim f {x) = lim f{x)= lim /'(x). (Věta se týká i nevlastních limit.) x—*a x—*a— x—*a-\- 34 Limita funkce Veta 2.12. Buď g (x) reálná funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a (může být a = = — oo nebo a = +00). Nechť existuje vlastní lim g (x) = A. Nechť existuje redukované okolí bodu a, x—*a na němž g (x) 7^ A. Nechť f (y) je funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu A a nechť existuje lim f (y). (Vpřípadě reálné funkce f (y) tato limita může být též nevlastní.) Potom existuje též y-*A lim f (g (x)) a platí lim/(£(*)) = lim/(y). x—*a y—^A Poznámka k Větě 2.12. Jedná se o tzv. větu o limitě složené funkce, kterou budeme při výpočtu limit velmi často používat. Tuto větu lze vyslovit též pro jednostranné limity. Její jednostrannou versi (nebo spíše verse, protože je jich víc) zde nebudeme uvádět. Nejsou však nikterak zvlášť složité a můžeme čtenáři jen doporučit, aby se je pokusil zformulovat a dokázat. Věta 2.13. Buď f{x) funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a. Pro každé x z tohoto okolí pišme f{x) = f\(x) +i /2OC), kde f\(x) respektive f2Íx)je reálná respektive imaginární část čísla f{x). Potom existuje vlastní lim f{x) právě tehdy, když existují vlastní lim f\{x) a vlastní lim fi(x)- x—*a x—*a x—*a V případě, že existuje vlastní lim f{x) (nebo ekvivalentně existují vlastní lim f\ (x) a vlastní lim f2(x)), x—*a x—*a x—*a platí lim /O) = lim /i(x) + i lim f2(x). x—*a x—*a x—*a Věta 2.14 (Heineho). Buď f(x) funkce definovaná na nějakém redukovaném okolí bodu a. Potom lim f(x) existuje právě tehdy, když pro každou reálnou posloupnost {x„}°°_, s vlastnostmi x—)-a 1) x„ leží v definičním oboru funkce f{x) pro každé n, 2) x„ ^ a pro každé n, 3) lim x„ = a n—ťoo existuje lim f(x„). Existuje-li lim f{x), potom pro každou reálnou posloupnost s vlastnostmi 1), 2), 3) n—roo x—*a platí lim /(>„) = lim /O). n—^00 x—*a Analogické tvrzení platí též pro jednostranné limity. Na závěr uvedeme hodnoty některých často se vyskytujících se limit. sin x 1 — cos x 1 lim------ = 1, lim-----------= - , x-*0 X x-*0 X 2 e-l ln(l+x) lim-------- = 1, lim-----------= 1, x-*0 X x-*0 X are sin x arctgx lim---------= 1, lim-------- = 1, x-*0 X x-*0 X lim — = +00, lim — =0, n přirozené, n přirozené, 2.2 Příklady 35 In x hm ----- =0, x^+co x" x" lim -j— : x^+co In x n přirozené, n přirozené lim x" hi x = 0, x^0+ n přirozené. + 00, x 2 2.2. Příklady Příklad 2.1. Určete lim x^o 2x2 — x — 1 Řešení. Zde je situace velmi jednoduchá. Racionální funkce ^Z^-i Je definována na okolí bodu 0 o poloměru \ a je v bodě 0 spojitá. (Připomeňme, že racionální funkce je spojitá v každém bodě, ve kterém je definována.) Podle druhé části Věty 2.10 je tedy lim x2 Příklad 2.2. Určete lim x^o 2x2 - x - 1 2 • O2 - 0 - 1 x2-l -►i 2x2 - x - ľ Řešení. Limitovaná funkce je zde úplně stejnájako v předchozím příkladě, ale přestoje zde situace zcela odlišná, neboť limitu nyní počítáme v bodě a = 1. V tomto bodě ovšem racionální funkce ^-x-i nen* vůbec definována. Právě toto bude pro nás zcela obvyklá situace. Naštěstí ale číslo 1 je nejen kořenem polynomu ve jmenovateli, ale rovněž kořenem polynomu v čitateli. V uvažovaném výrazu bude tedy možno krátit. Dostáváme x2-l (x-l)(x + l) x + 1 2x2 - x - 1 2(x - l)(x + \) 2(x + \) ' Použijeme nyní Větu 2.10. Funkce f{x) = ^Ix-i Je definována na redukovaném okolí bodu a = 1 o poloměru (např.) 1. Funkce g{x) = x+1, je definována na okolí (nikoli redukovaném) bodu a = 1 o poloměru 1 a je v bodě a = 1 spojitá. Podle Věty 2.10 tedy platí x2 - 1 1 + 1 2 lim —--------------= —-------r- = - . x^i2x2-x-l 2(1 +i) 3 A Poznámka. Způsobem, jaký jsme právě ukázali, budeme Větu 2.10 velmi často používat. Budeme to většinou dělat zcela bez dalších komentářů. Je proto nezbytně potřeba, aby si čtenář na její používání zvykl a aby si během výpočtu uvědomoval, kde tuto větu používá. Příklad 2.3. Určete lim-----------------------------------. x^0 X Řešení. Zde je nula kořenem jak polynomu v čitateli, tak i polynomu ve jmenovateli. Polynom v čitateli je zřejmě potřeba nejprve upravit: (l+x)(l+2x)(l +3x) - 1 = 6x3 + llx2 + 6x. 36 Limita funkce Tedy (l+x)(l+2x)(l + 3x)-l 2 -----------------------------------= 6x + llx + 6. x Odtud na základě Věty 2.10 r (l+x)(l+2x)(l+3x)-l 2 lim-----------------------------------= 6-0+11-0 + 6 = 6. x^O X Připomeňme, že jsme použili Větu 2.10 tak, že jsme položili f( . (l+x)(l+2x)(l + 3x)-l .2|11 t, f(x) =-----------------------------------, g(x) = 6x + llx + 6. x ▲ (1+x)5 -(l+5x) Příklad 2.4. Určete lim----------------;--------. x^O X2 + X5 Řešení. Zde (1 + x)5 - (1 + 5x) = 1 + 5x + 10x2 + 10x3 + 5x4 + x5 - 1 - 5x = x5 + 5x4 + 10x3 + 10x2, (1 + x)5 - (1 + 5x) _ x3 + 5x2 + lOx + 10 x2+x5 ~~ 1+x3 Podle Věty 2.10 je tedy ,. (l+x)5-(l + 5x) 03 + 5-02 + 10-0 + 10 lim------------------------ =------------------------------= 10. x-,0 X2 + X5 1 + O3 Povšimněme si ještě, že při úpravě výrazu (1 + x)5 — (1 + 5x) jsme koeficienty u třetí až páté mocniny proměnné x vůbec nemuseli počítat. Stačilo si uvědomit, že po vydělení x2 se z nich stanou první až třetí mocniny, které stejně dají nulu po dosazení x = 0. Často si tak můžeme zjednodušit počítání a ušetřit čas. A (1+mx)" -(l+«x)m Příklad 2.5. Určete lim-----------------------------, m a n jsou přirozená čísla. x^0 X2 Řešeni. Nulaje opět kořenem jak polynomu v čitateli, tak i polynomu ve jmenovateli. Čitatele upravíme: (1 + mx)" — (1 + nx)m = 1 + mnx + í I (mi)2 + členy stupně > 2 — fm\ 7 1 — mnx — I l(rax) — členy stupně > 2 = 7 7 m(m — 1) 7 7 m x---------------n x + členy stupně > 2 n (n — ľ) 22 m (m — 1) j 2 2 1 7 —mn(n — m)x + členy stupně > 2. Dostáváme tak (1+mx)" -(l+«x)m 1 -----------------------------= -mn(n — m) + členy stupně > 0. x1 2 Odtud potom na základě Věty 2.10 dostáváme ,. (1+mx)" -(l+«x)m 1 hm----------------------------- = — mn(n — m). x-^o x2 2 2.2 Příklady 37 x2 - 5x + 6 Příklad 2.6. Určete lim x^2 x2 - 8x + 15 ' Řešení. Na tomto příkladě bychom se měli naučit nehledat zbytečně složitost tam, kde není. Číslo 2 je sice kořenem polynomu v čitateli, ale není kořenem polynomu ve jmenovateli! Racionální funkce xiZlx+i5 Je tei x4 - 4x + 3 Řešení. Zde je číslo 1 kořenem jak polynomu v čitateli, tak i polynomu ve jmenovateli. Jak je známo z algebry, musí v tomto případě polynom x — 1 dělit polynom x3 — 3x + 2. Dostáváme (x3 - 3x + 2) : (x - 1) = x2 + x - 2, -x3 + x2 x2 -3x + 2 -x2 + x -2x + 2 2x — 2 a tedy x3 — 3x + 2 = (x — l)(x2 + x — 2). Podobně najdeme x4 — 4x + 3 = (x — l)(x3 + x2 + x — 3). Odtud x3 — 3x + 2 x2 + x — 2 x4 - 4x + 3 ~ x3 + x2 + x - 3 ' Vidíme ovšem ihned, že číslo 1 je kořenem jak polynomu x2 + x — 2 v čitateli, tak i polynomu x3 + x2 + + x — 3 ve jmenovateli. Dělení polynomem x — 1 musíme tedy opakovat. Oba polynomy jsou ovšem natolik jednoduché, že se je můžeme pokusit rozložit přímo: x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - l)[(x + 1) + 1] = (x - l)(x + 2), x3 + x2 + x - 3 = (x3 - 1) + (x2 - 1) + (x - 1) = = (x - l)[(x2 + x + 1) + (x + 1) + 1] = (x - l)(x2 + 2x + 3). Tedy x3 — 3x + 2 x2+x —2 x + 2 x4 - 4x + 3 x3 + x2 + x - 3 x2 + 2x + 3 Podle Věty 2.10 dostáváme x3 - 3x + 2 1+2 1 lim —------------= —--------------= - . X-+1 x4 - 4x + 3 l2 + 2 • 1 + 3 2 Při použití Věty 2.10 klademe x3 — 3x + 2 x+2 x4 - 4x + 3 x2 + 2x + 3 38 Limita funkce x4 - 3x + 2 Příklad 2.8. Určete hm —r------------. x-^i x5 — 4x + 3 Řešení. Číslo 1 je zde kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Protože oba polynomy jsou poměrně jednoduché, nebudeme je dělit x — 1, ale zkusíme je rozložit přímo. (Dělení bývá sice někdy delší, ale zato má tu výhodu, že se jedná o úkon zcela mechanický.) Je: x4 - 3x + 2 = (x x5 - 4x + 3 = (x- l)[x(xJ + x7+x + l) -3] = (x- l)(x4+xJ+x7+x-3), takže Tedy Příklad 2.9. Určete lim x-,2 x4 - 8x2 + 16 Řešení. Číslo 2 je kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Oba polynomy jsou poměrně jednoduché a proto se opět pokusíme o přímý rozklad, čímž se vyhneme dělení polynomem x — 2. Je: x3 - 2x2 - 4x + 8 = x2(x - 2) - 4(x - 2) = (x - 2)(x2 - 4) = (x - 2)2(x + 2), x4 - 8x2 + 16 = (x2 - 4)2 = (x - 2)2(x + 2)2, x3 - 2x2 - 4x + 8 _ (x - 2)2(x + 2) _ 1 x4 - 8x2 + 16 ~ (x - 2)2(x + 2)2 ~ x + 2' Tedy ,. x3-2x2-4x + 8 1 1 lim = (x4 - x) + (-2x + 2) : = x(x3 ■ -1)- -2(x- "I): :- l)[x(x2+x + l) -2] = (x- l)(x3 ;+x2 + x- -2), = (x5 - x) + (-3x + 3) : = x(x ■ -1)- -3(x- -1): ; - l)[x(x3 +x2 +x + 1) -3] = (x- l)(x4 + x3 + x2+x x4 - 3x + 2 X3 +x2 + x- -2 x5 - 4x + 3 x4 + x3 + x2 + x-3 ,._ x4 - 3x + 2 13 + 12 + 1- -2 = 1. *->i x5 - 4x + 3 l4 + l3 + 12 + 1-3 x3 - 2x2 - 4x + 8 Příklad 2.10. Určete lim x-,2 x4 - 8x2 + 16 2 + 2 4 x3 — 2x — 1 *->-i- *->--1 x5 — 2x — 1 Řešení. (Zde se jedná o limitu v bodě — 1. Limita v bodě 1 zleva by se zapsala lim .) Číslo —1 je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli. Pokusíme se o rozklad: x3 - 2x - 1 = (x3 - x) + (-x - 1) = x(x2 - 1) - (x + 1) = = (x + l)[x(x - 1) - 1] = (x + l)(x2 - x - 1), x5 - 2x - 1 = (x5 - x) + (-x - 1) = x(x4 - 1) - (x + 1) = = x(x2 - l)(x2 + 1) - (x + 1) = x(x - l)(x + l)(x2 + 1) - (x + 1) = (x + l)[x(x - l)(x2 + 1) - 1] = (x + l)(x4 - x3 + x2 - x - 1), x3 — 2x — 1 x(x — 1) — 1 x2—x—1 takže 2X-1 X(X- 1)(X2+ 1) - 1 x4_x3+x2 2.2 Příklady 39 Tedy x3-2x-l (—1) - (—2) — 1 1 lim —------------=-----------------------= - . *^-ix5-2x-l (-1)-(-2)-2-1 3 Čtenář nechť si povšimne, že číslo — 1 jsme dosazovali do předposledního, ještě neroznásobeného výrazu. V některých případech to bývá jednodušší než dosazování do výsledného roznásobeného výrazu. Á (x2 - x - 2)20 Příklad 2.11. Určete lim x-,2 (x3 - 12x + 16)10 ' Řešení. Číslo 2 je kořenem polynomu v čitateli i ve jmenovateli. Je: x2 -x -2 = 0-2)0 + 1), x3 - 12x + 16 = O3 - 4x) + (-8x + 16) = x(x2 - 4) - 80 - 2) = O - 2)00 + 2) - 8] = O - 2)02 + 2x - 8) = = O - 2)0 - 2)0 + 4) = O - 2)20 + 4), O2 - x - 2)20 O - 2)20O + l)20 O + l)20 takže Tedy lim (x3 - 12x + 16)10 O-2)20O + 4)10 (x + 4)10 (x2_x_2)20 (2+l)20 320 320 310 /3\io - = (-) 210 \2/ ^2 O3 - 12x + 16)10 (2 + 4)10 610 210-310 210 V2/ x + x2 + • • • + x" — n Příklad 2.12. Určete lim------------------------------. *->-i x — 1 Řešení. Limita zde trochu pnpomíná limitu posloupnosti, ale nedejme se mýlit, n je zde pevné pnrozené číslo. Číslo 1 je zde kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Z polynomu v čitateli zřejmě potřebujeme vytknout x — 1. Postupujeme následujícím způsobem: x + x2 + • • • + x" - n = O - 1) + O2 - 1) + • • • + O" - 1) = = O - l) + (x - l)(x + l) + • • • + (x - l)0"_1 + x"-2 + • • • + i) = = O - 1)0"-1 + 2x""2 + 3x""3 + ••• + («- l)x + «), takže x 4- x2 4- • • • -I- x" — n x"'1 + 2x""2 + ... + («- l)x + n. x - 1 Podle Věty 2.10 tedy dostáváme -v _L -v-2 J________I lim - ta -r • • • -r x- 1 = I""1 +2- 1""2 + = 1+2 + -- ■ + («■ «(« + 1) - 1) +n =----------- + O - 1) • 1 + ra 40 Limita funkce xioo _ 2x + 1 Příklad 2.13. Určete lim ——-------------. *->i x50 - 2x + 1 Řešení. Zde se snadno přesvědčíme, že číslo 1 je kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Asi nás zarazí vysoký stupeň obou polynomů a nebudeme mít chuť žádný z nich dělit polynomem x — 1 (přestože i toto je velmi snadné). Snadno ale oba polynomy rozložíme. (x - 1) = 1) x100 - 2x + 1 = (x100 - x) + (-x + 1) = x(x" - 1) -= (x- l)[x(x98 +x97 + ---+x+ 1) - 1] = = (x- l)(x"+x98 + ---+x2+x- 1), x50- - 2x + 1 = (x50 - x) + (-x + 1) = x(x49 - 1) - (j = (x- l)[x(x48 +x47 + ---+x+ 1) - 1] = = (x- l)(x49+x48 + ---+x2+x- 1), takže x100_2x+1 x99+x98 + ...+x2+x_1 x50 - 2x + 1 x49 + x48 + • • • + x2 + x - 1 Tedy x100-2x + l 99-1 98 49 x™ x50 - 2x + 1 ~ 49 - 1 ~ 48 ~ 24 ' Příklad 2.14. Určete 1 X . xm -\ -►i x" — 1 Řešení. Pro nás je toto již zcela standardní úloha: xm - 1 = (x - \)(xm~l + xm~2 + • • • + X + 1) X" - 1 = (X-1)(X""1 +x"-2 + ---+X + l), takže xm-l +xm-2 + . ••+X + 1 x«-l +x«-2 + . ••+X+ 1 iffl-1 i irn-2 i • + 1 + 1 x" - 1 Tedy xm _ ! 1m-l + yn-2 + . . . + 1 + 1 m hm---------=-----■----------------------------= — . x^i xn - 1 l""1 + l"-2 H-------h 1 + 1 n A (x" -a") -na"'1 (x -a) Příklad 2.15. Určete hm-------------------—-----------, n je přirozené, a je konstanta. x-*a (x — a)1 Řešení. Zde číslo a je kořenem polynomu v čitateli i jmenovateli. Pokusme se tedy rozložit polynom v čitateli. Musíme zřejmě začít tím, že rozložíme x" — a" a potom z obou sčítanců vytkneme x — a. Potom ovšem se musíme snažit vytknout x — a ještě jednou, abychom mohli krátit proti jmenovateli. (x" -a") -na"-\x-a) = = (x-a)Cx"-1 + x"-2a + ■ ■ ■ + xa"-2 + a"'1) - ncr~l{x - a) = = (x - a)[xn-1 + xn~2a + ■■■+ xa"'2 + a""1 - na"'1] = = (x - a)[{xn-1 - a""1) + a(x"-2 - a""2) + • • • + a""2(x - a)] = = (x - a)2[(x""2 + x""3a + • • • + a"'2) + a(x""3 + x""4a + • • • + a""3) + + ---+a""3(x+a)+a"-2]. 2.2 Příklady 41 S použitím Věty 2.10 dostáváme (x" -a") -nan-l(x-a) lim (x — a)2 /,„ 1 \ ~«—2 i /,„ o\ „n—2 i i o „n—2 . „n—2 *• ' „n—2 (n — í)a + (ra — l)a + ■ ■ ■ + Za + a =-----------a Příklad 2.16. Určete lim--------------—--------, n je přirozené. x"+1 - (n + l)x + n x'-^l (X - l)2 Řešení. Budeme upravovat čitatele. x"+1 - (ra + l)x + ra = (x"+1 - x) + (-rax + n) = x(x" - 1) - ra(x - 1) = = (x - ^[xCx""1 + xn~2 + ■ ■ ■ + x + 1) - n] = = (x- l)[x" +x"_1 +---+x2+x-w] = = (x - l)[(x" - 1) + (x""1 - 1) + • • • + (x2 - 1) + (x - 1)] = = (x - l)2[(x""1 + x""2 + • • • + x + 1) + (x""2 + x""3 + • • • + X + 1) + + --- + (x + l) + l]. Dále upravovat není nutné (nemluvě o tom, že jsme tuto úpravu již prováděli v Příkladě 2.12). Dostáváme ihned (po vydělení (x — l)2 a dosazení x = 1) r x"+1 - (n + l)x + n n{n + 1) lim-------------—-------=„ + („_!)+ ...+2 + 1 =----------. x^-i (x - l)2 2 A / m n \ Příklad 2.17. Určete lim I---------------------), m a n jsou přirozená. x^l VI — xm 1 — x" / Řešení. Zde nesmíme podlehnout pokušení počítat tuto limitu jako rozdíl dvou limit. Lze totiž vcelku snadno ukázat, že lim j^-^ vůbec neexistuje. (Limita zlévaje +oo, limita zprava —oo, takže stačí použít JE->-l 1 X Větu 2.11.) Nezbývá nám tedy nic jiného, než limitovanou funkci upravit. Jakjsme právě zjistili, nemá cenu ji udržovat ve tvaru rozdílu, takže klidně můžeme oba zlomky převést na společného jmenovatele. Navíc výrazy 1 — xm a 1 — x" umíme rozložit a asi bude dobré je rozložit, protože limitu počítáme v bodě 1. m n 1 -x" m (1 -x)(l +xH-------hxm"2+xm-1) (1 -x)(l +x H-------h x""2 +X""1) m(l+xH-------h x""2 +X"-1) -«(1+xH-------hxm"2+xm"1) ~ (1 -x)(l +xH-------hxm"2+xm-1)(l +xH-------h x""2 +X""1) ' Teď možná ale nevíme, jak dál. S výrazy, které se nám vyskytují v čitateli jsme ale už počítali. Podívejte se třeba na Příklad 2.12! Budeme nyní upravovat pouze čitatele. m{\ + x + • • • + x""2 + x""1) - ra(l + x + • • • + xm"2 + xm~l) = = m(l + x + • • • + x""2 + x""1) - mn - n{\ + x + • • • + xm"2 + xm~v) +mn = = m[\ + x + • • • + x""2 + x""1 - n] - n[\ + x + • • • + xm"2 + xm~l - m] = = m(x - l)(x""2 + 2x""3 + 3x""4 + ••• + («- 2)x + n - 1) -- ra(x - l)(xm"2 + 2xm"3 + 3xm"4 + • • • + (m - 2)x + m - 1). 42 Limita funkce Na základě všech předchozích výpočtů nyní dostáváme / m n \ im-------------------------- -+iVl-xm l-W lim m(l + 2 + • • • + (n - 1)) - n(l + 2 + • • • + (m - 1)) mra 1 + 2 + ••• + («- 1) 1 + 2 + • • • + (m - 1) m « — 1 m — \ m — n + 2 2 2 Byl by možný i trochu jiný postup. Vyjdeme-li z našich úprav čitatele zlomku, můžeme psát mCl+x + .-.+x"-1) -n(\+x + ---+xm-1) lim "-íi (1 -x)(l +xH--------hxm"1)(l +xH--------hx""1) m[l + x H--------h x""1 - «] - n[\ + x H--------h xm~l lim x->-l m lim JE->-l (1 -x)(l +xH--------\-xm-l)l +x H--------h x""1) m[(x - 1) + • • • + (x""1 - 1)] - «[(x - 1) + • • • + (x"2"1 - 1)] m (x - 1)(1 +x H--------\-xm-l)l +x -\--------h x""1) lim *-►! (1+xH--------hxm"1)(l+xH--------h x""1) m lim ^4 H-----+ lim Li^l x^l x-1 + lim(l +xH--------hx™"1) • lim(l + x -\--------h x""1) n lim ^ H-----+ lim x" i"1 lim(l +x H--------hx™"1) • lim(l + x -\--------h x""1) + Vypočteme-li nyní, že lim ^—i = k, dostáváme pak snadno výsledek x-*\ x 1 m[l+ ••• + («- 1)] w[l+ ••• + (/»- 1)] _ mra mra m(^_„(E^iM (ra — 1) — (m — 1) m — n mn 2 2 A Příklad 2.18. Určete lim (akxk + o^-ix^-1 + • • • + «ix + a0), «ŕ 7^ 0. i->+oo Řešení. Máme vlastně vypočíst limitu polynomu. Budeme postupovat zcela stejně jako u limity posloupnosti (viz Příklad 1.2). lim (akxk + ak_\xk l + • • • + a\x + a0) I->+0O lim I->+0O 1 X 1 xk(ak+ak_l- -\--------\-ai-J—[ +ao 1) xk) Zřejmě lim x = +oo. Dále I->+CO lim aŕ + o;ŕ_i-H--------h a^—— + a0 — i^+co\ x XK 1 XK/ «ŕ- 2.2 Příklady 43 (Zde stačí použít Větu 2.1 bod a) a c) a skutečnost, že lim - = 0.) Podle poznámky k Větě 2.2 bod d) v případě, že ak < 0 (ak > 0), existuje číslo d < 0 (d > 0) takové, že akxk + ak_ixk~l + • • • + + a\x + a0 < d (> d) na nějakém okolí bodu +oc. Podle Věty 2.2 bod d) to potom ale znamená, že 1 1 1\" lim I->+CO xk(ak +ar_i- + X —oo, je-li «i < 0, I +00, je-li ak > 0. Příklad 2.19. Určete lim (akxk + ak_\xk x + • • • + a\x + a0), «ŕ 7^ 0. X—* — co Řešení. Zde postupujeme úplně stejně. Jediný rozdíl spočívá v tom, že lim x X—* — co I — oo, je-li & liché, I +00, je-li k sudé. Takto dostáváme na základě Věty 2.2 bod d) lim X—*— co xr (ak + «*_! - 1 X + •••+«1- 1 ! V +00 pro k liché, o^ < 0, —oo pro k liché, ak > 0, —oo pro k sudé, o^ < 0, +00 pro k sudé, ak > 0. Příklad 2.20. Určete lim akxk + a^-ix^ J + • • • + ot\x + «o «~+°° ßex£ + ßl-xX^ + ...+ß1x + ßt ,akrO,ßer 0. Řešení. Zde se jedná o limitu racionální funkce. Postupujeme opět stejně jako u limity posloupnosti (viz Příklad 1.3): akxk + ?) aŕ+aŕ_i- + + aiT^T +«0 7F lim x^ ^ •____________________________ Musíme rozlišit tři případy: a) Případ £ Zde dostáváme lim aŕ + aŕ_i 7 H-------hai-4r +«0 7F «ŕ ^+co^ + Ä_ i +...+yßl i +yßi ßk- b) Případ fc < I Použijeme-li Větu 2.1 bod c), dostáváme lim xk l ■---------------f----- x^+co ße+ßl + + OÍ1-JTT +OÍ07k + ßlZUÄ + ßoT? ak 0- — ßi 0. 44 Limita funkce c) Případ k > Zde použijeme formuli z Poznámky k Větě 2.2 bod d). Dostáváme lim xk l i->+oo & + &-17 H------+ ßi-j-i + ßoTt +00 «ŕ |-ooje-li^<0, |+ooje-li2t>0. Příklad 2.21. Určete lim ^X^-:^^ » «** °» & * ° Řešení. Zde budou pouze malé rozdíly oproti předchozímu příkladu. a) Případ & Zde nedochází k žádné změně, b) Případ k< Zde rovněž nedochází k žádné změně. c) Případ k > Použijeme opět formuli z Poznámky k Větě 2.2 bod d). Připomeňme ještě, že lim x X—* — co k-i —oo je-li k +00 je-li k liché, sudé. áváme +00 pro k - - í liché ä < o ' ßt ' r k-i v ak + Oik-\\ + -lim xK * • lim ---------------j------- ■ + ß\— + A) 7? — OO — OO pro k -pro k - - í liché -1 sudé ä > o ' ft ' t<0' +00 pro k - -1 sudé ít>°- Vidíme tak, že limity racionálních funkcí v bodech — oo a +oo, podobně jako tomu bylo v analogickém případě limit posloupností, nemusíme vlastně počítat, ale můžeme rovnou psát výsledek. Uveďme několik jednoduchých příkladů: 2x4 - 3x + 1 lim------------------------- x^+co —3x4 + 2x2 — x 2x4 - 3x + 1 lim------------------------- x-^-ca —3x4 + 2x2 — X x5 +5 2 "3 ' 2 "3 ' lim i^+co x1 + 7 ,. x5+5 lim —------- i^-co x7 + 7 0, lim lim X—*— co -X6 + X3 + 1 2x5 -2 -x6 + x3 + 1 2x5 -2 + 00 -oo -oo, +00. V případě limit racionálních funkcí v bodech —oo a +oo nemusíme vždy postupovat jen podle předchozího návodu. To nám ukážou následující dva příklady. 2.2 Příklady 45 Příklad 2.22. Určete lim i->+oo (x - l)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) (5x - l)5 Řešení. V čitateli máme součin pěti lineárních polynomů a ve jmenovateli pátou mocninu. Tuto limitu můžeme tedy napsat ve tvaru lim 1 5x — 1 5x — 1 5x — 1 5x — 1 5x což podle Věty 2.1 bod c) a předchozích výsledků je rovno lim 1 lim lim lim lim r^+co 5x — 1 x^+co 5x — 1 x^+co 5x — 1 x^+co 5x — 1 x^+co 5x _ 1 1 1 1 1 _ 1 ~5'5'5'5'5~55' Příklad 2.23. Určete lim i->+oo (2x-3)2U(3x + 2) 30 (2x + l)50 Řešení. Zde opět podle Věty 2.1 bod c) a předchozích výsledků lim i->+oo (2x-3)2U(3x + 2) 30 (2x + 1) 50 lim /2x-3\20 /3x+2\30' V2x + 1/ ' V2x + 1/ 2x-3\20 .. /3x+2\30 lim íň^iy. Hm ľJĽĽ±\ x^+co\2x + 1/ x^+co\2x + 1/ ( lim--------| • ( lim \x^ + 2x-3\20 / 3x+2\30 /2\20 /3x30 /3x30 "co 2x + l/ ' W+co 2x + l/ ~ V2/ ' V2/ ~ V2/ Příklad 2.24. Určete lim i->+oo (x+l)(x2 + l)---(x" + l) [(rax)" + \fr Řešení. Díváme-li se na čitatele, může nás napadnout, že by třeba nebylo špatné celý limitovaný výraz napsat ve tvaru součinu. Jenže jmenovatel se možná nezdá být k tomuto účelu přizpůsoben. Aby nám vycházelo něco rozumného alespoň v čitateli, bylo by dobré, kdyby činitel xk +1 byl vydělen mocninou xk. Můžeme tedy zkusit čitatele i jmenovatele vydělit výrazem x • x2 • • • x": lim I->+0O (x+l)(x2 + l)---(x" + l) [(rax)" + 1] — x+l x2+l x"+l lim I->+0O lim ^ • lim I->+0O I->+0O x2+l r2 ■ lim a£±! («ilHllT1 [(«*)"+!] X 2 ,1+1 [ra"] — 2^1 n(n+l) ra 2 . I->+0O Za účelem výpočtu limity ve jmenovateli je nutno použít větu o limitě složené funkce (Věta 2.12). Vnitřní funkcí je zde funkce g(x) («*)"+! a vnější funkcí je funkce f(y)=y i . Platí (rax)" + 1 ,. ra"x" + 1 hm ------------= hm ----------- i->+co xn i^+oo xn hm y 2 y—*nn [«"]*• 46 Limita funkce neboť funkce yni je spojitá v bodě nn. Pro složenou funkci f(g(x)) = [ ("x^+1 ] 2 tedy potom platí lim I->+0O (rax)" + 1 lim y 2 = [«"] B + l 2 Příklad 2.25. Určete lim + y/x + *Jx x^+°° *Jx + 1 Řešení. U příkladů tohoto typu je postup podobný jako u racionálních funkcí. V čitateli i jmenovateli vytkneme „nejvyšší mocninu proměnné x". Zde je to v obou případech «/x. Dostáváme +Vx+v^ v^-vi + ^j x-\-^/x '1+J1+ V* + i VW1 + T '1+1 takže Jx + y/x + V* lim -------^=^-----= lim x^+co ^/x + 1 x^+co 'l + Jh + J^ Hm Jl + Ji+ n i->+oo '1+i lim Jl + i x^+co V -1 - = 1. 1 K výpočtu limit v čitateli a jmenovateli je ovšem potřeba použít zase větu o limitě složené funkce, a to dokonce několikrát. Ukážeme, jak určíme limitu v čitateli. Za vnitřní funkci vezmeme funkci g(x) = -^ a za vnější vezmeme f(y) = *Jy. Platí lim — = 0, lim *Jy = 0, x^+co x y^o+ přičemž poslední limita je rovna 0, protože funkce *Jy je v bodě 0 spojitá zprava. (Pozor! Používáme zde jednostrannou verzi věty o limitě složené funkce.) Pro složenou funkci f(g(x)) = J^ tedy platí I lim J—- = lim y/y = 0. x^+co y x y^o+ Dále protože lim - = 0, dostáváme podle Věty 2.1 bodu a) lim (- + J-) = lim - + lim J — = 0. i^+co\x V XJ / x^+co x x^+co y XJ Opětně použijeme větu o limitě složené funkce. Vnitřní funkce tentokrát bude g(x) = \ + J-^ a vnější f(y) = Vy-platí lim (- + Ji-) = 0, lim Vy = 0, odkud pro limitu složené funkce f{g{x)) = /- + /-^ dostáváme lim J-+J— =0. 2.2 Příklady 47 Použijeme-li ještě jednou větu o limitě složené funkce, dostaneme /l [T lim 1 + A - + \ — ^+oo\ \ j X \ 1 XJ Příklad 2.26. Určete lim -------^=^=-----. *-►+<» V2x + 1 Řešení. V čitateli máme součet, takže můžeme zkusit napsat lim ------- ----= *-►+<*> V2x + 1 V* ,. v- = lim —^=^= + lim —^=^= + lim ______. x^+°° V2x + 1 ■í^+co V2x + 1 ■í^+co V2x + 1 V takových případech ovšem musíme být opatrní. Chceme-li se např. opřít o Větu 2.1 bod a), musíme vědět, že všechny tři poslední limity existují a jsou vlastní. Zde však naštěstí tomu tak je. V* ,. I x íl V2 lim —. = lim *->-+°° V2x + 1 -í^+co y 2x + 1 V 2 2 protože lim ~^-r = \ a protože můžeme použít větu o limitě složené funkce. Z podobných důvodů 6 X 2 lim , = lim , /------------ = 0, <-"+°° V2x + 1 ^+~ V (2x + l)3 4 lim —^== = lim V------—- = 0. *-►+<» V2x + 1 *-►+<» Y (2x + l)2 Tedy ■s/x + lfx + Xß *Jl *Jl lim -------, -----=------h 0 + 0 = — . *-"+«> V2x + 1 2 2 VI + 2x - 3 Příklad 2.27. Určete lim x^4 ^fx — 2 Řešení. V úlohách tohoto typu (které ovšem mohou vypadat složitěji) s výhodou používáme vztahu A" - B" = (A - B)(A"-1 + A"~2B + ■■■+ AB"~2 + Bn~l) a to tak, že zlomek vhodným výrazem rozšíříme. (Pokud ovšem není nutná nějaká předběžná úprava.) V našem případě máme ve zlomku druhé odmocniny a použijeme proto vztahu A2 — B2 = (A — B)(A+B). Konkrétně celý zlomek rozšíříme výrazem (VI + 2x + 3)(V* + 2). Dostáváme V1+2X-3 _ (VI + 2x - 3)(V1 + 2x + 3)(VJč + 2) _ V^-2 ~ (V^-2)(VTT2x" + 3)(V^ + 2) (l+2x-9)(Vx" + 2) (2x-8)(Vx" + 2) V* + 2 (x-4)(Vl+2x + 3) (x-4)(Vl+2x + 3) Vl + 2x + 3 48 Limita funkce Na základě tohoto vyjádření máme ,. V1 + 2X-3 V^ + 2 V4 + 2 2 + 2 4 hm------—--------= hm /. ,-------= /. , —-----= 2-------= - , x->4 J^-2 x-,4 V1+2X + 3 Vl+2-4 + 3 3 + 3 3 neboť funkce 2-^=2— je spojitá na celém svém definičním oboru (kterým je interval (0, +oo)), a tedy také v bodě 4. A JT^c Příklad 2.28. Určete lim 2 + \fx~ Řešení. Postupujeme velmi podobně. V čitateli máme druhou odmocninu — použijeme tedy A2 — B2 = = (A — B){A + B), a rozšíříme výrazem J\ — x + 3. Ve jmenovateli máme ovšem odmocninu třetí, takže použijeme A3 — B3 = (A — B) {A2 + AB + B2). Nijak nás nemusí mýlit, že ve jmenovateli je součet a nikoli rozdíl. Vezmeme totiž A = Jx a B = —2. Rozšíříme tedy výrazem A2 + AB + B2 = (l/x)2 — — 2\[x + 4. Celkem tedy budeme rozšiřovat výrazem (JT^x~ + 2){{lß)2 - 2\ß + 4). Dostáváme tak JT^x~-3 _ (JT^-3)(JT^ + 3)((l/I)2-2l/x~ + 4) _ 2 +Ji ~ (2 + Jl)(JT^ + 3)((Jl)2-2lJx~ + 4) (l-x-9)((V^)2-2V^ + 4) (^)2-2^ + 4 (jc + 8)(vT^* + 3) JT^x~ + 3 Odtud /4"-8 2 + V^ ~^-8\ J\ -x +3 y lim (V-8) -2V-8 + 4 4 + 4 + 4 Vl+8+3 3+3 neboť funkce _ív£>=v£±_ ;e v bodě —8 spojitá. •Ji—X+3 J í J -Jx — Ja + Jx — a Příklad 2.29. Určete lim -------v -------, a > 0. ■»^fl+ Vx2 - a2 Řešení. Zde je nutná nejprve předběžná úprava. Jx — Ja + Jx — a Jx — Ja J x — a hm ---------, -------= hm , + hm x-?a + Jx2 _ a2 x-?a+ Jx2 _ a2 x-?a+ J^T což jak vime platí, jestliže obě limity vpravo existují a jsou vlastní. Máme však Jx — Ja (Jx — Jä)(Jx + Ja) hm - = hm —^=^=---------------= x^a+ J x2 - a2 x^a+ (Vx2 -a2)(Jx + Ja) x — a J x — a = hm ——------— = hm ——------— = 0, x^a+ J x — a J x + a (Jx + Ja) x^a+ J x + a (Jx + Ja) neboť funkce /—Ľv*~? _ definovaná na intervalu (a, +oo) je v bodě a spojitá zprava. Čtenář nechť si -JX~\~& y -JX~\~ -\f O, ) povšimne, že k výpočtu limity stačilo zlomek rozšířit pouze výrazem «Jx + «Ja, přičemž jmenovatele 2.2 Příklady 49 jsme v tomto okamžiku vcelku nebrali v úvahu (ve jmenovateli není totiž žádný součet ani rozdíl, ale pouze jediná odmocnina.) Dále Vx — a Vx ~~ a ,-1 1 lim —, = lim —, —, = lim x^a+ ^/x2 _ a2 x^a+ Vx — a «Jx + a x^a+ Vx + a «Jla neboť funkce } je spojitá v bodě a. Vychází tedy -Jx — -Ja + Jx — a 1 1 lim-------- -------= 0 + x^a+ Vx2 - a2 *j2a~ «J2a~ Vx + 13 - 2-Jx + 1 Příklad 2.30. Určete lim-------------------------. x-^3 X2 — 9 Řešení. Zde ve jmenovateli žádná odmocnina není, takže k rozšiřování zlomku přispěje pouze čitatel. Vx + 13 - 2Vx + 1 lim------------------------------- = x-^3 X2 —9 (Vx + 13 - 2VxTT)(Vx + 13 + 2VxTT) lim----------------------, -------. ---------- ^3 (x2 _ 9) -2 X3 + 8 Řešení. Zde je postup podobný jako v předcházejícím příkladě, ovšem s tím rozdílem, že místo druhé odmocniny je zde odmocnina třetí. Je: yr^6 + 2 {l/x~^6 + 2){{l/T^6)2-2l/x~^6 + 22) x3 + 8 (x3 + 8)((^T^6)2-2V^^6 + 22)— x - 6 + 23 ~ (x3 + 8) {{lfx~^6)2 - 2lfx~^6 + 22) ~ 1 (x2 - 2x + A){{lfx~^Z)2 - 2lfx~^l + 22) Odtud ,. V^6 + 2 lim------------------= lim x^-2 x3 + 8 x^-2 (x2 - 2x + 4) {{\fx~^6)2 - 2\fx~^6 + 22) 12 • 12 144 ' 50 Limita funkce i/x-2 Příklad 2.32. Určete hm ——-----. *->16 Jx -4 Řešeni. Zde bychom kvůli čitateli měli celý zlomek rozšířit výrazem (V*)3 +2(í/x)2 + 4i/x + 8 a kvůli jmenovateli ještě výrazem «/x + 4. Ne vždy je ovšem nezbytně nutné postupovat podle osvědčeného receptu. Zde si můžeme usnadnit výpočet následujícím způsobem: ,. Xß-2 ,. Xß-2 ,. Xß-2 ,. 1 1 hm ——-----= hm —=—------- = lim ——----------—------= hm ——-----= - . x^ie^-4 x^i6(^)2_22 x^i6(^-2)(^ + 2) x^i6^ + 2 4 A Příklad 2.33. Určete lim---------------, n je přirozené. x^O X Řešeni. Zde použijeme opět naši osvědčenou metodu: VTT__| «/m-i)(E«/r+i)~'-<) x <«-l ^(Ě(VT+7)»-i--) V !=0 7 1+X- 1 1 rfEíVT+T)»-1-'-) EíVT+T)»-1- V í—n / í—n Odtud ,. vT+7-l ,. l l lim---------------= lim----------------------= — x-*0 X x-*0 «-1 ;_______ n Ecvr+i)"-1- !=0 Vl -2x-x2-(l+x) Příklad 2.34. Určete lim------------------------------ x-*0 X Řešení. Vyjde Vl -2x-x2-(l+x) (Vl -2x-x2 - (1 + x))(Vl -2x-x2 + (1 + x)) x(Vl -2x-x2 + (1 + x)) 1-2x-x2-(l+x)2 -2x-4 x(Vl-2x-x2 + (l+x)) Vl -2x-x2 + (l+x) Dostáváme tak Vl -2x-x2-(l+x) -2x-4 lim------------------------------ = lim , -------------= —2. ^o x x^.o Vl -2x-x2 + (1 + x) Připomeňme si ještě, že v tomto případě by bylo zcela nesmyslné psát Vl-2x-x2-(l+x) Vl -2x-x2 1+x lim------------------------------= lim--------------------lim------- x-*0 X x-*0 X x-*0 X protože limity napsané na pravé straně vůbec neexistují. 2.2 Příklady 51 V8 + 3x - x2 - 2 Příklad 2.35. Určete lim----------------------. x->-0 X + X2 Řešení. Toto je již pro nás zcela standardní úloha, i když díky třetí odmocnině technicky poněkud složitější než úloha předchozí. Po příslušném rozšíření dostáváme V8 + 3x - x2 - 2 3-x x+x (1 + x)((V8 + 3x - x2) + 2V8 + 3x - x2 + 4) odkud V8 + 3x - x2 - 2 1 lim------------------------- = - . x^o x + x2 4 V27 + x - V27 - x Příklad 2.36. Určete lim--------------—=-------. *-0 x + 2Vx* Řešení. Zde celý zlomek rozšíříme výrazem (V27 + x)2+V27 + x X/21 — x + (X/21 — x)2. Mohlo by se zdát, zeje nutné zlomek rozšířit ještě nějakým dalším výrazem kvůli třetí odmocnině ve jmenovateli, ale zde to nebude nutné. (V podstatě proto, že ze jmenovatele je možno vytknout x.) Po rozšíření dostáváme 27 + x - 27 + x x(l + 2Xß)({XJTT+~I)2 + 1/21 + x XJ21 - x + {1/21 - x)2) 2 ~ (1 + 2l/x) {{X/21 + x)2 + X/21 + x X/21 - x + {X/21 - x)2) Odtud X/21 + x - X/21 - x 2 lim Příklad 2.37. Určete lim —o x + 2X/X1 27 Vi + x — Vi - x ^0 xf\Tx~ - vr^7' Řešení. Zde opět můžeme postupovat zcela standardním způsobem. My si na tomto příkladě ukážeme malou modifikaci tohoto postupu. VTTI - VT^I _ (VITI)3 - {X/T^xý X/T+x - XJT^ ~ {X/TTx)2 - (VT^7)2 [vr+i - yr^7] [{X/t+^ý + vtti vt^7+(vt^I)2] + x + X/l — xl (VITI)2 + VTTI VT^I + (X/T^x)2 S použitím této úpravy snadno dostáváme VI +x-VI -x 3 lim t-^=^—71^^= = - *-*> X/TTx^ - XJT^ 2 52 Limita funkce Vx +2- l/x + 20 Příklad 2.38. Určete hm „ , ---------. *-»7 ^T9 - 2 Řešení. Na tomto příkladě nás může zarazit, že se zde vyskytují tři různé odmocniny. My však čtvrtou odmocninu ve jmenovateli klidně necháme a odmocniny v čitateli upravíme tak, aby byly stejné. Dostaneme tak SJ(x + 2)3 - «/(* + 20)2 Í/7T9-2 Celý zlomek nyní rozšíříme. Kvůli čitateli výrazem A(x) =(V(x+2)3)5 + (V(x + 2)3)4 V(x + 20)2 + + (V(x + 2)3)3 (V(x + 20)2)2 + (V(x + 2)3)2 (V(x + 20)2)3 + + V(x + 2)3 (V(x + 20)2)4 + (V(x + 20)3)5 a kvůli jmenovateli výrazem B(x) = {Vx + 9)3 + 2(Vx + 9)2 + 4Vx + 9 + 8. Dostáváme potom V(x + 2)3 - V(x + 20)2 [(x + 2)3 - (x + 20)2]B(x) V7T9-2 ~ [x + 9-16]A(x) _ [x3 + 5x2 - 28x - 392]ß(x) _ (x - 7)(x2 + 12x + 56)ß(x) ~ (x - 7)A(x) ~ (x-7)ß(x) _ (x2 + 12x + 56)ß(x) = W) • Odtud Příklad 2.39. Určete lim *-*> i - yr Vx~T2 - l/x + 20 (x2 +12x + 56)ß(x) hm-----—^----------= lim-------------------------- *-"7 X[7^9-2 x^-i A(x) _ (72 + 12 • 7 + 56)5(7) _ 189 • 32 _ 112 ~ Ä(7) ~ 6-35 ~ ~27~' Řešení. Zde můžeme samozřejmě postupovat právě tak jako v předchozím příkladě. Ukážeme zde ale ještě trochu jinou možnost. 2.2 Příklady 53 Je to známá metoda přičtení a odečtení téhož. Předchozí postup je jistě oprávněný, pokud obě poslední limity existují ajsou vlastní. Tyto ovšem můžeme (a více méně i musíme) počítat standardním způsobem: yr+f-i (i + f -i)(i + yr^f) i-yr^f (i-i + f)((VTTf)2 + vr+f + i) 2 i + yr^r 3 (yr+T)2 + yr+T+i Tedy ,. yrTf-i 2 2 4 hm — — ,-o i _ yr 2 3 3 9 Druhou limitu můžeme počítat úplně stejně, ale ukážeme, že to přece jen ještě trochu jinak jde. Je i-Vi+3 i-yi+f lim LjsľH hm L_vJ + I = Hm x x^O 1 — /I — í x^O í-./i-f ,• i-a/T v 2 _v—l lun _v_ X Pak lim- v 2 x^O 1 - -yi + t Hm i-(i + f) x^O ~° x(i + 1 + V1" f 4 Odtud potom ,. 1-yi + f 1 lim -------í--------- =----- ^o i - yr^f 4' takže celkem dostáváme ,. VH^f-VTTf 4 1 7 hm ------- — =-------= — ^o 1 _ yr^TX 9 4 36 y\+ax- y\+ßx Příklad 2.40. Určete hm---------------------------,m a «jsou přirozená. x-*0 X Řešení. Použijeme postup z předchozího příkladu: ,. Vl+ax- \/\+ßx ,. (Vl+ax- 1) + (1--/1+/3jc) lim---------------------------= lim------------------------------------------ x^0 X x^0 X ,. Vl+ax-1 ,. 1- y\+ßx = hm-------------------h lim-----------------. x^0 X x^0 X Podívejme se nejprve na první limitu. Nebude to velký problém, protože jsme ji vlastně užjednou počítali — viz Příklad 2.33. V první řadě napišme Vl+ax- 1 Vl+ax- 1 hm----------------- = a hm----------------- x^o x x^o ax 54 Limita funkce a na poslední limitu použijeme větu o limitě složené funkce. Vnitřní funkce bude g{x) =axa vnější fiy) = ^^ • Pak yTTy - 1 1 lim ax = 0, lim---------------= — (podle Příkladu 2.33). x-*0 y^O y m Pro složenou funkci f (g (x)) = "l/T^* 1 tedy platí ,. Vi + ax-i ,. VTT7-1 i nm----------------- = nm--------------- = — x^o ax y^o y m takže Vl+ax- 1 a nm-----------------= — . x-*o x m Druhá limita je ovšem až na znaménko a ß místo a úplně stejná. Máme tak ,. 1- Ojl+ßx ,. VI + /3jc — 1 /3 lim--------------------= — lim-------------------- =----- x^O X x^O X « Celkem tedy dostáváme Vl+ax- iy\+ßx a ß lim---------------------------=--------- x-*o x m n V\+ax1/\+ßx- 1 Příklad 2.41. Určete hm-----------------------------, m a n jsou přirozená. x^O X Řešení. Mohli bychom psát Vl+axVl+jßx = ™V(l+ax)"(l+yßx)m a potom postupovat obvyklým způsobem. Ukážeme ještě jiný postup. Bude spočívat opět ve vhodném přičtení a odečtení. Je 7l+axyi+ ßx- 1 hm-----------------------------= x-*0 X (71+axyi+ßx- Vl+ax) + (Vl+ax- 1) = hm----------------------------------------------------------------= x^O X 7l+axyi+ßx- 71+«x 71+«x- 1 = hm-----------------------------------------h hm-----------------= x^O X x^O X r /™/i-i----- VTT^-1^ a /3 a aß = hm I v 1 + ax ■----------------) H----= 1 • —|----=-----1— . x^ov x J m n m m n Čtenář si jistě všiml, že jsme při výpočtu použili výsledků z příkladu 2.33 a spojitosti funkce Vi + «x v bodě 0. Á 2.2 Příklady 55 m/x_1 Příklad 2.42. Určete lim —=-----, m a n jsou přirozená. *->-i yx — 1 Řešení. Můžeme opět postupovat obvyklým způsobem. Ale to už by bylo jistě nezajímavé. Zde lze ale též s úspěchem využít našich znalostí z příkladu 2.40. Je yx — l ,• x-l y *->-l x l lim ——------= lim ——— = lim wi!^t-i x^i v^-i x^i iim y^-i ' x-l Na výpočet limity v čitateli (jakož i ve jmenovateli) použijeme větu o limitě složené funkce. Vnitřní m 11 i __i funkce bude f(x) = x — 1 a vnější g(}>) = v J—. Máme VT+y- 1 1 lim(x - 1) = 0, lim --------------= - (podle Příkladu 2.33), *->-i y^o y m m /TT__i takže pro složenou funkci f (g (x)) = ^_t platí ,. v^-i ,. VTT7-1 i hm------------= hm------------------= — . *->-i x — 1 y^o y m Takto dostáváme ihned výsledek *->-i S/x —1-m . Příklad 2.43. Určete lim im í — -Al 3 x 1 — l/x Řešení. Vyjadřovat tuto limitu jako rozdíl limit by bylo chybné, protože limity zlomků v závorce neexistují. Nezbývá nám tedy než oba zlomky odečíst. Uděláme-li to, dostaneme 3 2 3(1 -Xß) -2(1 - Vx") 1+2^-3^ 1-V* \-\ß {\ - Jx~){\ - \fx~) {\ - Jx~){\ - Xjx~) a nemusíme zrovna přijít na nějaký vhodný postup. Ale v duchu celé řady předchozích příkladů by nás mohlo napadnout nejprve oba zlomky upravit obvyklým způsobem a teprve pak je odečíst: 3 2 3(1+ v^) 2(l + ^+(^)2) 1 — y/X 1 — X/X 1 — X 1 — X 1 + 3yx - 2Xjx~ - 2{Xjxf 1 -x "V3F-1 _ 1 ^aiv^nu jjiiiviauu, l,\j lim ---------- — přepsat poslední zlomek ve tvaru Pokud si ještě pamatujeme z předešlého příkladu, že lim *x = 1; mohlo by nás ještě navíc napadnout je->-1 x 1 m (-3 + 3 VI) + (2 - 2Xß) + (2 - 2{Xß)2) 1 -x 56 Limita funkce Na základě tohoto vyjádření potom už snadno dostáváme 3 2 \ limf- -y/ JÍ 1 X/ .V / ,. -3 + 3V^ ,. 2-2V^ 2-2(V^)2 = hm-----------------h hm--------------h hm---------------- = x-*\ 1—X *->-l 1—X *->-l 1—x „,• V^-l „,. Iß-l „,. (v^)2-l = —3 hm-------------h 2 hm-------------h 2 hm--------------= x-*\ X — 1 *->-l X — 1 *->-l x — 1 1 1 / .,- Iß- l\ = -3.-+2-- + 21im((^+l)^------) = 2 3 x^i V x — 1 / 5 , _ l/x- 15 11 = — +2 limtf/Gč + 1) • lim ---------= — +2-2-- = -. 6 *->-i *->-i x — 1 6 3 2 A Přiklad 2.44. Určete lim (■ ~ V30-VS-O ~ V3 *->i (1-x)""1 Rešení. Po našich předchozích zkušenostech je poměrně velmi snadné tuto limitu spočítat. Jediné, čeho si musíme všimnout je, zeji lze vyjádřit jako součin limit. Vyjde lim(l-v^)(l-^Ô •••(!-V*") _ *->i (1-x)""1 r i — \fx i — \fx i hm X-*\ 1—x 1—x 1—X ,. 1 - V* ,. 1 — ^/Jč ,. l-H/x = hm----------• hm----------• • • hm---------- = x-*\ 1—X x-*\ l—X x-*\ l—X _ 1 1 1 _ 1 2 3 n ni m ÍZ__i i Zde jsme použili naší znalosti z Příkladu 2.42 — totiž, že lim _. = - . Á x->-l x 1 m Příklad 2.45. Určete lim [VC* + a)(x + b) — x], a, b jsou libovolná reálná. x^+co Rešení. Zde limitovaná funkce sice nemá tvar zlomku, ale zlomek z ní každopádně můžeme udělat. Pak už postupujeme zcela standardním způsobem. Je n—■—-——— y/(x + á)(x + b) -x y (x + a) (x + b) —x =--------- 1 [V(x + a)(x + b) — x] [V(x + a)(x + b) + x] ■y/ (x + a) (x + b) + x (x + a) (x + b) — x2 (a + b) x + ab ■y/ (x + a) (x + b) + x V'(x + «) (x + fe) + x Odtud (a + fe)x + afe lim [-y/(x + a) (x + fe) — x] = lim *->-+°o x^+co ^(x +a)(x + fe) + x Poslední limitu vypočteme tak, že čitatele i jmenovatele vydělíme proměnnou x. Podobně jsme postupovali v Příkladě 2.25. Vyjde (a + b)x + ab ,. a + b + ^f- a + b hm —^------= lim ------ =-------- *->+ ^(x + a)(x + b) + X x^+co li + a\ll+b\ + l 2 2.2 Příklady 57 Příklad 2.46. Určete lim x(Vx2 + 2x — 2+Jx2 + x + x). i->+oo Řešení. Mohli bychom zkusit psát lim x(yx2 +2x — 2y x2 + x + x) = lim (xy x2 + 2x — 2xy x2 + x + x2) i->+oo I->+0O lim (xy x2 + 2x) + lim (—2xy x2 + x) + lim I^+OO I->+0O I^+OO x2, což ale nevede nikam, neboťjak můžeme snadno zjistit, tyto limity jsou postupně rovny +oo, —oo, +oo. Jejich součet tedy nemá smysl a my se zde nemůžeme opřít ani o Poznámku k Větě 2.2 (o Větě 2.1 ani nemluvě). Přestože na to úloha docela nevypadá, použijeme stejný postup jako v předchozí úloze. Rozdíl dvou výrazů tam vyrobíme celkem snadno: lim xíyx2 + 2x — 2y*2 + x + x) = lim x[(y x2 + 2x + x) — 2y x2 + x ] (Vx2 + 2x + x) — 2"Jx2 + x I->+0O lim x • I->+O0 (Vx2 + 2x + x)2 - 4(x2 + x) í^+"co "" (V*2 + 2x + x) + 2 Vx2 + x lim x Vx2 + 2x + x + 2Vx2 + . lim I->+0O lim _______ ______ x^+co ^x2 + 2x _|_ x _|_ 2VX2 + X ■»:^+co lim I->+0O • (x2 + 2x + 2xVx2 + 2x + x2 - 4x2 - 4x) lim (—2x2 — 2x + 2xyx2 + 2x) l + é + l+2jl + • lim 2x {■six2 + 2x - (x + 1)) \ X^+CO 2 Vx2 + 2x - (x + 1) 1 x2 + 2x - (x + l)2 - hm x----------------------------= - hm x —-------------- 4 *-►+<» 1 2 *->+°o Vx2 + 2x + (x + 1) 1 •(") = - lim------------- 2 *->+°o ^/x2 + 2x + x + i 2 Povšimněte si, že v tomto příkladě jsme naši osvědčenou metodu museli použít dokonce dvakrát. Můžeme ale předvést ještě jeden způsob výpočtu této limity, který sice bude rovněž dvakrát používat naši metodu, ale jehož technika bude přece jen trochu jiná: I->+0O lim x(yx2 + 2x — 2y x2 + x + x) = lim x [ (v x2 + 2x — y x2 + x) + (x — y x2 + x) ] 2 i o 2 I->+0O lim x I->+CO 2 2 Vx2 + 2x + Vx2 + x x + Vx2 + 58 Limita funkce lim x2 I->+CO lim x2 1 1 . a/x2 + 2x + V*2 + * x + vx^+x x + a/x2 + x — a/x2 + 2x — a/x2 +x ^+co (a/x2 + 2x + Vx2 +x)(x + a/x2+x) lim-------^=^= • lim -------^=^= ■ lim (x — y x2 + 2x) «:^+co ^x2 + 2x + Vx2 + X x^+co x + ^x2 + x x^+cov 11 x2-x2-2x 1 lim --------. = - lim -2x _ 1 _ 1 2 2 x^+oo x + ^x2 + 2x ~ 4 x^+oo x + Vx2 + 2x ~ 4 " 4 Příklad 2.47. Určete lim (a/x3 + x2 + 1 - Vx3 - x2 + 1). Řešení. Obvyklý postup dává lim_ (Vx3 + x2 + 1 - Vx3 -x2 + l) = (x3 + x2 + 1) - (x3 - x2 + 1) i->+oo lim __________ __________ __________ __________ ^+oo (Vx3+X2+1)2 + Vx3 + X2 + 1 Vx3 - X2 + 1 + (^/X3-X2+1)/ 2x2 lim ---- -----z-------- —--- —--------- -----: ^+oo (Vx3+X2+1)2 + Vx3 + X2 + 1 Vx3 - X2 + 1 + (l/x3-X2+iy lim _ 2 ~ 3 ' I u tohoto příkladu však můžeme nabídnout ještě jiný způsob výpočtu, který se zakládá na vhodném přičtení a odečtení: I->+0O lim_ (Vx3 + x2 + 1 - Vx3 -x2 + l) = lim ľ(Vx3+x2 + l - x) + (x - Vx3-x2+l)l = lim (Vx3 +x2 + 1 -x) + lim (x - l/x3 -x2 + l). i->+oo i->+oo Na tuto myšlenku můžeme přijít, uvědomíme-li si, že funkce a/x3 +x2 + 1, jakož i funkce a/x3 — x2 + 1, se velmi přibližně chovají jako funkce X/x^ = x. Dále dostáváme lim (\Vx3 + x2 + 1 - x) = x3 + x2 + 1 - x3 i->+oo lim r-"+0° (Vx3+x2+l) + xa/x3 + X2 + 1 + . x2 + l lim ^+°° (Vx3+x2+l) + xl/x3 + X2 + 1 + X2 +00(^TITÍ)2 + yľTITÍ+i 3 lim 2.2 Příklady 59 a podobně lim (x — y x3 — x2 + 1) = - Celkem tedy dostáváme opět lim (^/x3+x2 + l - ^/x3-x2 + l) = I + I = ^ . x^+cov y 3 3 3 A Příklad 2.48. Určete lim (Ifx3 + 3x2 - Vx2-2x). Řešení. Zde je možno limitovanou funkci přepsat ve tvaru V(x3 + 3x2)2 - V(x2 - 2x)3 apoužít standardní metodu. Výpočet tímto zpusobemje zde ale poněkud zdlouhavý. Pohodlnější je použít způsob, se kterým jsme se seznámili již v předchozím příkladě: i->+oo lim_ (Vx3 + 3x2 - V^2-2x) = lim ľ(Vx3 + 3x2 - x) + (x - V^2-2x)l = lim (s/x3 + 3x2 — x) + lim (x — yx2 — 2x). x—^+oo x—^+oo Obě poslední limity postupně vypočteme: . -y- I ^ V ___ V lim (v x3 + 3x2 — x) = lim - ^+°° (Vx3+3x2) + xl/x3 + 3x2 + . 3 = lim — ------—^-----= 1, "w(Vr+i)+Ví+I+1 lim (x — y *2 — 2x) = lim --------==■ = 2 = lim -------== = 1. Celkem tak dostáváme lim {l/x3 + 3x2 - Vx2-2x) = 1 + 1 = 2. I I->+CO Příklad 2.49. Určete lim x?[(x + 1)3 - (x - 1)3]. Řešení. Limitovaná funkce je zde sice zapsána ve tvaru pro nás trochu neobvyklém, ale vcelku by to pro nás neměla být nijak obtížná úloha. lim x5[(x + 1)3 - (x - 1)3] lim x3 (x + l)2 - (x - l)2 X->+°° (X + 1)3 +(X + 1)3(X- 1)3 +(X- 1)3 . 4 4x3 lim --------------4-------------------j--------------j-------------------j = X^+°° (X + 1)3 + (X + 1)3 (x - 1)3 + (X - 1)3 Hm _____________4_____________ = 4 60 Limita funkce Příklad 2.50. Určete lim i? Ux + 2- 2-Jx + 1 + Jx). Řešení. Je lim x 2 (Vx + 2 — 2"Jx + 1 + -Jx) = lim x2Í(Vx + 2 + -Jx) — 2"Jx + li I^+OO I->+CO lim x 2 I->+CO 2 lim x 2 3 x + 2 + 2-Jx + 2 V^ + ^ - 4(x + 1) -Jx + 2 + -^x + 2 V* + 1 3 V* + 2 ^x — (x + 1) -►+°° -Jx +2 + -Jx + 2V* + 1 ___ _____ —^=^ • lim x[Vx + 2-Jx — (x + 1)] ^+co -Jx+2 + -Jx + 2V* + 1 x^+co 2 lim 1 ,. (x+2)x-(x + l)2 1 2 • - • lim x—. -----------------= - lim - lim 2m( 4 *->+°o V^ + 2Vx+ (x + 1) 2 x^+co ^/x + 2 *Jx~ + (x + 1) 1 2 V 2/ 1 ,. -1 1 / 1\ 1 1+2+1+1 ^ v " 4 Můžeme zde ale použít i jinou metodu, se kterou jsme se setkali v Příkladě 2.46: lim x3 (Vx + 2 - 2Vx + 1 + y/x) lim x^[(Vx + 2-Vx + l) + {-Jx - Vx + l)] 1 1 i->+oo lim x 2 I-»+CO lim x 2 V* + 2 + -Jx + 1 ^/x + -Jx + 1 3 ^/x + -Jx + 1 — -Jx + 2 — -Jx + 1 -++~ (Vx+2 + Vx + l)(V^ + V*+ O lim i->+oo lim X2 X2 V* + 2 + V* + 1 V* + V* +1 -\/X +oo Řešení. Zde je postup zcela jasný, spíše trochu činí potíže, jak výpočet zapsat: lim [v (x + a{) • • • (x + a„) — x] = 1^+00 lim I->+0O lim tj{x + ai) • • • (x + a„) — x í ~ (x + ai) • • • (x + a„) — x" 2.2 Příklady 61 lim i->+oo lim (ai + • • • + a„)x" + polynom stupně <(« — !) «-i J](y(x+ai)---(x+a„)) !=0 (a! + • • • + a„) + polynom y <("-1) n—1—ŕ ai H-------h a„ x^+co n-1 !=0 EV(1 + ^)-(1 + ^) (x _ v^tt)" + (x + Vx^T)" Příklad 2.52. Určete lim -------------------------------------------, n je přirozené. x^+co X" Řešení. Je lim I->+0O (x - v^rri)" + (x + v^n")" (x _ v^tt)" (x + v^^rr lim -i----------------— + lim -i----------------— = i^+oo x" i->+co x" / x — Vx2 — 1\« / x + Vx2 — 1\« I lim ----------------) + I lim ----------------) . \x^+co x / \x^+co x / Navrhujeme tedy postup, který jsme dost často nedoporučovali. Vše teď závisí na tom, zda poslední dvě limity existují. Máme x - Vx2 - 1 lim ----------------= lim x^-+co x x^" 1 lim 1 +~x(x + Vx2-i) —+~X2^1 + y1_j_j o, x + Vx2 — 1 / lim----------------= lim (l + Jl I->+CO \ X2/ x^+co x x^+co \ V xz takže všechno je v nejlepším pořádku a můžeme použít Větu 2.1 body a) c). Dostáváme (x _ v^TTf + (x + v^^rr lim -i----------------i------i----------------'— = 0" + 2" =2". x^+co x" (vT+?+*)" - (vrn? _ x)n Příklad 2.53. Určete lim-------------------------------------------, n je přirozené. x^O X Řešení. Zde by bylo velice dobré získat v čitateli x, které by se mohlo zkrátit s x ve jmenovateli. Zřejmě ale stačí použít rozklad typu A" — B". lim x^O (a/T+3? + x)n - (vT+? - x)" lim — x^O X 2 lim x^O X n-1 2x • J2{^+^ + x)""1"' (7T+^ - x)! !=0 n-1 J2(^~+*~2 + ^)""1"! (7^+^ - *)' !=0 2«, neboť poslední funkce je spojitá v bodě 0. 62 Limita funkce V dalším budeme počítat limity funkcí, v jejichž vyjádření se vyskytují trigonometrické funkce. Zde nám bude velmi užitečná znalost následujících dvou limit, totiž sinx 1 — cosx 1 lim------= 1, lim------------= - . x-*0 X x-*0 X 2 Určení limity funkce, v jejímž vyjádření se trigonometrické funkce vyskytují, lze totiž velmi často zredukovat až na tyto dvě limity. Přitom druhou z nich lze velmi snadno (jak hned ukážeme) odvodit z první. Potřebuje se však tak často, že se vyplatí si ji pamatovat. 1 — COS X Příklad 2.54. Určete lim------------. x^O X2 Řešení. Použijeme známou trigonometrickou formuli sin2 | = 1~°osx . Vyjde 1-cosx 2 sin21 1 sin21 1 /sin^\2 \-m x2 x2 2 £i 2 4 Podle Věty 2.1 bodu b) a c) dostáváme sin í \ 2 1 — cosx lim-------------= lim x^O X2 x^O Hr)2Bfer) takže stačí určit poslední limitu. Za tím účelem použijeme větu o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g(x) = § a vnější funkci f(y) = sjfL. Platí x siny lim — = 0, lim------= 1. x-*o 2 y-*Q y sin — Tedy pro limitu složené funkce f(g(x)) = —r2- dostáváme 2 Hm sin, _Hm siny _L x-^0 | y^O y láme pak 1 — COSX 1 9 1 lim------------= - • 1 = -x-^o x2 2 2 sin5x říklad 2.55. Určete lim--------. x^O X Řešení. Podle zkušenosti z předchozího příkladu bychom tuto limitu dovedli vypočíst, kdyby ve jmenovateli bylo 5x, právě tak jako v čitateli, a ne pouze x. Nic nám ovšem nebrání v tom, abychom si 5x ve jmenovateli vytvořili. sin5x / sin5x\ sin5x lim--------= lim I 5 •--------) = 5 lim--------= 5-1 = 5. x^o x x^ov 5x / x^o 5x K určení poslední limity je samozřejmě třeba opět použít větu o limitě složené funkce (zde bereme g{x) = 5x, f(y) = 2£2). A 2.2 Příklady 63 sin x Příklad 2.56. Určete lim ------ x^+co x Řešení. Toto je trochu netypický příklad. Povšimněte si, že limitu máme počítat v +oo. Zde je dobré použít Větu 2.5. Funkce f(x) = \ má v +oo limitu 0 a funkce g{x) = sinx je dokonce na každém okolí bodu +00 omezená, neboť | sinx| < 1. Tedy podle Věty 2.5 sin x /l . \ lim ------= lim I — • sinx ) =0. :^+co x x^+co\x / tgx Příklad 2.57. Určete lim----- x^O X Řešení. Tam, kde se vyskytují funkce tg x a cotg x, bývá obyčejně vhodné vyjádnt je pomocí funkcí sin x acosx. Dostaneme ,• tg* ,• ^oll r /SÍnx * \ ,• SÍnx i1 lit lim -2— = lim -££LL = lim ------•------- = lim------• lim-------= 1-1 = 1, x-*0 X x-*0 X x-*0\ X COSX/ x-*0 X x-*0 COS X neboť funkce —^— ie v bodě 0 spojitá. COSX J r J Příklad 2.58. Určete lim (x cotg 3x). Řešení. Je cos3x* ,• , -, n ,• / COSJX\ lim (x cotg 3x) = lim I x—------) = lín x^o x^ov sin3x/ x-* lim -+o\ sin3x/ x^o 3^i 3x lim cos 3x x^O 1 1 ~ 3- 1 " 1 lim3Sin3x x^O Jx - 3 hm sin3x -x^O ix 3 tg x — sin x Příklad 2.59. Určete hm -------------- x^o sinj x Řešení. Je x • sinx •„ v li i t2 x — sin x --------sin x --------l l — cos x lim -2------^-----= lim ü2L£_-------= Hm ~S£_— = Hm------"* (l — COS X X \ --------ô------ ' ■ o ) = _____ ___ .. Xz StfTX/ 1 — COSX X2 1 1 1 1 hm-------------• hm -—— = - • hm r^osin2x 2 x^o/"sinx^2 2 ljm(sinx) x^O 1 1 _ 1 11 2 " (KrnŮOxÝ ~ 2 'P ~ 2 sin 5x — sin 3x Příklad 2.60. Určete hm-------------------- x^o sin x Řešení. Je sin5x-sin3x .. sin5x .. sin3x .. 5^ .. 3-sin3x lim ----- = lim — lim = lim -^rr-----lim 3x x^o sinx ;sin5x\ ]• /o sin3x x^o sinx x^o sinx x^o sinx x^o 2^ x^o ^"^ lim (5^) lim(3^i) - - x^ov 5x ' _ x^ov 3x ' _ 5 _ 3 _ lim sši Um »isi ~ i i ~ • x^O x x^O x 64 Limita funkce Předchozí postup je ovšem možno maličko modifikovat. Např. lim x^O sin 5x — sin 3x sinx lim x^O sin 5x — sin 3x sinx lim ,. /sin 5x sin 3x lim H'fe x^o sinx x^0\ x x / Vr->-0 x Neboje možné hned na začátku použít trigonometrickou formuli sin5x sin3xN lim-----------lim-------- 2. x^O X a + ß a - ß sin a — sin ß = 2 cos —-— sin —-— Pak lim x-*0 sin 5x — sin 3x sinx 2 cos 4x sin x lim-----------------= lim (2 cos 4x) = 2, x-*o sinx x-*o neboť funkce 2 cos 4x je spojitá v bodě 0. cosx — cos3x Příklad 2.61. Určete lim------------------- x-*0 X1 Řešení. Zde bychom měli vytušit příbuznost s limitou lim ale můžeme ho tam přičíst a odečíst. Vyjde 1 —COS X Číslo 1 se sice v čitateli nevyskytuje, lim x-*0 cosx — cos3x lim x-*0 (cos x — 1) + (1 — cos 3x) cosx — 1 1 — cos3x lim---------------h lim — 1 — cosx 1 — cos3x lim---------------h 9 lim 1 „ ,. 1 — cos 3x -----h 9 lim----------— 2 x^o (3x)2 -I+9.I 2 2 x^O X1 4. x^o (3x)2 Na výpočet poslední limity musíme použít větu o limitě složené funkce. (Přitom bereme g{x) = 3x, f(y) = ^f2-) a 1 + sinx — cosx Příklad 2.62. Určete lim---------------------------, p ^ Oje reálné. x^o 1 + sin px — cos px Řešení. Musíme se snažit limitovanou funkci upravit tak, abychom vytvořili výrazy tvaru ^^ a 1~c°sx. lim 1 + sin x — cos x lim (1 — cosx) + sinx *->-o 1 + sin px — cos px x^o (1 — cos px) + sin px v 1—cosx i sinx lim 1 —cos x i sinx > a 1—cos/JX i sin/?x lim + + lim(x±^°M + ^) -►0 „2rl-^PX p-* (px)2 + P sin/?x /?x lim(x±^) + lim^ x^0v x ' x^O x llm„(^1S£ + P™) M^*^) + llm>™) lim x • lim x^O x^O 1 —COS X + lim^ x^O x lim p2x • lim i^21|£ + p hm "Ě££ x^0^ x^O (^)2 x^O ^x O4 + 1 0-i + p-l 1 P 2.2 Příklady 65 sin mx Příklad 2.63. Určete lim---------,m a rajsou celá. x^x sinrax Řešení. Příklad vypadá trochu nezvykle. Snadno bychom si s ním poradili, kdybychom měli určit limitu v bodě 0. To bychom psali sinmx lim--------= lim siľ»x atd- x^o sinrax x^o nsmM. nx Pro x blížící se k jr se však argument sinu v čitateli blíží k mu. Kdyby se blížil k 0, bylo by to pro nás daleko příjemnější. Naštěstí zde můžeme udělat vhodnou úpravu. Napíšeme totiž mx = (mx—mit) +m%. Dostáváme sinmx sin[(mx — mjr) + mjr] sin(m(x — jt)) cosmjr sinrax sin[(rax — rajr)+rajr] sin(ra(x — jr)) cosrajr _ (-l)msin(m(x-jt)) _ B sin(m(x - jt)) (—1)" sin(ra(x — jt)) sin(ra(x — jt)) nsin(m(x - jt))' Odtud sin mx lim —:------- = lim x->n sinrax *->-ji (-1)" sin(ra(x — jt)) Sm(m(x-ix)) lim sin(m(x-Tt)) í\yn-n Hm m m(x-n) = (_l)m-n ™ . *-m m^~") x^JT n sin(«(x-Jt)) ^ n j-m sin(«(x-Jt)) n{x—jt) x^-jt n(x — n) Pak lim sm(™(x xV vypočteme snadno podle věty o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci T- __v -TT tli \Ji JI) g(x) = m(x — jt) a vnější funkci f(y) = ^^ . Platí siny lim m(x — jt) = 0, lim------= 1. x^jt y^O y Pro limitu složené funkce f(g(x)) = smji'ľ(^~")) potom dostáváme sin(m(x — jt)) siny lim------------------- = hm------= 1. x-*n m(x — jt) y^O y Tedy podle předchozího iimsmmx=(_i)m_„m_l=(_i)m_„m *^n sinrax ra 1 ra Příklad 2.64. Určete lim (tg2xtg(f - x)). Řešení. Zase je vhodné nejprve tangenty vyjádřit pomocí sinu a kosinu. Nyní dáme zvlášť tu část limitované funkce, která je spojitá v bodě j: sin2x sin(| — x) sin2x sin( j — x) cos2x cos(f-x) cos(f-x) cos2x 66 Limita funkce Odtud lim (tg2xtg(f-x)) = lim sin 2x sin cos(f -x) sin2x ,. sin(j - x) lim ---------------- • lim--------------- x^|cos(^-x) x-+\ cos2x sin(2-f) sin(f-x) (f~*)' cos2x lim sin(f - x) cos (f ~~ 4) *">"? cos2x *->-f cos2x Celý výpočet bude jistě v pořádku, pokud poslední limita existuje a je vlastní. V limitovaném výrazu se j — x, protože při x blížícím se k j nám líbí argument u sinu, totiž j — x, protože při x blížícím se k j se blíží k nule. Ze zcela stejných důvodů se nám naopak nelíbí argument 2x u kosinu, a proto nejprve provedeme úpravu: 1 sin(f - x) sin(f - x) sin(f - x) cos2x cos [2(jc - f) + 2f ] 2sin(f - x) cos(x - f) 2cos(x - f) ' Nyní už snadno dostáváme hm(tg2xtg(f-x)) = lim 1 1 1 -|2cos(x-f) 2cos(f-f) 2' neboť funkce 2cos(x-%) Je v b°dě f spojitá. sin x — sin a cos x — cos a Príklad 2.65. Určete lim----------------- a lim------------------ x-*a x — a x-*a x — a Řešeni. Zde by opět bylo výhodné u sinu respektive kosinu mít argument x — a. Toho můžeme dosáhnout použitím trigonometrických formulí: sin x - sin a 2 cos ^ sin L-53-hm-----------------= lim-------------------— x-*a X — a x-*a lim x—ra x — a x—a COS x + a sin ^f- ^ x—a Z 2 x + a sin ^ lim cos--------• lim ———— = cos a • 1 = cos a, cos x — cos a —2 sin ^ sin ^ lim------------------= lim---------------------— *->-a x — a = lim — sin x—ra x — a x—a x + a sin — 2 ^ siná • 1 = — siná. . x + a sin —y hm sin--------• lim------— Při výpočtech jsme využili spojitost funkcí cos ^ a sin ^ v bodě a. Pro informaci čtenáře uveďme, že jsme zde vlastně vypočetli derivace funkcí sin x a cosx. A 2.2 Příklady 67 Příklad 2.66. Určete lim-------------- a lim-------------------- x^a x—a x^a x — a Řešení. Je , , sinx siná ,. tgx-tga ,. ——: - -— ,. sin x cos a - cos x sin a lim —--------— = lim £°M-----£°1£. = lim------------------------------- x^a x — a x^a x—a x^a (x — a) cos x cos a sin(x — a) sin(x — a) 1 = lim-------------------------= lim--------------• lim x-*a (x — a) cos x cos a x-*a x—a x-*a cos x cos a 1 1 cos2 a cos2 a , , COS X COS (3 cotg x — cotg a ,. -j—- — -j—- ,. cos x sin a — sin x cos a lim —------------— = lim -^^-----^- = lim----------------:------:-------- x-*a x — a x-*a x — a x-*a (x — a) sin x sin a sin(a — x) sin(x — a) 1 = lim------------:------:— = — lim--------------• lim x-* a (x — a) sinx siná x-*a x—a x-*a sin x sin a .i. ' - ' Můžeme opět upozornit, že jsme zde vlastně vypočetli derivace funkcí tg x a cotg x. A sin(a + 2x) — 2 sin(a + x) + siná Příklad 2.67. Určete lim----------------------------------------------. x-*0 X1 Řešení. Budeme mít zase zájem upravit limitovanou funkci tak, aby argument u sinu se blížil k 0 pro x jdoucí k 0. sin(a + 2x) — 2 sin(a + x) + sin a x~2 = sin a cos 2x + cos a sin 2x — 2 sin a cos x — 2 cos a sin x + sin a Nyní se budeme snažit předešlý výraz upravit tak, aby se nám objevila některá ze známých limit lim ^^, x-*0 x lim 1~c°sx. Protože ve jmenovateli je x2, je přirozeně větší šance, že se objeví limita druhá. x^O x sin(a + 2x) — 2 sin(a + x) + sin a hm----------------------------------------------= x^O XZ (sin a cos 2x — sin a) + (2 sin a — 2 sin a cos x) + cos a sin 2x — 2 cos a sin x = lim-----------------------------------------------------------------------------------------------------= x^O X1 sin a cos 2x — sin a 2 sin a — 2 sin a cos x cos a sin 2x — 2 cos a sin x = hm----------------------------h hm------------------------------h hm----------------------------------- = x-*0 X x-*0 X x-*0 X 1 — cos 2x 1 — cos x sin 2x — 2 sin x = —4 sin a hm----------------h 2 sin a hm---------------h cos a hm--------------------= x-*0 (2x)2 x-*0 X1 x-*0 X1 1 1 2 sin x cos x — 2 sin x = — 4 sin a ■ —h 2 sin a ■ —h cos a ■ hm----------------------------= 2 2 x-,0 x2 sinx(cosx — 1) . cosx —1 = — sin a + 2 cos a ■ hm--------------------- = — sin a + 2 cos a ■ hm sin x • hm x-*0 X1 x-*0 1 srna + 2cosa • 0 • ( — J = — siná. 68 Limita funkce Je ovšem možný ještě jiný postup. (S něčím podobným jsme se už setkali třeba v Příkladě 2.46 a 2.50.) sin(a + 2x) — 2 sin(a + x) + sin a lim x^O lim x^O lim x^O lim x^O (sin(a + 2x) — sin(a + x)) + (siná — sin(a + x)) 2 cos 22±3£ sin | + 2 cos ^ sin(-f) 'sin f cos 22±3£ - cos 22±i sin § cos 22±3£ _ cos 2ä±* lim------ • lim----------------------— x^O | x^O X 1 • lim x^O -2 sin(a + x) sin j sin^ - = — lim sin(a + x) • lim------ x^O x^O J sin a • 1 = — siná. Příklad 2.68. Určete lim x^O cotg(a + 2x) — 2 cotg(a + x) + cotg a Řešení. Je cos(q+2x) 0cos(q+x) , cos a ,. cotg(a + 2x) - 2cotg(a + x) + cotg a _ sjn(a+2x) ~ z sin(a+x) + 1^ x^O Xz x^O Xz = lim [(cosía + 2x) sin(a + x) sin a — 2 cos(a + x) sin(a + 2x) sin a + x^0LV + cosa sin(a + 2x) sin(a + x))/(sin(a + 2x) sin(a + x) siná • x2)] = = lim---------------------------------x x^o sin(a + 2x) sin(a + x) sin a x lim ľ(cos(a + 2x) sin(a + x) sin a — 2 cos(a + x) sin(a + 2x) sin a + x^0LV + cos a sin(a + 2x) sin (a + x)) /x2] . První limita je zřejmě rovna ^^. Výraz v čitateli u druhé limity je dosti složitý, a proto si ho nejprve upravíme: cos(a + 2x) sin(a + x) sin a — 2 cos(a + x) sin(a + 2x) sin a + + cos a sin(a + 2x) sin(a + x) = = sina(sin(a + x) cos(a + 2x) — cos(a + x) sin(a + 2x)) + + sin(a + 2x) (sin(a + x) cos a — cos(a + x) sin a) = = siná sin(—x) + sin(a + 2x) sin x = sinx(sin(a + 2x) — siná) = sinx • 2cos(a + x) sin x = 2 sin xcos(a +x). Tedy cotg(a + 2x) — 2cotg(a +x) + cotg a 1 2 sin2 x cos (a+x) lim----------------------------------------------- = —-— • lim---------------------- x-^o xL sinJ a x-^o xL 2 2 cos a 1 • COS a = —r-— . sin- ,. /sinx\2 — • lim I------I • lim cos(a + x) a x^ov x / x^o sin3 a sinJ a 2.2 Příklady 69 Zde je ovšem možné použít též postup z Příkladů 2.46, 2.50 a 2.67. cotg(a + 2x) — 2 cotg(a + x) + cotg a lim x^O lim x^O lim x^O (cotg (a + 2x) — cotg(a + x)) + (cotg a — cotg(a + x)) /cos(r3+2x) cos(a+x) \ i /cos a cos(a+x) \ V sin(í3+2x) sin(í3+x) / V siná sin(í3+x) / atd., který se od předchozího téměř neliší. Má snad jen tu výhodu, že při uvedení výrazů v závorkách na společného jmenovatele okamžitě vidíme příslušnou součtovou trigonometrickou formuli, protože výrazy nejsou komplikovány ještě třetím faktorem jako výše, který bylo třeba vytýkat. Á Příklad 2.69. Určete lim x^O sin(a + x) sin(a + 2x) — sin2 a Řešení. Zde v každém případě musíme upravit čitatele zlomku, přičemž se snažíme získat výrazy jako sinx, sin2x a podobně. Můžeme použít součtové trigonometrické formule. Potom dostáváme sin(a + x) sin(a + 2x) — sin2 a = = (sin a cos x + cos a sin x) (sin a cos 2x + cos a sin 2x) — sin2 a = = sin2 a cos x cos 2x + sin a cos a cos x sin 2x + sin a cos a sin x cos 2x + + cos2 a sin x sin 2x — sin2 a. Odtud lim x^O sin(a + x) sin(a + 2x) — sin2 a sin a ■ lim x^O cos x cos 2x — 1 sin2x + sin a cos a ■ lim (cos x • x^OV X + ,. /sinx \ ? ,. /sinx . \ + sin a cos a ■ lim ------cos 2x + cos a ■ lim ------sin 2x = x^OV X / x^OV X / 1 — cos x cos 2x : — sin2 a ■ lim----------------------h 2 sin a cos a + sin a cos a + cos2 a • 0 x^O X . 7 1 — cosxcos2x : — sin a • lim----------------------h 3 sin a cos a. x^O X Zbývá tedy vypočíst ještě lim 1 —cos x cos 2x Zde máme různé možnosti. Ukážeme jednu z nich. V násle- dujícím Příkladě 2.70 se čtenář může seznámit s odlišným postupem. Je 1 — cosxcos2x cos2x + sin2x — cosx(cos2x — sin2x) lim-------------------= lim------------------------------------------------ x^O X x^O X lim x^O lim x^O cos2x(l — cosx) + sin2x(l + cosx) cos2x 1 — COS X + lim x^O sinx sinx • (1 +cosx) 1---0+1-0-2 = 0. 70 Limita funkce Celkem tak dostáváme sin(a + x) sin(a + 2x) — sin2 a lim---------------------------------------------- x^O X sin a • 0 + 3 sin a cos a = 3 sin a cos a = - sin 2a. Můžeme ale ukázat j eště j eden, poněkud obratnej ší způsob výpočtu této limity. Je to opět metoda vhodného přičtení a odečtení. Nejprve opět upravíme čitatele limitovaného zlomku: sin(a + x) sin(a + 2x) — sin2 a = = (sin(a + x) sin(a + 2x) — sin(a + x) sin a) + (sin(a + x) sin a — sin2 a) = = sin(a + x)(sin(a + 2x) — siná) + sina(sin(a + x) — siná) = 2a + x x = sin(a + x) • 2 cos(a + x) sin x + sin a ■ 2 cos---------• sin — . Odtud lim x^O sin(a + x) sin(a + 2x) — sin a 2 lim x^O sin (a + x) cos(a + x)- sinx + sin a • lim x^O cos ■ 2a + x sin § 2 sin a cos a + sin a cos a = - sin 2a. Příklad 2.70. Určete lim x^O 1 — cos x cos 2x cos 3x 1 — cosx Řešení. Použijeme zde metodu vhodného přičtení a odečtení. 1 — cos x cos 2x cos 3x = = (1 — cos 2x cos 3x) + (cos 2x cos 3x — cos x cos 2x cos 3x) = = (1 — cos 3x) + (cos 3x — cos 2x cos 3x) + cos 2x cos 3x (1 — cos x) = (1 — cos3x) +cos3x(l — cos2x) + cos2xcos3x(l — cosx). Odtud lim x-*0 1 — cos x cos 2x cos 3x 1 — cosx 1 — cos3x = lim---------------h hm x^O 1 — COSX x^O cos3x 11—cos3x lim ■ x^O 9_} i 2 (3x)2 1 —cos X + lim x^O 1 — cos 2x 1 — cos x 1—cos 2x + lim (cos 2x cos 3x) x^O cos 3x • (2x)2 1—COSX + 1 + 1 4-i + 1 = 9 + 4 + 1 = 14. 2.2 Příklady 71 tg (a + x) tg (a — x) — tg a Příklad 2.71. Určete hm------------------------------------. x-*0 X2 Řešení. Zde můžeme použít přímo součtovou trigonometrickou formuli pro funkci tangens. tg (a + x) tg (a — x) — tg2 a = tga+tgx tg a -tgx 2 tg7 a = Odtud lim 1 — tg a tg x 1 + tg a tg x _ tg2 a - tg2 x - tg2 a(l - tg2 a tg2 x) _ tg2 x(tg4 a - 1) 1 — tg2 a tg2 x 1 — tg2 a tg2 x tg (a + x) tg (a — x) — tg2 a ~2 = = (tg4a - 1) • lim ^ • lim * = (tg4a - 1) • 1 • j x-^o x2 x-^o l — tg2 a tg7 x 1 ,4 tg4 a - 1 =-----------1 sin4 a sin4 a — cos4 a cos4 a cos4 a (sin2 a — cos2 a) (sin2 a + cos2 a) cos 2a cos4 a cos4 a A 1 — cos(l — cosx) Příklad 2.72. Určete lim-------------------------. x-^0 X4 Řešení. Tento příklad může sice na první pohled vypadat složitě, ve skutečnosti je však velmi jednoduchý. 1 — cos(l — cosx) lim lim lim 1 — cos(l — cosx) (1—cosx)2 (1 — cosx)2 1 — cos(l — cosx) /l—COSX\2 x-^0 (1 — cosx)2 lm/l-cosxy=l /K2=l x^o\ x2 / 2 \2/ 8 Povšimněte si, jak jsme museli limitovaný výraz upravit, abychom se dostali k již známým limitám typu lim i^oäi. ▲ x->0 x Příklad 2.73. Určete lim----------------------------. x->% 2sin2x — 3 sinx + 1 Řešení. Můžeme postupovat tak, že napíšeme sin x = sin[(x — -|) + -|] apoužijeme příslušnou součtovou trigonometrickou formuli. My však použijeme jiný způsob. Dosadíme-li j do čitatele a jmenovatele uvažovaného zlomku, vyjde nám vždy 0. Znamená to tedy, že číslo sin ^ = ^ je kořenem jak polynomu 2y2 + y — 1, tak i polynomu 2y2 — 3y + l. Snadno dostáváme rozklady 2y2 + y - 1 = 2(y + l)(y - I), 2y2 - 3y + 1 = l(y - ^j(y - 1). Odtud 2 sin2 x + sin x - 1 2(sin x + 1) (sin x — ~) lim----------------------------= lim --------------:---------------- x-*l 2sin2x - 3sinx + 1 x->% 2(sinx - ^)(sinx - 1) sin x + 1 9 + 1 = lim ------------= -f------= —3. x->% sinx - 1 5 — 1 72 Limita funkce Pripomeňme opět jednou, že jsme zde použili Větu 2.10 s tím, že ., , 2 sin2 x + sin x — 1 sin x + 1 /(*) = ——------—------— , g (x) =----------- 2 sim x — 3 sin x + 1 sin x — 1 siníx Příklad 2.74. Určete lim Řešení. Je sin(x - f) r->-f 1 — 2 cos x sin(x — |) t. sin(x — ^) lim --------------= lim r , x^fl-2cosx x^f 1-2cos[(x - f) + f] = lim sin(x — f) -í 1 - 2(cos(x - f) • \ - sin(x - f) • &) sinŕx — y) lim 7------------------^------1=--------------= ^f (1 - cos(x - f)) + V3 sin(x - f) sin(x--|) y x 3 __ ^4 l-Cos(x-f) bu /ô sin(x-f) ~ 1 1 V3 Í-0 + V3 V3 3 ' A tg3 x — 3 tg x Příklad 2.75. Určete hm--------------— . x^f COS(x + f) Řešení. Zde nemá cenu hned na začátku vyjadřovat tangentu pomocí sinu a kosinu. Můžeme si totiž povšimnout, že z čitatele lze vytknout tgx, což je funkce spojitá a nenulová v bodě |, přičemž v čitateli zbude tg2x — 3 = (tgx — \/3)(tgx + VŠ). Druhý činitel v tomto rozkladu je ale též funkce spojitá a nenulová v bodě f! tg3x-3tgx tgx(tgx - V3)(tgx + VŠ) lim----------------— = lim----------------------------------------- = x->% COS(x + j) x->% COS(x + j) tgx — V3 r- = lim tgx • lim ------------— • lim (tgx + v 3) = *_►! & x^fcos(x + f) x^f & ^ tgx-V3 r- iši-VŠ = VŠ • lim -2------V • 2V3 = 6 lim -S2Ľ------ = x^f COS(x + |) x^f COS(x + |) sin x — V3 cos x 1 sin x — V3 cos x = 6 hm -------------------— = 6 hm -------• hm---------------------- = x->% cosxcos(x + -g) x^ f cos x x^f cos(x + -g) 1 ^ sin x — -TT cos x sin x cos ^ — cos x sin f = 6 • T • 2 • lim ^—r---------2-------r = 24 lim ------------3------------------3- = I ^ « cos[(x - f) + f ] *-►! - sin(x - f) sin(x - f) = -24 lim —-------y~ = -24. x->% sin(x - j) Úprava \ sin x — -^ cos x = sin(x — y) se nám může zdát trochu umělá. Kdybychom ale použili trochu těžkopádnějšího vyjádření sinx — V3 cosx = sin [(x _ f) + f ] _ VŠ cos [(x — f) + f], dospěli bychom samozřejmě ke stejnému výsledku. Á 2.2 Příklady 73 Příklad 2.76. Určete lim Řešení. Je x2 x-^2 COS tX x2-4 0-2)0 + 2) x-2 lim------— = lim--------p----------------7 = lim (x + 2) • lim-----=-------------------=■ x^2C0sfx ^2 COS f [O -2) +2] x^2 x-,2 COs[f O ~ 2) + f ] x-2 4 f O-2) 16 = 4 • lim-------r------------r = -4------hm —i----------^ =------. *->2-sin[fO-2)] j: *->2sin[fO-2)] jr cos x — sin x Příklad 2.77. Určete lim x->4 cos2x Řešení. Je cos x — sin x cos x — sin x lim -----------------= lim cos2x *->-f cos2x — sin2x cos x — sin x 1 lim ---------------------------------------= lim x-+\ (cosx — sin x) (cos x + sinx) *->-f cos x + sin x 1 1 V2 cos f + sin j V2 2 Povšimněte si, že zde obvyklý posun x = (x — j) + ^ ani nebylo třeba provádět. sin(x - £) Příklad 2.78. Určete lim *-"f ^ -cosx Řešení. Je sin O - f) sin O - f) lim —=-----------= lim '-f^-cos* *-?cosf-cos* sinO - j) = lim ^?-2sin[±(f+x)]sin[±(f-x)] 1 ,. 1 ,. sin(x-f) • lim ——,-------------- • lim 2 ^|sin[I(í+x)] ^|sin[I(í-x)] 1 I lim2sin[I(f-x)]cos[i(f-x)]_ 2 i ~| sin[I(f-x)] 5(!-*)" 2 lim cos x—^ ^ 2V6 Byl ovšem možný též jiný postup výpočtu poslední limity 2. sin O - f) sin O - f) lim ——,------------- = — lim -|sin[I(f-x)] ^|sin[I(x-f)] sin(x-f) x_i 1 lim -----\6 % = --— = -2, o 1 / ir x ^ í(*-f) což dosazeno výše, dává samozřejmě opět výsledek 2. 74 Limita funkce 1 — cotg3 x Příklad 2.79. Určete lim s r->-f 2 — COtgX — COtg3 X ' Řešení. Je 1 — cotg3 x .. 1 — cotg3 x lim------------------------— = lim *-> I 2 — cotg x — cotg3 X *-► f (1 — cotg x) + (1 — cotg3 x) (1-cotg x)(l + cotg x +cotg2 x) 1 + 1 + 1 lim *-►! (1 -cotgx) + (1 -cotgx)(l +cotgx +cotg2x) 1 + 1 + 1 + 1 4 Všimněte si, že vůbec nebylo potřeba kotangentu vyjadřovat pomocí sinu a kosinu. a/1 + tgx — V1 + sin x Příklad 2.80. Určete lim----------------^-------------. x^O X3 Řešení. S rozdílem odmocnin jsme si již několikrát poradili. Zde budeme postupovat zcelajako obvykle — zlomek rozšíříme. Tentokrát součtem obou odmocnin: ,. VI +tgx — a/1 + sinx (1+tgx) - (1 + sinx) lim-------------------------------- = lim *-►<> x3 *^0x3(*Jl + tgx + a/1 + sinx) 1 tgx-sinx 1 ^^-sinx = lim , ------, • lim ^------í-----= - • lim ^—------- *-►<> yr+tgx + a/1 +sinx *-►<> x3 2 x^o x3 1. sinx(l — cosx) 1 1 sinx 1—cosx = - lim---------------------= - lim-------• lim------• lim------------ = 2i^0 X3COSX 2x^0 COSX x-*0 X x-*0 X1 _ 1 1 _ 1 ~ 2 ' ' '2 ~ 4' Příklad 2.81. Určete lim x2 <^o a/1 +xsinx — a/cos x Řešení. Je x2 .. x2 (V 1 + x sin x + a/cos x) lim-------------------= lim *->-o Vl +xsinx - a/cosx *->-o 1+xsinx-cosx lim (a/1 +x sinx + Vcos x) • lim — x^0v y x^O 1 x2 cosx + x sinx 1 1 14 2 • lim -:-------------:--- = 2 • ------:------------------:--- = 2 • -;------ = - x^O i^£2L£ + sffi£ ljm I=£°L£ + ljm Slili I + 1 3 x2 x x-,0 x2 x-,0 x 2 a/cosx — Vcosx Příklad 2.82. Určete lim ------------^------- x^o sin2 x Řešení. Zde opět podle našich zkušeností by bylo možné čitatele zapsat jako obvykle ve tvaru Vcos3 x — Vcos2 x a zlomek příslušným způsobem rozšířit. Schůdnější aleje přičíst a odečíst jedničku: ,. a/ČOŠx-VČOŠx ,. (Vcosx - 1) + (1 - Vcosx) lim-----------------------= hm -----------------——------------------ = x-*o sin2 x x-*o sin2 x 2.2 Příklady 75 Vypočteme obě poslední limity: Vcos x — 1 lim-----—------ : x-^o sin7 x = lim lim cosx — 1 ^o sin2 x (Vcos x + l) 1 cosx — 1 1 i —==------• lim------------ = - lim o ^/cosx + 1 *->-o sin2 x 2 x-*o 2 1 COSX XL sin2x 1 cosx — 1 - lim------------ 2 x-^o x2 . IM (JL)2 = I. (_I).i x^ovsinx/ 2 V 2/ 1 "4 lim 1 — Včošx x^o sin2 x = lim lim 1 — cosx ^° (l + l/čošx + (Vcos x) ) sin2 lim 1 — cosx 01 + v^ô^ + (Včô^)2 "^ sin2 x - ■ lim 3 x^o 1 — COS X sin2x 11 _ 1 3 ' 2 ' ~ 6 Celkem tedy dostáváme lim x-*0 Vcos x — l/čošx sin2x 1 1 "4 + 6 1 '12 Příklad 2.83. Určete lim i — Vcos x r^0+ 1 — COS Jx Řešení. Je lim 1 — Vcos; lim 1 — cosx ^o+ 1 — cos *Jx x-*0+ (l — cos */x) (l + Včošx) 1 .. 1 — COS X lim lim ^0+ 1 + ^COSX x^0+ 1 — cos V* - lim 2 x^o+ 1 — COS X • X (V^)2 1 — COS V*7. 1. 1 — cosx - lim------------• hm x • lim 2 x->o+ x2 (V^)2 1 1 x-*o+ x-*o+ 1 — cos -Jx 2 2 0-2 = 0. Příklad 2.84. Určete lim x^0 1 — cos x Vcos 2x a/cos 3x Řešení. S podobným příkladem (jen bez odmocnin) jsme se již setkali. Byl to Příklad 2.70. Při úpravě čitatele zde budeme postupovat stejným způsobem: 1 — cos x Vcos 2x a/cos 3x = = (l — Vcos 2x Vcos 3x) + (Vcos 2x Vcos 3x — cos xVcos2x Vcos 3x) = (l — Vcos 3x) + (Vcos 3x — Vcos 2x Vcos 3x) + + (Vcos 2x Vcos 3x — cos xVcos2x Vcos 3x). 76 Limita funkce Odtud lim x^O 1 — cos x a/cos 2x a/cos 3x 1 — a/cos 3x a/cos 3x — Vcos 2x a/cos 3x lim-------------------h lim----------------------------------------h + lim x^O Vypočteme nyní poslední tři limity: a/cos 2x a/cos 3x — cos x a/cos 2x a/cos 3; 1 — a/cos 3x lim-----------------= lim 1 — cos 3x x^O Xz 1 — cos3x lim--------------• lim x^O X2 ^° x2(l + VčôŠ3x" + (VČÔŠ3JČ) ) 1 _ 9 1 _ 3 2 ~ 2 ' 3 ~ 2' a/cos3x — a/cos2x a/cos3x 3/--------- lim--------------------------------------= lim vcos3x • lim ~^° 1 + a/cos 3x + (a/cos 3x ) 1 — a/cos 2x x^O x^O x^O X^ 1 • lim 1 — cos 2x lim x^O ^0jc2(l + a/cos 2x) ^o x 1 - = 1, 2 a/cos 2x a/cos 3x — cos x a/cos 2x a/cos 3x 1 — cos2x lim--------------• lim 1 -*0 1 + a/cos 2x 4 1 ------= 1, 2 2 lim [a/cos 2x a/cos 3x 1 • lim-------------= 1 • - = - x^oL J x^o x2 2 2 Dohromady tak dostáváme 1 — cos xa/cos 2x a/cos 3x 3 1 lim-----------------------------------= - + 1 + - = 3. x^O Příklad 2.85. Určete lim (sin-Jx + 1 — sin*/*)• i->+oo Řešení. S limitou funkce J x + 1 — Jx v +oo si umíme velmi dobře poradit. Naše funkce zde je ovšem rozdílem dvou sinů. Abychom dospěli k rozdílu -Jx + 1 — Jx, použijeme trigonometrickou formuli pro sin a — sin ß: lim (sin "Jx + 1 — sin a/x ) = X—*++0O Jx + 1 + Jx . "Jx + 1 — Jx 2 cos-------------------• sin — 2 2 Funkce 2 cos 2+v^x je na celém svém definičním oboru omezená. Dále pak 2.2 Příklady 11 pnčemž používáme větu o limitě složené funkce. Za vnitřní funkci bereme funkci g{x) = , J. r Z y v x -\-1 -\- v x) za vnější funkci f(y) = siny. Platí lim ^+~ 2(Vx~n+jž) Odtud pro limitu složené funkce f(g(x)) = sin 2(v^+T+v^) lim siny = 0. dostáváme lim sin , , :------—- = lim sin y = 0. ^+o° 2(V* + 1 + y/x) y^o S použitím Věty 2.5 dostáváme konečný výsledek lim (sin \Jx + 1 — sin *Jx") = 0. x^+oo tg(tgx) — sin(sinx) Příklad 2.86. Určete lim-------------------------- x^o tg x — sin x Řešení. Je tg(tgx) — sin(sinx) tg(tgx) — sin(sinx) lim----------------:---------- = lim-------—------:---------- x^o tgx — sinx x^o — ° COP tg(tgx)-sin(sinx) lim-----------:—TT---------------------= lim x-^0 sinx(l-cosx) x_^0 sinx cosx tg(tgx) — sin(sinx) sinx(l — cosx) . . ... . tg(tgx)-sin(sinx) ,. r tg(tgx)-sin(sinx) ---------3-------- lim cos x • lim---------------------------= 1 • lim —:------:--------- x^0 x^0 sinxfl — COSX) x^0 sm£ . 1-cosx Jjm tg(tgx)-sin(sinx) x^0 x -►o sinx(l — cosx) tg(tgx) — sin(sinx) lim ^^ • lim 1 —COS X 2 lim x^0 x^0 x x^0 x [tg(tgx) - sin (tgx)] + [sin (tgx) - sin(sinx)] 2 lim------------------------------------------------------------- = x^0 X3 tg(tgx)-sin(tgx) sin(tgx)-sin(sinx) 2 lim----------------------------h 2 lim---------------------------- x^0 x^0 Vypočteme nyní postupně obě poslední limity: tg(tgx) -sin (tgx) _ sin(tgx) - sin(tgx) cos(tgx) x-*0 x-*0 lim x-*0 lim x-*0 sin(tgx) 1—cos(tgx) x3 cos (tgx) 1 cos (tgx) sin(tgx) tgx 1—cos(tgx) /tgx\2 tgx tg2 x m 1 cos (tg x) sin(tgx) tgx lim-------------• lim------• lim x-*0 tgX x-*0 X x-*0 1 — COS(tgx) / tgX\2 tg2x (lim-----) • lim \x-*0 X / x-*0 1 o cos (tgx) 1 1 1 1-1- — -1^- — = —. 78 Limita funkce lim x^O sin (tg x) — sin(sinx) Celkem tedy lim x^O 2cos(ÍM^)sin(í£™:) 2 lim im cos ( -►o V tgx+sinx\ ,. sinl-s—5----) - • lim —-—-=------ I x^O 2 • 1 • lim x-*0 2 ťtgx — sinx > ■0 X3 „„„ ŕtgx —sinx\ sin^-s-^—j tgx - sinx tex —sinx sm/tgx-smxx 2 lim >„ ? ; • lim 2x3 tg x — sin x x^O tgx—sinx -►o 2x3 x-*0 X x-*0 X sinx(l — cosx) sinx 1—cosx 1 1 • lim--------------------- = lim------• lim-------------• lim x^O xjcosx 1.1.1=1. 2 2 x^O cosx lim x^O tg(tgx) — sin(sinx) tg x — sin x 2--+2-- =2. 2 2 V dalším se budeme setkávat s limitami funkcí, v jejichž vyjádření se budou vyskytovat exponenciální a logaritmické funkce. Zde velmi často s výhodou použijeme znalosti limit lim------ x^O X -.b 1 1 ,. ln(l+x) lim-------------= 1. x^O X Příklad 2.87. Určete lim-------— , a > 0. x-*b X — b Řešení. Mocninu o základu jiném než je e bývá většinou výhodné převést na mocninu o základu e. lim a — a lim pX ln a __ pb In a x-^b X — b x-^b X — b ^{x—b)\na __ i lim x—rb J?\x\a *{x—b) \na __ i a lim x—rb lna- (x — b) In a a In a • lim x — b ~{x—b)\na __ i *-A (x — b) ln a a lna • 1 = a lna. K výpočtu poslední limity jsme opět použili větu o limitě složené funkce. Vnitřní funkcí zde je g{x) (x — b)\na a vnější je f(y) e*-l Potom lim[(x — b) lna] = 0, x—rb a tedy lim *(x—b)\na __ i lm^ = l, y^0 y lim í-i = 1. x-?b (x — b) ln a y^o y Povšimněte si pro pozdější potřebu, že ve speciálním případě b = 0 dostáváme - 1 lim------ x^0 X lna, 2.2 Příklady 79 což je výsledek, který stojí za zapamatování. Pro informaci můžeme uvést, že výsledek ax — a lim---------- x-*b X — b a lna vlastně dává derivaci funkce ax 2 2 Příklad 2.88. Určete lim ——^—r , a > 0, b > 0. r^o (ax — bx)2 ' e*2-l Řešení. Víme-li, že lim -— = 1, je v podstatě okamžitě jasné, že též lim —r x^O x x^O x 1. Jednička se ovšem v naší funkci vůbec nevyskytuje — budeme ji tedy muset přičíst a odečíst. Výraz ax — 1, který takto vyrobíme, by potom bylo nutné vydělit x2. Zkušenost ukazuje, zeje technicky pohodlnější toto vydělení provést hned na začátku: a*2-**2 2 2 lim-------------- = lim a*2-*1 lim x-*0 x" í^O (ax - bx)2 x^O (ax-b*Ý /-jim a*-b*\ Vypočteme nyní obě poslední limity. Je ax2-bx2 (ax2 - 1) + (1 - bx2) lim-------------= lim----------------------------- x^O X1 x^O Xz 2 2 ax — 1 bx — 1 a lim-------------lim------— = ln a — In b = In — b na základě výsledku Příkladu 2.87. Obdobně ,. ax-bx ,. (ax - 1) + (1 - bx) lim----------= lim---------------------------= x^O X x^O X ax — 1 bx — 1 a = lim------------lim---------= ln a — ln b = In — x-*0 X x-*0 x b opět na základě výsledku Příkladu 2.87. Obě předchozí limity je ovšem možno vypočíst i trochu jinak. Bez Příkladu 2.87 se ovšem ani zde neobejdeme: 2 2 ax — bx lim-------------= lim x-*0 X1 x-*0 ■xl ^b Ox -1 (f Y - l lim bx* ■ lim ^—„-----= 1 • ln - = ln - x-*0 x-*0 X ax — b a a — = ln — b b lim x^O X lim (f Y - l V .lid------- (tY - l lim bx • lim —--------- x-*0 x-*0 X a a 1 • ln - = ln - . b b Vychází tedy lim 2 2 ax — bx lni b 1 -►o {ax - bx)2 (ln f )2 ln ■ 80 Limita funkce In x — In a Příklad 2.89. Určete lim-------------, a > 0. x->-a x — a Řešení. Je lim In x — In a lim ln = x-*a x — a -*a a(- — l) a x-*a 1 lnľl + (* - 1)1 lim-^- Vfl ;J 1 Účelem této úpravy bylo dostat výraz typu ln(l + *), kde * se blíží k nule, když x se blíží k a. Nyní stačí použít větu o limitě složené funkce. Vnitřní funkce je g(x) = - — 1, vnější je f(y) = n<-1+y> . Vyjde im(í-l) lim 0, Pro složenou funkci f(g(x)) = * "— tedy platí lim x—*a ln[l + C- - 1)] £_1 y^O y lim-----------= 1. 3^0 y Celkem tedy vychází In x — In a 1 1 lim------------- = - • 1 = - . x-*a x — a a a Uveďme pro informaci, že jsme zde vlastně vypočetli derivaci funkce lnx. xb — ab Příklad 2.90. Určete lim---------, a > 0. x-m x — a ~Mnx __ ~blna Řešení. Je xř — ab lim--------- = lim x-*a X — a x-*a = eblna lim x—^a lim x—*a ^.blna ^b(\nx— \na) __ i x — a cb(lnx-lna) _ l ft(mx_ma) fe(lnx — lna) ~b(\nx—\na) __ i ab ■ b ■ lim-----------------• lim x — a In x — In a 1 bab ■ 1 •- = bab-\ x^a fe(lnx — lna) x^a x — a a K určení první limity z posledního součinu je zapotřebí věta o limitě složené funkce, druhá byla vypočtena v předchozím příkladě. Zde můžeme opět uvést, že jsme vypočetli derivaci funkce xb. Ve speciálním případě a = 1 dostáváme 1 lim - x-*\ X — 1 b. Tato limita stojí za zapamatování. Příklad 2.91. Určete lim a > 0. ■c^a xP — a? Řešení. Tuto limitu velmi snadno vypočteme s použitím výsledku předchozího příkladu: 2.2 Příklady 81 Příklad 2.92. Určete lim-------— , a > 0. x-m x — a Řešení. Výrazy v čitateli jsou dosti nesourodé. Mocniny nemají ani stejné základy ani stejné exponenty. Bude vhodné přičíst a odečíst mocninu, která s jednou ze dvou právě zmíněných má stejný základ, a s druhou stejný exponent. Nabízí se tedy aa nebo xx. Konstanta je ale většinou přijatelnější než funkce. Použijeme proto a". Vyjde lim a — x lim (ax - aa) + (aa - xa) x-*a x — a x-*a ax — a" x — a lim lim x-*a X — a x-*a x — a Pro určení posledních dvou limit jsme použili Příkladů 2.87 a 2.90. aa ln a — a ■ aa = aa (In a — 1). Příklad 2.93. Určete lim-------— , a > 0. x-m x — a Řešení. Zde musíme začít podobně jako v předchozím příkladě: lim x — a lim (xx — ax) + (ax — a") x^a x — a x^a x — a lim-------------h lim x — a ax — aa x" - a" lim-------------h a ln a. x-x> x — a x-*a X — a x-*a x — a Jsme-li na rozpacích, jak vypočítat poslední limitu, použijeme osvědčený postup — vyjádříme všechny mocniny prostřednictvím mocnin čísla e. lim lim pX ln x __ pX In a lim x^a X — a x^a x — a -X lna ^x(lnx—lna) _ i X — a ex(lnx-ln«) _ l lnx_lna x(lnx — lna) x — a ■ x limexlnfl -lim x—*a x—*a ex(lnx-lna) _ i ln x — ln a 1 efllnfl • lim —-----------------lim----------------lim x = aa ■ 1 • - • a = aa. x-*a x(lnx — lna) x-*a x—a x-*a a Celkem potom dostáváme lim Příklad 2.94. Určete lim x^a X — a ax+h + ax-h _ 2ax ~h2 a" +cř\na =afl(lna + 1). a > 0. Řešení. Zde bychom si měli v první řadě povšimnout, že v čitateli je možno vytknout ax. Dále se pak budeme snažit získat nám již známou lim an-\ lna. A^O lim ax+h + ax-h _ 2ax h1 lim a + a h2 ax ■ lim ah + \ - 2 h->o h2 a2h — 2ah + 1 ax ■ lim--------——-------= ax ■ lim h-?o ahh hh2 h^O 1 (ah - l)2 ah h2 1 / ah — K2 1 ax ■ lim — ■ (lim---------) = ax ■ - ■ (ln a)2 = ax ln2 a. h^o ah \h^o h / 1 82 Limita funkce Příklad 2.95. Určete lim —---------------, a £ ß. x^o sin ax — sin ßx Řešení. Zde můžeme ukázat dvě metody výpočtu. První je lim lim (e<"-l) + (l-e^) ,. - ax lim eax-l oe?x-\ ---------P-ßT -►o sinax — sinßx x^o sin ax — sin ßx x^o aHiH£ _ ß^ߣ alim^-ZUim^-1 x^O J, 0 ßx a ■ 1 - ß ■ 1 a lim '■ x-*0 ß lim 22^i a • 1 - ß ■ 1 x^O ßx 1. Druhá metoda vypadá takto: ,A* lim lim r^o sin ax — sin ßx x^o lim e^x • lim x-*0 x-*0 ,ßx 1 Ja-ß)x _ y 2cos(^x)sin(^x) e(a-ß)x_-[ (a-,ß)x 1 -lim cos(^x) *■"(?*) ,(a-/3)i_j 1 1 lim _^o (a-ß)x x^O COS(^X) ,:_ -n(^-) 1 1 lim x-*0 «-ř, Příklad 2.96. Určete lim ln(x2 + qx) r^O ln(x4 + Q2x) ' Řešení. Rádi bychom jistě viděli výrazy tvaru ln(l + *). Provedeme proto následující úpravu: lim ln(x2 + ex) lim ln[l + (x2+ex- 1)] -►o ln(x4 + e2x) x-,0 ln[l + (x4 + e 2x 1)] lim x-*0 lim x +ex ln[l+(x2+eJ-l)] x2+ex —1 ln[l+(x4+e2*-~ ' x4 _|_ e2x _ 1 x4+e2x_1 ln[l + (x2+eJ-l)] '"q x2+ex —1 • lim x2 + e* 1 lim ln[l+(x4+e2*-l)] x^0 x4 + c2x _ 1 x^O x4+e2l-l K výpočtu limit v čitateli a jmenovateli musíme použít větu o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g(x) = x2 + ex — 1 a vnější funkci f(y) ln(l+y) y Máme lim(x2 + e - 1) = 0, lim ln(1 + y) = 1, x^O y^O y ,, . ,— mame xL+sr — 1 a tudíž pro složenou funkci f{g{x)) = in[i+(*2+e*-D] ln[l + (x2+ex- 1)] lim x^O x1 + e* 1 lim--------------= 1. 2.2 Příklady 83 Právě vypočtenou limitu však ještě neopustíme. Věta o limitě složené funkce má totiž ještě jeden předpoklad, který jsme dosud zcela opomíjeli, a to proto, že jeho ověření v dosud probíraných příkladech bylo velmi snadné. Aby naše již uvedené použití věty o limitě složené funkce bylo oprávněné, musíme ukázat, že existuje redukované okolí ^*(0) bodu 0 takové, že pro každé x e ^*(0) bodu 0 je x2 + ex — 1 ^ 0. Zde je nejschůdnější následující postup (i když nezapadá do rámce pojmů a vět, které zatím používáme). Pro funkci g{x) = x2 + ex — 1 platí g(0) = 0. Derivace funkce g v bodě Oje rovna g'(0) = 1. Funkce g{x) je tedy v bodě 0 rostoucí. To znamená, že existuje levé redukované okolí bodu 0, na němž je g{x) < g(0) = 0, a rovněž pravé redukované okolí bodu 0, na němž je g{x) > g(0) = 0. Odtud je existence okolí ^*(0) s požadovanými vlastnostmi zřejmá. Limitu ve jmenovateli vypočteme zcela stejným způsobem a vychází rovněž 1. Zbývá tedy určit x2+ex-l lim x^0 X4 + Q2x — 1 Zde se opět budeme snažit získat výrazy tvar ^-^ a výrazy jim podobné. ,. x2 + ex-\ ,. x2 + x-^ hm —-------------- = lim x'-^0 X4 + Q2x — 1 x-*0 X4 +2x ■ &2X~l 2x i sLú, lim x + lim ^ - hm-----------x17—---------------------------------------------------- - ^0x3+2.efpl Hm x3 + 2 . Hm e^l 0 + 2-1 2 zx x-*0 x-*0 Lx Celkově nám tedy vychází ln(x2 + ex) 1 1 1 hm Příklad 2.97. Určete lim x-K> ln(x4 + e2x) 1 2 2 ln(x2 + ex) ^+co ln(x4 + e2x) ' Řešení. Funkce je zde úplně stejnájako v předchozím příkladě, rozdílje však v tom, že máme určit limitu v +00 a nikoliv v bodě 0. Opět se budeme snažit dostat výrazy ln^*\ kde * -> 0, když x -> +00. Zde je potřeba si uvědomit, že funkce cx roste do +00 rychleji než libovolná mocnina x". Přesněji to v našem případě znamená, že lim ^ = 0 (viz tabulku limit v úvodní části této kapitoly). Je ,. ln(x2+e*) ,. ln[e*(l + £)] hm-------------— = lim —-—-------^-r2- = x^+00 ln(x4 + e2x) x^+00 ^2* (i + 4Í)] „ , xi Ml + #) x + ln(l + 4) t lim ----------i------£f- = lim -----------------^-— = c-+~ 2x + ln(l + ^) —+~ ^ in(i+^) zx t e2x • ^_ qZx 1 + *-^ 1+ Hm £• Hm ^ »•+CO e i->+co £f T4 , . .. . r4 lim 2 + 4r-^^- 2+ hm 4j • lim pZI T-4 — ■ ------7 pZI ------7 T-4 c -4— X^+CO c X^+CO -4— 1+0- 1 _ 1 2 + 0- 1 ~ 2 84 Limita funkce Závěrečnou část předchozího výpočtu lze však trochu zjednodušit: lim + M1 + Ŕ lim 1 + ln(l + fr) *^+co2x+ln(l + ^) x^+° 2 + ln(l + 37) 1 + lim i->+oo ln(l+fr) Příklad 2.98. Určete lim 1 + lim \ ■ lim ln(l + ^) 2 1 lim ln(1+^~~2+ lim 7- lim ln(l + ^) Z -f- lim ------------- x^+co x x^+co v a ' 1 + 0-0 _ 1 ' 2 + 0-0 ~ 2' ln(l + 3x) r^-coln(l + 2X) Řešení. Kdybychom počítali limitu této funkce v +oo, postupovali bychom stejně jako v předchozím příkladě. Výpočet by byl jen trochu jednodušší. V případě lim je však situace jiná. Především si musíme X—*— co uvědomit, že lim 2X = 0 a lim 3X = 0. Vyjde ln(l + 3*) ,. 3*- Mim lim-----------------= lim lim x^T-co ln(l + 2X) x^í-co 2X ■ ln(1+y) x^-co (!) ln(l+3J) 3* ln(l+2*) 2X /^Ux 1Ím lim (-) ^-°° I->-00 \2/ ln(l+3J) 3* lim X^-—CO ln(l+2*) 2* 0-- = 0. 1 Příklad 2.99. Určete lim ln(l + v^ + Iß) Z+°° \n(l + lß + {ß) ' Řešení. Měli bychom neváhat a opět bychom se měli snažit vytvářet výrazy typu x -> +00. Začneme např. takto: ln(l+*) * : kde * -> 0 pro lim ln(l + -ß + iß) In lim '^(1 + 4= + ^ ■\J X yl -+ooln(l + V^ + ^) *-+~in^i + ^ + ^y lim — Ilnx+ln(l+3fe + ^)' Zde bychom si ale měli všimnout, že případné vytvoření výrazu K1+*+*) v čitateli (a podobného ve jmenovateli) celkový výraz dosti komplikuje (což by ještě nemuselo vadit) a 2.2 Příklady 85 lim hlavně neukazuje žádnou rozumnou cestu k cíli. Lépe je upravit poslední limitu takto: 1 + úl-^ + ji + é) _ + I^-ln(1 + * + *) _ 2+x^oo^\^Jn(l + ^ + é) _^ + 0-0_3 1+ lim i . um in(i+ i + i ) f+ 0-0 2 i->+co 1 3 Z tohoto příkladu bychom si měli vzít následující ponaučení. Je vhodné vytvořit výraz ln(l + *) s tím, že * -> 0, ale nemusí být již vhodné vytvářet výraz Mi±*l_ Členem lnx, který je jak v čitateli tak i ve jmenovateli, je vhodné vydělit. (S analogickou situací jsme se konečně setkali již mnohokrát.) To ovšem předpokládá, že v čitateli resp. jmenovateli se nezastavíme u výrazu In «/x resp. In l/x. Pak by nás asi stěží napadlo výrazem In x dělit. Á Příklad 2.100. Určete lim |x(ln(x + 1) - lnx)l. x^+oo Řešení. Je i->+oo lim ľx(ln(x + 1) — lnx)l = = lim xln(-------)= lim xlnílH—) = ln(l + i) = lim V , x) = 1 X na základě věty o limitě složené funkce. Á log(x + h) + log(x — h) — 21ogx Příklad 2.101. Určete lim-----------------------------------------, kde log značí dekadický logaritmus a h-*o n1 x > 0. Řešení. Vyskytuje-li se v limitované funkci jiný logaritmus než přirozený, je nejlepší tento logaritmus vyjádřit pomocí logaritmu přirozeného. Pro dekadický logaritmus logjak známo, platí log a = loge-lna. S použitím tohoto vztahu dostáváme log(x + h) + log(x — h) — 21ogx lim----------------------------------------- = a^o h2 logeln(x + h) + logeln(x — h) — 2 log e lnx = lim---------------------------—-------------------------- = a^o h2 ln(x + h) + ln(x — h) — 2 In x loge • lim h-*0 h2 ln((x + h)(x — /z)) — 2 lnx A^0 il2 loge • lim n(x2 — h2) — lnx2 h2 loge • lim _£ V x2) x"1 loge -----5- • lu X2 tl- Mi-S) iog i ío _Ai x2 r2 log e • lim ln^£ h^o h< 1 = loge 86 Limita funkce Čtenář by se neměl nechat zmýlit poněkud neobvyklým značením v tomto příkladu. Proměnnou je zde h, zatímco x je zde konstanta. Á ln(l+xex) Příklad 2.102. Určete lim *-»<> ln(x + Vl+x2) Řešení. Idea výpočtu je stejná jako u předchozích příkladů tohoto typu. Jenom technické provedení je trochu složitější. ln(l+xex) ln(l+xex) lim —---------. = lim -►o ln(x + Vl+x2) *-►<> ln(i + (x + Vl+x2 - l)) ln(l+*e*) x lim ** e ->o in(i+(x+yi^7_i)) x + Ví +x2 - 1 X + .y/l+X2-l ln(l+*e*) xqX lim —— xe* — • lim *-►<> ln(l + (x+yT+^-l)) x^O x _|_ Vi +X2 - 1 i+Vi+i2-i 1 xex - • lim 1 *-►<> x + Vl+x2 - 1 Poslední limitu upravíme za pomoci vztahu A2 — B2 = (A + B) (A — B). Zde je ovšem z technických důvodů vhodné osamostatnit odmocninu. Položíme proto A = Vx2 + 1, B = 1 — x a zlomek rozšíříme výrazem A + ß. Dostáváme tak xe* ,. xe^VTT^ + a-x)) lim---------, ------= lim — *-»<>* + Vl+x2- 1 ^o (Vl + x2 - (1 - x))(Vl + x2 + (1 - x)) lim QX(J\ +x2 + (1 - x)) • lim x^0 V y x^0 1 +X2 - (1 -X)2 X 1 2-hrn — =2-- = 1. x^o 2x 2 Příklad 2.103. Určete lim ľ(x + 2) In (x + 2) - 2(x + 1) ln(x + 1) + x lnxl. Řešení. Příklad nevypadá na první pohled příliš průhledně. Dvojka u prostředního členu nám však signalizuje možnost následující úpravy: i->+oo lim [O + 2) ln(x + 2) - 2(x + 1) ln(x + 1) + x lnx] = lim ľ(x + 2) ln(x + 2) - (x + 1) ln(x + 1)1 + x^+co + lim [xlnx - (x + l)ln(x + 1)]. i->+oo Je-li úprava v pořádku — to ovšem závisí na tom, zda vůbec existují poslední dvě limity, a přirozeně na tom, čemu jsou rovny. Podíváme se na poslední z nich, protože je trochu jednodušší než ta první. Již jsme viděli (viz Příklad 2.100), že vyskytuje-li se někde rozdíl logaritmů, bývá výhodné zapsat ho 2.2 Příklady 87 jako logaritmus podílu. U naší poslední limity to bohužel nejde, protože oba logaritmy jsou ještě něčím násobeny. Ale použijeme-li metodu vhodného přičtení a odečtení, nakonec se nám to přece podaří: I->+CO . X + 1 x ln----------ln(x + 1) lim \x lnx — (x + 1) ln(x + 1)1 = lim \(x lnx — x ln(x + 1)) + x^+co x^+co + (x ln(x + 1) - (x + 1) ln(x + 1))1 = lim x^+c Teď ale není těžké vidět, že jsme patrně v koncích. Snadno totiž vidíme, že x + 1\ lim f- t->+oo \ -xln ln(l + i) lim , x = -1, I->+0O lim (—ln(x + 1)) = — oo, I->+0O takže lim f- -xln x + 1 ln(x + 1)) -oo, což nevěští nic dobrého. Všechno nám ale zkazil člen — ln(x + 1). My jsme ale hned na začátku limitovanou funkci napsali jako součet dvou funkcí. V druhé se nám objevil právě zmíněný člen — ln(x + 1). Neobjevil by se nám u první funkce člen ln(x + 1) a nezrušily by se oba? Zkusme to: (x + 2) ln(x + 2) - 2(x + 1) ln(x + 1) + x lnx = = [O + 2) ln(x + 2) - (x + 1) ln(x + 1)] + [x lnx - (x + 1) ln(x + 1)] = [(x + 2) ln(x + 2) - (x + 2) ln(x + 1)] + [(x + 2) ln(x + 1) - (x + 1) ln(x + 1)]] + + [x lnx - x ln(x + 1)] + [x ln(x + 1) - (x + 1) ln(x + 1)] (x + 2) ln ^— + ln(x + 1) + x + 1 (x + 2) Infi +-------) - x Infi + -) V x+1/ V x> x + 2 ln(l + ^) ln(l + i) x + 1 x • ln----------ln(x + 1) x+1 -^ I • X+1 X Vidíme tedy, že naše první metoda — použití věty o limitě součtu — nebyla vhodná, ale přesto nás alespoň pnvedla na správný nápad. Jak jsme právě viděli, oba nepříjemné členy se zrušily. Nyní už snadno dostáváme lim \{x + 2) ln(x + 2) - 2(x + 1) ln(x + 1) + x lnx] + 2 ln(l + ^) ln(l + i) lim i->+oo X + 1 -Lr X+1 lim x + 2 lim M1 + lir) r^+co x+1 x^+co ^_ x+1 1-1-1 = 0. lim i->+oo Ml + Í) 88 Limita funkce Příklad 2.104. Určete lim x^0+ ln(xlna) • ln(-------) V ln - / a > 1. Řešení. Tento příklad vypadá (alespoň na první pohled) dosti obtížné. Ale není pravda, že nejobtížněji vypadající limity se vždy nejhůře počítají. Nevíme-li, jak začít, bude asi nejlepší začít zkoumat jednotlivé členy limitované funkce. Máme lim ln(xlna) x^0+ Inax lim x^o+ ln- lim -oo, ln x + In a lim i _j_ lna 1 "i" lnx r^o+ lnx — lna x'-^'o+ i _ Im lnx 1+ lim |^ 1 + lna- lim t^- x^0+ lnx x^0+ lnx 1 lim x^0+ lna lnx 1 — In a • lim r- x^0+ lnx 1 +lna -0 1 -lna-0 1. První limita nám vyšla nevlastní. Tato informace nám tedy asi nebude užitečná. Druhá limita vychází 1. Jinými slovy, limita zlomku |f, který j e argumentem logaritmuje 1. Takovou příležitost bychom neměli propást. Vždyť přece můžeme napsat ^f = 1 + {^f — l), přičemž lim (^ř — l) = 0. A právě tento obrat nám otvírá cestu k výpočtu zadané limity. Je lnaxN r /inax\ lim ln(xlna) • ln ------- x^o+ L V ln - / lim x^0+ ln(x ln a) • ln 1 + 4nax /inax \i (irr -')] lim x^0+ lim x^0+ /max \ ln(xlna)-^—-lJ. Inax x Ml + ife) ln(xlní ln; Inax Inax lní /inax v a) • (i^r - 0. ln • lim x^0+ i _i_ / Inax __ i \ lm / ln ax — ln - \ lim (ln(xlna)-------——a-\ ■ 1 x^0+\ lim ((ln x^0+\ ln; x + ln ln a) ln a + ln x — ln x + In aN ln x — In a /lnx + lnlna \ lim I-----------------• 2 ln a ) x^o+\ lnx — lna / lna • lim 1 + lnlna lnx lna 1 + In In a • lim r- 2 _____________x^0+ lnx 1 — In a • lim -r- X-.Q+ lnx lna ^o+ 1 - 1™ lnx 1 + lnlna -0 1 -lna-0 lna . Příklad 2.105. Určete lim I ln X+ + • ln x^+co V x + Vx2 - 1 X 2X + 1 Řešení. Zde si stačí povšimnout, že ,. x + Vx2 + 1 , ,. x + 1 lim ---------, = 1 a lim -------- x^+co x + */x 1 x^+co x 2.2 Příklady 89 a dále už náš postup může být zcela standardní. Vyjde ,, x + ■s/x2 + 1 _7x + l lim ln--------. • ln x^+co V x + Vx2 - 1 X - 1 ln lim ln lim \x + Vx2 - 1 Vx+Vx2-1 /- )]-'»-2h(^|-')] £+i _ 1 x-1 1 X-*+CG X+Vx2 + 1 x+^*2-l x+Jx2+\ , ■*Ä»L[1 +(£1-1)1 2+i-V^ x2-l x lim x+*Jx L-\ 1 • 1 • lim x2-l lim (x - i)2(v^TTT - VI2-^!) i lim 4(x + Vx2 - 1) (x - l)2 • 2 1 (*-l)2 lim 2 x^+co x+Vx2-l Vx2+1 + Vx2-1 X X 2 (i-ir i i2 i ^(i+y^iHy^+y^Är2 2-2 Příklad 2.106. Určete lim I->+0O ln(l + 2x)ln(l + -) Řešení. Toto je poměrně jednoduchý příklad. Povšimneme si, že lim - = 0, takže druhý logaritmus I->+CO x nebude třeba upravovat. Na druhé straně ovšem je lim 2X = +oo, což není dobré, a podle našich zkušeností bude vhodné z argumentu prvního logaritmu 2X vytknout. Vyjde: lim ln(l + 2*)ln(l + -) ln lim i->+oo lim i->+oo lim i->+oo lim i->+oo lim i->+oo xln2 + ln(l + l)].ln(l + £) / ly, 3 ln(l + f)' xln2 + lnM + —j v ' 3 x ,ln2 + ln(l + -) 3[ln2 + Iln(1 + J_) ln lim I->+0O 0+0 • 1 90 Limita funkce 3 lim i->+oo 3 lim ln 2 + 3 lim x^-+co x^-+co 1»2 + Il»(l + 1) >('4Í = 31n2 + 3 lim -• lim Inf 1 + —) = 31n2 + 3 • 0 • 0 = ln8. x^+co x x^+co \ 2X / A Příklad 2.107. Určete lim(l - x) logx 2. Řešeni. S příkladem trochu podobným jsme se již setkali (viz Příklad 2.101). Opět připomeňme, že logaritmus se základem jiným než je e bývá výhodné vyjádřit pomocí logaritmu přirozeného. Obecně platí logř a = jjü, odkud pro náš případ dostáváme logx 2 = j^|. Můžeme tedy počítat lim ((1 - x) logx 2) = lim ((1 - x) ^) = x^i v ' x^iv lnx/ x- 1 ln 2 • lim ln2- 1 = -ln2. *-»i ln(l + (x - 1)) Příklad 2.108. Určete lim (sinln(x + 1) — sinlnx). x^+co Řešeni. Je to příklad podobný Příkladu 2.85. Použijeme trigonometrickou formuli siná — sinß = 2cos^sin^: lim (sinln(x + 1) — sinlnx) = 2 lim cos -(ln(x + 1) + lnx ) • sin -(ln(x + 1) — lnx ) x^+coL 2 V / 2 V / cos(-ln(x2 +x)\ • sin -lníl + -j 2 lim I->+0O Funkce cos(^ ln(x2 + x)) je na celém svém definičním oboru omezená a pro funkci sin(i ln(l + ^)) zřejmě platí lim sin-Infi + -) = 0. x^+co 2 V x/ (Plyne to snadno s použitím věty o limitě složené funkce.) Na základě Věty 2.5 tedy dostáváme lim (sinln(x + 1) — sinlnx) = 0. x^+cov ' A lntgíf + ax) Příklad 2.109. Určete lim —^-------'- ,b^0. x^o sin bx Řešení. Zde si stačí uvědomit, že tg( j + a ■ 0) = 1 a snadno nahlédneme, že postup je zcela standardní: iim lntg(f +ax) = iim ln[l + (tg(f+ax)-l)] = x^o sinfex x^o sinfex lim x^0 ln[l + (tg(í+ax)-l)] tg(f+ax)-l tg(f + ax) - 1 sinfex Hm ln[l + (tg(f+ax)-l)] _ Hm tg(f+ax)-l x^° tg(j+ax) —1 *->-o sinfex 2.2 Příklady 91 1 -lim x^O lim x^O 1 /tgf+tg(ax) i sin bx \ 1 — tg j tg(ax) 1 1 + tg(ax) - 1 + tg(ax) sin bx 1 — tg(ax) i o sinax i --------------lim -S2^ = 1 • 2 • lim------ lim ___ x^o 1 — tg ax x-*o sin fex sinax lim sinax *->-o cos ax x-^o sin bx 2 • 1 • lim a x^O b ax _ T ^. sin&x ř, &x ln cos ax Příklad2.110. Určete lim------------,b£0. x^o lncosfcx Řešení. Zde opět stačí, když si všimneme, že cos(a • 0) = cos(fc • 0) = 1. Vyjde lncosax ln(l + (cosax - 1)) lim------------= lim — -►o ln cos bx x-^o ln(l + (cos bx — 1)) ln(l + (cosax — 1)) cos Ŕx — 1 lim x^0 cos ax — 1 cosax — 1 ln(l + (cosfcx — 1)) cosfct — 1 ln(l + (cosax — 1)) lim----------------------------• lim cos bx — 1 x-^o cosax — 1 7 1—COSÍ2X lim cosax — 1 -►o ln(l + (cos bx - 1)) *->-o cos bx - 1 1 • 1 • lim a (ax)1 x^o b2 ■ 1 —cos bx (bx)2 a2 (a\2 T2 =\b) ' Čtenář by si měl uvědomit, že náš postup je správný pouze v případě, že a ^ 0. Je-li a = 0, platí ale zřejmě Hm lncosax =limQ = o = Q 0\2 ->'o lncosfcx x^ô Vfc, což znamená, že nalezený vztah lim |^™^ = (|) platí i v případě a = 0. Příklad 2.111. Určete lim sin2(jr • 2X) -►i ln(cos(jr • 2X)) Řešení. Sympatické zde je, že cos(jr • 21) = 1. Víme tedy, co dělat s logaritmem. Méně se nám už líbí, že jr • 21 = 2tt. Byli bychom raději, kdyby nám po dosazení x = 1 argument u sinu vycházel 0. Technicky to zvládneme tak, že napíšeme tt • 2X = (tt • 2X — 2jr) + 2jr a použijeme periodicitu funkce sinus. Je lim sin2(jr • 2X) [sin((jt • 2X - 2jr) + 2tt)]2 lim r^i ln(cos(jr • 2X)) x^i ln(l + (cos(tt • 2X) - 1)) lim x^l lim cos (tt-2x)-1 (sin2jr(2x-1 - \)f ln(l + (cos(jr • 2X) - 1)) cos(jr • 2*) - 1 cos(jr • 2X) — 1 . .- • lim -►i ln(l + (cos(jr • 2X) - 1)) *->i sin2jr(2x-1 - 1)\2 ( sin 2jr(2^-1-l)\2 (2jr(2x"1 - \)f 1 -lim Ti(! 2it(2j:-1 - 1) -) • lim------— / x-*l COS((jt 2jt(2*-1 - 1) / cos(tt-2*)-1 (2jr(2x"1 - l))2 ((tt • 2X - 2tt) + 2tt) - 1 92 Limita funkce ŕ. Bm <2"(2~' - V,f *-►! cos(2jr(2^-1 - 1)) - 1 Připomeňme opět jednou, že při určení poslední limity jsme použili větu o limitě složené funkce. Vnitřní 2 funkce zde byla g(x) = 2tt(2x_1 — 1), přičemž lim 2tt(2x_1 — 1) = 0, a vnější f(y) = cJ _t, přičemž lim -Č—----------l--------- --> "^oosy-l limitu siní jtx^l Příklad 2.112. Určete lim —-—--, ß ^ 0. *->-i sin(jrxP) Řešení. Zde bohužel opět tt • \a a jr • \ß nejsou rovny 0, nýbrž jr, takže zase provedeme nejdříve posun. ,. sinCjrx") ,. sin((ju:0! - tt) + tt) - sin %(xa - 1) lim---------— = lim —-------------------r- = lim-------------------= x-*\ sin(jrxP) *->-i sin((jrx^ — tt) + tt) *->-i — sinTT(xP — 1) C(xa-1) TT(X^-I) TT(xa-l)~ /sinTT lim, x^l\ TT(xa - 1) SinTT(x^-l) TT(X^ - 1) ,. sinTT(xa-l) ,. TT(X^-I) ,. TT(xa-l) lim--------------------• lim--------------------• lim--------------- x^l TT(xa - 1) x^l SinTT(x^ - 1) x^l TT(x^ - 1) pQí In x __ i 1 • 1 • lim lim _►! eßlnx _ 1 ealnx - 1 yßlnx alnx -►i\ alnx e^lnx-l yßlnx a Qainx _ i yßlnx a a — ■ lim--------------• lim ——---------- = — .1.1 = — . ß x-,\ alnx i^i e^1 - 1 ß ß Podobně jako v Příkladě 2.110 podotkněme, že předvedený postup má smysl pouze pro a/0, ale platí i pro a = 0. Vl +x sinx — 1 že rovnost lim sm^xl\ = f platí i pro a = 0. Á Příklad 2.113. Určete lim x^0 qX2 - 1 Řešení. Tento příklad nám musí jít hladce. Známe již všechny zde potřebné postupy. Dostaneme: Vl +x sinx — 1 1+xsinx — 1 lim----------:-------------- = lim *-►<> ex2 - 1 x-,0 (e*2 - l)(Vl +xsinx + l) 1 x sin x lim — —------• lim *-►<> Vi +XSÜ1X + 1 x-,0 Q*1 - 1 i: sinx i sinx i lim ----- li i 1 iim^ = i.-°; =i.i = i 12 12 2 x^0 e*2-l 2 X2 X2 lim 2—j-x^0 x cos(xex) — cos(xe~x) X3 Příklad 2.114. Určete lim x^0 Řešení. Zde si jistě všimneme, že argumenty kosinů mají v bodě 0 hodnotu 0. Může nás tedy napadnout napsat: cos(xex) — cos(xe~x) = (cos(xex) — l) + (l — cos(xe~x)). 2.2 Příklady 93 Snadno ale nahlédneme, že tento postup asi nikam nepovede. První sčítanec by totiž bylo třeba dělit (xex)2 a my bohužel máme ve jmenovateli příliš vysokou mocninu, totiž x3. My ale naštěstí známe ještě jinou metodu — můžeme použít příslušnou trigonometrickou formuli: lim x-*0 cos(xex) — cos(xe x) lim —- x^O X3 -2 lim sin x ex+e sin x ex+e e +e sin x -) siní;* ex+e 2 sin(x • e +e ) x -2 lim —V ,, 2' ■ lim — e"+e- x-*0 X ■ ex+e -2 • 1 • 1 • 1 • - lim lim------ x-*0 X lim x-*0 x-*0 Q^ — Q~* X 1 -Q~x X lim x-*0 sin x -^ • lim - x-*0 lim x-*0 (ď - 1) + (1 -e"x) ■1 - lim- x-*0 X 1 ■ 1- 1 -2. Příklad 2.115. Určete lim x-*0+ vr vr cosx Vsinx Řešení. Toto je trochu zrádný příklad. Nahoře vidíme rozdíl dvou odmocnin, takže nás asi napadne rozšířit celý zlomek jejich součtem. Avšak Vl — e~° + Vl — cosO = 0, takže volně řečeno, se nám ve jmenovateli objevuje další nula (máme tam již sin 0 = 0) a o takovýto fenomén většinou málo stojíme. Víme však, že lim ^^ = 1 (znamená to vlastně, že funkce sin x a x jsou ekvivalentní v bodě 0) a pokud x^O x , _x ještě napíšeme zlomek v i (tj. funkci sinx jsme nahradili funkcí x), dostáváme výraz, který vypadá ■\JX docela přijatelně. Můžeme tedy zkusit (ono nám také nic jiného nezbývá) napsat lim vr Vl — cos. lim Vsinx vr= vr cosx r->-o+ Všínx Musíme ovšem pečlivě prozkoumat obě limity vpravo: Vl -e~x lim ___ x^o+ ^sinx lim (£ lim ___ x^o+ Vsinx x^o+y 7 Vsinx lim x^0+ lim x-*0+ • lim x^o+ V sinx 1 • lim 1-1 = 1. -x x^o+ y sinx K určení předchozích dvou limit je nutno použít jednostrannou verzi věty o limitě složené funkce. Dále ■s/x Vl — cos. lim ___ x^o+ Vsinx = lim x-*0+ lim x-*0+ Vl — cos; vr cosx x Vsinx lim ^_ • lim V* = J- ■ VT • 0 = 0. x^o+ Vsinx *->-o+ v 2 94 Limita funkce Celkem tedy vychází VI -e~x - VI -cosx lim ------------- . -----------= 1 — 0=1. x-* o+ Vsmx A V dalším vypočteme několik limit funkcí, v jejichž vyjádření se vyskytují hyperbolické funkce. Zde, podobně jako u trigonometrických funkcí, budou hrát důležitou roli dvě limity, totiž sinhx coshx — 1 1 lim-------= 1, lim------------- = - . x—0 X x—0 X 2 Obě limity si v dalším vypočteme. To byl také hlavní důvod k tomu, že jsme je nezařadili do tabulky limit na začátku této kapitoly. (Jejich výpočet je navíc ještě velmi jednoduchý.) Stojí ale zato si tyto limity zapamatovat. Upozorňujeme ještě čtenáře, že u druhé z limit v čitateli je opačné pořadí než u trigonometrických funkcí. Tam je totiž 1 — cosx. sinhx Příklad 2.116. Určete lim-------. x-* 0 X Řešení. Již na této limitě pochopíme, proč nám hyperbolické funkce v limitovaných výrazech nepůsobí žádné mimořádné obtíže — lze je totiž velmi jednoduše vyjádřit pomocí exponenciálních funkcí (přesněji řečeno, ony jsou pomocí nich prostě definovány). Je ,. sinhx ,. ^f1 1 ex-e~x 1 (ex - 1) + (1 - e~x) lim-------= lim —-— = - lim-----------= - lim------------------------- = x—0 X x—0 X 2 x—0 X 2 x—0 X i e -1 i i - q-x 1 1 Q~X - 1 1 1 = - • hm----------1-----hm---------= - • H-----hm---------= - H-----1 = 1. 2 x-*o x 2 x-*o x 2 2 x-*o —x 2 2 A Příklad2.117. Určete lim °°S *~ . x—0 X2 Rešení. Je ,. coshx-1 ,. táfl_\ i ex+e-x_2 , (ef_e-f)2 hm-------------= hm —-—------ = - hm---------------- = - hm---------------. x—0 X2 x—0 X2 2 x—0 X2 2 x—0 X2 Upozorněme, že úprava cx +c~x — 2 = (ex — 1) + (e~x — 1) by zde nikam nevedla. Rovnost cx + c~x — 2 = = (e? — e~í) je triviálni, ale stojí za zapamatování. Pokračujeme-li v našem předchozím výpočtu, dostaneme 2x-oV x J 2x-oV f J 2x-oV f J 1 ,. íé-e-i\2 1,. r-^f^V L. /smhi\2 11 2 ' ~ 2 na základě předchozího příkladu. K témuž výsledku můžeme dospět poněkud rychleji, známe-li různé vztahy mezi hyperbolickými funkcemi. (Tyto vztahy jsou ovšem mnohem méně běžné než analogické vztahy pro trigonometrické funkce.) Pro náš účel je vhodný vztah sinh2| = cosha~1- S jeho pomocí áváme coshx - -1 2sinh2f 1 sinh2f 1 /sinhf\2 i 1 hm-------— -lim 2 - lim 2 - lim 2 = = -• i = x-* 0 X2 x-* 0 X2 2~° (f)2 2-0 v f ; 2 2 2.2 Příklady 95 Snad bychom ještě měli uvést explicitně, že znalost vztahů mezi hyperbolickými funkcemi nám sice (jak jsme mohli vidět i nyní) může výpočet zkrátit, ale pro vlastní výpočet není naprosto nutná. Proto si také tyto vztahy nikdy tolik nepamatujeme. U trigonometrických funkcí je ovšem situace diametrálně odlišná. Neznalost příslušné trigonometrické formule velmi často způsobí, že limitu výrazu obsahujícího trigonometrické funkce vůbec nevypočteme. Příklad 2.118. Určete lim ^L! . x^O X Řešení. Toto je moc jednoduchý příklad. Všímejme si jen (nejen zde, ale i u některých jiných příkladů), že postup je zcela stejný jako u analogické limity s trigonometrickou funkcí. Vyjde tghx ,. /sinhx 1\ ,. /sinhx 1 \ ,. sinhx ,. 1 , , lim------= lim I--------• — ) = lim I-------•--------) = lim-------• lim--------= 1-1 = 1. x^o x x^oVcoshx x' x^o\ x coshx/ x^o x x^ocoshx Zde jsme využili Příkladu 2.116 a spojitosti funkce ^^ v bodě 0. A sinli x Příklad 2.119. Určete lim--------------. x^o ln(cosh 3x) Řešení. Zde si jenom uvědomíme, že cosh(3 • 0) = 1 a vidíme, že lze použít zcela standardní postup: sinh2x sinh2x lim--------------= lim -►o ln(cosh 3x) x^o ln(l + (cosh 3x - 1)) sinh2x cosh 3x — 1 x2 lim, x^o\ x2 ln(l + (cosh3x — 1)) cosh3x — 1 sinh2x cosh3x — 1 1 (3x)2 lim-----— • lim —;----------------------r • hm - • x^o x2 x^o ln(l + (cosh3x - 1)) ^o9 cosh3x-l 1 (3x)2 1 2 = 1 • 1 • - • lim-----—----- = - • 2 = - . 9 x^o cosh 3x — 1 9 9 a sinh x — sinh a cosh x — cosh a Příklad 2.120. Určete lim------------------ a lim-------------------. x^a x — a x^a x — a Řešení. Můžeme postupovat buďto jako u trigonometrických funkcí. Ukážeme to na první z obou limit. Nutně ovšem, chceme-li takto postupovat, musíme znát formuli a - ß a + ß sinh a — sinh ß = 2 sinh-------• cosh------- 2 2 (která ovšem zde naštěstí formálně zcela odpovídá příslušné trigonometrické formuli). S jejím použitím dostáváme sinh x - sinh a 2 sinh ^ cosh ^ lim------------------= lim--------------------— = x^a x — a x^a x — a sinh ^=2. x + a = lim----_ • lim cosh-------= 1 • cosh a = cosh a. x^a i—- x^a 2 96 Limita funkce Jiná možnost je prostě použít definice hyperbolických funkcí. To zase pro změnu ukážeme na druhé limitě. _x_i__—x _a_i__—a cosh x — cosh a . e "te *+*_ hm------------------- = lim----- x^a x — a x^a x — a 1 ,. (ex - efl) + (e"x - e"fl) = - lim---------------------------------------- 2 x^f-a x — a 1 ex — efl 1 e~x — e hm-----------1— hm 2 x-^a x — a 2 x-^a x — a 1 Q*-a _ 1 1 = - ď lim-------------h - e"fl lim 2 x-*a x — a 2 x-*a x — a 1 1 e-(x-a) _ 1 1 1 = - ď ■ 1 - - Q~a lim--------------= - ď - - Q~a ■ 1 = sinha. 2 2 *->-a —(x — a) 2 2 Připomeňme jen ještě, že jsme tu vlastně vypočetli derivace funkcí sinh x a cosh x. Příklad 2.121. Určete hm smh y^TI - sinh Vg^7 *^+co cosh x Řešeni. Tento příklad síce vypadá složitě, ale při troše šikovnosti nemusí dát příliš mnoho práce. Předně si uvědomme, že lim cosh x = lim - (ex +c~x) = - lim ex -\— lim e~x I->+CO i^+oo 2 2 i^+oo 2 i->+co = -.(+oo) + --0 = +oo. Tento výsledek jistě nezpůsobil člen e~x, nýbrž člen ex. A právě ten si v jistém smyslu odseparujeme — napíšeme totiž \ (ex + e~x) = \ ex(l + c~2x). Takto dostáváme sinh V* +x — sinh V* — x sinh V*2 + x — sinh V*2 — x hm ------------------------------------= hm ----------:-------------------------- x^+co COShx x^+co Ie*(l _|_e-2z) , _ sinh V*2 +x — sinh V^2" hm -2x x^+coy 1 + e 2 sinh v^ + x — sinh V*2 — x hm --------— • hm ------------------------------------ t->+O0 1 + e I->+CO Qx sinh V*2 + x — sinh V*2 — x = 2 hm ------------------------------------. I->+CO QX Poslední limitovaný výraz nyní rozepíšeme. (Ani nám moc nic víc nezbývá. Mohli bychom použít formule sinh a — sinh ß = 2 sinh ^+^ cosh ^-, ale tím —jak se může čtenář sám přesvědčit — bychom si výpočet nikterak nezjednodušili.) — (sinh y x2 + x — sinh y x2 — x) 2.2 Příklady 97 Snadno zjistíme, že a podobně Dále potom -------- x 11 lim (v x2 + x — x) = lim —^=^=-----= lim —=^-----= - x^+cov x^+oo^/x2+x+x x^+co A + 1 + j 2 lim (V*2 — x — x) = — lim (—yx2+x — x) = — lim x(,/lH------hl) lim x • lim (J\ + - + \) = -((+oo) • 2) -00 a podobně lim (—yx2 — x — x) = — oo. S použitím těchto výsledků a věty o limitě složené funkce dostáváme postupně lim - • qVx2+x~x = _ . e5, lim - • Q-yx2+x~x = o, x^+co 2 2 x^+co 2 lim I.ev^-, = I.e-i, lim I.e-v^-* = 0. x^+co 2 2 x^+co 2 Celkem tedy vychází sinh Vx2 +x — sinh Vx2 — x /l i 1 lim x^+co coshx V 2 i _i 1 = e2 — e 2 = 2sinh- . 2 /i i i i \ Příklad 2.122. Určete lim (x — lncoshx). Řešení. Napišme nejprve x — In cosh x = x — ln ex + e x Mohlo by se docela dobře zdát, že oba členy vyskytující se v rozdílu nejdou dobře dohromady. Zde nás ale musí napadnout, že x = lnex. Potom už jde vše hladce: ex + e~x ex lim (x — ln coshx) = lim (lnex — ln-----------)= lim ln = x^-+co x^-+co 2 x^-+co 2 2ex 2 lim ln-----------= lim ln--------— = ln 2. I^+OO Qx -\- Q x I^+OO 1+6 98 Limita funkce Příklad 2.123. Určete lim ~sin2x __ ~sinx Řešení. Je x^o tghx pSÍn2x __ psinx /'pSÍn2x __ i\ i fi __ pSÍnx\ lim----------------- = lim--------------------------------- x^o tghx x^o tghx ~sin2x __ i = lim----------------h lim *->-o tghx x^o tghx /esin2x _ i sin2x\ ^gSinx _ i gm x lim —■---------• —-— — lim -^o\ sin2x tghx / x^oy sin x tghx esin2x _ i 2sín2x gsinx _ i sinx lim-------------• lim —-^-----lim------------• lim -j— x^o sin2x x^o í£Hi x^o sinx x^o í£Hi X X 2 lim sš2i Um »isi , x^O /x , x^O x lim Sáli Um íslli x^O x x^O x 2 1 = 1-------1-- = 1. 1 1 Použili jsme zde výsledku Příkladu 2.118. Á Dále budeme brát v úvahu limity funkcí, v jejichž vyjádření se vyskytují cyklometrické funkce. Zde budeme velmi často potřebovat, že are sinx arctgx lim----------= 1 a lim--------- = 1. x^O X x^O X Rovněž různé vztahy mezi cyklometrickými funkcemi (bohužel často ne moc jednoduché) bývají užitečné, takže je nutno je vést v patrnosti. 1 -x Příklad 2.124. Určete lim arcsin--------. x^+co 1 + X Řešení. Zde stačí jen použít příslušnou jednostrannou verzi věty o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g{x) = j^- a vnější funkci f(y) = aresin y. Platí lim --------= — 1, lim aresin y =----- x^+co 1 + X x->--l+ 2 Pro složenou funkci f(g(x)) = aresin -j^ř pak platí . 1 — X TT hm aresin-------- =-----. x^+co 1 + X 2 Správně jsme měli ještě ověřit, že existuje nějaké okolí bodu +oo, na němž -j-^ 7^ — 1, aleje to zřejmé, neboť rovnice \=r = — 1 nemá řešení. Á l+x 2.2 Příklady 99 Příklad 2.125. Určete lim arccos (\lx2 + x —x). Řešení. Nevíme-li, co podniknout, můžeme alespoň zjistit, že lim (y x2 + x — x) = lim —^=^=-----= lim —^=^-----= - x^+cov x^+co ^/x2 _|_ x _|_ x x^+co A , J. , j 2 ^i Funkce arccos y je ale na intervalu (— 1, 1) a tím spíše v bodě \ spojitá, takže lim arccos y = arccos \ = j. Tedy podle věty o limitě složené funkce lim arccos (y x2 + x — x) = — . x-4 Příklad 2.126. Určete lim arctg x^2 (x — 2) 2 Řešení. Zde vezmeme vnitřní funkci g(x) = x 2 a vnější funkci /(y) = arctg y. Máme (X Z) lim---------- = lim x^2 (x — 2)2 x^2 (x - 4) (x - 2)2 lim(x — 4) • lim---------- = —2 • (+oo) = —oo. x^2 x^2 (x — T)L Dále pak lim arctg y =---- takže podle věty o limitě složené funkce Příklad 2.127. Určete lim arccotg ,_____ " " VI +x2 x ' -4 x-^2 (x - -2)2 X Jt "i x—^—co Řešení. Postupujeme zcela stejně jako v předchozím příkladě. Vezmeme vnitřní funkci g(x) = / a vnější f(y) = arccotg y. Jen při výpočtu lim Jí— musíme být velmi opatrní, protože tu máme výtečnou příležitost udělat x^-co y 1+x2 chybu. Limitu počítáme v bodě —oo, můžeme se tedy omezit např. na jeho okolí (—oo, 0), což jinými slovy znamená, že budeme uvažovat x záporná. Budeme samozřejmě dělit x takjako vždycky, ale musíme dát velký pozor, protože pro záporné x neplatí x = Vx2, nýbrž x lim —. = lim —■-----= — lim r->--oo ^/\ _|_x2 x^-co ^/\+x1 x^-oo I, _j_ x y x Dále pak lim arccotgy = arccotg(—1) = |jr, neboť funkce arccotg y je na intervalu (—oo, +oo) (atím y->—1 spíše v bodě —1) spojitá. Podle věty o limitě složené funkce tedy x 3 lim arccotg = -jt. x^-co Vl+X2 4 Á 100 Limita funkce D-ii jme TT-* r arctg(x+/z) -arctgx arccotg(x + h) - arccotgx Príklad 2.128. Určete hm--------------------------- a hm---------------------------------. h-*0 h h-*0 h Řešení. Vyhledáme-li příslušné rozdílové formule, zjistíme, že a-ß arctg a — arctg ß = arctg--------- pro aß > — 1, 1 +Oiß Oiß + l arccotga — arccotgß = arccotg--------- pro a ^ ß. ß — a (Doporučujeme čtenáři, aby si obě formule odvodil. Není to nic těžkého — stačí vyjít ze součtových formulí pro tangens a kotangens.) K použití první formule potřebujeme, aby byla splněna nerovnost (x + h)x > —1. Ale protože chceme počítat limitu, nebude obtížné zajistit splnění této nerovnosti. Bude stačit, když se omezíme na dostatečně malé okolí bodu x. a) Je-li x < 0, omezíme se na okolí o poloměru —x. Potom x + h < 0, a tudíž (x + h)x > 0 > — 1. b) Je-li x = 0, je nerovnost zřejmě vždy splněna. c) Je-li x > 0, omezíme se na okolí o poloměru x. Potom x + h > 0, a tudíž (x + h)x > 0. Na příslušném okolí tedy platí h arctg (x + h) — arctgx = arctg----------------. 6 6 6l + (x+/z)x Odtud arctg (x +h) -arctgx _ arctg l+{x+h)x _ h-*0 h h-*0 h h h a S l+(x+A)x \+(x+h)x lim A^0 l+(x+h)x h arctg ,,,h,h, 1 A^0 , / „ A^0 1 + (x + h)x 1 + X2 1 + X2 i+(x+h)x Druhá z limitovaných funkcí je v bodě h = 0 spojitá, takže s limitou není potíž. Na výpočet první limity je ale opět potřeba věta o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g{h) = l+,x+h)x a vnější f(y) = S^l. Protože hm-------h.-------= 0, lim 5^ = i, h-^0 1 + (x + h)x 3^0 y „—it« h máme pro složenou funkci f{g{h)) = — !+(*+*)* rovnost l+(x+A)x lim^tgI^ = iimarctgZ = i \+(x+h)x J Existuje ale i jiný způsob výpočtu této limity, při kterém ani nepotřebujeme vědět, že lim S^lil = i^ aje x^0 x hlavně nepotřebujeme znát složitou formuli pro rozdíl arkustangent. Jistě existují jednoznačně určená čísla z,w e (—f, f) taková, že x=tgz, x+h=tgw. 2.2 Příklady 101 Přepíšeme-li zcela formálně výraz arctg(x+A) arctgx pomocí am, dostáváme arctg(x + h) — arctgx arctg(tgw;) — arctg(tgz) w h tg w — tg z tg w — tg z Limitu posledního výrazu pro w -> z umíme spočítat. Toto by nás mělo přivést na myšlenku vyjádřit původní limitovanou funkci jako funkci složenou, a potom k jejímu určení použít větu o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g{h) = aretg (x + h) a vnější funkci f{w) w — z lim aretg (x + h) = arctgx = z, lim cos2 z tg w -tg z 1 Máme 1 w->z tg w — tg Z ' 1 + tg2 Z 1 + x2 Přitom při výpočtu první limity jsme použili spojitosti funkce arctgx a při výpočtu druhé limity Příkladu 2.66. Pro složenou funkci arctg(x + h) — z are tg (x + h) — arctgx arctg(x + h) — arctgx figih)) tedy platí tg(arctg(x + h)) - tg z x + h are tg (x + h) — arctgx h lim lim w 1 h <«->-z tg w — tg z 1 + x2 Druhou z limit našeho příkladu můžeme počítat analogicky, ale bylo by to velmi nevýhodné. Nesmíme zapomenout, že máme k disposici krásnou formuli aretg a + arccotg a = — . S jejím použitím dostáváme arccotg(x + h) — arccotg x lim h lim (f - arctg(x + h)) - (f - arctgx) h lim arctg(x + h) — arctgx 1 h 1 + x2 ' Poznamenejme ještě, že jsme v tomto příkladě vypočetli derivace funkcí arctgx a arccotg x. Příklad 2.129. Určete lim ln|±i 1— X *->-o arctg(l + x) — arctg(l — x) Řešení. S logaritmem si už umíme poradit a rozdíl arkustangent vyjádříme pomocí formule, kterou jsme uvedli v předchozím příkladě. Povšimněme si ještě (kvůli možnosti použití zmíněné formule), že (1 + x) (1 — x) = 1—x2 > —1, omezíme-li se např. na okolí bodu 0 o poloměru 1. Takže na tomto okolí 2x arctg(l + x) — arctg(l — x) = aretg ■ ■ x^ Použijeme-li tuto formuli, dostáváme ln|±i 1— X lim------- x^o arctg(l + x) — arctg(l — x) "-[i+m -1)] fé-i lim x^O 1+x 1-x 1 9r aretg ^2 ln[l + (^ - 1)1 lim L ^Vl"x------^ • lim x^O ±±£ — 1 x^O 1-x 1+x-l+x 2-x2 1+x _ i 1-x 1 2x 2-x2 2x 2-x2 aretg ^ 1 • lim x^O 1-x • lim 2x 2-x2 TTz-i ^o aretg £* lim — x^O 1 2-x2 •1=2-1=2. 102 Limita funkce Příklad 2.130. Určete lim x(- \4 I->+0O arctg ■ .4 x + l/ Řešení. Argument u arkustangenty se při x -> +oo blíží k 1 a my bohužel umíme něco udělat většinou jen v případě, že se blíží k 0. Ale zdánlivě nehomogenní rozdíl v závorce začne hned vypadat přívětivěji, když napíšeme j = arctg 1. Na vhodném okolí bodu +oo (např. na intervalu (0, +oo)) je nepochybně 1 x+l > — 1, takže můžeme použít nám již známou rozdílovou formuli. Dostáváme lim x (-----arctg-------) = lim x (arctg 1 — arctg-------) = x^+co V 4 X + 1 / x^+co V 6 6 x + 1 / lim I->+0O lim I->+0O 1 x arctg arctg x+l 1 + x+l lim (x arctg--------) x^+coV 62x + l/ 2x+l 1 2x+l 2x + 1 lim 2x + arctg 2x+l 2x+l lim -------- r^+co 2x + 1 1 _ 1 ' 2 ~ 2' I zde máme ovšem možnost jiné metody — metody použité již v předchozím příkladě. Bylo by jistě příjemné, kdyby se hned za arkustangentou objevila tangenta. Zkusme tedy položit -^-j- = tgy. Snadno vypočteme x tgy _ i- V4 Yzc~ a P° dosazení do limitovaného výrazu máme x \ tgy _ ' '"4 arctg t) (- -arctg(tgy)j ■(-<->)■ A x + l/ \-tgy V4 °-°-"j \-tgy Toto jsou ovšem pouze předběžné úvahy. Formálně musíme postupovat následujícím způsobem. Zvolíme vnitřní funkci g{x) = arctg -^— a vnější funkci f{y) x tgy l-tgy (j -y). Máme lim arctg------- = arctg 1 x^+co X+l TT 4 lim tgy (?-*) l-tgy V4 Odtud potom pro složenou funkci tg(arctg ^) y lim tgy ■ lim ----- tgf cos /(£(*)) l-tg(arctg^) V 4 -xt) ^4 x+l / arctg x+l í^_ --$t ' V4 arctg x+l X+ 1 X + 1 ) arctg x + 1 ) plyne lim x (-----arctg-------) = lim ----------• (-----y ) = - . r^+co V4 x+l/ y^* l-tgy V 4 V 2 Příklad 2.131. Určete lim x x^+co \ 2 il are sin 0 Řešení. Můžeme postupovat stejně jako v předchozím příkladě. Nejprve si vypočteme vnější funkci. Líbilo by se nám, kdyby se za arkussinem vyskytoval sinus. Napíšeme tedy lxl+l sin y a počítáme: x x2+l 2 sin y, x sin2 y cos2 y x2(l — sin2y) siny x =------. cosy sin2 y, 2.2 Příklady 103 (Výpočet májen předběžný charakter, takže si zatím neděláme starost se všemi detaily.) Dále máme x (li . x \ siny /jt . . \ siny /jt \ (- - arcsin ^===) =------(- - arcsin(siny)) =------(- -y). V 2 «Jx2 + 1 ' cos y V 2 / cos y V 2 / A teď už začneme dávat pozor. Vezmeme vnitřní funkci g{x) = arcsin /i— definovanou na (—oo, +oo) a vnější funkci /(y) = f^(f — y) definovanou na (—|, |). Platí ľ X ■ ^ % lim arcsin —^=^= = arcsin 1 = — , x^+co ^/x2 _|_ 1 2 siny/jt \ . f-y lim ------1-----y ) = lim sin y • lim---------------- = y^f-COSy\2 / y^f- y^f- cosy — COS j y-j i = (-1) • hm -----y------2-^ =-------— = 1 y^f- cosy — cos j — srn-j podle Příkladu 2.65. Podle příslušné jednostranné verze věty o limitě složené funkce nyní pro složenou funkci sin( arcsin —jě=\ V y/x2+l / (li /(#(*)) =-----7----------------r -(-z- arcsin ; , , ) cosíarcsin^^) V2 «Jx2 + V lx2+\ (li X \ = •-----arcsin , i • 2Í • x \ v2 v^TT/ 1 — sin2 arcsin J.— V Jxž+l/ X ■sjx2+l (li X \ ------arcsin , V2 v^TT/ v1 ívfci/ X Jx2+\ (Ü . X \ (li X \ ------arcsin , = x------arcsin , V2 v^TT/ V2 v^TT/ X2 x2+l platí (n . x \ siny /jt \ hm x-----arcsin . = lim--------------y *-+°° V2 v^TT/ y^f-cosyV2 V Podotkněme ještě, že při výpočtu složené funkce f(g(x)) jsme zcela správně použili vztahu cos a = = Vl — sin2 a, neboť v našem případě a = arcsin —== e (—f, f) a zde tento vztah platí. V takovýchto případech doporučujeme zvýšenou opatrnost, velice snadno lze udělat chybu! Předešlý postup je ovšem možné mírně modifikovat. Za tím účelem použijeme vztah a arctg a = arcsin ■ Vl+a2 platný pro všechna a e (—oo, +oo). Dostáváme tak ihned lim x (------arcsin . ) = lim x (------arctg x ). x^+co V 2 ^/x2 _|_ 1 / x^+co V 2 / 104 Limita funkce Nyní postupujeme stejně jako výše, ale jsme technicky v trochu jednodušší situaci. Vezmeme vnitřní funkci g{x) = arctgx a vnější funkci /(y) = tgy ■ (| — y). Je TT /TT \ lim arctgx = — , lim tgy ■ (-----y ) = 1 (stejně jako výše). x^+co 2 y-*%- ^2 / Pro složenou funkci /(#(*)) = tg(arctgx) • (- - arctgx j = x{- - arctgx j pak dostáváme stejný výsledek jako výše, totiž lim x (-----arctg x ) = lim tg y • (-----y ) = 1. X-.+O0 \2 / ?-►£- V2 / Nakonec ovšem zbývá ještě třetí způsob, který ale podstatně závisí na tom, známe-li či ne příslušnou formuli pro rozdíl arkussinů. Platí totiž arcsina — arcsinß = arcsin^A/l — ß2 — ß\j 1 — a2), jestliže buď aß > 0 nebo a2 + ß2 < 1. V našem případě (protože zkoumáme limitu v +oo a můžeme se tudíž omezit třeba na interval (0, +oo)) platí jistě 1 /x2+l > 0, takže lim x (— are sin , 2 Vx^T lim i->+oo lim i->+oo x arcsin = ) = lim xíarcsin 1 \ / x^+co \ arcsin ■ VV VVI2 + 1 x are sin aresin i lim i • o t) are sin /x2+l /x2+l VxTTT lim i->+oo /xl+l • lim /x2+l -++co Vx2+ 1 1-1=1. Poslední typ limit (pokud vůbec o typech limit lze mluvit) budou limity tvaru \im.\h{x)k^\ Zde je x—*a velmi výhodné postupovat následujícím způsobem. Napíšeme h(x)Kx) = ÍQXnh^)f(x) = Qk(x)\nh(x) a použijeme větu o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g(x) = £(x)ln/z(x) a vnější funkci f(y) = ď. Je-li lim k(x) ln/z(x) = A a lim ey = eA, x—*a y—*A potom pro složenou funkci f(g(x)) = e*M !"*(*) = h(x)k^ platí lim\h(x)k(x)] = lime3' = eA. x—*a y—*A Výrazy typu e-^ bohužel v případě složitější funkce f{x) vypadají ošklivě. Proto funkci ex budeme značit v případě potřeby rovněž symbolem expx. Tedy někdy místo c^x) budeme psát exp f(x). 2.2 Příklady 105 + X\T+T ,. /1+X\T+T ,. /1+X\T+T Příklad 2.132. Určete lim f-------) 1_I , lim f-------) 1_I a lim f-------) x^0\2+X/ x^l\2 + X/ x^+co\2+x/ Řešení. Zde konkrétně můžeme napsat 1 +x l-«Jx 1 — V* , l+x - , . exP(-j--------lnTT- ^2 + x/ VI—x 2+x /l + X\T^T / (2T7) = exp( )■ Dále potom už pokračujeme vcelku bez nesnází ln ,. /1-v^, i+*\ 1-VÖ, 1+0 lim ----------ln-------- =----------ln ■ A , 2 + x/ 1-0 i^oV 1 — x neboť limitovaná funkce je spojitá v bodě 0. Dále 2 + 0 ln2, lim ( x-*\ \ lim ( lim ln 1 +x 1 — *Jx l+x\ 1 — *fx ----------ln--------I = lim---------- _____ 1—x 2 + x/ *->-i 1—x *->-i 2 + x = lim-------------------— • ln - = lim--------— • ln - = - ln - , x^i (1 -x)(l + Vx) 3 ^il + VÍ 3 2 3 1 — -Jx 1 + x\ 1-x ln- lim lim I->+0O lim 2 + x/ 1 — *Jx 2+x / 1 — x ln[l + (^-l)] ,. /1+X-2-X 1 l+x _ 1 2+x ŕ—-0 V2+X / l+x _ 1 2+x ■s/x — 1 lim (- x^+co V 2 + x - V*\ 1 -x / lim 1 x^+co (2 + x)(l -X) j-H-oo (2 + 1)(I _ 1) -1 S použitím předchozích tří výsledků nyní postupně dostáváme 0 — = 0. l+x\W lim (±±í) x->o V2 + X/ lim ey=e~ln2 lim 1 +x^ im(i^) -►1 V2+X/ y->-ln2 lim e^ 1 2' eľ"3 em3 lim (--------) x = lim e^ = e° i^+co \2 +x/ y^0 Příklad 2.133. Určete lim (--------V x^+co \2x — 1/ Řešení. Zde máme x + 2 ■ "2 / x + 1 y V2x- 1/ exp 2 x+2 xMn- a tedy Odtud potom lim 2, x + 2 x2ln- 2x- 1 2x- 1 x + 2 = lim x2 • lim ln x^+co x^+co 2x — 1 lim (---------) = lim e^ = ^+co\2x — 1/ y^-co +00 • ln ■ 1 -00. 0. 106 Limita funkce Příklad 2.134. Určete 3x2 -x + h iim ,ix -x + ix ^+co\2x2 +x + 1/ Řešení. Je lim f- •ln 3x2-x + 1\ 2x2 + x + 1/ ~ -3 3x2 lim ln ■ x + 1 lim -------• lim ln —------------= —oo • ln - :^+co 1 — X x^+co 2x2 + X + 1 2 -OO. Odtud opět 3x2-x + l\fe Hm /,x -,+ ix t^+coV2x2+X+ 1/ lim e^ = 0. 2 i tii Příklad2.135. Určete lim (í-^—)z+l. x-*+co\xz +1/ Řešení. Je rx-1 x2-l hm -------• ln —----- :^+co Lx + 1 X1 + 1 lim X- 1 M> + &ŤT ~ Q] /x2-l X x-1 4^i_i Vx2 +1 / x +1 x2+l KX2 + 1 x^+co *'-! _ 1 x2+l 1 lm ■.[! + (&-■)]. lm ( -2 x-1 1 • lim x2-l ■2+: -2 x2 + 1 x + 1 ) -^+co x2 + 1 x^+co x + 1 X- 1 hm ------- = 1.0-1 = 0. Dostáváme tedy lim (x—-ÍV+1 = limey =e° = 1. X2+b Příklad 2.136. Určete lim (í------) x^+co Vx — 2/ Řešení. Je lim (. x2ln ——-) = lim X — 2/ x^+a ln[1 + (Ö-1)] /x2 + l 4±1 - 1 ' Vx2 - 2 / 1 x2 x2-2 3x2 ljm —j—~ = 3, x^+co x — 2 a tedy 'x2 + V -2 lim ( —-----) = lim ey = e . -^+co\x2 — 2/ y^3 2.2 Příklady 107 Příklad 2.137. Určete lim ( Řešení. Je x2 + 2x - 1 ^ 2x2 — 3x — 2/ nm a 1 x2 + 2x - 1 • ln—------------- x 2x2 — 3x — 2 ) = lim ln[l + ( xz+2x-l 2x2—3x—2 1)] /x2+2x-l x2+2x —1 __ i 2x2—3x—2 k2x2 — 3x — 2 / X 04 Tak se nám podařilo napsat rovnost sice správnou, ale zcela zbytečnou. Vidíme, že není dobré sklouzávat do mechanického a bezmyšlenkovitého počítání. V našem případě totiž lim x2 + 2x - 1 1 x^+co 2x2 — 3x — 2 2 a není tedy důvod používat náš předešlý postup (jako např. v předchozím příkladě). Zde stačí totiž 1 x2 + 2x - 1 1 ___ .„ lim — • lim ln —-------------= 0 • ln - = 0. x^+co x 2x2 — 3x — 2 x^+co x x^+co 2x2 — 3x — 2 2 1 x2 + 2x - 1 lim — • ln Potom lim ( x2 + 2x - 1 • 1 2x2 — 3x — 2 V =lime3' =e° = 1. Příklad 2.138. Určete lim VI - 2x. x^O Řešení. Zde nás nesmí odradit poněkud neobvyklý tvar limitované funkce. Stačí totiž napsat lj\ — 2x (l-2x)\Je Potom tedy 1 ln(l-2x) -2x lim — ln(l — 2x) = lim-------------•------= —2. x-*0 X x-*0 —2x X lim Vl — 2x = lim e^ = e 2. Příklad 2.139. Určete lim X^T + tg (M tg2x Řešení. Jako obvykle napíšeme >(!+*): ts2x exp tg2x -Intg^- +xj Pak lim Ítg2xlntg(----hx))= lim tg2x • lim lntgí----hx) = x-l+V5 ÖV8 // x^|+ B x^|+ ÖV8 / = (-oo) • lntg(- + -j = (-oo) • lntg(-Ttj = -oo. Zde jsme měli opět tři výtečné příležitosti udělat chybu. V limitované funkci se vyskytuje logaritmus, mohli jsme se proto snažit psát ln tg(|+x)=ln[l + (tg(|+x)-l);, 108 Limita funkce což by, podobně jako v Příkladě 2.137, bylo zhola zbytečné, neboť Dále je možnost omylu u lim tg2x. Při troše nepozornosti se snadno napíše, že je rovna +oo. Toto *-►!+ totiž platí pro lim tg2x, zatímco lim tg2x = lim tg y = —oo. Konečně při určení součinu (—oo) • lntgí |jr J musíme nezbytně nutně znát znaménko druhého činitele. Protože však ^jr < |jr < < ijr, platí tg(|jr) > tg(ijr) = 1, a tudíž lntg(|jr) > 0. Náš výsledek je lim tg(----\- x) -itg2x lim e^ = 0. x—>— CO Příklad2.140. Určete lim(l + x2)cotg x. x-*0 Řešení. Je lim x-*0 cotg2x -ln(l +x2) lim x-*0 ln(l +x2) 2 cos2xn takže 1 • lim cos2 x • lim (—— ) = 1 x-*o x^oVsinx/ lim(l +x2)cotg2x = lim ey = e1 = e. Příklad2.141. Určete lim(l + sin Ttx)cotgJTX. JE—>1 Řešení. Je lim [cotg jrx • ln(l + sin tu:)] = lim je^I je^I ln(l + sinTtx) . cosTtx --------:-------------• sin Ttx • —-------- sinTtx sin ttx J ln(l + sin ttx) lim------:-----------• lim cos ttx = 1 • cos tt x-*\ sin TTX x-*\ -1. Zde bylo nutné si povšimnout, že sinTt = 0. Potom už byla metoda výpočtu zcela jasná. Jako výsledek dostáváme lim(l + sinTu)cotgJTX = lim e^ = e"1 = - . x-*\ y-*-\ e A Příklad 2.142. Určete lim im(1+tgX) -^o\ 1 + sinx/ Řešení. Je lim x^o LsinJx •ln lim x-*0 l+tgx\-^ + sinx/-ln[l + {1±^ - ( 1+tgxM v 1+sinx 1 • lim ( l+tgx _ 1+sinx tg x — sin x 1 ill /1+tgx _ A . _J V1 + sin x / sin; sin3 x -►o V 1 + sin x sin -— ) = lim-----------• lim ijx/ x^ol + sinx x-*o sinx + sin x x^o sinJ x 2.2 Příklady 109 a tedy lim( l+tg*\s? t^o\l + sin x ľ lim e^ = e2 = Ve- y-^i (sin x \ — -----V~\ a £ ku. sin a I Řešení. Je lim x—*a 1 , siní -----In —— x — a sin a lim x—*a 'Kl + (sf - O] /smx x 1 ^ — 1 Vsina / x — a sin x — sin a cos a 1 • lim---------:—:— = —-----= cotg a ■c^a (x — a) sin a sin a na základě Příkladu 2.65. Vychází nám potom lim(!^y-a= um ey=ecot^. x^a v sin ŕ >COtgí3 Příklad 2.144. Určete lim Řešení. Je . / cosx \ -im ----------- ^o\cos2x/ 1 . cosx lim (—- ln--------) = lim x^o\x2 cos2x/ x^O k[l + GS£-l)] 1 -lim x^O lim cos2x cos x — cos 2x 1 ' ~~2 COS X \ 1 / I2 vcos2x 1 cos 2x xz (cosx — 1) + (1 — cos 2x) • lim *->-o cos2x x^O X2 / cosx —1 ,. 1—cos2xn 1 • (lim---------------h lim 4 Vx^O X1 1 , 1 3 -----h4-- = -, 2 2 2 x^O (2x)2 a tedy lim (-----— r = lim e^ = e2. limf-^Y r^0\COS2x/ y^\ Příklad 2.145. Určete lim (tg x)* tg2x Řešení. Je lim [tg2x -lntgx] = lim ln[l + (tgx-l)] 1 • lim !!■->-■£ (tgx-1)- tgx-1 2tgx 1 - tg2 x • (tgx - 1) -tg2x 2tgx a tedy lim *-►! 1 +tgx 1 lim (tgx)tg2x = lim e^ = e"1 = - . x^í ?-►-! e 110 Limita funkce Příklad 2.146. Určete limCsinx)1^ Řešení Je lim [tgx • lnsinx] = lim ln[l + (sinx - 1)] 1 • lim (sinx — 1) sinx — 1 sinx cosx (sinx — 1) -tgx sinx — 1 lim sinx • lim x^f COSX sinx—sin - sin x — sin TT 1 • lim 2 lim cos x^f COSX -COSf x^j cos x-cos - sin f 0, s použitím Příkladu 2.65. Pak lim(tgx)tg2x = Ume3' =e° = 1. x^í 3^0 Příklad 2.147. Určete lim x^O +0O < \ 1 \ sin —h cos-----1) • x K X X I lim sin 7 1 — COS 7 1 X 1 Qľ 1------0=1, 2 a tedy IxX /l í\x lim (sin —h cos — ) = lim ey = e. i^+co\ x x' y->l 2.2 Příklady 111 Příklad 2.149. Určete lim í/cos -Jx. x^0+ Řešení. Zde podobně jako v Příkladě 2.138 stačí napsat JcosJjx = (cos -Jx)x. Je lim x^0+ Lx - In cos -Jx lim x^0+ ln[l + (cosv^-l)] \ --------------—------------• (cos v* — 1) • — cos -Jx — 1 X 1 • lim x^0+ cos v^ — 1 1 — cos -Jx 1 lim _ „ í^0+ (7^)2 a tedy lim í/cos V* = lim Qy x^0+ v 1 1 -Jě ( 1 + x ■ 2X Příklad 2.150. Určete lim ------------ *->oVl + x -3-* Řešení. Je lim x^O 1 1 + x • 2* —- • ln 1 + x ■ 3X "M1 + (-Us* g+x-21 lim x^O 1 • lim x^O 1)] /l+x-2x l+x-21 1 ( l+x-3 1 + x • 2X - 1 - x • 3 i + x • y x X l)-h lim 1 1 + x • 3X 2x _y lim lim lim -►o jc(1 +x -3X) 2x _y x-?0 1 + X • 3X x-?0 X x-?0 X Pro výpočet poslední limity máme k dispozici nejméně dvě metody. Buďto 2X-3X (2X - 1) + (1 - 3X) lim----------= lim--------------------------= x-*0 X x-*0 X lim x^O X s použitím výsledku Příkladu 2.87. Nebo 2x _y 1 3X - 1 2 ------lim---------= ln 2 — ln 3 = ln - x-*o x 3 2\x lim x-*0 X lim 3" x-*0 (I) X ß) -1 lim 3X ■ lim —------- x^O x^O X 2 2 1 • ln - = ln - 3 3 opět podle Příkladu 2.87. (S těmito postupy jsme se ostatně již setkali v Příkladě 2.88.) Jako výsledek tedy dostáváme lim 1 + x • 2X /1 + x • r \ im ---------------- -►oVl +x -3X) lim e^ y->ln§ 112 Limita funkce /l + sin x cos ax \ ootg3 Příklad 2.151. Určete lim(---------------------) x^o VI + sin x cos ßx ' Řešení. Předpokládejme nejprve, že a ^ ß. Pak 1 + sin x cos ax ~ lim x^O cotg x ■ ln ■ lim x^O lim 1 + sinx cos ßx-lnľl + (}+sinxcos^ - 1)1 L Vl+sinxcospx /J sin x cos ax sinx cos/3x i 1 + sin x cos ax \ -, 1 • cotg x 1 + sin x cos ßx O- sin x (cos a x — cos ßx) COS3 X x^o L 1 + sin x cos ßx snr x lim cos x • lim cos ax — cos yßx *->-o 1 + sinx COS yßx x^O a+č. a-/3. 1 • lim x^O —2 lim -2sin^xsin^-x sin2x a+ß. a-ß. sin^x sin^* a + ß a-ß 1 , , • lim -2- x^o sinx x^o sinx Je-li a = yß, je /l + sin x cos ax \ ootg x lim I---------------------) = lim x^o V1 + sin x cos ßx I y^^(ß2_a2) /l + sin x cos ax \ ootg3" lim eW aK x-^o VI + sin x cos ßx ' Vidíme tak, že výše uvedený vztah platí i pro a = ß. /ax + bx + cx- l Příklad 2.152. Určete hm(----------- x^oV 3 ■)\a>0, lim lcotg x = lim 1 = 1. x^O x^O b>0,c>0. Řešení. Je lim x^O 1 ax + bx + cx — ln----------------- x 3 lim x^O lim x^O ln[l + ( flj_[_^j_[_ej 3 1)] /ax+bx+, ax+bx+cx __ 3 ax + bx + cx — 3 ( >H 3x Pamatujeme-li si výsledek Příkladu 2.87 alespoň v důležitém speciálním tvaru lim x^O vyplatí), mělo by nás napadnout, že trojka je součtem tří jedniček, tj. že můžeme psát ax+bx+cx-3 1 ,. (ax - 1) + (bx - l) + (cx - 1) ax-\ lim x^O 3x 1 ,. {ax - 1) + - lim---------------- 3 x^o 1 / ax — 1 bx - lim--------- + lim 3 Vx^O X x^O x 1 + lim x cx x^O X 2) - (ln a + ln fe + ln c) = - \n(abc), lna (což se 2.2 Příklady 113 a tedy lim f x^oV ax + bx + c .X. I lim e^ = e5 {^ \n{abc) Příklad 2.153. Určete lim f *+l _L hx+l _1_ ^+1 x I ax+l + bx+L + c. -^o\ a + fc + c V, a > O, b > O, o 0. Řešení. Je 1 ax+1 + bx+l + cx+1 lim — ln-------------------------- x^o x a + b + c lim x^O lim x^O In[l + (^± ax+l+rx+l+ex+l +r+c 1)] /ax+1 + bx+1 + cx+1 .\ 1 gX+l+bX + l+CX + 1 1 ax+l + bx+l + cx+l _a_b_c /ar • -+ V a + Ŕ + C ')• lim x(a + fe + c) (ax+1 - a) + (fex+1 -b) + (cx+1 - c) a + b + c x-?o -------------(lim a a + b + c \x^o a — 1 b — l c■ — 1 -----------h hm fe •-----------h nm c •--------- -\- b -\- C \x-*0 X x-*0 X x-*0 X ■ • ... . • -aib „c\ a tedy lim f a + b + c ax+\ + Ŕx+1 + cx+l , 1 (a ln a + fe ln fe + c ln c) a + b + c ln(aflfcV), r^ov a + b + c — i i Y =exp(-------------ln(aflfcŕcc)) = (aabbcc)^^. Příklad 2.154. Určete limf^—------V, a > 0, b > 0. Řešení. Je r 1 a*2 + P2 hm — • ln------------- x^o L x ax + bx lim x^O g*2+ŕ*2 i \ ax + bx ) x ax+bx lim 2 2 ax _|_ bx _ ax _ bx *->-o x(ax + bx) 1 (ax - ax) + {bx - bx) hm----------• hm Vhm 2 2 ax — ax fex — b + hm -►o ax + bx x^o )■ 2 Vx^O x x^O x Obě poslední limity můžeme vypočíst nejméně dvěma způsoby. Můžeme třeba přičíst a odečíst jedničku: ax - 1 a — a ,. - - ,. (a*2-l) + (l-a*) a*2-l lim------------= lim----------------------------= lim-------------lim x^O X x^O X x^O X x^O X 2 /ax — 1 \ lim------— • x) — lna = 0 — lna x^OV X2 ' lna. 114 Limita funkce Nebo můžeme vytknout ax a — a lim x-*0 X / ax x — 1\ ax lim (ax ■------------I = lim ax ■ lim — x-*0\ X / x-*0 x-*0 /ax x — 1 \ ax x — 1 lim ------------• (x — 1) = lim------------• hm(x — 1) x^OVxfx — 1) / x^O x(x — l) x^O x-*0\ x(x — 1) lna • (—1) = —lna Celkem potom vychází a tudíž lim x-*0 1 ax2 + bx21 - ■ ln-------------- x ax + bx - --ln(afe), lim f ax + bx i->ô V ax + bx ser Ü Příklad 2.155. Určete lim (2 - x) 2 . — 1 -j =exp(--ln(afe)) Řešení. (Připomeňme definici méně známých funkcí sekans a kosekans. Definujeme sec a coseca = -J—.) Je sin r/ ' 1 COSQÍ ' lim x-*\ JtX sec — ln(2 — x) lim x-*\ ln[l + (l-x)] 1 ■ • (1 -x) • 1 -x lim x-*\ 1 -X COS f ,. 2 f(l-x) lim — • —±—-------- jr — srn ■ x-^i jr cos^ -cos^-2 TT COS -— lim - Tt x-*\ COS ^ - COS t JTX ___ JT 2 2 na základě Příkladu 2.65. Čtenář nechť si povšimne, jak užitečné bylo napsat cos íj- — cos ^ místo cos íj-. Mnohdy nám takto pomáhá vyjádření nuly vhodným způsobem. Závěrem pak dostáváme lim(2-x)s x^\ lim e^ =e* Příklad 2.156. Určete lim(2e^r _ i): x^0V ' Řešení. Je lim x-*0 a tedy x2 + l lim x-*0 2 lim x-*0 2 lim 2eÄ _ i) = l»[, + (2e*-2)] _ y + ,-1 26^+1 - 2 y x = / -i- ,\ x+1 (e^+i - 1) •------- X - = 2 lim x-*0 e^1 — 1 x -£t x+1 x+1 x2 + l_2 x + 1 x J2 + l lim(2e~ — l) x = lim e^ = e . x^0v y y^2 x2 + l 2.2 Příklady 115 Příklad 2.157. Určete Řešení. Je lim f tg %X \ lim I->+CO 1 , TTX -lntg-------- x 2x + 1 :? Zde nemůžeme postupovat tak jako v několika předchozích příkladech, neboť TTX lim tg x^+co 2x + 1 lny lim tg y = +00. Použijeme znalosti limity lim — = 0 (viz tabulka limit v přípravné části). Za tím účelem napíšeme lim 1 , TTX -lntg-------- x 2x + 1 lim I->+0O lntg 2x+l TTX 1 2x+l 2x + 1 x lim lntg 2x+l TTX x^+co tS 2x+l lim — tg x^+col_X 2x + 1 První limitu snadno určíme podle věty o limitě složené funkce. Vezmeme vnitřní funkci g(x) = tg a vnější funkci f(y) = —. Platí 2x+l TTX Pro složenou funkci tedy platí Dále potom máme lim tg--------= +00, x^+co 2x + 1 lim lntg^ x^+co t£ lim ^ = 0. tg ~ 2x+l 2x+l lim ------ y^+co y lim TTX 1 x 2x + 1 lim I->+0O TTX 1 sin 2x+l X COS lim 2x+l 1 lim sin ■ ___ x^+co 2x + 1 x^+co x COS ttt-t 2x+l 1 • lim ------- x^+co x COS 2x+l lim ------- x^+co x COS 2x+l Pokud jsme na rozpacích, jak dále pokračovat, podíváme se na argument u kosinu. Je lim -^-r = f. Vzhledem k tomu, že jsme spíše schopni zvládnout situace, kdy se argument blíží k nule, můžeme provést posun o j. 1 .. 1 lim lim x^+co x COS ^ ~+0o*cos[(^ lim !) + !] i x^+co —xsin( f) lim I->+0O 2(2x+l) 2x+l 2 2(2x + 1) lim ------. r -i i ^+00-*smF-2í2ŤTI)] sin 2(2x+l) TTX 1 • lim i->+oo 2(2x+l). 2(2x + 1) _ 4 TTX TT 116 Limita funkce Dostáváme tak lim I->+0O -lntg Lx TTX " 4 = 0 • - = 0, jr 2x + 1. a tedy i;™ t« \t£2x + \) " Příklad 2.158. /i +x2ex. x^O Řešení. Je lim x^O [ ln(l+xV)l -1 — cosx = lim x^O ~ln(l+xV) x2ex i;™ \ŕ X 1.9 i x^O Lc i - cosx ' x2ex 1 — COS X a tudíž Příklad 2.159. Určete lim lim x-*0 Vi + xV lim e^ y^2 (x + a)x+fl(x + fc) x+ř x^+co (x + a + fe)2x+fl+ř Řešení. Zde je užitečné si všimnout exponentů. Součet exponentů v čitateli je totiž roven exponentu ve jmenovateli. Můžeme proto použít následující postup: lim {x+aY+a{x + b) x+b lim x^+co (x + a + b)2x+a+b x^+co = lim ( X + a Y+a • lim ( X + ° ) x + a \ x+a / x + fc \ *+*■ + a + fc/ \x+a + b) x+b \x+b + a + Budeme počítat lim (x^lb) . Je x^+coVx+fl+ř^ lim I->+0O (x + a) ln x + a lim lim x + a + b ln[l + (í&-l)] / x+a X+rř x+rř+r i vx + a + o / x + a + fe (x + a) -fe lim x + a x^+co x + a + fe takže x+a \*+a + a + o/ y- Druhá z limit v součinu vzniká z první záměnou aafc. Tedy X+b \x+b + a +, Vychází nám tak lim (-------------) = lim e^ = e x^+co\x+a + b/ y-^-b íí záměnou a ab. Tedy iim( x+b r*=e-°. i^+co\x + a + b ) x+b (x + a)x+a(x + b) lim--------------------------— x^+co (x + a + fe)2x+fl+ř e-ř-e- -(a+r) 2.2 Příklady 117 Příklad 2.160. Určete lim sin ce+ß *-"f V(l -sin0!x)(l -sin^x) , a > 0, ß > 0. Řešení. Myslíme-li si v této limitě napsáno x místo sin x, mohli bychom si vzpomenout na lim *->-i JE-l (viz Příklad 2.90). Použijeme-li větu o limitě složené funkce s vnitřní funkcí g(x) = sin x a vnější funkcí Y výsledek f(y) = ~f, dostáváme pro složenou funkci f(g(x)) = ^^ l srn" x — 1 hm ------------- *->-f sinx — 1 r i lim ?-►! y - 1 a. S jeho použitím již zadanou limitu snadno vypočteme. Naší snahou bude upravit limitovanou funkci tak, aby se v ní vyskytovaly výrazy typu ^^j/ ■ Vyjde 1 sina+^ x lim _____________________ *-í V(l-sin«x)(l-sin^x) 1 lim lim sina+^ x 1 — sin x 1 - sinx ^(l -sinax)(l - sin^ x) sina+^ x x^| sinx — 1 1 V1 — sin x • Vl — sinx • lim *^* 2 V t sin" x vr sin*" x „N ,. . sinx - 1 ,. / sinx - 1 (a + p) ■ hm J-------------• hm J —--------- *_► * V sin« x - 1 x^f V sin^ x - 1 1 1 Oí + fi (a+ß). — .— ■s/ä *J~ß +/äß 118 Kapitola 3 Spojitost funkce 3.1. Přípravná tvrzení Věta 3.1. Buďte f{x) a g(x) dvě funkce definované na okolí bodu a e R a spojité v bodě a. Buď c reálné číslo. Potom funkce f{x) + g{x), cf{x) a f{x)g{x) jsou rovněž spojité v bodě a. Je-li navíc g(a) ^ 0, potom je i funkce ^fj spojitá v bodě a. Zcela analogická tvrzení platí též pro jednostrannou spojitost. Poznámka. I zde budeme funkcí rozumět komplexní funkci reálné proměnné. Budeme ovšem pracovat většinou s reálnými funkcemi. Věta 3.2. Buď f{x) funkce definovaná na okolí bodu a. Jestliže funkce f{x) je spojitá v bodě a, potom též funkce \f{x)\ je spojitá v bodě a. Zcela analogická tvrzení platí opět pro jednostrannou spojitost. Věta 3.3. Buď f {x) funkce definovaná na okolí bodu a. Potom f(x)je spojitá v bodě a právě tehdy když je v tomto bodě spojitá zleva a zároveň spojitá zprava. Věta 3.4. Buď f (x) funkce definovaná na okolí bodu a. Potom f(x)je spojitá v bodě a právě tehdy když lim f(x) = f(a). Zcela analogické tvrzení opět platí pro jednostrannou spojitost. Věta 3.5. Buď g{x) reálná funkce definovaná na okolí bodu a a spojitá v bodě a. Buď f{y) funkce definovaná na okolí bodu g (a) a spojitá v bodě g (a). Potom složená funkce f{g{x)) je rovněž spojitá v bodě a. Poznámka k Větě 3.5. Toto je takzvaná věta o spojitosti složené funkce, která nám bude velice často užitečná. Lze vyslovit též její jednostranné verze a žádáme čtenáře, aby se o to pokusil. Věta 3.6. Buď f {x) funkce definovaná na okolí bodu a. Pro každé x z tohoto okolí pišme f{x) = fi (x) + + 1/2W» kde f\(x) respektive /2OO je reálná respektive imaginární část čísla f{x). Potom funkce f{x) je spojitá v bodě a právě tehdy když jsou v tomto bodě spojité obě funkce fi (x) a f2(x). Věta 3.7. Buďte f{x) a g{x) dvě funkce. Nechť na nějakém okolí bodu a platí f{x) = g(x). Potom f{x) je spojitá v bodě a právě tehdy, když g {x) je spojitá v bodě a. Zcela analogické tvrzení platí opět pro jednostrannou spojitost. Zde stačí předpokládat f{x) = g{x) na levém respektive pravém okolí bodu a. 3.2 Příklady 119 Na závěr opět uvedeme fakta o spojitosti elementárních funkcí. 1) Každá polynomiální funkce P(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na intervalu ( — 00, +oo). 2) Každá racionální funkce ^0- je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na množině (-00, +oo) \ {x; Q{x) = 0}. 3) Funkce sinx a cos x jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (—oo, +oo). 4) Funkce tg xje spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (—oo, +oc)\{|+£jt; k e Z}. 5) Funkce cotg x je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (—oo, +oo) \ {k%; k e Z}. 6) Každá exponenciální funkce ax, a > O je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (—oo, +oo). 7) Každá logaritmická funkce loga x, a > O, a ^ 1 je spojitá v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (O, +oo). 8) Funkce xa (tzv. obecná mocnina) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru. (Tento zde závisí na a.) 9) Funkce arcsin x a arccos x j sou spoj ité v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (— 1, 1 >. V bodě — 1 ovšem spojitostí míníme spojitost zprava a v bodě 1 spojitost zleva. 10) Funkce arctgx a arccotgx jsou spojité v každém bodě svého definičního oboru, tj. na (—oo, +oo). 3.2. Příklady Ve všech následujících příkladech budeme vyšetřovat, ve kterých bodech svých definičních oborů jsou zadané funkce spojité. V bodech nespojitosti nás navíc bude zajímat, jedná-li se o nespojitost 1. druhu nebo nespojitost 2. druhu. Příklad 3.1. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = \x\. Řešení. Zřejmě D f = (—oo, +oo). Vidíme-li absolutní hodnotu, je dobré si vzpomenout na výše uvedenou Větu 3.2. Funkce g(x) = xje polynomiální funkce, atudížje spojitá na celém svém definičním oboru Dg = {—oo, +oo). Podle Věty 3.2 je tam pak spojitá též funkce \g{x)\ = \x\. Tedy funkce f(x) = \x\ je spojitá na D f = (—oo, +oo). Á Příklad 3.2. Vyšetřete spojitost funkce íx2 -4 pro i^2, pro x = 2. x -A -2 Řešení. Zde opět Df = (—oo, +oo). Vezmeme-li libovolný bod a^2, potom na okolí tohoto bodu f(x) = ^fj. Funkce ^fj je racionální, a tudíž spojitá v každém bodě svého definičního oboru, kterým je (—oo, +oo) \ {2}. Na základě Věty 3.7 je tedy funkce f(x) rovněž spojitá v bodě a. Uvažujme nyní bod a = 2. Protože na jeho redukovaném okolí je rovněž f(x) = ^fj, můžeme vypočíst x2-4 lim f(x) = lim--------= hm(x + 2) = 4. x^-2 x^-2 X — 2 x^-2 Připomeňme ještě, že f (2) = A. S využitím Věty 3.4 nyní dostáváme následující výsledek: 120 Spojitost funkce a) Je-li A ^ 4, je funkce f(x) spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00) s výjimkou bodu 2. V bodě 2 má nespojitost 1. druhu (obě jednostranné limity existují a jsou rovny 4, neboť existuje a je rovna 4 limita oboustranná) a jedná se dokonce o odstranitelnou nespojitost. b) Je-li A = 4, je funkce f(x) spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00). Á Příklad 3.3. Vyšetřete spojitost funkce /(*) = 1 (1+x)2 A pro x 7^ — 1, pro x = — 1. Řešení. D f = (—00, +00). Funkce f (x) v okolí každého bodu a 7^ — 1 splývá s racionální funkcí (1 * 2, a tudíž je v tomto bodě spojitá. Splývá s touto racionální funkcí i na redukovaném okolí bodu — 1, a tudíž lim /(*) = lim ——— = +00. x->—l x->—l (1 + X)z Vidíme tedy, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f s výjimkou bodu — 1. V bodě — 1 má nespojitost 2. druhu. (—00, +00) A Příklad 3.4. Vyšetřete spojitost funkce sinx 1 pro x 7^ 0, pro x = 0. Řešení. D f = (—00, +00). Funkce sinx a funkce x jsou spojité na (—00, +00). Funkce ^ je tedy spojitá podle Věty 3.1 v každém bodě a/0. Podle Věty 3.2 je potom v každém bodě a^O spojitá i funkce | ^ |. Protože f(x) = | ^ | na okolí bodu a 7^ 0, je i funkce f(x) spojitá v každém bodě a^O. Na redukovaném okolí bodu Oje rovněž f(x) = I ^^ I, a tudíž lim/O) x^O lim x-*0 sinx sinx lim x-*0 X Ul = l. Protože /(O) = 1, vidíme na základě Věty 3.4, že funkce f(x) je rovněž spojitá v bodě 0. Závěrem tedy můžeme říci, že funkce f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru D f = (—00, +00). Á Příklad 3.5. Vyšetřete spojitost funkce sinx 1 pro x 7^ 0, pro x = 0. Řešení. Df = (—00, +00). Funkce sinx a |x| jsou spojité na (—00, +00), a tak snadno vidíme, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě a 7^ 0. Je lim x-*0- lim x^0+ \x\ sinx sinx lim x-*0- lim x^0+ X sinx —x sinx lim x-*0- sinx sinx lim x-*0 X ■1, sinx lim x-*0 X 1. Vidíme tedy, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00) s výjimkou bodu 0. V bodě 0 má nespojitost 1. druhu. Krom toho je v bodě 0 spojitá zprava (a přirozeně není spojitá zleva). Á 3.2 Příklady 121 Příklad 3.6. Vyšetřete spojitost funkce 1 sin — pro x t^ 0, x i pro x = 0. Řešení. D f = (—oo, +oo). Vezměme libovolný bod a 7^ 0. Funkce - jakožto racionální funkce je spojitá v bodě a. Funkce siny je spojitá v každém bodě, a tedy i v bodě £. Podle věty o spojitosti složené funkce je tedy složená funkce sin j spojitá v bodě a. Na okolí bodu a 7^ 0 je f(x) = sin j, a tudíž funkce f(x) je spojitá v bodě a. Zbývá vyšetřit chování funkce f(x) v bodě 0. Ukážeme zde, že neexistují ani jednostranné limity lim f(x) a lim f{x). Zaměříme se třeba na první z nich. K tomuto x-*0- x-*0+ účelu použijeme Heineho větu (viz Věta 2.14). Jako vždy při použití Heineho věty potřebujeme dvě posloupnosti. V našem případě s limitou 0. Vezměme 1 „ 1 n% " §+2«tt Zřejmě x'n < 0, x'ú < 0 pro každé n a lim x'n = 0, lim x'^ = 0. Dále pak lim f(x'n) = lim sin— = lim sin(—nit) = 0, n lim f(x'') = lim sin— = lim siní-------2«jr) = — 1. Limita lim f(x) tedy nemůže existovat, jinak by totiž podle Heineho věty obě předchozí limity musely být stejné. Zcela analogicky lze ukázat, že neexistuje lim f{x). Tuto skutečnost ale můžeme dokázat i x^0+ jinak s pomocí věty o limitě složené funkce. Kdyby existovala lim f(y) (f(y) zde bereme jakožto vnější y->-0+ funkci), existovala by též lim ifigix)), kde g{x) = —x. Avšak f(g(x)) = sin ^- = — sin - = —f(x). x-*0- x x Existovala by tedy též lim (—f(g(x))) = lim /(x),cožje spor s výše dosaženým výsledkem. (Důležité i-»0- i->0- pro tento důkaz je, že funkce sin j je lichá. Tímto způsobem můžeme pro každou lichou funkci g{x) dokázat, že lim g{x) existuje právě tehdy, když existuje lim g{x). Existují-li obě tyto limity, potom x-^0- x-*0+ lim g(x) = — lim g{x). Odtud je též hned vidět, že lim g{x) existuje právě tehdy, když lim g{x) = x^0- x^0+ x^0 x^0- = lim g{x) = 0.) Zjistili jsme tedy, že funkce f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru x-*0+ D f = (—oo, +oo) s výjimkou bodu 0. V bodě 0 má nespojitost 2. druhu. V tomto bodě není spojitá ani zleva ani zprava. Á Příklad 3.7. Vyšetřete spojitost funkce 1 x sin — pro x ^ 0, x 0 pro x = 0. Řešení. D f = (—oo, +oo). V předchozím příkladě jsme viděli, že funkce sin j je spojitá v každém bodě (i/0. Funkce x je spojitá v každém bodě, takže podle Věty 3.1 je funkce x sin £ spojitá v každém bodě a ^ 0. Totéž zřejmě platí pro naši funkci fix). Dále lim x sin - = 0 (neboť lim x = 0 a sin - je x-*0 x x-*0 x omezená) a /(0) = 0. Ukázali jsme tak, že naše funkce f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru Df = (—oo, +oo). A 122 Spojitost funkce Příklad 3.8. Vyšetřete spojitost funkce pro x ^ 0 , fix) 0 pro x = 0. Řešení. D f = {—oo, +oo). Vezmeme-li libovolný bod a /O, potom funkce — \ jakožto racionální funkce je v tomto bodě spojitá. Exponenciální funkce e^ je spojitá v každém bodě, a tudíž též v bodě , __L — J2. Podle věty o spojitosti složené funkce je tedy složená funkce e *2 spojitá v bodě a. V každém bodě a 7^ Oje tedy zřejmě spojitá též naše funkce f{x). Dále pak lim f(x) = lim e"? = lim ey = 0 = /(O). (Zde jsme použili větu o limitě složené funkce.) Závěrem tedy můžeme říci, že naše funkce f{x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = {—oo, +oo). A Příklad 3.9. Vyšetřete spojitost funkce f{x) =--------— pro x ^ 1, /(l) = A. 1 +e^r Řešení. D f = {—oo, +oo). Racionální funkce -^-j- je spojitá v každém bodě a^l. Tudíž, jak jsme viděli v předchozím příkladě, je v tomto bodě spojitá i funkce e~. Konstantní funkce rovná 1 je spojitá v každém bodě, a tudíž podle Věty 3.1 je i funkce l+e~ spojitá v bodě a. Protože 1 + ^r ^ 0,je podle téže věty v bodě a spojitá i funkce —l—^ a tudíž i funkce f{x). Zbývá tedy vyšetřit chování funkce f{x) l+ex-l v bodě 1. Dostáváme lim -------- = -^1- x — 1 —OO, lim ------= +o x^l + X — 1 lim e~ = 0, ^i- lim e~ = +00, x^l + lim ---------— -►1- 1 +e^T = 1, lim ----------— = ( *-►!+ i +e^r 0. Připomeňme, že /(l) = A. Zjišťujeme tak, že funkce f{x) je spojitá na celém svém definičním oboru D f = {—oo, +oo) s výjimkou bodu 1. V bodě 1 má funkce f{x) nespojitost 1. druhu. Navíc a) je-li A ^ 0, 1, není funkce f{x) spojitá v bodě 1 ani zleva, ani zprava. b) je-li A = 0, je funkce f{x) spojitá v bodě 1 zprava (ale není v něm spojitá zleva). c) je-li A = 1, je funkce f{x) spojitá v bodě 1 zleva (ale není v něm spojitá zprava). Á Příklad 3.10. Vyšetřete spojitost funkce f{x) = x lnx2 pro i^0, /(0) = A. Řešení. D f = {—oo, +oo). Polynomiální funkce x2 je spojitá v každém bodě a. Protože však funkce In y je definována a spojitá pouze na (0, +oo), budeme uvažovat a ^ 0. Za tohoto předpokladu můžeme tedy říci, že funkce \ny je spojitá v bodě a2, a tudíž složená funkce lnx2 je spojitá v bodě a. Funkce x je spojitá v každém bodě a, tedy podle Věty 3.1 je i funkce x lnx2 spojitá v bodě a. V okolí bodu a platí f{x) = x lnx2, takže funkce f{x) je spojitá v bodě a. Zbývá opět vyšetřit její chování v bodě 0. lim f{x) = lim xlnx2 = lim xln|x|2 = 2 lim xln|x| = x^-0— x^-0— x^-0— x^-0 — = -2 lim |x|ln|x| =0, x^0- lim / (x) = lim x ln x2 = 2 lim x In x = 0 x^0+ x^0+ x^0+ (viz tabulka v kapitole 1). Vidíme tedy, že: 3.2 Příklady 123 a) Je-li A ^ O, je funkce f (x) spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00) s výjimkou bodu 0. V bodě 0 má nespojitost 1. druhu. Jedná se zde o odstranitelnou nespojitost. b) Je-li A = 0, je funkce f(x) spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00). Á Příklad 3.11. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = signx. Řešení. D f = (—00, +00). Je-li a ^ 0, je funkce f(x) na okolí bodu a rovna konstantní funkci, a tudíž je v tomto bodě podle Věty 3.7 spojitá. Zbývá vyšetřit její chování v bodě 0. Na levém redukovaném okolí bodu 0 je f(x) = — 1, a tudíž lim /(*) = lim (-1) = -1. x-*0- x-*0- Podobně lim f(x) = lim 1 = 1. x-*0+ x-*0+ Můžeme tedy říci, že funkce signx je spojitá na celém svém definičním oboru D f = (—00, +00) s výjimkou bodu 0. V bodě 0 má nespojitost 1. druhu. Á Příklad 3.12. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = [x] (tzv. celá část čísla x). Řešení. D f = (—00, +00). Bud« < a < n + 1, n celé. Potom na okolí bodu a je funkce [x] = n, a tudíž je v tomto bodě spojitá. Zbývá vyšetřit její chování v bodě a = n,n celé. Na levém redukovaném okolí bodu n platí [x] = n — 1, a tudíž lim [x] = n — 1. Na pravém redukovaném okolí bodu n potom x—*n — platí [x] = n, takže lim [x] = n. Navíc [n] = n. Závěrem tedy můžeme říci, že funkce [x] je spojitá x—*n+ v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00) s výjimkou celočíselných bodů. V každém celočíselném bodě má nespojitost 1. druhu. Přitom v žádném celočíselném bodě není spojitá zleva. Zato v každém celočíselném bodě je spojitá zprava. Á Příklad 3.13. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = +/x — [-l (1 +x)(l -X +X2) x^-ll-X+X2 3 Odtud vyplývá, že je spojitá rovněž v bodě — 1. Závěrem tedy můžeme říci, že funkce f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru D f = (—oo, +oo). Á Příklad 3.15. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = sign! sin — J pro i^O, /(O) = A. Řešení. D f = (—oo, +oo). Uvažovaná funkce zřejmě nebude příliš složitá, neboťbude nabývat nejvýše čtyř hodnot, totiž —1, 0, 1, A. Bude nás velmi zajímat, jaké znaménko v daném bodě má funkce sin ^. Tato funkce se zřejmě anuluje ve všech bodech, kde ^ = n jr, tj. v bodech x = ^, kde «je celé nenulové. Uvažujme proto nejprve interval (j^, \), kde «je přirozené. Je-li x e (;^y, \), tj. ^ < x < ^, potom «jr < ^ < (« + l)jr. Odtud snadno vidíme, že na intervalu (^-, ^) je sign(sin^) = (-iy. Protože funkce sign (sin j) je funkce lichá, máme podobně na intervalu (—\, — ;4y), n přirozené sign (sin-) = (-l)»+1. Je-li x > 1, potom 0 < ^ < jr a máme sign(sin ^) = 1. Podobně pro x < — 1 máme sign(sin ^) = = -1. Dostáváme tak pro každé přirozené n (n = 1 zde musíme uvažovat zvlášt) lim /(x) = (-iy, lim /(x) = (-l)"+1, lim /(x) = (-iy, lim /(x) = (-l)"+1. Dále pro každé přirozené « máme 0. Odtud již můžeme usoudit, že funkce /(x) je spojitá v každém bodě a ^ \ pro n celé nenulové aa^O. Zároveň vidíme, že v každém z bodů tvaru ^ má funkce f(x) nespojitost 1. druhu. Nakonec už zbývá vyšetřit jen její chování v bodě 0. Ukážeme bez nesnází (podobně jako v Příkladě 3.6), že neexistuje ani jedna z jednostranných limit lim f(x)& lim f(x). A i->0- 1^0+ 3.2 Příklady 125 Příklad 3.16. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = arctg — pro i^O, /(O) = A. x Řešení. D f = (—oo, +oc). Uvědomíme-li si, že funkce arctg x je spojitá v každém bodě, snadno vidíme, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě a^O. Dále potom 1 TT lim f(x) = lim arctg- = lim arctg y = — — , x^o- x^o- x y^-co 2 1 Tt lim f(x) = lim arctg - = lim arctg y = — . x^o+ x^o+ x y^co 2 Odtud vidíme, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru Df = (—oo, +oc) s výjimkou bodu 0. V bodě 0 má nespojitost 1. druhu. Je-li A = —^, je v bodě 0 spojitá zleva, je-li A = |, je v bodě 0 spojitá zprava. Á Příklad 3.17. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = +/x arctg — pro x > 0, /(O) = 0. x Řešení. D f = (0, +oo). Snadno vidíme, že funkce /je spojitá v každém bodě a > 0. Dále je lim f(x) = lim «Jx arctg — = 0 = /(0), x^0+ x^0+ X neboť lim Jx = 0 a funkce arctg - je na celém svém definičním oboru omezená. Zjistili jsme tak, že x^0+ x funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (0, +oo). V bodě 0 se samozřejmě jedná o spojitost zprava. Á x+i Příklad 3.18. Vyšetřete spojitost funkce f{x) = e x pro i^O, /(0) = A. Řešení. D f = {—oo, +oo). Funkce je spojitá v každém bodě a ^ 0.Přitom x+i lim f(x) = lim e x = lim e^ = 0, x-*0- x-*0- y^-co x+i lim f(x) = lim e x = lim e^ = +oc. x^0+ x^0+ y^+co Vidíme, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—oo, +oc) s výjimkou bodu 0; v bodě 0 má nespojitost 2. druhu. Je-li A=0, je v tomto bodě spojitá zleva. Á Příklad 3.19. Vyšetřete spojitost funkce /(*) =-------— pro x ^ 0 a x £ 1, /(0) = A, /(l) = ß. 1 — e'-* Řešení. D f = (—oo, +oo). Racionální funkce ^ je spojitá v každém bodě a ^ 1, a tudíž i funkce e1^ je spojitá v každém takovém bodě. Potom je tam spojitá i funkce 1 — e1^, která se anuluje pouze v bodě 0. Odtud ihned vidíme, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě a ^ 0, 1. Dále potom lim f(x) = lim --------— = lim --------= +oc, x-*0- x-*0- i _ q— y^0- 1 — e^ lim f(x) = lim --------— = lim --------= —oo, x^0+ x^0+ \ _ eT~F y^0+ 1 — e^ lim f(x) = lim --------— = lim --------= 0, x-*\- x-*\- \ — q— y^+co 1 — e^ lim f(x) = lim --------— = lim --------= 1. x-*\+ x-*\+ \ — gT"F y^-co 1 — e^ 126 Spojitost funkce Můžeme tedy říci, že funkce f(x) je spojitá v každém bodě svého definičního oboru D f = (—00, +00) s výjimkou bodů 0 a 1. V bodě 0 má nespojitost 2. druhu a v bodě 1 nespojitost 1. druhu. Navíc je-li B = 0, je spojitá v bodě 1 zleva, je-li B = 1, je spojitá v bodě 1 zprava. Á Příklad 3.20. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = x[x]. Řešení. D f = (—00, +00). Víme již (např. z Příkladu 3.12), zeje vhodné vyšetřovat interval («, n + 1), kde n je celé. Na tomto intervalu je f(x) spojitá. Dále pak nx, tedy v každém bodě tohoto intervalu je funkce f(x) lim f(x) x—*n+ lim JE-K«+1)- /(*)=«(« + !), /(«) Odtud ihned vidíme, že lim f(x)= lim f(x) pouze v bodě 0. Závěrem tedy můžeme říci, že funkce x—^n — x—*n+ f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru D f = (—00, +00) s výjimkou nenulových celočíselných bodů. V každém nenulovém celočíselném bodě má nespojitost 1. druhu a je v něm spojitá zprava. Čtenář nechť si povšimne, že přesto, že funkce [x] není v bodě 0 spojitá, funkce x[x] v tomto bodě již spojitá je. A /li 1 \ Příklad 3.21. Vyšetřete spojitost funkce f(x) = arctg —I--------- H--------- pro x 7^ 0, 1, 2, přičemž \x x — 1 x — 2/ /(O) = A, /(l) = B, f (2) = C. ~ , _ „ —, ---------------„-—o y J r j---------------------- plyne, že funkce f (x) je rovněž spojitá v ls třech bodech musíme ještě zvlášť vyšetřit. Řešení. D f = (—00, +00). Racionální funkce \ + -^-j- + ^ Je spojitá v každém bodě s výjimkou bodů 0, 1 a 2, funkce arctg y je spojitá v každém bodě. Odtud podle věty o spojitosti složené funkce snadno plyne, že funkce f(x) je rovněž spojitá v každém bodě různém od 0, 1, 2. Chování funkce f(x) v těchto lim f(x) = lim arctg ( —I--------- x-*0- x-*0- \X X — 1 lim f(x) = lim arctg I —I--------- x^0+ x^0+ \X X — 1 lim f(x) = lim arctg ( —I--------- je—>1— je—>1— yx X — 1 lim f(x) x^l + = lim arctg ( —I— x-*\+ \x x lim f(x) = lim arctg ( —h x^-2— x^-2— \ X lim f(x) = lim arctg I —I------- x^2+ x^2+ \X X — X +------r)= lim arctgy = --, x — 2/ y^-co Z 1 \ TT H--------- = lim arctg y = — , . = lim arctgy = -, — II y^+co l + X + X + X TT = lim arctgy = —- , Z ] y^-co Z = lim arctg y = — , y^+co 2 -2. 71 = lim arctgy = —— y^-co + —^r ) = lim arctgy = - X — ZJ y^+co Z Vidíme tedy, že funkce f(x) je spojitá na celém svém definičním oboru D f = (—00, +00) s výjimkou tří bodů 0, 1 a 2. V každém z těchto tří bodů má nespojitost 1. druhu. Navíc, je-li A = — -| (A = -|), je funkce f(x) v bodě 0 spojitá zleva (zprava). Je-li B = —| (B = |), je funkce f(x) v bodě 1 spojitá zleva (zprava). Je-li C = —| (C = f), je funkce f(x) v bodě 2 spojitá zleva (zprava). Á 3.2 Příklady 127 Příklad 3.22. Vyšetřete spojitost funkce f{x) = x prox^0,/(0) = l. Řešení. D f = (—oo, +oo). Omezíme se nejprve na x > 0. Vezměme interval (jrrr, ^), kde « je přirozené. Je-li x z tohoto intervalu, potom 1 1 1 < x < —, «< — <« + !, n + 1 « x čili [^] = n, a tudíž na tomto intervalu /(x) = rax. Funkce f{x) je tedy na tomto intervalu spojitá. Dále potom zřejmě lim /(*) = -?—, lim /(*) = 1, /(-) = 1. Konečně pro x e (1, +oo) je 1 x > 1, — < 1, X a tudíž f(x) = x[j] = x • 0 = 0. Je potom lim /(x)=0, /(1) = 1. Aby naše výsledky pro x > 0 byly úplné, vyšetříme ještě lim f(x). Snadno vidíme, že na intervalu V^+T' «)Je 1 • n < x n + 1 1 n -■n, ——.r < f (x) < 1. n n + 1 Tato poslední nerovnost ukazuje, že by mohlo platit lim /(x) = 1. Zkusme tedy toto dokázat. K důkazu použijeme prostě definice limity. Buď tedy dáno číslo s > 0. Protože posloupnost {^-} _, je rostoucí a lim -^-r = 1, existuje n0 takové, že pro všechna n > n0 je 1----Jt < s. Vezměme 8 = —. Je-li 0 < x < S, existuje zřejmě n > n0 takové, že x e (jr^r, \)- Pro takovéto x, jak uvedeno výše, platí n —— < /(*) < 1, ra + 1 odkud |/(*)-1| = 1-/(*)< l--^—-±+ n x->—i _ V ra/ 128 Spojitost funkce Je-li x e (—00, —1), potom x < —1, což implikuje \ > —1, a tudíž f(x) = x[j] lim /(x) = l, /(-1) = 1. i->-1— -x. Odtud Analogickým způsobem jako v první části můžeme potom ještě dokázat, že lim f(x) 1. Dostá- váme tak následující výsledek. Funkce /(x)jespojitánacelémsvém definičním oboruD/ = (—00, +00) s výjimkou bodů \, kde n je celé a nenulové. V každém z bodů \ má funkce f(x) nespojitost 1. druhu. Přitom v každém z těchto bodů je spojitá zleva. Nakonec ještě zdůrazníme, že funkce f(x) je spojitá 1. A v bodě 0, neboť zde lim f{x) = lim f{x) = /(O) x^O- x^0+ Příklad 3.23. Vyšetřete spojitost funkce f(x) 1 signl sin — J pro i^O, /(O) = 0. Řešení. D f = (—00, +00). Funkce f (x) je součinem dvou funkcí [-7] a sign(sin^). Přitom první z těchto funkcí je sudá a druhá lichá. Jejich součin f(x) je tedy funkce lichá. Prozkoumáme nejprve spojitost obou činitelů. Podívejme se nejprve na funkci [-^]. Víme již z Příkladu 3.12, že funkce [y] je spojitá v každém bodě, který není celočíselný. Funkce \ je spojitá v každém nenulovém bodě. Podle věty o spojitosti složené funkce tedy snadno zjistíme, že složená funkce [-7] je spojitá v každém bodě a takovém, že a 7^ 0 a že ^ není celé číslo. Jsou to body 0, ±-^, kde n je přirozené. Vyšetříme proto jednostranné limity v bodech ±-7=. Nejprve budeme uvažovat lim ľ-^1. Je-li x e ( /,,, -4=), snadno zjistíme, že \fl 1 \-X -i V ■y n-\-\ s/fl ' v« +1 < x < --------- < X < —. n + 1 n n < — < n + 1. Na (-7=ť, -7^) tedy je [^-] = n, odkud ihned vidíme, že lim [j^] = n. Analogickým způsobem -Jň vyšetřujeme limitu v bodě -7= zprava a v bodě —^ zleva a zprava. Celkem vychází lim > 1 •Jň lim x->--L- «Jn n, 1, lim x^-^ + «Jn lim , 1 «Jň 1, n. Zbývá tedy vyšetřit bod 0. Zde je situace intuitivně jasná. Formálně vzato použijeme nerovnosti [a] > > a — 1 platné pro každé a e R. Tedy také [-7] > -7 — 1, a protože lim (-7 — l) = +00, je podle Věty 2.7 lim — = +00. x->-0 \_XL Nyní se tedy musíme ještě zabývat funkcí sign (sin ^). Zde máme ovšem práci velmi usnadněnu, neboť tuto funkci jsme již vyšetřovali v Příkladě 3.15. Tam jsme zjistili, že tato funkce je spojitá v každém bodě s výjimkou bodů a = \ pro n celé nenulové a s výjimkou bodu a = 0. Z výsledků Příkladu 3.15 rovněž snadno vydedukujeme, že lim sign(sin —) = (—1)", lim sign(sin—) = (—1)"+1, x^\- V x) x^l+ V x) lim signfsin —) = (-1)", lim signfsin — ) = (—1)"' *-►-!- V x) x^-U V x/ +1 3.2 Příklady 129 Přitom v Příkladu 3.15 jsme viděli, že lim signísin -) a lim signísin -) neexistují. Je zcela zřejmé, že každý bod nespojitosti funkce sign(sin ^) je rovněž bodem nespojitosti funkce [j? ]■ Bod —-^ respektive -^ je ovšem bodem nespojitosti funkce sign (sin ^) právě tehdy, když n je kvadrátem přirozeného čísla. Musíme tedy rozlišit dva případy. a) n není kvadrát. Pak lim > i lim x^A=+ sign! sin — \=n sign(sin(jtV«)), signísin —J = (n — 1) sign(sin(jrV«)), signísin—) = — (n — 1) sign (sin (jr V«)), signísin —J = — n sign (sin (jt V«))- Protože podle předpokladu Jň není číslo celé, je zřejmě sign(jrV«) 7^ 0 a tedy každý z bodů — 4=, -4= je bodem nespojitosti 1. druhu. Protože /("/=) = " sign(sin(jrv/«)), fy—j=) = -n sign(sin(jrV«)), vidíme, že funkce f{x) je v bodě -^ spojitá zleva a v bodě —-^ spojitá zprava, b) n je kvadrát, n = k2. Pak lim " 1~ lim " 1 ~ x^—j= + LX J lim > 1 lim x^-^ + SIE SIE lim signísin —) = k2 • (— 1)* ->4- \ X/ k \k+l lim > 1 lim x^—lT + ignísin —) = lim V x) ^>_ ign(sin-^) = (£2-l).(-l)* sign (sin-) = {k2- 1) -{-\)k, sign (sin-)=Jk2-(-l)*+1. Rovněž i zde ihned vidíme, že každý z bodů —\=, -7= je bodem nespojitosti 1. druhu. Tentokrát odkud vidíme, že tentokrát je funkce f(x) spojitá v bodě 1 zprava a v bodě —1 zleva. V ostatních bodech tvaru —^, -^ není ani spojitá zleva, ani spojitá zprava. Celkem tedy zbývá vyšetřit bod 0. Použij eme-li posloupností x'-I " 1 -n 1 + 2« 130 Spojitost funkce (prakticky stejně jsme postupovali v Příkladě 3.6), vychází f(x'n) = [n2] sign (sin rnt) = 0, /«) = [(2 + 2«) ] sign(sin(^ + 2njt)) = 2« + 4« 2 Odtud lim f{x'n) = 0, lim /«) = +03, což ukazuje, že lim /(x) neexistuje. Protože f{x) je lichá funkce, neexistuje též lim f{x). Je tedy jasné, že funkce f{x) má v bodě 0 nespojitost 2. druhu. Výsledek našeho zkoumání je tedy následující: Uvažovaná funkce je spojitá ve všech bodech s výjimkou bodů 0, ±7^, kde n je přirozené. V bodě 0 má nespojitost 2. druhu, ve všech bodech ±4= má nespojitost 1. druhu. Není-li n kvadrát, potom je f{x) v bodě -j^ spojitá zleva a v bodě —4^ spojitá zprava. Je-li n kvadrát, n > 2, potom f{x) není v bodech ±4= spojitá zleva ani spojitá zprava. Konečně f{x) je spojitá zprava v bodě 1 a spojitá zleva v bodě — 1. A 131 Kapitola 4 Derivace funkce a její užití 4.1. Přípravná tvrzení Věta 4.1. Buďte f a g dvě funkce definované na okolí bodu a a mající v tomto bodě vlastní derivace f {a) a g'(a). Dále buď c číslo. Potom funkce f + g, cf, f g mají v bodě a vlastní derivace a platí a) (/ + g)\a) = f {a) + g'(a), b) (cfYia) = cf{a), c) (fgY(a) = f{a)g{a) + f{a)g'{a). Je-li navíc g(a) ^ 0, potom i funkce - má v bodě a vlastní derivaci a platí -/V,, f'(a)g(a)-f(a)g'(a) d) (I) (a) [g(a)l7 Poznámka. Věta samozřejmě platí pro komplexní funkce reálné proměnné. Myji ovšem většinou budeme používat pro reálné funkce. S příslušnými zřejmými změnami věta platí též pro jednostranné derivace. Velice často budeme vyšetřovat derivaci funkce na celém intervalu a ne pouze v jediném bodě. Mějme tedy dvě funkce f ag definované na intervalu / mající na tomto intervalu vlastní derivaci. (Připomeňme, že výrokem „funkce má na intervalu vlastní derivaci" míníme, že má vlastní derivaci v každém bodě tohoto intervalu. V případných krajních bodech míníme samozřejmě příslušné jednostranné derivace.) Z Věty 4.1 ihned vyplývá, že potom funkce f + g, cf, f g mají na intervalu / vlastní derivace a platí: a) (/ + g)\x) = /'(*) + g'(x), b) (cf)'(x) = cfXx), c) (/*)'(*) = f{x)g{x) + f{x)g\x). Je-li navíc g(x) ^ 0 na intervalu /, potom i funkce - má na / vlastní derivaci a platí -A' f(x)g(x)-f(x)g'(x) d) ß)\x) [g(x)l2 Věta 4.2 (O derivaci složené funkce). Buď g reálná funkce definovaná na okolí bodu a a mající v bodě a vlastní derivaci g'(a). Buď f funkce definovaná na okolí bodu g (a) a mající v bodě g (a) vlastní derivaci f'(g(.a)). Potom složená funkce f o g je definována na okolí bodu a, má v tomto bodě vlastní derivaci a platí {fog)\a) = f{g{a)).g,{a). 132 Derivace funkce a její užití Poznámka. Jak je patrné z formulace věty, vnější funkce / může být komplexní funkce reálné proměnné. Větu lze také vyslovit v různých jednostranných verzích. Velice často se opět setkáváme s následující situací. Funkce g je definována na intervalu /, má na tomto intervalu vlastní derivaci a zobrazuje interval / do intervalu /. Na intervalu /je potom definována funkce / a má na něm vlastní derivaci. Z Věty 4.2 potom ihned vyplývá, že složená funkce fog má vlastní derivaci na intervalu / a platí {fog)\x) = f\g{x)).g\x). Věta 4.3. Buď f funkce definovaná na okolí bodu a. Potom funkce f má v bodě a derivaci f fa) právě tehdy, když má v bodě a jak derivaci zleva f'_{a), tak i derivaci zprava f\_(a) a platí f'_{a) = f\_(a). Má-li funkce f v bodě a derivaci f {a), potom platí f'{a) = f'_{a) = /+(a). (Povšimněte si, že v této větě nepředpokládáme, že by uvažované derivace musely být vlastní.) Věta 4.4 (O limitě derivace). Buď f funkce definovaná na okolí bodu a a spojitá v bodě a. Nechť funkce f má na redukovaném okolí bodu a vlastní derivaci a nechť existuje lim f'{x) (ne nutně vlastní). x—*a Potom funkce f má v bodě a derivaci a platí f'{a) = lim f'{x). Platí též jednostranné verze této věty. x—*a (Doporučujeme čtenáři, aby si je zformuloval.) Věta 4.5. Buď f funkce definovaná na okolí bodu a. Pro každé x z tohoto okolí pišme f{x) = f\(x) + + ifii*), kde fi(x) respektive /2OO je reálná respektive imaginární část čísla f{x). Potom funkce f{x) má v bodě a vlastní derivaci právě tehdy, když mají v bodě a vlastní derivaci obě reálné funkce f (x) a fiix). V případě, že existuje vlastní f'{a) (nebo ekvivalentně existují vlastní f [{a) a f^a)), platí f(ä) = fl(ä) + ifi(ä). Věta 4.6 (1'Hospitalovo pravidlo typu jj). Buďte f a g dvě reálné funkce definované na redukovaném okolí bodu a. (Může být též a = —00 nebo a = +00. Potom ovšem místo redukované okolí musíme všude říkat okolí.) Nechť lim f{x) = lim g(x) = 0. Nechť funkce f a g mají vlastní derivace na x—*a x—*a redukovaném okolí bodu a a nechť existuje lim ^-jf\ (ne nutně vlastní). Potom existuje též lim ±-f\ a x-*a S \x> x-*a S\x> platí lim £&\ = lim ^rr- x-*a S\x> x-*a S \x> Věta 4.7 (1'Hospitalovo pravidlo typu 2££2). Buďte f a g dvě reálné funkce definované na redukovaném okolí bodu a. (Opět zde může být a = —00 nebo a = +00, přičemž potom místo o redukovaném okolí musíme všude mluvit o okolí.) Nechť'lim g{x) = —00 nebo +00. Nechť funkce f a g mají vlastní derivace x—*a na redukovaném okolí bodu a a nechť existuje lim ^f\ (ne nutně vlastní). Potom existuje též lim ±-f\ a x-*a S \x> x-*a S\x> platí lim £&\ = lim ^rr- x-*a S\x> x-*a S \x> Poznámka. Platí též jednostranné verze obou výše uvedených 1'Hospitalových pravidel. (Je velmi snadné je zformulovat a doporučujeme čtenáři, aby si příslušné formulace rozmyslel.) Povšimněte si, že u pravidla typu 2£££ nepředpokládáme nic o lim f(x) (ani to, že existuje). 00 x-*a Věta 4.8 (Lagrangeova věta o střední hodnotě). Buď f reálná funkce definovaná a spojitá na uzavřeném intervalu (a, b). Nechť f má derivaci (ne nutně vlastní) v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Potom existuje bod £ e (a, b) (tedy bod z vnitřku intervalu) takový, že 4.1 Přípravna tvrzení 133 Věta 4.9 (Cauchyova věta o střední hodnotě). Buďte f a g dvě reálné funkce definované a spojité na uzavřeném intervalu (a, b). Nechť funkce f má derivaci (ne nutně vlastní) v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Nechť funkce g má vlastní nenulovou derivaci v každém vnitřním bodě tohoto intervalu. Potom existuje bod £ e (a, b) (tedy bod z vnitřku intervalu) takový, že f(b) - f (a) _ f'(š) g(b) - g(a) g'(M) • Poznámka. Snadno je vidět, že Lagrangeova věta je speciálním případem věty Cauchyovy. (Stačí v Cauchyově větě položit g{x) = x.) Je však natolik používaná, zeje vhodné ji formulovat zvlášť. Věta 4.10. Buď f funkce definovaná na intervalu I. Nechť f{x) = Ona I (v případných krajních bodech samozřejmě míníme příslušné jednostranné derivace.) Potom je funkce f na intervalu I konstantní. Věta 4.11 (Leibnizova formule). Nechť funkce f a g jsou definovány na okolí bodu a a mají v bodě a derivace až do řádu n včetně. Potom funkce f g má v bodě a derivace až do řádu n včetně, přičemž platí (fg)M(a) = J2 ("VW(«) ' S(n~k)ia)- k=0 Věta 4.12 (Peanova). Buď f funkce definovaná na okolí bodu a. Nechť f má v bodě a vlastní derivace až do řádu n včetně (n je přirozené nebo nula). Potom existuje právě jeden mnohočlen Pn(x) stupně < n (anebo nulový) tak, že platí lim-----------------= 0. x-m (x — a)n Tento mnohočlen má tvar ^ f{k)(a) Pn{x)=Y,L-^1ix-ar. k=0 Nazývá se Taylorovým mnohočlenem stupně n a označujeme jej symbolem <%(x; a, f). Věta 4.13 (Taylorova). Nechť funkce f má vlastní derivace až do řádu (ra + 1) včetně (n je přirozené nebo nula) na uzavřeném intervalu I s koncovými body a, x (v krajních bodech derivace jednostranné). Nechť funkce cpje spojitá na intervalu I a má vlastní nenulovou derivaci na vnitřku ľ intervalu I. Potom existuje £ e ľ tak, že ^ (x — Ě)n w(x) — w(a) , ,n Speciálně a) pro cp(t) = (x — t)n+l je Rn+i(x)= \ , ^'{x-a)n+l (« + !)! (Lagrangeův tvar zbytku), b) pro cp(t) = t je ----------f(n+l)(a + &(x - a)) ■ (x - a) ni (Cauchyův tvar zbytku), kde 0 < 0 < 1 Rn+i(x) ni «+i 134 Derivace funkce a její užití Tabulky derivací. 1) (xay = axa~1, obor platnosti závisí na a, 2) íqx)' = ex, x e (-oo, +oo), 3) (ax)' = ax lna, x e (—oo, +oo), a > O, 4) (lnx)' = -, x e (O, +oo), x 5) (logflx)' = —— , x e (O, +oo), a > O, a^l, xlna 6) (sinx)'= cosx, x e (—oo, +oo), 7) (cosx)'=—sinx, x e (—oo, +oo), .1 / jr jr \ 8) (tgx) =—— , x e [——+kit, — + kit), k je celé, cos/x V 2 2 / 9) (cotgx)'=——— , x e (k%, (k + l)it), k je celé, sin2x 10) (arcsinx)' = —^=^ , x e (—1, 1), Vi — x2 11) (arccosx)' =-----, x e (—1, 1), VT^2 12) (arctgx)' = —■—- , x e (-oo, +oo), 1 + xz 13) (arccotgx)' =---------- , x e (-oo, +oo), 1 + xz 14) (sinhx)' = coshx, x e (—oo, +oo), 15) (coshx)' = sinhx, x e (—oo, +oo), (Pozor! Zde není minus jako u (cosx)' = — sinx.) 1 cosh2x 1 sinh2x 16) (tghx)' = —— , x e (-oo, +oo), 17) (cotghx)' = ——-r , x e (-oo, 0) U (O, +oo), 18) (argsinhx)' = —^=^ , x e (—oo, +oo), VT + x2 19) (argcoshx)' = —^=^ , x e (1, +oo), Vx2 — 1 20) (argtghx)^^-^, x e (-1, 1), 21) (argcotghx)' =-------- , x e (-oo, -1) U (1, +oo). í — xz 4.2 Příklady. 135 Taylorovy polynomy a zbytky n £ 1) X{x;Q,e) = Y,jr k=0 ' lim i?„+i(x) = 0 pro x e (—oo, +oo), ,.2*:+l 2) ^„+i(x; 0, sinx) = 5^„+2(x; 0, sinx) = ^(-1) k x (2fc + l)!' k=0 lim i?2n+2(x) = lim i?2n+3(x) = 0 pro x e (-oo, +oo), " x2k 3) 52„(x; 0, cosx) = 52„+1(x; 0, cosx) = VV-l)*—— , lim R2„+\(.x) = lim i?2n+2(x) = 0 pro x e (-oo, +oo), 4) 3,(*; 0,ln(l+*)) = £(-l)*_1y, k=l lim i?„+i(x) = 0 prox e (—1, 1), _ „ ^-^ a(a — l) ■ ■ ■ (a — k + l) , 5) ,%(x;0,(l+xT) = J2-------—&------------x > k=0 lim i?„+i(x) = Oprox e (—1, 1), n—reo ľ2k+\ 6) .%„+i{x; 0, arctgx) = ^„^(x; 0, arctgx) = ^(-1) k x 2k+\ k=0 (Všimněte si velké podobnosti s Taylorovým polynomem funkce sin x. Zde máme pouze 2k+l místo (2fc + l)!.) lim i?2n+2(x) = lim i?2n+3(x) = Oprox e (-1, 1), n—^oo n—^oo ŕ í^ 1 1 \ ! !\ 2 7) £?2n+i (x; 0, aresinx) = 52n+2(x; 0, aresin x) = ^----- " x2k+1 , k=0 { )• (Připomeňme, že (2k - 1)!! = 1-3-5.....(2k - 1).) lim i?2n+2(x) = lim R2n+Áx) = 0 pro x e (-1, 1>. n—^oo n—^oo 4.2. Příklady. Nebudeme zde uvádět příklady na mechanický nácvik výpočtu derivací. U standardních příkladů je třeba znát: 1) derivace elementárních funkcí (viz tabulka v závěru přípravné části), 2) formule pro derivaci součtu funkcí, násobku funkce konstantou, součinu a podílu funkcí (viz Věta 4.1), a pro derivaci složené funkce (viz Věta 4.2). 136 Derivace funkce a její užití Jinak je výpočet derivací záležitostí zcela mechanickou. Velmi zdůrazňujeme, zeje třeba počítat velmi pozorně. Výpočty jsou totiž často dosti dlouhé a je mnoho příležitostí udělat chybu. My zde ukážeme jen několik málo standardních příkladů na výpočet derivace, abychom si ujasnili, jakým způsobem se používá Věta 4.1 a Věta 4.2. 1 2 3 Příklad 4.1. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = —|—- -\—- X X1 xj Řešení Danou funkci můžeme přepsat ve tvaru f{x) = x_1 + 2x~2 + 3x~3. Zřejmě ji můžeme chápat jako součet tří funkcí f(x) = /iO) + f2(x) + f3(x), kde /iO) = x"1, f2(x) = 2x~2, f3(x) = 3x"3. Ihned vidíme, že Dfx = Df2 = Df3 = Df = (—oo, 0) U (0, +oo). V každém bodě z Df má každá z funkcí /i, f2, f3 vlastní derivaci. Podle tabulky derivací máme /1/(x) = (x-1)' = (-l)x-1-1=-l. xz Dále pak s použitím Věty 4.1 bodu b) a tabulky derivací máme fax) = (2x-2)' = 2(x"2)' = 2(-2)x"2"1 = -4 , xJ /3'(x) = (3x-3)' = 3(x"3)' = 3(-3)x"3"1 = -^ . Z Věty 4.1 bod a) nyní vyplývá, že i funkce f(x) = f\{x) + f2(x) + /3(x) má v každém bodě z D f derivaci a platí /'(*) = //(*) + /2'(x) + /3'(x) = -l-±-l. Čtenář nechť si povšimne, že bod a) Věty 4.1 hovoří o součtu dvou funkcí. Indukcí však tvrzení bodu a) Věty 4.1 můžeme rozšířit na libovolný konečný součet. My jsme je zde použili na součet tří funkcí. Á Příklad 4.2. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = (1 — x)(l — x2). Řešení Danou funkci můžeme chápat jako součin dvou funkcí f(x) = fi(x)f2(x), kde f\{x) = 1 — x, fi(x) = 1 — x2. Zřejmě Dfx = Df2 = Df = (—oo, +oo). V každém bodě z D f mají obě funkce f\ a f2 vlastní derivaci (jsou to polynomy). Platí (s použitím Věty 4.1 bod a) a b) a s použitím tabulky derivací) f[(x) = (1 -x)' = (1 + (-l)x)' = (1)' + ((-l)x)' = 0 + (-l)(x)' = (-1) • 1 = -1, fax) = (1 - x2)' = (1 + (-l)x2)' = (1)' + ((-l)x2)' = 0 + (-l)(x2)' = (—1) • 2x = — 2x. Podle Věty 4.1 bod c) nyní plyne, že i funkce / (x) = fi (x) f2 (x) má v každém bodě z D f vlastní derivaci a platí /'(*) = fl(x)Mx) + /i(x)/2'(x) = -1 • (1 - x2) + (1 - x)(-2x) = = -1 + x2 - 2x + 2x2 = 3x2 - 2x - 1. Při praktickém počítání ovšem úvahy předchozího typu většinou provádíme jen v duchu (situace totiž bývá většinou velmi průhledná) a píšeme rovnou ((1 - x)(l - x2))' = (1 - x)'(l - x2) + (1 - x)(l - x2)' = -(1 -x2) + (l -x)(-2x) = -l+x2-2x + 2x2 = 3x2 - 2x - 1 4.2 Příklady. 137 (pokud to ovšem nepíšeme ještě stručněji). Derivaci uvažované funkce můžeme ovšem vypočíst i jinak — totiž tak, že funkci nejprve upravíme roznásobením. Je f(x) = (1 - x)(l - x2) = x3 - x2 - X + 1 a odtud /'(*) =3x2-2x- 1. ▲ 1 + x - x2 Příklad 4.3. Vypočtěte derivaci funkce f(x) Řešení. Danou funkci zde pi f2(x) = 1 — x + x2. Zřejmě Řešení. Danou funkci zde především musíme chápat jako podíl f(x) = j¥\, kde /i(x) = 1 + x — x2, 1 - x + x2 = (x - -) + - > 0, 1 - x + x2 ,^Aí\ fC-r\ — ____ fl(x)' 1\2 3 i) +4 a tudíž D f = Df2 = (—00, +00). Máme f[(x) = (1 + x - x2)' = 1 - 2x, /2'(jc) = (1 - x + x2)' = -1 + 2x. Protože /2C*:) 7^ 0 na (—00, +00), má podle Věty 4.1, bod d) funkce f (x) = j^H- na (—00, +00) vlastní derivaci a platí flf , _ fl(x)f2(x)-Mx)%(x) _ f {X) - [/2(x)l2 _ (1 -2x)(l -x+x2) -(l+x-x2)(-l+2x) _ (1-x+x2)2 1 — x + x2 — 2x + 2x2 — 2x3 + 1+X — x2 — 2x— 2x2 + 2x3 (1-x+x2)2 -4x + 2 2(1-2x) (1-x+x2)2 (1-x+x2)2' V praxi ovšem výpočet zapisujeme spíše následujícím způsobem: /l +x -x2^' ;) 1-x+x2 _ (1 -2x)(l -x+x2) -(l+x-x2)(-l+2x) _ (1-x+x2)2 1 — x + x2 — 2x + 2x2 — 2x3 + 1+X — x2 — 2x — 2x2 + 2x3 (1-x+x2)2 -4x+2 2(1-2x) 2\2 (1-x+x2)2 (1-x+x2) ex sin x Příklad 4.4. Vypočtěte derivaci funkce f (x) x2 - 3x + 2 Řešení. Danou funkci opět především musíme chápat jako podíl f (x) = 4M, kde /i(x) = exsinx, /2OO = x2 — 3x + 2; zřejmě Dfx = Df2 = (—00, +00). Avšak x2 — 3x + 2 = (x — l)(x — 2), a tudíž D f = (—00, 1) U (1, 2) U (2, +00). S použitím Věty 4.1 bod c) dostáváme f [{x) = cx sin x + ex cos x, j^(x) = 2x — 3. 138 Derivace funkce a její užití Z Věty 4.1 bod d) nyní vyplývá, že funkce f(x) = 414 má vlastní derivaci v každém bodě z Df, neboť v každém takovém bodě je splněn předpoklad f2ix) 7^ 0. Vychází potom f(x) = f[jx)f2jx)-f{x)f^x) = [/2W]2 (ex sinx + ex cosx)(x2 — 3x + 2) — ex sinx(2x — 3) (x2 - 3x + 2)2 ex sinx(x2 — 5x + 5) + ex cosx(x2 — 3x + 2) (x2 - 3x + 2)2 x (x2 — 5x + 5) sinx + (x2 — 3x + 2) cos x (x2-3x+2)2 ' A x2-l Příklad 4.5. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = ln —-----. x1 + 1 Řešení. Zde musíme danou funkci chápat především jako funkci složenou. Situace je zde následující: vnější funkce f\{y) = \a.y, D f = (0, +00); vnitřní funkce f2ix) = ^tt{, Df2 = (—00, —1) U (1, +00). Vnitřní funkci bychom sice mohli brát s definičním oborem (—00, +00), ale nemělo by to smysl, neboť funkce ^ř} zobrazuje interval (—1, 1) do intervalu (—00, 0), na kterém funkce f\ není definována. Zřejmě je: fix) = if o /2)(x), Df = (-00, -1) U (1, +00). Máme f[{y) = Jna% . /x2-ly 2x(x2 + 1) - 2x(x2 - 1) 4x /2(x) = (x^Tt) =-------(x^TTř-------= (x^TF na Df2' Podle věty o derivaci složené funkce (Věta 4.2) má funkce f{x) = (f o f2)ix) vlastní derivaci v každém bodě z Df a platí fix) = (f o f2)\x) = fl(Mx)) ■ fax) = 1 4x x2 + 1 4x 4x *í=± (x2 + l)2 x2 - 1 (x2 + \f x2+l Při běžném výpočtu si ovšem uvědomujeme pouze v duchu, která funkce je vnější a která vnitřní. Zápis by potom vypadal následujícím způsobem: x2 - ly 1 2x(x2 + 1) - 2x(x2 - 1) V x2 + l/ *L=± x2+l/ 4=1 (x2+l)2 x2+l x2 + 1 4x 4x x2 - 1 (x2 + l)2 x4 - 1 (pokud by nebyl ještě kratší). Povšimněte si, že výraz ^r je definován i v bodech intervalu (—1, 1), ve kterých funkce / vůbec není definována, a tudíž tam nemůže mít ani derivaci. S tímto jevem se lze setkat častěji a není třeba se jím nikterak znepokojovat. Á 4.2 Příklady. 139 Příklad 4.6. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = In x 3^2 Řešení. Zde je asi nejlepší zapsat danou funkci ve tvaru f(x) = (lnx ) . Z tohoto tvaru je vidět, že /(*) = (/i o f ° /3) W, kde /i(z) = z3, /2(30 = lny, /3(x) = x2. Zřejmě Df = (-oo, 0) U (0, +oo). Proto funkce f\, /2, h vezmeme s definičními obory Dfx = (—oo, +oo), D/2 = (0, +oo), D/3 = = (—oo, 0) U (0, +oo). Každá z funkcí /i, /2, /3 má v každém bodě svého definičního oboru vlastní derivaci. Snadno vidíme, že f (z) = 3z2, f(y) = - , /3'(x) = 2x. Podle Věty 4.2 má funkce f(x) = (/i o /2 o /3)(x) v každém bodě z D/ vlastní derivaci a platí /'(*) = (/i o /2 o /3)'W = (/i o (/2 o /3))'(x) = //((/2 o /3)W) • (/2 o /3)'(x) = = //((/2 O /3)(X)) • [/2'(/3 W)]-/3'W = ■xn 2,2 1 0 6 (lnx2)2 61n2x2 = 3(lnx ) • — • 2x =----------- =--------. Povšimněte si, že Větu 4.2 jsme při výpočtu použili dvakrát. Vzhledem k tomu, že skládání funkcí je asociativní, mohli jsme postupovat i následujícím způsobem: fix) = (f, o h o f)'ix) = ((^ o f2) o /3)'(x) = = if o /2)'(/3 W) • /3'(x) = //((/2 o /3)(x)) • f{hix)) ■ fix), což je zřejmě stejný výsledek jako výše. Praktický výpočet by ovšem vypadal asi takto: -, 0 , 9 9 1 61n2x2 (ln3x2)' = 3 ln2x2 • — • 2x =--------. x1 x A Příklad 4.7. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = xx" + x"x + oř*, D f = (0, +oo), a > 0 je konstanta. Řešení. V tomto příkladě chceme čtenáře upozornit, jak derivovat funkci tvaru f(x) = g(x)h<-x\ Základní myšlenka je stejná jako při výpočtu limit. Funkci především vyjádříme ve tvaru f(x) = Qh^y^s(x)_ Zřejmě f(x) = (/i o /2)(x), kde My) = cy, f2(x) = h(x) ■ lng(x). Platí f[{y) = cy, takže máme f(x) = eh(x)-lng(x) ■ (h(x) ■ lng(x))' = = g{x)h{x\h\x) ■ lng(x) + h(x) ■ {lng(x))']. Pro výpočet derivace (lng(x))' opět stačí použít větu o derivaci složené funkce. Napíšeme lng(x) = = igi o gz)(x), kde gi(y) = Iny a g2(x) = g(x), takže máme (lng(x)) = —— -g{x) = —— . gix) gix) Celkem tedy dostáváme: f{x) = g{x)h^(h'{x) ■ \ng{x) + Hx)^-) . 140 Derivace funkce a její užití Tuto výslednou formuli není ale nutné si pamatovat. Většinou v konkrétních příkladech celý tento postup prostě opakujeme. Není to tak dlouhé, jak to může na první pohled vypadat. Většinu úvah týkajících se složených funkcí provádíme opět pouze v duchu a zapisujeme jen výsledky. V našem konkrétním příkladě tak dostáváme: (x*a +xaX +axJ = (cxainx)' + (ďxinx)' + (cxXlna)' = = Qx"Xnx{xa lnx)' + ďXXnx{ax lnx)' + exXlna(xx lna)' = = xxa(axa-1lnx + xa ■ -) + xaX (exlna lnx)' + axX(exlnx lna)' = = xx V"1 (a In x + 1) + xaX (exlnalnalnx + exlna ■-) + + axX lnaexlnx(lnx + x ■-\ = = xx"+a~l(alnx + 1) +xaXax(lnalnx + -\ + axXxx Ina(lnx + 1). Příklad 4.8. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = *Jx — arctg *Jx. Řešení. Zřejmě D f = (0, +oo). Chceme-li na výpočet derivace použít jako obvykle Věty 4.1 a 4.2, musíme se omezit na interval (0, +oo). Věty 4.1 a 4.2 hovoří totiž pouze o vlastních derivacích a v našem případě je (Vx")x=o+ = +°°- Tuto skutečnost zjistíme snadno pomocí věty o limitě derivace (Věta 4.4). Funkce +/x je totiž spojitá v bodě 0 zprava, na intervalu (0, +oo) platí {■s/x)' = jj; a zřejmě lim (Jx)' = lim —7= = +00. Tedy i (J~x)'n, = +oo. Na intervalu (0, +oo) ovšem s pomocí x-*0+ x-*0+ 2V* x-u"1" Vět 4.1 a 4.2 snadno najdeme f'(x) = (V? - arctg V*")' = ^= - j^-x ■ ^= = _ 1 / 1 \ _ 1 x _ *Jx ~ 2^/x V 1 +x)~ 2^/x ' 1 +x ~~ 2(1 +x) ' Vzhledem k tomu, že D f = (0, +oo), jediná otázka týkající se derivace, která zbývaje otázka po /|(0). V takovýchto případech ale velmi často pomáhá věta o limitě derivace. Funkce f(x) je spojitá v bodě 0 zprava, lim f'(x) = lim 9,>T , = 0, takže /í (0) existuje a platí /! (0) = 0. Celkově potom můžeme x^o+ x^o+ £yí+x> "•" "•" napsat, že platí (y/x - arctg*Jx) = na (0,+oo). Zy 1 -\- X) V bodě 0 máme přirozeně na mysli jednostrannou derivaci. Á Příklad 4.9. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = x + *Jx + \[x. Řešení. Zde je zase D f = (0, +oo), ale ze stejných důvodů jako v předchozím příkladě můžeme podle Vět 4.1 a 4.2 počítat derivaci pouze na intervalu (0, +oo). Dostáváme tak f\x) = (x + ^ + lß)' =\ + J- + -±=. L^JX i\JxL Zajímá-li nás ještě /|(0), použijeme opětně větu o limitě derivace. Funkce f(x) je spojitá v bodě 0 zprava a platí lim f\x) = lim (l H-------- + —r1=) = +oo. Existuje tedy /j(0) a platí /{(0) = +oo. A 4.2 Příklady. 141 1 -x2 Příklad 4.10. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = arcsin-------- . 1 + x1 Řešení. Zde může být trochu nejasná otázka definičního oboru. Napíšeme-li však nerovnosti 1-x2 -1<-------r< 1 1 +x2 1-x2 < 1 -x2 < l+x2, (1+x2), vidíme ihned, že poslední nerovnosti platí pro všechna reálná x a že tedy D f = (—oo, +oo). Vnitřní funkce j^ má zřejmě vlastní derivaci v každém bodě z intervalu {—oo, +oo). Bohužel však vnější funkce arcsin y má nevlastní (jednostranné) derivace v bodech — 1 a 1. Při použití věty o derivaci složené funkce se tedy musíme omezit na ta x, pro která y+^ 7^ +1- Je Ti l+x2 1-X2 2 •(1+x2), 1 +x l-x2 = T(l+*2), x = 0. Vidíme tak, že derivaci funkce f(x) můžeme podle věty o derivaci složené funkce vypočíst pro všechna x e (-oo, 0) U (0, +oo). Máme .-2. , 1 . i J2, . / 1 -xz\' 1 /l -xz\' / (x) = ( arcsin-------- = = •-------- V 1+X2/ L n-x2ý Vl+x2/ (1+x2)2 -2x(l+x2)-(1-x2)-2x V l+2x2+x4-l+2x2-x4 (l+x2)2 l+x2 —2x -2 2x 2 sign x ~ 2|x| ' (l+x2)2 ~ ~|x|(l+x2) ~ ~ l+x2 ' Funkce f(x) je očividně spojitá v bodě 0 (a tedy je spojitá v bodě 0 jak zleva, tak i zprava) a dále platí / 2 sign x \ ä-/w=Js-(--íŤ?-H- Um /'<*) = lim (-i^2f) = -2. x^0+ x^0+\ 1+X2/ Podle věty o limitě derivace je tedy f!_(0) = 2 a /|(0) = —2. Oboustranná derivace /'(O) tedy neexistuje (viz Věta 4.3). Á 2 Příklad 4.11. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = —ya2 — x2 + —- arcsin — , kde a > 0 je konstanta. 2 2 a Řešení. Snadno zjistíme, že D f = (—a, a), ale že podle Věty 4.1 a 4.2 je možno derivaci počítat pouze na otevřeném intervalu (—a, a). Zde platí 1 /—------- x 1 a2 1 1 /'(*) = -^a2 - x2 +--------, • (-2x) +------, • - = 2V 2 ija^x2 2 f. Twi a i - (ay ,2 „2 1 /—;-------r x" íT -V«2 - x2--------^=^= H-------= 2 2 V«2 — x2 2 v« 142 Derivace funkce a její užití Podle věty o limitě derivace zde bez nesnází zjistíme, že /|(—a) = 0 a f'_(a) napsat /'(x) = y a2 — x2 na {—a, a), kde v krajních bodech opět rozumíme příslušné jednostranné derivace. Příklad 4.12. Vypočtěte derivaci funkce f{x) = \x\. Řešení. Zřejmě D f = (—oo, +oo). Zde je výhodné napsat f-x prox e (-oo,0>, I x pro x e (O, +oo), neboť odtud ihned plyne, že /'(*) = -1 pro x e (-oo, 0), /I(0) = -1, /'(x) = l proxe(0,+oo), /|(0) = 1. Z těchto výsledků vidíme podle Věty 4.3, že funkce f(x) = \x\ nemá v bodě O derivaci a že D f = = (—oo, 0) U (0, +oo). Můžeme napsat f'(x) = signx pro x e (—oo, 0) U (0, +oo). Podotkněme ještě, že výskyt absolutní hodnoty ve vyjádření funkce mnohdy způsobuje, že funkce v některých bodech nemá derivaci. Nemusí tomu ale tak být vždy, jak ukazuje následující příklad. Á Příklad 4.13. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = x ■ \x\. Řešení. D f = {—oo, +oo). Opět použijeme postupu, který jsme viděli v předchozím příkladě. Můžeme psát f-x2 prox e (-oo,0>, /(X) = 1 2 /n , a I x prox e (0, +oo). Odtud /'(*) = -2x pro x e (-oo, 0), /1(0) = 0, f(x) = 2x pro x e (0, +oo), /{(O) = 0. Vidíme především, že /'(O) = 0, a tedy D f = (—oo, +oo). Celkem můžeme napsat f'(x)=2\x\. Závěrem si povšimněme následující skutečnosti. Funkce f(x) = x ■ |x| má tvar součinu, má v bodě 0 vlastní derivaci, ale tuto derivaci nemůžeme vypočíst podle Věty 4.1 bod c), neboť jedna funkce ze součinu — totiž funkce |x | — nemá v bodě 0 derivaci (což jsme viděli v předchozím příkladě). Á = 0. Můžeme potom A 4.2 Příklady. 143 Příklad 4.14. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = ln |x|. Řešení, je D f = (—oo, 0) U (0, +oo) a í ln(-x) prox e (-oo, 0), f(x) = i lnx prox e (0, +oo). Na (—oo, 0) dostáváme 1 1 /'(*) = — •(-!) = -• —x x Na (0, +oo) dostáváme /'(x) = i. Celkem tedy můžeme napsat (ln|x|)' = - prox e (-oo, 0) U(0,+oo). x Tento příklad nebyl příliš zajímavý, ale zařadili jsme ho sem proto, že jeho znalost je velmi potřebná při výpočtech primitivních funkcí (= neurčitých integrálů). Á Příklad 4.15. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = |(x — l)2(x + 1)3|. Řešení. Zřejmě D f = (—oo, +oo). Pro výpočet derivace je dobré si všimnout, že můžeme psát f(x) = = (x — l)2|(x + 1)3|. Funkce f(x) má tedy tvar součinu, přičemž prvního činitele umíme snadno zderivovat. Podívejme se proto na derivaci funkce |(x + 1)3|. Použijeme opět metodu z Příkladů 4.12 a 4.13. |(x + 1)3| = [-(x + D3 proxe(-oo,-l>, I (x + l)3 prox e (—1,+oo). Odtud ihned dostáváme |(x + l)3|' = -3(x + l)2 prox e (-oo,-l), |(x + l)3|^=_x_ = 0, |(x + l)3|' = 3(x + l)2 pro* e (-1,+00), |(x + l)3\'x=_1+ = 0. Zřejmě tedy D f = (—oo, +oo). Výsledek můžeme zapsat v jednotném tvaru |(x + l)3|/ = 3sign(x + l)-(x + l)2. (Povšimněte si, jak zde použití funkce sign x zjednodušuje zápis!) Nyní na základě Věty 4.1 bod c) dostáváme //(x) = ((x-l)2|(x+l)3|)' = = 2(x - 1)|(x + l)31 + (x - l)2 • 3 sign(x + 1) • (x + 1) = 2(x- l)(x + l)2|x + l| + (x-l)2-3sign(x + l) • (x + 1) = 2(x - l)(x + l)2(x + 1) sign(x + 1) + (x - l)2 • 3 sign(x + 1) • (x + 1) = (x - l)(x + l)2(5x - 1) sign(x + 1). 2 _ 2 _ 2 144 Derivace funkce a její užití Příklad 4.16. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = |sin3x|. Řešení. D f = (—00, +00). Kvůli absolutní hodnotě budeme dávat pozor na intervaly, kde sin3x > 0 a kde sin3x < 0. Jsou to zřejmě intervaly tvaru (kit, (k + l)jr>. Na intervalu (kit, (k + l)jr> pro k sudé dostáváme f(x) = |sin3x| = sin3x, odkud f'{x) =3sin2xcosx prox e (jfcjt, (k + l)jr), /j(jfcjt) = 0, f'_{{k + l)jr) = 0. Na intervalu {ku, (k + l)jr> pro k liché dostáváme f{x) = |sin3x| = —sin3x, odkud f{x) = -3sin2xcosx pro x e (ifcjt, (k + l)jt), /j(Jbt) = 0, /!((£+l)jt) = 0. Vidíme tedy, že pro libovolné & celé je f!_(k%) = f+(ksz) = 0 a že tedy (podle Věty 4.3) f {ku) = 0. Odtud ihned plyne, že D f = (—00, +00). Abychom mohli f'{x) vyjádřit pomocí jediné formule, povšimněme si, že můžeme psát „,, N i sin2x • sinx pro x e (fcjt, (& + 1)tt), ie-li k sudé, f'{x) = \ 2 I —2 sin2x • sinx pro x e (£jt, (^ + 1)tt), je-li k liché. (Zde /'(x) značí v každém bodě oboustrannou derivaci!) Potřebovali bychom tedy funkci, která se rovná sinx na intervalech {ku, {k + l)jr> s k sudým a která se rovná — sinx na intervalech {ku, (k + l)jr> s k lichým. To je ale zřejmě funkce |sinx|. Můžeme tedy závěrem napsat , . 3 Isin xl = - sin2x • Isinxl. 2 A Příklad 4.17. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = arccos — . |x| Řešení. Zřejmě Df = {x; -^ < 1} = {x; |x| > 1} = (—00, —1) U (1, +00). Na (1, +00) dostáváme / 1 y 1 / 1 \ 1 / (x) = (arccos-)=-7==.(--) '1--^ Vx^^l Na (—00, — 1) dostáváme 1 \' 1 1 Ví2 1 f{x) = (arccos -)' x|/ /i _ J. x2 -Jx1 - 1 x2 VxT^\ x2 Jxi~\ x2 xVxT^\ Podle věty o limitě derivace dostáváme navíc 4.2 Příklady. 145 Je tedy Dľ = (-00, -1) U (1, +00) a platí fix) = (arccos -L)' x\Jx2 — 1 Příklad 4.18. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = [x] sin2jtx. Řešení. D f = (—00, +00). Na základě našich zkušeností s funkcí [x] víme, že je vhodné uvažovat interval (n, n + 1), kde n je celé (samozřejmě může být též záporné). Na tomto intervalu zřejmě je a tudíž f(x) = rasin2Ttx, f'(x) = n ■ 2 sin jrx cos jrx • jr = Jtrasin2jtx pro x e (n, n + 1), /» = 0. Zbývá tedy určit f'_{n + 1). Pokusíme se opět použít větu o limitě derivace. Za tím účelem ukažme nejprve, že funkce f(x) je v bodě n + 1 spojitá zleva: f(n + !) = [« + !] sin2jr(« + 1) = (n + 1) • 0 = 0, lim f(x) x-*(n+\)- lim n sin2TTx = 0. x-*(n+\)- Dále lim f'(x) = lim (jr« • sin2jrx) = 0, x—*(n-\-l)— x—*(n-\-l) — odkud vyplývá, že f'_{n + 1) = 0. Na základě těchto výsledků snadno vidíme, že funkce f(x) má vlastní derivaci i v každém celočíselném bodě n, přičemž platí /'(«) = 0. Můžeme tedy napsat, že Dfi = (—00, +00) a že /'(*) I jr« • sin2jrx pro x e («, n + 1), I 0 pro x = n. Chceme-li výsledek zapsat v hezčím tvaru (uvědomte si, že na intervalu (n, n + 1) je [x] = n), můžeme psát f'(x) = jr[x] sin2jrx. Á Příklad 4.19. Vypočtěte derivaci funkce /(*) = 1 — x pro x e (—00, 1), (1 — x)(2 — x) pro x e (1, 2), —(2 — x) pro x e (2, +00). Řešení. D f = (—00, +00). Použijeme opět naší osvědčené metody. Můžeme psát: m 1 —x pro x e (—00, 1), (1 — x)(2 — x) pro x e (1, 2), —(2 — x) pro x e (2, +00). 146 Derivace funkce a její užití Odtud /'(*) = -1 pro x e (-00, 1), f_{\) = -1, /'(x)=2x-3 pro* e (1,2), /|(1) = -1, /1(2) = 1, /'(x) = l proxe(2,+oo), /|(2) = 1. Vidíme ihned, že D f = (—oo, +oo). Celkový výsledek můžeme zapsat ve tvaru Příklad 4.20. Vypočtěte derivaci funkce /(*) = — 1 pro x e (—oo, 1), 2x — 3 pro x e (1,2), 1 pro x e (2, +oo). (x — a)2(x — b)2 pro x e (a, b), 0 všude jinde. Řešení. D f = {—oo, +oo). Povšimněme si, že můžeme napsat /(*) = O pro x e (—oo, a), (x — a)2(x — b)2 pro x e (a, b), O pro x e {b, +oo). Odtud získame ihned f'(x) = O pro x e (—oo, a), /1(a) = O, /'(x) = 2(x - ä) (x - b)(2x -a-b) pro x e (a, fc), /{(a) = O, f_(b) = O, /'(x) =0 pro x e {b, +oo), /j(Ŕ) = 0. Zase vidíme, že D f = (—oo, +oo) a celkový výsledek můžeme zapsat ve tvaru 2(x — a)(x — b)(2x — a — V) pro x e (a, fe), fix) Příklad 4.21. Vypočtěte derivaci funkce fix) Řešení. D f = (—co, +oo) a opět můžeme napsat fix) Odtud 0 |x |ln(l+x) |x |ln(l+x) všude jinde. pro x e (—co, 0), pro x e (0, +co). pro x e (—co, 0), pro x e (0, +co). fix) fix) 1 1 1 +x pro x e (-co,0), /1(0) = 1, prox e (0,+co), /{(O) = 1. 4.2 Příklady. 147 Vidíme tak, že D f = (—00, +00) a že Příklad 4.22. Vypočtěte derivaci funkce 1 l+x pro x e (—00, 0), pro x e (0, +00). arctgx pro |x| < 1, f\x) = \ \j sign x + ^y- pro \x\ > 1. Řešení. D f = (—00, +00). Zřejmě opět můžeme psát /(*) —f + ^ pro x e (-00, -1), arctgx pro x e (— 1, 1), .f+ £Ť1 pro x e (l,+oo). Zde je trochu nepříjemné, že hodnota funkce — f + ^jr v bodě — 1 není rovna hodnotě funkce arc tg x v bodě — 1, takže nemůžeme napsat f(x) = — f + ^ pro x e (—00, — 1). Každopádně však z předchozího vyjádření funkce f(x) ihned plyne 1 / (x) = - prox e (-00,-1), fix) = -^— pro x e (-1, 1), /|(-1) = i /1(1) = i , x7 + 1 2 2 /'W = ^ proxe(l,+«3), /|(1) = ^- Zbývá tedy jediná otázka —jak vypadá f!_(—l). Snadno vidíme, že Funkce / není tedy v bodě —1 spojitá zleva a odtud je ihned jasné, že pokud f!_(—l) existuje, může být pouze nevlastní. (Připomeňme, že má-li funkce v bodě vlastní derivaci resp. vlastní derivaci zleva resp. vlastní derivaci zprava, je v tomto bodě spojitá resp. spojitá zleva resp. spojitá zprava). K důkazu existence f!_(—l) nemůžeme použít větu o limitě derivace, neboť bohužel není splněn předpoklad spojitosti funkce / v bodě — 1 zleva. Nezbývá než použít definici derivace: /-(.,)= lm /w-/(-»= lim <-} + ¥>-(-f> = *->--l- X — (—1) x^f-1- X + 1 x — 1 1 1 ~T~ 1 ,• x - 1 = lim -------= - lim ------- = +00. *->--i- x + 1 2 x^-i- x + 1 Tím je vyšetřování derivace ukončeno. Zřejmě D f = (—00, —1) U (—1, +00). Celkový výsledek můžeme zapsat ve tvaru fix) T^i pro x e (-1, 1), \ pro |x| > 1. 148 Derivace funkce a její užití Příklad 4.23. Vypočtěte derivaci funkce Řešení. D f = (—00, +00) a můžeme psát x2e x pro |x| < 1, pro |x| > 1. fix) 2a-xl x e 1 pro x e (—00, —1), pro x e (—1, 1), pro x e (1, +00). Odtud ihned plyne fix) = 0 /'(*) = 2xe_x2 +xVx2(-2x) = 2xe_x2(l - x2) /|(-1) = 0, /1(1)=0, fix) = 0 Vidíme tedy, že D f = (—00, +00) a že platí fix) 2xe~x (1 -x2) 0 pro x e (—00, —1), pro x e (—1, 1), pro x e (1, +00), pro |x| < 1, pro |x| > 1. /!(-!)= 0, /|(1) = 0. Příklad 4.24. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = |(x — l)(x — 2)2(x — 3)3|. Řešení. Zřejmě D f = (—00, +00). Podobně jako v Příkladě 4.15 můžeme zde napsat, že platí f(x) = (x — 2)2 • |(x — l)(x — 3)31. Odtud vcelku bez obtíží zjistíme, že /(*) (x- l)(x-2)2(x-3)3 -(x- l)(x-2)2(x-3)3 pro x e (—00, 1) U (3, +00), pro x e (1, 3). (Povšimněte si, že včasné „vytknutí" výrazu (x — 2)2 z absolutní hodnoty nám ukázalo, že při vyšetřování funkce f (x) bod 2 de facto nemusíme brát vůbec v úvahu.) Vypočtěme nejprve ((x - l)(x - 2)2(x - 3)3)' = (x - 2)2(x - 3)3 + (x - l)2(x - 2)(x - 3)3 + + (x - l)(x - 2)23(x - 3)2 = (x - 2)(x - 3)2((x - 2)(x - 3) + + 2(x - l)(x - 3) + 3(x - l)(x - 2)) = = (x - 2)(x - 3)2(6x2 - 22x + 18) = 2(x - 2)(x - 3)2(3x2 - llx + 9). Odtud f (x) = 2(x - 2)(x - 3)2(3x2 - llx + 9) pro x e (-00, 1) U (3, +00), /l(l)=2.(-l).4.1 = -8, /|(3) = 0, /'(x) = -2(x - 2)(x - 3)2(3x2 - llx + 9) pro x e (1, 3), /|(1) = 8, /1(3) = 0. 4.2 Příklady. 149 Ihned vidíme, že D f = (—00, 1) U (1, +00) a že platí 2(x-2)(x-3)2(3x2-llx + 9) pro x e (-00, 1), f {x) = • -2(x - 2)(x - 3)2(3x2 -llx + 9) pro x e (1, 3), 2(x-2)(x-3)2(3x2-llx + 9) pro x e (3, +00). Chceme-li vyjádřit f (x) jedinou formulí, potřebujeme funkci g (x) takovou, že II pro x e (—00, 1) U (3, +00), 1 n ^ — 1 pro x e (1, 3). Lze si ale všimnout, že takovou funkcí je funkce g (x) = sign (x — 1) sign (x — 3). Takže můžeme napsat f\x) = 2 sign(x - 1) • sign(x - 3) • (x - 2)(x - 3)2(3x2 -llx + 9). A Příklad 4.25. Vypočtěte derivaci funkce f (x) = |jt2 — x2| sin2x. Řešení. D f = (—00, +00). Kvůli absolutní hodnotě vyskytující se ve vyjádření funkce f(x) budeme uvažovat intervaly (—00, — tt), (—tt, tt), (tt, +00). Můžeme zřejmě psát rr , (x2 — tt2) sin2x pro x e (—00, — tt) U (tt, +00), /(X) = 1 , 2 2^ • 2 / \ I (tt — x ) sin x pro x e (—tt, tt). Odtud f'(x) = 2x sin2x + (x2 — tt2) 2 sin x cos x = 2sinx (x sinx + (x2 — tt2) cosx) pro x e (—00, —tt) U (tt, +00), /K-jt) = o, /|(jt) = o, f'(x) = —2sinx (xsinx + (x2 — tt2)cosx) pro x e (—tt, tt), /|(-TT) = 0, /!(TT) = 0. Tedy D f = (—00, +00) a celkový výsledek můžeme zapsat ve tvaru f'(x) = —2sign(TT2 — x2) sinx (x sinx + (tt2 — x2)cosx). á Příklad 4.26. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = arcsin(sinx). Řešení. Zřejmě D f = (—00, +00), neboť oborem hodnot funkce sinx je interval (—1, 1) a tentýž interval je definičním oborem funkce arcsiny. Funkce arcsiny se zavádí jako funkce inverzní k funkci sinx, což svádí k tomu, napsat arcsin(sinx) = x. Toto je zásadní chyba, neboť je třeba si uvědomit, že funkci arcsiny definujeme jako inverzní funkci k funkci sinx uvažované pouze na intervalu (—|, |). Platí tedy arcsin(sinx) = x, ale pouze pro x e (—|, |). Pro detailní rozbor funkce arcsin(sinx) je dobré si povšimnout, že tato funkce je periodická s periodou 2tt (díky tomu, zeje taková funkce sinx). Stačí ji tedy uvažovat na intervalu délky 2tt. My si vybereme interval (—-|, ^). Na intervalu (—%, f), jak již bylo řečeno, máme arcsin(sinx) = x. Na intervalu (§, "y) potom dostáváme arcsin(sinx) = arcsin(sin((x — tt) + tt)) = = arcsin(— sin(x — tt)) = — arcsin(sin(x — tt)) = —(x — tt) = tt — x, neboťx — tt e (—-, -). Pro lepší zapamatování uvedeme graf funkce arcsin(sinx). (Pro jeho nakreslení využijeme periodičnosti!) 150 Derivace funkce a její užití Z předchozích výsledků ihned plyne: m = l pro.e(-f,f), r+(-f) = .. /1(f) = 1. TT 3tp /'(*) ■ 1 pro x '3tt .2' 2 /' •, + V2/ "' ""V^ Odtud (s použitím periodičnosti) snadno vidíme, že definiční obor derivace je .(f,f), *© = -.. r.(?) =-i. D// = (—00, +oo) \ — + kit; k e Z a ze /'(*) Příklad 4.27. Vypočtěte derivaci funkce fix) 1 pro x e (-§ +2k7X, § + 2Jbt), ieZ, -1 pro x e (§ + 2Jfcjt, ^ + 2k%), k e Z. x 1 +e^ pro x ^ O,/(O) = 0. Řešení. D f = (—oo, +oo). Pro i^O vypočteme /'(*) 1 + e* (l+eí)-xeí(-i) 1 (1+e^)2 1 + e* + x(l + e*) Zbývá vyšetřit, zda existuje derivace nebo zda existují alespoň jednostranné derivace v bodě 0. Zde je asi nejlépe, povšimneme-li si poměrně technicky výhodného tvaru funkce fix) a začneme počítat f!_(0) a /+(0) podle definice. f(0) /|(0) lim lim x-*0+ fix) - /(O) x-0 fix) - /(O) x-0 lim x^O- lim x^0+ X fix) X fix) lim -------; x^O- 1 _|_eí lim -------: 1, 0. x^0+ 1 _|_ e- Tedy D f = (—oo, 0) U (0, +oo) a fix) pro x ^ 0 je určeno výše uvedenou formulí. Pokud se nerozhodneme počítat f!_(0) a /+(0) podle definice, můžeme ještě použít větu o limitě derivace. Tento postup ale, jak ihned uvidíme, je zde podstatně technicky náročnější. Předně, abychom větu o limitě derivace mohli použít, musíme ověřit, zda funkce fix) je v bodě 0 spojitá. lim f(x) i->0- lim f{x) x^0+ lim x lim x x-*0- x^O- 1 + g X lim lim (l + e*) 1 1 0 - =0 /(O), x^O lim x • lim ^0+ 1 _|_ e- x^0+ x^0+ 1 _|_ e-x 0-0 = 0 = /(0). 4.2 Příklady. 151 Funkce f (x) je tedy v bodě 0 spojitá, takže můžeme počítat limitu derivace. / 1 e* \ 1 lim / (x) = Irm -------- + —-------r-2 = lim -------r + x^o- x^o-\i+Ql x(l+e")/ *-►<>-1+ej e* e* 1 + lim ----------p-r = 1 + lim — • lim i i = 1 + lim-----1 = 1+ lim — . x^O- X x^O- X Poslední limitu můžeme vypočíst následujícím způsobem: e* e~y y 1 lim — = lim —r- = — lim — = — lim — = 0. x-*0- X y^+co —L y^+co ey y^+co ey Při výpočtu jsme použili větu o limitě složené funkce (vnitřní funkce je — \, vnější — ^r) a 1'Hospitalovo pravidlo. Vychází tak lim f'(x) = 1, a tudíž dostáváme opět f!_(0) = 1. / 1 e- \ 1 lim / (x) = lim -------r H--------------r = lim -------p + x^o+ ^o+Vi+ei x(l+e*)/ ^o+1+e- e* Ěi 1 + lim ----------— = 0 + lim -------r ■ lim i I _Jj i = lim —;------ • lim —*—f = 1 • lim ———— = lim — = 0. x^0+ q-- _|_ 1 x^0+ 1 _|_e; x^O+g-jr---]_\ x^0+ e; (Opět jsme použili 1'Hospitalova pravidla.) Odtud znovu dostáváme, že /|(0) =0. A Povšimněte si, jak volba nevhodné metody značně zkomplikovala vyšetřování derivací. Vyplatí se proto vždy přemýšlet o možných postupech a snažit se uhodnout, který z nich bude nejvhodnější. Příklad 4.28. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = Řešení. Za účelem určení definičního oboru uvažujme nerovnost l-e"x2>0, e"x2 0. Je tedy třeba (za účelem použití věty o derivaci složené funkce) vyloučit body, v nichž 1 - e"x2 = 0. Takový bod je ale pouze jeden, totiž bod x = 0. Pro i^0 můžeme tedy použít větu o derivaci složené funkce. Dostáváme ----------- 1 1 / ^ , _ xe~x /'(*) = (VW-5)' = Í • , • H"*2) • (-2x) 2 Vl-e-*2 Vl -e"x2 152 Derivace funkce a její užití Zbývá vyšetřit bod x = 0. /'(0)^lm/W-/(0) x^O- x — 0 lim x^O- yr lim x^O- yr -V^2 lim x-*0- 1-e- lim x-*0- Upozorněme opět, že při výpočtu limity v bodě 0 zleva uvažujeme x < 0, a tudíž x /|(0) = Hm /(*) - /(O) ^o+ x - 0 lim x^0+ yr yr lim , x-*0+ 1-e- lim __ *-*>+ V^2 lim , x^0+ 1 1. x*- x^o+ y —x^ Je tedy D// = (—oo, 0) U (0, +oo), přičemž /'(x) je určeno výše uvedenou formulí. 2x Příklad 4.29. Vypočtěte derivaci funkce f{x) = arcsin ■ 1+x2' Řešení. Za účelem určení definičního oboru uvažujme nerovnost 2x < 1, 1+x2 0< 1 -2|x| + |x 2|x| < l + |x|2, 2, 0<(l-|x|)2. Odtud ihned vidíme, že D f = {—oo, +oo). Zároveň je zřejmé, že funkce f(x) je na celém svém definičním oboru spojitá. Vnější funkce arcsin y nemá vlastní derivace v bodech — 1, 1, a proto za účelem použití věty o derivaci složené funkce musíme vyloučit body, pro které je 2x 1+x2 1, tedy (1 - |x|): 0. Jedná se tedy o dva body — 1 a 1. Pro x ^ +1 dostáváme ( 2x f (x) = arcsin ——- V 1+x2 1 1 i - (ii^)2 2\ A „2 2x 2(1+x2) -4x 1+x2 1+x2 2(1-x2) \+2x2+x4-Ax2 V (1+x2)2 2(1 -x2) |1 -x2|(l+x2) (1+x2)2 V(l-^2)2 (!+^2)2 2sign(l — x2) f_(-\)= lim /'(*) 1+X2 2sign(l-x2) lim-----------------= 2 lim JE->--l- ■1 -1. 1 +X2 *->-l- 1 +X2 Analogickým postupem zjistíme, že (K určení /i(l) a /|(1) lze použít též znalosti f!_(—l) a/|(—1) a toho, že funkce f(x) je lichá.) Vidíme tedy, že Df< = (-oo, -1) U (-1, 1) U (1, +oo). A 4.2 Příklady. 153 Příklad 4.30. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = (x — 2) arctg x — 2 prox^2,/(2)=0. Řešení. Zřejmě D f = (—oo, +oo). Pro x^2 dostáváme /'(x) = í(x-2)arctg + (x - 2) 1 x — 2 1 arctg 1 x — 2 + i + (ár V íx-2)2/ arctg 1 x — 2 x - 2 x2 - 4x + 5 Vzhledem k příznivému tvaru funkce f(x) bude vhodné jednostranné derivace v bodě 2 počítat podle definice. /(*) - /(2) 1 Jt /_(2) = lim----------------- = lim arctg-------- = — — , x^2- X — 2 x^2- X — 2 2 /(*) - /(2) 1 Tt /, (2) = lim---------------- = lim arctg------- = — . x^2+ X —2 x^2+ x —2 2 Tedy Df = (-oo, 2) U (2, +oo). A Příklad 4.31. Vypočtěte derivaci funkce f(x) = |ln |x||. Řešení. D f = (—oo, 0) U (0, +oo). Funkce lnx mění znaménko v bodě x = 1, takže funkce ln |x| bude měnit znaménko v bodech x = —lax = l(jeto konečně sudá funkce). Snadno vidíme, že m ln(—x) pro x e (—oo, — 1), — ln(—x) pro x e (—1,0), — lnx pro x e (0, 1), lnx pro x e (1, +oo). Odtud /'(*) /'(*) /'(*) /'(*) x 1 1 X pro x e (—oo, — 1), pro x e (—1, 0), pro x e (0, 1), pro x e (1, +oo), /!(-i) =-i, /1(1) = -1, /j(l) = 1. Vidíme, že D f = (—oo, —1) U (—1, 0) U (0, 1) U (1, +oo). Celkový výsledek můžeme např. zapsat ve tvaru sign(|x| - 1) / (x) = ----------------• x A Příklad 4.32. Vypočtěte f(6) a f(1) funkce f (x) = x(2x - l)2(x + 3)3. Řešení. Uvažovaná funkce je zřejmě polynomem stupně 6. Tedy D f = Dftß) = Df = (—oo, +oo). Obecně snadno vidíme, že m-tá derivace polynomu stupně n při m > n je rovna nule. Tedy /(7) = 0. K výpočtu šesté derivace použijeme Leibnizovu formuli: 154 Derivace funkce a její užití /6>(x) = (x(2x-l)2(x+l)3)(6) = = X:(6)(x(2x-l)2)(!)((x + 3)3)(6-!) = !=0 ^'^ = Q (x(2x - l)2)(3)((x + 3)3)(3) = 20(x(2x - l)2)(3)((x + 3)3)(3), neboť všechny ostatní sčítance se z výše uvedeného důvodu anulují. Podobně zjistíme, že (x(2x - 1)2)(3) = J2 (3) W(0 • ((2* - I)2)0"0 = 3(x)(1) • ((2x - 1)2)(2) = 3 • 1 • 8 = 24. !=0 ^'^ Vychází nám tedy /(6)(x) = 20 • 24 • ((x + 3)3y ' = 480 • 6 = 2880. Příklad 4.33. Vypočtěte /(20) funkce /(*) = x2e2x. Řešení. Zřejmě Dypo) = (—oo, +oo). Podle Leibnizovy formule dostáváme /(^(x) = X] PW)(/) ' (e2x)(2°"!) = (" 20 ,„„, , . 0 )(^2)(0)-(e2x)(20) + !=0 N ' ' + (2°)(x2)(1) • (e2*)(19> + (2°\x2)W . (e2*)^, neboť všechny ostatní sčítance se anulují. Vychází nám tak f(20\x) = x2220e2x + 20 • 2x • 219e2x + 190 • 2 • 218e2x = 220e2x(x2 + 20x + 95). Příklad 4.34. Vypočtěte /(10) funkce /(*) = — . x Řešení. D f = Dy(io) = (—oo, 0) U (0, +oo). Je _c.f 10! f nio-,-go-oi_ ^i!(10-i)! ^10-!+1 r=0 v ' 10 10! 1 „A ; 10! 1 ^ ' i! x10"^1 ^l ; (10-0! *!'+1 ^ . 10 ■ 9- ■ ■ (10 — ŕ + 1) í=0 í=0 10 !=0 4.2 Příklady. 155 Příklad 4.35. Vypočtěte /(100) funkce /(*) 1 + * Řešení. Zřejmě D f = Dy(ioo) = (—oo, 1). Protože f(x) = (1 + x) ■ -j=, můžeme zkusit postupovat tak jako v Příkladě 4.33. / 1 \(100) / 1 x (99) Vidíme, že by bylo dobré vědět, jak vypadá ( J—) . Postupně dostáváme 1 x CD 1 1 / 1 \(2) 1 3 1 V^/iTTT/ 2 íl-x)3/2' V-v/ĎTT/ >VT^7/ 2 (l-x)3/2' VVr^7/ 2 2 (l-x)5/2' odkud vidíme, že / 1 \W (2ifc-l)!! 1 1 \W _ (2ifc- 1)!! 1 vr^i/ 2* '(i-x)^ Důkaz tohoto vztahu lze provést indukcí. (Připomeňme, že symbol (2k — 1)!! označuje součin lichých čísel 1 • 3 • • • (2k — 1).) Dostáváme potom nnm 199!! 1 197!! 1 /(100)(D = (1 + x) • ——-----------w + 100 2100 (l-x)™ 2» (l-x) 199 2 197!! 1 r , 197!!(399-x) ——-------------------■-------[199(1 + x) + 200(1 - x)l =-------------------—-----. 2ioo (1_x)iooy]Tľ7L n 2100(l-x)100Vr^7 a Příklad 4.36. Vypočtěte /(8) funkce f(x) x2 1 -x Řešení. Zde D f = Df(s, = (—oo, 1) U (1, +oo). (f(x) je racionální funkce.) V tomto případě je nejlepší funkci f(x) rozložit následujícím způsobem: x2 (x2 - 1) + 1 x2 - 1 1 1 +------ = -x - 1 + 1—x 1—x 1—x 1—X 1—X Odtud m / 1 \(8) /<8'w = (—) - Podobně jako v předchozím příkladě snadno zjistíme, že / i V (—) =—— teN- Dostáváme tedy 1 \(t) jfc! ' (1 -x)k+l r(x) (l-x)' 156 Derivace funkce a její užití Příklad 4.37. Vypočtěte /(5) funkce /(*) = — x Řešení. Zřejmě D f = -D/(5> = (0, +oo). /»«-tí-r-ŽQC1)"-*»'—©(;)"■»■ !=0 Snadno zjistíme, že KB (-!)*£! /i\w i— ir/c (") = ^ ^Í0}UN, (Inx)« = (I) 1\(*-D (-l)*"1^-1)! ikeN. Odtud ,(5), , ^ 5! (-I)'"»! (_i)5---i(5-;-l)! 1 W-2-i!(5-i)!" *!+1 ' í=o v ' !=0 5! /^ 1 x6U-^ x6 v^ 5 _ i !=0 lnx *'-'■ 1 1 S! In r (5-Ox6 "'x6..... 120/137 \ 274-——--------In x =------ x6 V 60 / - 120 In x x6 Příklad 4.38. Vypočtěte /(10) funkce /(x) = sin x sin 2x sin 3x. Řešení. D f = Df(io-> = (—oo, +oo). Na první pohled je vidět, že jakýkoliv přímý výpočet (byťs použitím Leibnizovy formule) by byl dosti zdlouhavý. Naštěstí je ale možné funkci / (x) nejprve upravit. Použijeme trigonometrické formule sin a sin ß = - (cos(a — ß) — cos(a + ß)), sin a cos ß = - (sin(a — ß) + sin(a + ß)). Dostáváme 1 sin x sin 2x sin 3x = - (cos x — cos 3x) • sin 3x = 2 1 1 = - sin 3x cos x-----• 2 sin 3x cos 3x 2 4 1 1 1 - (sin 2x + sin 4x)-----sin 6x = - (sin 2x + sin 4x — sin 6x). 4 4 4 Připomeňme, že pro k e {0} U N je (sinx)^ = sin x, (sinx)^4í:+1^ = cos x, (smx)(4k+2) = -sinx, (sinx)(4í:+3) = -cosx. 4.2 Příklady. 157 Speciálně tedy (sinx)(10) = — sinx. Odtud již snadno plyne, že /(10)(x) = -(sin2x + sin4x - sin6x)(10) = = -(-210 sin2x - 410 sin4x + 610 sinóx) 4 = -28sin2x-218sin4x+28 • 310 sinóx. 1 Příklad 4.39. Vypočtěte f(n) funkce f{x) VI-2x' Řešení. D f = Dfw = (—oo, \). Postupně dostáváme f (x)=(l-2x)3/2' f (x)=(l-2x)V2 Zřejmě bude ,„, (2« - 1)!! (l-2x)22ri O správnosti tohoto výsledku se můžeme přesvědčit indukcí: , ,n / (2ra- 1)!! V (1 -2*)-*- / 2« + 1 \ 1 (2« - 1)!!(------— )------------— y 2 / (l-2x)22ŕi _ _ (2(w + 1) - 1)!! +T ' V_Z,; ~ Ti o^2Í2+ll±i •(-2) (l-2x)^+1 (l-2x) 2 Příklad 4.40. Vypočtěte /(n) funkce /(*) = 77^= V1 + x Řešení. D f = Dftn) = (—00, —1) U (—1, +00). Je 1 \(n-i) fOn-tCy-ijú-)' !=0 1 \(«) /l \(«-l) X U/TTt) +w(3/ttt) Snadno vypočteme / 1 \(D _ 1 1 /l \(2) _ 1 4 1 vVTTT/ =~š' (I+X)4/3' vyrri/ =3'3' (I+X)7/3 Odtud již vidíme, že platí: 1 \(*) k 1 ■ 4 ■ ■ ■ (3Ä: — 2) 1 / 1 \ W , 1 • 4 • • • (jtíťť) =(-"—: l/TTx~y 3k (l+x)(3r+D/3 ' JfceN. 158 Derivace funkce a její užití Dostáváme tedy f («)(*) - x{ iy,l-4-(3*-2)_______1______ J W -X^ 1J 3« (l+x)(3«+l)/3 + + „(_,).-.. id-«»-»-2) ' 3«-l (1 +x)(3(«-l)+l)/3 „ , 1 ■ 4 ■ ■ ■ (3w — 5) 1 (-1)-------------------------------------n ,w, ■ f-Jc-(3/1-2) +3«(l+x)) V ' 3« (1 _|_x)(3n+l)/3 V v ) \ \ \ )) (_l)«-i . 1.4---(3«-5)(2x + 3«) 3"(l+x)"+3 Příklad 4.41. Vypočtěte /(n) funkce f(x) = sin 2x. Řešení. D f = Dfw = (—oo, +oo). Zde je opět, podobně jako v příkladě 4.38, výhodné použít trigonometrickou formuli a napsat f(x) = ^(1 — cos 2x). Připomeňme, že pro k e {0} U N je (cosx)(4í:) = cos x, (cosx)(4í:+1) = —sin x, (cosx)(4ŕ+2) = -cosx, (cosx)(4ŕ+3) = sinx. S pomocí těchto vztahů snadno zjistíme, že /^(x) = -24ŕ-1cos2x, keN, f{4k+1\x) = 24k sin 2x, k e {0} U N, f{4k+2\x) = 24k+1 cos2x, k e {0} U N, f{4k+3\x) = -24k+2 sin2x, k e {0} U N. Tyto výsledky ale dokonce můžeme napsat v jednotném tvaru. Vezmeme-li totiž funkci cos(2x + ^y), dostáváme pro / 4kn\ n = Ak cos(2xH--------j=cos2x, /I t -LI íl . (4fe+1)JI\ • O « = 4k + 1 cos(2xH----------------1 = — sin2x, ai,^i íi , (4^ + 2)jtA « = 4k + 2 cos(2xH----------------1 = — cos2x, ai,^i (i , (4^ + 3)jtA . « = 4k + 3 cos( 2x H----------------I = sin2x. Nyní snadno vidíme, že můžeme psát f{n\x) = -2"-1 cos(2x + ^Y n e N. Příklad 4.42. Vypočtěte /(n) funkce /(x) = cos3x. Řešení. D f = Dftn) = (—oo, +oo). Je , 7 1 + cos 2x 1 1 cos x = cos x • cos x = cos x •--------------= - cos x H— cos x • cos 2x = 2 2 2 1 1 / \ 3 1 i i / \ J i - cos x H— cos x + cos 3x = - cos x + - cos 3x. 2 4V 7 4 4 4.2 Příklady. 159 Použijeme-li tabulku derivací funkce cosx, kterou jsme uvedli v předchozím příkladě, dostáváme pro ie{0}UN ■3 -lAk -3 -i4k+\ f{4k\x) = - cosx H------cos3x, f(4k+r)(x) = — sinx---------sin3x, •/v/4 4 ' •/v/4 4 ' 2 24k+2 3 34/H-3 j(«+2)(x) = —cosx---------cos3x f(4k+3\x) = -sinx +------sin3x. Chceme-li tyto výsledky napsat v jednotném tvaru, postupujeme stejně jako v předchozím příkladě. Vychází ,„x 3 / «jt\ 3" / «jt\ f{n\x) = - cos(x + —J + - cos(3x + — j. Příklad 4.43. Vypočtěte /(n) funkce /(x) = sin4x + cos 4x. Řešení. D f = Dfw = (—00, +00). Zde jenom ukážeme, jak uvažovanou funkci rychle upravit na tvar vhodnější pro derivování. A A A O O A O O sin x + cos x = sin x + 2sin xcos x + cos x — 2sin x cos x = O 0 0 o o = (sin x + cos x)-----(2sinxcosx) =1-----sin 2x = 2 2 1 1 - cos 4x 3 1 = 1 - ~ ' ------~------ = T + T cos 4x. 2 2 4 4 Nyní již stejným postupem jako v předchozích dvou příkladech zjistíme, že /W(x)=4"-1cos(4x + ^). Příklad 4.44. Vypočtěte /(n) funkce f(x) = excosx. Řešení. Df = Dftn) = (—00, +00). Je /woo = ý; (n\cx)(k) ■ (cosx)("-r) = *=0 ^ = E f^V ■ (™sx)(n~k) = qX E (ť)(cos*)<"-*>. fr—n N / t—n N / í(i) Na tomto místě můžeme docela dobře nevědět, jak postupovat. Z dřívějška sice víme, že (cosx)( = cos(x + !j-), ale ani toto vyjádření nenaznačuje možnosti dalšího postupu. Můžeme snad ještě napsat (cosx)v ; = coslx H-------------)= cos xcos takže po dosazení dostáváme (n — k) tt\ (n — k) jr (« — k)% ----------sin x sin----------- /<»>(*) = e cosx J2 Cj) cos ^4^ - e sinx £ ß) (n — k) jr r . \-^/«\ . (n — k) jr ----- x sin----------- ŕ=0 x 7 ŕ=0 Možná se nám zdá, že jsme vyjádření «-té derivace ještě více zkomplikovali. Ale zde, nebo možná už i dříve, by nás mělo napadnout, že binomický koeficient ("k) se vyskytuje především ve formuli pro 160 Derivace funkce a její užití «-tou mocninu dvojčlenu. Kdyby jen např. místo cos ("~ŕ)lT a sin ("~r)lT se tam vyskytovaly mocniny! Posloupnost {cos ^r}k=0 je však poměrně jednoduchá. Mezi jejími členy jsou pouze čísla —1, 0 a 1. Ihned vidíme, že k% cos — = 1 pro k = 41, kn cos — = 0 pro k = Al + 1, kit cos — = — 1 pro k = 41 + 2, kn cos —- = 0 pro k = 41 + 3. 2 Pokusme se vyjádřit cos— ve formě mocniny. Vidíme ale na první pohled, že pro žádné a neplatí cos ^r = ak. Nebylo by ale dobré právě zde se vzdát. Můžeme se ještě pokusit vyjádřit cos 4^ ve formě součtu (přesněji lineární kombinace) dvou mocnin. Měli bychom přijít na to, že platí 1 + (—1)* ji pro k sudé, 2 10 pro k liché. Tento výraz nám již vyhovuje pro k liché, ale bohužel není ještě dobrý pro k sudé. Vylepšíme ho tedy tak, že ho něčím vynásobíme. Pro k liché tím určitě nic nezkazíme. Musíme to ale udělat, tak, aby pro k = 41 vyšla 1 a pro k = 41 + 2 vyšla — 1. Zde bohužel musíme do komplexní oblasti. Zjistíme, že platí ku .k \ + {-\)k 1 .k 1 . , cos — = ik-----------= - • ik + - • (-i r, 2 2 2 2 kde i značí komplexní jednotku. Podobně zjistíme, že platí . kli .k_x 1 + C-l)*-1 1 .*_! 1 , ..*_! sin — = ik l-----------------= - • ik l H-----(-i r . 2 2 2 2 (Zapamatujme si alespoň rámcově, že takové vyjádření je možné!) Zbytek je už nyní početní záležitostí. f{n\x) = e C0SXJ2 (") (yin~k + y (-1)""") - k=0 ^ ' t(;)(r^-+5-(-i)-",)= h—(\ \ / — e sin x 1 2 e*cosx( J2 (nk)ŕ-in~k + Í2(nk)ŕ ■ (-1)""" k=0 ^ 7 ifc=0 ^ ' -e-sinxí^í'Ml^i^^+^C^l^C-ir-^-1 V=0 \ ' k=0 e(:>"-."-'-+e(:) k=0 v 7 k=0 v 7 Ě(';)i"-i"-"+ĚG)'"- |e'cosx( j; ("li* . i—1 + ^ ( " ) 1* . (-i)""" 1 / /( / 1 x . /^ /« — e sin x 2i xr=0 x 7 ifc=0 -excosx((l + i)" + (l-i)")-—exsinx((l + i)"-(l-i)"). 2 2i 4.2 Příklady. 161 Vypočtěme si nyní (l + i)" + (l-i)" (l+i)"-(l-i)" V2(cos ^ + i sin ^)]" + [V2(cos(-^) + i sm(-^)) „5/ nu . . nii\ í / / nii\ . . / «jr\\ "+i 2 (cos — + i sin—— 1 + 2 I cosi—— 1 +i siní—— 11 = 2 cos >f+i- «jr i -sin Odtud An), a ! x ,5+1 «^ 1 x • of+1- • W7t fy'(x) = -e cosx • 22 cos-----------re sinx-22 i • sin — 2 4 2i 4 = 2 e cos x cos-------sin x sin — V 4 4 / Příklad 4.45. Vypočtěte f(n) funkce /(*) = ln a+ , ab £ 0. a — bx 22excos Řešení. Abychom určili definiční obor, budeme uvažovat nerovnost ^|^ > 0. Uvědomme si velmi užitečnou skutečnost, že totiž podíl dvou čísel je kladný (záporný) právě tehdy, když jejich součin je kladný (záporný). Stačí tedy uvažovat nerovnost (a + bx)(a — bx) > 0, „2 x2< b2 ' x < odkud vidíme, že D f = Dfw = (—1| |, |||). Pak ,r, N 1 b (a — bx) + b (a + bx) a — bx fW(x) bzxz > 0, a b 2ab 2ab a+bx a—bx {a — bx)7 a + bx {a — bx)2 (a + bx)(a — bx) Kdybychom nechali /(1)(x) v posledním tvaru, výpočet vyšších derivací by byl technicky složitý a nepřehledný. Obecně vzato, v případě výpočtu derivací vyššího řádu racionální funkce (což je právě náš případ) se vyplatí tuto funkci rozložit na tzv. parciální zlomky. (Tento rozklad se ale většinou probírá až v souvislosti s integrací racionálních funkcí.) V našem případě rozklad na parciální zlomky znamená, že napíšeme 2a b (a + bx)(a — bx) + Snadno vidíme, že (—) \a + bx) (k) + Odtud plyne pro n e N (-D* a + bx a — bx k\bk /l 1 \ b(---------+---------). \a + bx a — bx) (a + bx) k+\ (—) \a — bx ) (k) k\bk (a — bx) k+\ c(n) rw = *(-D ,„_i(n- l)!^""1 , (n- 1)1 b"'1 (a - bx)n (n- l)\bn (a + bx)n 1 + + (-1) «-1 1 (a2 — b2x2) (a - bx)n (a + bx)n -((a + bx)n + (-l)n-l(a-bx)n). (»-!)!*" „ , ,..,„ , , ,,„-i 162 Derivace funkce a její užití Příklad 4.46. Vypočtěte /(n)(0) funkce /(*) (1 -2x)(l+x) Řešení. Zde podobně jako v předchozím příkladu použijeme rozkladu na parciální zlomky. (Pokud ho čtenář neovládá, nevadí. Při integraci racionálních funkcí, jak jsme se již zmínili, se s ním stejně seznámí.) Platí 1 l l 1 _ 3 _|_ 3 (l-2x)(l+x) l-2x 1+x Odtud 1 \(») 1/ 1 \(») 2 n!2" 1 „ n! r„\ Z/ 1 \W 1/ 1 \W Z «Z 1 f'M--ÁT^) +š(TT7) =3-(T^Fr + 3-(-" + x/ 3 (l-2x)"+1 3 (l+x)^1' Dále derivaci upravovat vcelku nemá smysl, protože naším úkolem je vypočíst pouze /(n) (0). Po dosazení x = 0 dostáváme snadno /<">(0) = 2-n\T + X-{-\)nn\ = |(2"+1 + (-1)"). Příklad 4.47. Vypočtěte /(n)(0) funkce /(*) Řešení. Derivace podílu vychází obvykle trochu složitější. Proto se nám zde vyplatí následující úprava: x —x 1 — x — 1 ,------- 1 Vl -x + Ví — x Ví- x Ví- * Ví- * Snadno zjistíme, že 1 1 , r.------,m 1 1 1 (i) 1 1 i n---------^2) <^> =-2-VT=ř <^ " 2 2 d-,)3/2 (yr^)r ,0) 113 1 2 2 2 (l-x)5/2 Odtud vidíme, že (VT^f = --^^ pro,, í 2. 2"(1 -x) — Zároveň však z předchozích výpočtů můžeme poznat, že / 1 \(«) (2n-l)!! (vř=f) =2»(i-„^ pro"-L Tedy ,„, (2«-3)!! (2/1-1)!! / (x) = ^-----^ + T7\----^ pro " - 2' 2"(l-x) — 2"(l-x) — odkud pro n > 2 vychází ,„, (2«-3)!! (2n-l)!! (2«-3)!! «(2«-3)!! /(">(0) =----------— +---------— =----------—(1 + 2« - 1) = —------—— J v ' 2" 2" 2" 2"_1 Navíc m 1 1 /<■>«» = -5 + 5 = o. 4.2 Příklady. 163 Příklad 4.48. Vypočtěte /(n)(0) funkce /(*) = arctgx. Řešení. Můžeme začít psát /(i)W = _L_, /p)W 2x 1+X2 (1+X2)2 m 2(l+x2)2-2x-2(l+x2)-2x 2(l+x2)-8x2 6x2 fw(x) =---------- (1+X2)4 (1+X2)3 (1+X2)3' ale stěží zde uvidíme nějakou zákonitost. Je sice možné odvodit formuli pro (arctgx)(n), ale za tímto účelem je třeba použít komplexního rozkladu y-^- = jj(-^ ~~ 7+7)' coz z^e nebudeme provádět. Povšimněme si ale, že platí velmi jednoduchý vztah (l+x2)/^(x) = l. Odtud s použitím Leibnizovy formule s n > 2 dostáváme £("Vi+*2)<'V("-/+1)to = o, !=0 ^'^ (1 +xV"+1>(x) + « • 2x • /<»>(*) + ^^ ■ 2 ■ f^\x) = 0. Speciálně pro x = 0 dostáváme /(»+D (0) = -«(«- 1)/("_1)(0), což je velmi jednoduchý rekurentní vztah. Protože /(2)(0) = 0, snadno odtud vidíme, že /(2r)(0)=0, keN. Dále protože /(1)(0) = 1, dostáváme /(3)(0) = -2 • 1 • /(1)(0) = -2!, /(5)(0) = -4 • 3 • /(3)(0) = 4!, takže je vidět, že /(2*-D(0) = (-l)*-1(2ik-2)!, keN. (Tuto formuli lze snadno dokázat indukcí.) Příklad 4.49. Vypočtěte /(n)(0) funkce /(*) = (arctgx)2. Řešení. Použijeme výsledků předchozího příkladu. Pro n přirozené máme /W(0) = J2 (")(arctgx)^0 • (arctgx)t" -0 =0 \ / / !=0 Je-li n liché, potom zřejmě právě jedno z čísel i, n — ije sudé, což ukazuje, že každý sčítanec v předchozím součtuje roven nule. (Sudé derivace funkce arctgx v bodě 0 jsou podle předchozího příkladu nulové.) Tedy /(2*-1)(0) = 0, keN. 164 Derivace funkce a její užití Uvažujme tedy nyní případ, kdy « je sudé. Můžeme psát n = 2k. Pak 2k f(2k)(0) = E ( • )(arctgx)^l0 • (arctgx) (2k-i) x=0 !=0 k 2k A2J-1) E [2 j - 1 )(arctSx)ľ=o L' ■ (arctgx)x=0 (2k-2j+\) E (2k)l ;=i (2j-\y.(2k-2j + \y. {-\y-\2j-2)\{-\)k-J{2k-2j)\ -\)k~i(2k)i y----------------------------= j-^(2j-l)(2k-2j + l) k -i)k-1(.2ky.y-(—^— +------l-------) ^2k\2j - 1 2k-2j + lJ ;=i -l)*_12(2Jk — 1)!E/ ^ 2 / - 1 Příklad 4.50. Vypočtěte /(n)(0) funkce /(x) = arcsinx. Řešení. Pokusíme se postupovat podobně jako u funkce arctgx v Příkladě 4.48. fW(x) 1 f(2)(x) = --.-------—.(-2*) 2 (I-X2)3/2 (I-X2)3/2 Odtud ihned vidíme, že platí (l-*2)/<2>(*)-*/(1)(*)=0. Derivujeme-li tuto rovnost «-krát, « > 2, dostáváme s použitím Leibnizovy formule (1 - x2)/(n+2)(x) - 2«x/(n+1)(x) - «(« - l)/(n)(x) - x/(n+1)(x) - nf(n\x) = 0. Po dosazení x = 0 vychází /(»+2)(0) =„2/W(0). Protože f{ '(0) = 0, vidíme z této rekurentní formule ihned, že f(2k\0)=0, íeN. 4.2 Příklady. 165 Abychom mohli rekurentní formuli použít též pro určení lichých derivací, musíme vypočíst ještě /(3)(0) (neboť formule platí jen pro n > 2): ,,3), , {\-x2ýl2-x.\{\-x2Ý'2.{-2x) \-x2+3x2 \+2x2 r\x) =--------------------------------------------- (1-X2)3 (1-X2)5/2 (1-X2)5/2' /(1)(0) = 1, /(3)(0) = 1. Z rekurentní formule dále snadno nacházíme /(5)(0) =32-l2, /(7)(0) = 52 • 32 • l2. Odtud je vidět, že bude platit f(2k+1\0) = {{2k- l)!!)2, keN, což můžeme velmi snadno dokázat indukcí. Tato formule nezachycuje první derivaci, ale tu jsme již výše vypočetli přímo. Á Příklad 4.51. Vypočtěte /(n)(0) funkce f(x) = (arcsinx)2. Řešení. Můžeme zkusit postupovat podobně jako u funkce (arctg x)2. /«(O) = J2 [■ )(arcsinx)^l0 • (arcsinx) < \(«-0 \ i i !=0 Na základě výsledků předchozího příkladu snadno vidíme, že /(2*_1)(0) = 0, keN. V případě, že n = 2k, k > 2 dostáváme 2k \(2k-i) f2k\0) = J2 (2/:)(arcsinx)«0 • (arcsinx)^" !=0 ^ l ' E( 2k \ (2i — 1) (2k- ( 2 . _ j l(arcsinx)^0 • (arcsinx)^=0 (2k-2j+l) V 2 7 — 1 / 4£(arcsinx)^20 • (arcsinx)^=0~ + k-l ,(2k-2j+\) El Lk \ C2 /—1) (lk— ( 2 . _ j l(arcsinx)^0 • (arcsinx)^=0 ' = 4*((2* - 3)!!)2 + J] (2 • _ i ) ((2-> - 3)!!)2((2^ - 2; - l)!!)2. ;=2 ^ ^ ' Derivaci /(2) (0) snadno vypočteme přímo. Dosažený výsledek je však dosti složitý a není nikterak snadné ho zjednodušit. Pokusíme se proto nalézt rekurentní formuli pro /(n)(0). o n\ 2 arcsinx /(*) = (arcsinx)2, f(1\x) = ------ . VI — x2 166 Derivace funkce a její užití Odtud (/1>(x))2(l-x2)=4/(x). Derivujeme-li tento vztah, dostáváme 2f{V\x)f{2\x){l - x2) - 2x{f{1\x)f = 4fV\x), f{1\x){l-x2)-xf{1\x)=2. (Zřejmě f^(x) 7^ 0 na redukovaném okolí bodu 0.) Derivujeme-li nyní «-krát, « > 2, vychází nám (1 - x2)/(n+2)(x) - 2«x/(n+1)(x) - «(« - l)/(n)(x) - x/(n+1)(x) - nf(n\x) = 0. Pro x = 0 potom dostáváme /("+2)(0) = «2/(n)(0). Abychom však tuto rekurentní formuli mohli použít, musíme ještě vypočíst /(2)(0). Z výše uvedeného vztahu /(2)(x)(l — x2) — x/(1)(x) = 2 po dosazení x = 0 ihned vychází /(2)(0) = 2. Tedy /W(0)=22-2, /(6)(0) =42-22-2, odkud snadno vidíme, že f{2k\0) = (2k - 2)2 • (2k - 4)2 • • • 42 • 22 • 2 = = {k- \)2{k - 2)2 • • • 22 • l2 • 22*-1 = 22k~x ■ {{k - l)!)2. ▲ Příklad 4.52. Vypočtěte /(n)(0) funkce f(x) = cos(m • arcsinx). Řešení. m m fy >(x) = — sin(m • arcsinx) n, m2 mx f{ >(x) = —cos(m ■ arcsinx) •-------- — sin(m • arcsinx) • 1-x2 v ' (1-x2)3/2' Po našich předchozích zkušenostech s rekurentními formulemi bychom nyní již mohli uvidět vztah (1 - x V2>(x) - xf{r\x) + m2f(x) = 0. Derivujeme-li «-krát, « > 2, dostáváme (1 -x2)/(n+2)(x) -2«x/(n+1)(x) -«(« - l)/(n)(x) -x/(n+1)(x) -nf(n\x) +m2f(n\x) = 0, odkud /(»+2)(0) = («2-m2)/(n)(0). Protože /(2)(0) = — m2, dostáváme z této rekurentní formule snadno f{2k\0) = {-Y)km2{m2 - 22) • • • (m2 - {2k - 2)2), keN. Abychom mohli určit též liché derivace, potřebujeme ještě znát /(3)(0). Z rovnice (1 - x V2>(x) - xf{1\x) + m2f(x) = 0 4.2 Příklady. 167 dostaneme po zderivování a dosazení x = 0 /(3)(0)_/(i)(0)+m2/(1)(0)=0, takže snadno vychází /(3)(0) = 0. Rekurentní formule potom dává /(2*_1)(0) = 0, keN. (Výsledky tohoto typu jsou ovšem jasné hned od začátku, máme-li elementární znalosti o derivacích sudých a lichých funkcí. Naše uvažovaná funkce je sudá.) Á Příklad 4.53. Vypočtěte /(n)(0) funkce f(x) = sin(m • arcsinx). Řešení. Postup je téměř úplně stejný jako v předchozím příkladě. Je m m fy '(x) = cos(m ■ arcsinx) • m m2 mx f{ >(x) = — sin(m • arcsinx) •-------- + cos(m • arcsinx) 1-x2 v ' (1-x2)3/2 Snadno nacházíme vztah (1 - x2)f2\x) - xfx\x) + m2f{x) = 0, který je dokonce úplně stejný jako v předchozím příkladě. Bez počítání tedy můžeme napsat /(»+2)(0) = («2 - m2)/(n)(0) pro n > 2. Tentokrát /(2)(0) = 0, takže ihned dostáváme /(2r)(0)=0, keN. Opět stejně jako v předchozím příkladě vychází /(3)(0)_/(i)(0)+m2/(i)(0)=0, takže /(3)(0) = — (m2 — \)m. Odtud s pomocí výše uvedené rekurentní formule snadno odvodíme /(2*+D(0) = {-\)km{m2 - \2){m2 - 32) • • • (m2 - {2k - l)2), keN. Tato formule nepostihuje /(1)(0), ale zřejmě /(1)(0) = m. Á Příklad 4.54. Ukažte, že funkce f(x) = C\ cos x + C2 sinx, kde C\ a C2 jsou libovolné konstanty, je řešením diferenciální rovnice y" + y = 0. Řešení. Snadno vidíme, že f'(x) = —C\ sinx + C2cosx, f"(x) = —Cicosx — C2sinx. Odtud f"{x) + f(x) = 0, což ukazuje, že funkce f(x) je řešením diferenciální rovnice y" + y = 0. A Příklad 4.55. Ukažte, že funkce f(x) = xn(C\ cos(lnx) + C2sin(lnx)), kde C\ a C2 jsou libovolné konstanty a n je rovněž libovolná konstanta, je řešením diferenciální rovnice x2y" + (1 - 2n)xy' + (1 + n2)y = 0. 168 Derivace funkce a její užití Řešení. Dostáváme f'(x) = nxn~l(C\ cos(lnx) + C2sin(lnx)) +x"(— C\ sin(lnx) • —h C2cos(lnx) • —) = = nxn~x{C\ cos(lnx) + C2sin(lnx)) +x"_1(—C\ sin(lnx) +C2cos(lnx)) = = x""1 cos(lnx) • (Ci • n + C2) + x""1 sin(lnx) • (d • (-1) + C2 • n), /"(*) = O - l)x""2 cos(lnx) . (Ci • n + C2) - x""2 sin(lnx) • (Ci • n + C2) + + (n - l)x""2 sin(lnx) • (Ci • (-1) + C2 • n) + x"-2cos(lnx)(C1 • (-1) + C2 • n) = = x"-2cos(lnx)[C! -((«-1)«- l) + C2-(n- 1 + «)] + + x"-2sin(lnx) • [Ci •(-«-« +1) + C2(-l+ (« - 1) •«)]. Odtud x2/"(x) + (1 - 2n)xf\x) + (1 + «2)/(x) = = x" cos(lnx) • [Ci • ((« - 1)« - 1 + (1 - 2«) • n + 1 + «2) + + C2 • (« - 1 + n + 1 - 2«)] + x" sin(lnx) • \CX ■ (-« - n + 1 - 1 + 2«) + + C2 • (-1 + O - 1) • n + (1 - 2«) • n + 1 + n2)] = 0, což ukazuje, že funkce f(x) je řešením dané rovnice. Á Příklad 4.56. Vypočtěte součty Pn = 1 + 2x + 3x2 H-------h rax""1, Qn = I2 + 22x + 32x2 + • • • + raV"1. Řešení. Začneme prvním součtem. P„ = (x)' + (x2)' + (x3)' + • • • + (xnY = (x +x2 +x3 + • • •+*")' = / l-x"y /x-x"+1y ~ V ' 1-x ) ~ \ 1 -x ) _ (1 - (n + l)x")(l - x) + (x - x"+1) _ 1 - (n + l)x" + nx"+1 ~ (1 -X)2 ~ (1 -X)2 ' Povšimněte si, že odvozené formule platí pouze pro x^l. Vzhledem ke skutečnosti, že Pn je spojitá funkce proměnné x, musí platit , „ . ,. 1 - (« + l)x" + «x"+1 l + 2 + 3 + ---+n = hm----------------------------. x^l (1-X)2 Počítáme-li tuto limitu s použitím 1'Hospitalova pravidla (dvakrát), dostáváme pro x = 1 n(n + 1) Pn = \+2 + 3 + ---+n= V2 ;. V případě druhého součtuje postup stejný, pouze poněkud technicky složitější. Q„ = (1 • x)' + (2 • x2)' + (3 • x3)' + ... + („. x")' = = (x + 2x2 + 3x3 + • • • + nxn)'. 4.2 Příklady. 169 Výraz v závorce však umíme sečíst. Máme x + 2x2 + 3x3 H--------h rax" = x(l + 2x + 3x2 H--------h rax""1) = / 1 - (ra + l)x" + rax"+1 \ _ x - (ra + l)x"+1 + rax"+2 ~ \ (1-X)2 ) ~ (1 -X)2 Odtud potom vychází 'x-(ra + l)x"+1 + rax"+2y Qn = ( (1-X)2 / (1 -(ra+ l)2x"+ra(ra+2)x"+1)(l -x)2+2(x-(ra+ l)x"+1 + rax"+2)(l-x) (1-x)4 (1 - (ra + l)2x" + ra(ra + 2)x"+1)(l - x) + 2(x - (ra + l)x"+1 + rax"+2) d-*)3 = 1 - (ra + l)2x" + ra(ra + 2)x"+1 - x + (ra + l)2x"+1 - ra(ra + 2)x"+2 + (1-X)3 2x - 2(ra + l)x"+1 + 2rax"+2 + (1-X)3 _ 1 + x - (ra + l)2x" + (2ra2 + 2ra - l)x"+1 - ra2x"+2 = d"*)3 ' Formule opět platí pouze pro x ^ 1. Pro x = 1 je Q„ = l2 + 22 + 32 H--------h ra2 = "("+1)6(2"+1), což lze dokázat např. indukcí. Můžeme ovšem použít analogický postup jako v první části a počítat s použitím 1'Hospitalova pravidla (třikrát): ,. 1 + x - (ra + l)2x" + (2ra2 + 2ra - l)x"+1 - ra2x"+2 lim----------------------------------------------------------------------------- = x^l (1-X)3 1 - ra(ra + 1) V"1 + (ra + l)(2ra2 + 2ra - l)x" - ra2(ra + 2)x"+1 = lim-------------------------------------------------------------------------------------= x^l _3(l_x)2 1 -(ra - l)ra(ra + l)2x""2 + ra(ra + l)(2ra2 + 2ra - \)xn~l - n2(n + l)(ra + 2)x" = — lim--------------------------------------------------------------------------------------------------------= 3x^i _2(l-x) = -" lim[-(«-2)(w- l)(ra + l)x""3 + (ra - l)(2ra2+2ra- l)x""2 - ra2(ra + 2)x"_1] = 6 JE->1 ra(ra+ l)(2ra + 1) = 6 ' A Příklad 4.57. Vypočtěte součty Sn = sin x + sin 2x + • • • + sin rax, Tn = cos x + 2 cos 2x + • • • + ra cos rax. Řešení. První součet lze určit zcela elementárním postupem, je však třeba použít Moivreovu větu. Platí totiž Sn = Im (cos x + i sin x) + Im(cos 2x + i sin 2x) + • • • + Im(cos rax + i sin rax), kde Im značí imaginární složku. Pokračujeme-li dále ve výpočtu, dostáváme 170 Derivace funkce a její užití Sn = Im((cos x + i sin x) + (cos 2x + i sin 2x) + • • • + (cos nx + i sin nx)) = Im((cosx + isinx) + (cosx + isinx)2 + • • • + (cosx + isinx)") = / . . 1 — (cosx +isinx)"- Im I (cos x + i sin x) •-----------------—------ V 1 — (cosx + isinx) / 1 - Im I (cos x + i sin x) • — 1 — (cos nx + i sin nx) \ (cos x + i sin x) / / 1 — (cos nx + i sin nx) \ : Im I (cos x + i sin x) •-------------------—------) V (1 — cosx) — i sin x / Im ( (cos x + i sin x) 1 (1 — cosx) — isinx (l — (cosrax + i sin rax)) ((1 — cosx) + isinx) (1 — cosx)2 + sin2x • Im[(cosx + isinx)(l — (cosrax + isinrax)) x 1 (1 — cosx)2 + sin2x x (l — (cosx — isinx))] =------------- 2 — 2 cos x x (l — (cosrax + isinrax)) • (l — (cos(—x) +isin(—x)))] 1 • Im[(cosx + isinx) ■Im (cos x + i sin x) [ 1 — (cos(—x) + i sin(—x)) ■ 2(1 — cosx) — (cosrax + isinrax) + (cos(ra — l)x +isin(ra — l)x)] 1 r ---------------Im (cosx +isinx) — 1 — 2(1 — cosx) — (cos(ra + l)x + i sin(ra + l)x) + (cos rax + i sin rax)] 1 . . ---------------(sinx — sin(ra + l)x + sin rax) = 2(1 — cosx) 2 sin i2^i cos ^p - sin(n + l)x _ 2(1 — cosx) 2sin ^^ cos ^^ - 2sin^^ cos ^^ 2(1 — cosx) sin ("+!)* ľcos (n-l)x COS (n+l)xN 1 — COS X 2sin teÜ^i sin f sin f _ sin f sin &p± 2sin2- sin Chceme-li určit druhý součet, stačí, když si všimneme, zeje derivací prvního. Vyjde T„ = cos x + 2 cos 2x + • • • + ra cos rax = (sin x + sin 2x + • • • + sin rax)' = sin f sin^i^V sin f 1 /ra rax . (ra + l)x ra + 1 . rax (ra + l)x\ . x /ra rax (ra + IJx ra + 1 rax (ra + ljx\ - cos — sin-------------1---------sin — cos-----------) • sin — V2 2 2 22 2/2 sin2f V2 2 1 /l . rax . (ra + l)x x /l rax ■ - sin —- V2 2 sin2f V2 2 srn- cos ^ 2 2 !) 4.2 Příklady. 171 sin21 /n nx - cos —- V2 2 ___ sin--------------1—sin — cos--------------h ,2 2 2 1 nx (n + l)x + 2SmTCOS^2— nx (n + l)x « «x (n + l)x 1 - sin — cos-------- 2 2 2 \ x 1 / x (2« + l)xN sin--------cos-----cos------------- / 2 4V 2 2 1 2sin2f L « sin 2 4' x 1 / 2 + 2-(S x cos - 2 (2« + l)x x 1 / (2« + l)x ■ sin — + - ( sin------------- 1 / x ~ C0S7T 2V 2 cos- 2 2 2 (2« + l)x sin X\ X TT Sln TT 2/ 2 2sin2f L )C0S2\ x 1 / 2 + 2ÍC 2 2 (2« + l)x x 1 / (2« + l)x « sin-------------sin —h -1 cos 2 2 2 x (2« + l)x cos —h sin-------------sin 2 2 2 í) 2 sin -(sin-+cos-)_ = 1 / (2« + l)x —y («sin------------- n2 í V 2 x 1 sin —h - cos nx 2 2 2 I) « sin | sin (2n+\)x sin2íj 2sin2f Obě odvozené formule zřejmě platí pouze pro x 7^ 2ksi, kde & je celé. V případě x = 2£jt je však ihned vidět, že S„ = 0ar„ = 1^1. A Příklad 4.58. Vypočtěte součet Sn = coshx + 2cosh2x + •••+« coshrax. Řešení. Po zkušenostech z předchozích dvou příkladů by nás již mělo napadnout, že platí Sn = cosh x + 2 cosh 2x + • • • + n cosh nx = = (sinh x + sinh 2x + • • • + sinh nx)', takže stačí určit součet v poslední závorce. Dostáváme -kx 1 2_\ sinh kx = 2_\ k=l k=l 1/ A (Eefa-Ee"fa) 2\ 1 k=l 1 - e~nx k=l qX \ _ q X (e* _e(«+i)*)(i _e-x) - (e ) e-(«+l)*)(-1 _ex) 2(1 1 e(n+l)x i g/ii ex — e~x + 1) e-* 4. 1 4. e-(«+l)^ 4(1-2^1) sinhx — sinh(« + l)x + sinhrax 2(1 — coshx) Tento výsledek stojí za srovnání s analogickým výsledkem z předchozího příkladu. Takjako v předchozím příkladě bychom ho nyní mohli upravovat, ale abychom nepostupovali úplně stejným způsobem, budeme ihned derivovat. Dostaneme "« /sinhx — sinh(« + l)x + sinh nx V \ 2(1 — coshx) [(coshx — (« + 1) cosh(« + l)x + «cosh«x)(l —coshx) + 2(1 — coshx)2 + (sinhx — sinh(« + l)x + sinhrax) sinhx] 172 Derivace funkce a její užití 1 ; [cosh x — (« + 1) cosh(« + l)x + n cosh «x — cosh2x + 2(1 — cosh x)2 + (« + l)cosh(« + l)xcoshx — n coshraxcoshx + sinh2x — sinh(« + l)xsinhx + + sinh «x sinhx] = 1 : [(cosh x — 1) — ra(cosh(ra + l)x — coshrax) — cosh(« + l)x + 2(coshx — l)2 + «coshx(cosh(« + Y)x — coshrax) + (cosh(ra + l)xcoshx — sinh(ra + Y)x sinhx) + + sinhrax sinhx] = -------------------[(coshx — 1) + ra(cosh(ra + Y) x — cosh nx) (cosh x — 1) — coshrax cosh. 2(coshx — l)2 — sinh nx sinh x + cosh nx + sinh nx sinh x] = 1 2(coshx — l)2 1 2(coshx — 1) 2« sinh f sinh ^±il£ (2« + Y) x x (coshx — 1) + 2« sinh------------sinh —(coshx — 1) — coshrax(coshx — 1) 2« sinh------------sinh-----(cosh nx — Y) 2 2 2sinh2f nsinhfsinh^±i^ sinh2íj 4sinh2| 2sinh2f Při výpočtu je nutná znalost součtových formulí pro hyperbolický sinus a kosinus. Výsledná formule samozřejmě platí pouze pro x ^ 0. Pro x = 0 je však zřejmě Sn = n<-n+1\ Stojí za to srovnat výsledek tohoto příkladu s výsledkem příkladu předchozího. Á Příklad 4.59. Vypočtěte součet Sn Řešení. Napíšeme-li rovnici 1 x 1 x 1 x 2t82 + 4t84+'" + 2^t8^ X TT TT = T +k%, 2' 2 T-'ji+Tkn, snadno vidíme, že uvažovaný součet má smysl pro každé x ^ k%, kde k je celé. Nalézt způsob, jak daný součet vypočíst, může ovšem být dosti obtížné a vyžaduje to patrně již určitou zkušenost. Může nás napadnout vyjádřit tangentu jako podíl sinu a kosinu: 1 sin f C — _ . ____£ 2 cos -k 4 cos 1 sin j 1 sin^ 2" cos § 1 cos I •cos I 1 X X + -COS-S1U- •cos^ 1 X X X - sin — cos — • • • cos-----h .2 2 4 2" cos-----h • • • H-----cos — cos — • • • sin — 2" 2" 2 4 2" Nyní záleží na tom, zda si uvědomíme, že výraz v hranaté závorce je derivací. Platí totiž / x x x \' — cos - • cos - • • • cos — = V 2 4 2"/ 1 X X X 1 X X - sin — cos - • • • cos-----1— cos — sin — 2 2 4 2" 4 2 4 Jv JI Jv Jv Jv cos-----h • • • H-----cos - cos — • • • sin — . 2" 2" 2 4 2" 4.2 Příklady. 173 Tedy _ (cos f cos f • • • cos §)' n — xx x COS j COS 4 • • • COS yj Toto vyjádření již vypadá sympatičtěji, ale stejně se nedostaneme dále, pokud neumíme vypočíst součin cos | cos | • • • cos Jj. Tento součin pro x ^ 2"ku můžeme vypočíst následujícím způsobem: cos — cos — • • • cos — 2 4 2" cos t COS t •••COS 2" sin 2" sin t|- cos f COS f •• • cos X 2n-l ■ sin X 2n-l 2 sin J; cos f COS f •• • cos X 2n-2 ■ sin X 2n-2 sinx 22 sin j; "~ 2" sin fn áváme tak "n ( sin x > ' 2" sin f cos x • 2" sin ^ — sin x (2" sin f)2 V2"sinJ^ •COS Jľ sinx sinx 2" sin f sin x cos ;|- -sinx - cos x • 2" sin ^ • 2" sin f 1 X = — cotg------cotg x. 2« 2" Tato formule zřejmě platí pro všechna x, která uvažujeme od samého začátku, tj. pro x ^ ku, kde k je celé. Á Příklad 4.60. Určete lim tgx~x x-^o x — sin x Řešení. Tuto limitu vypočteme podle ľHospitalova pravidla typu j). Můžeme čtenáře upozornit, že veškerá snaha vypočíst tuto limitu některou z metod používaných v Kapitole 2 bude marná. Zde je f (x) = tgx — x, lim f (x) = lim(tgx — x) = 0, g (x) = x — sinx, lim g (x) = lim (sin x — x) = 0. Obě funkce zřejmě mají na ^í*/2(0) vlastní derivaci, přičemž g'{x) = 1 — cos x ^ 0 na ^í*/2(0). Dále i- /'(*) i- ÍSä ~ 1 ,• l-cos2x lim ^—-- = hm -^^------= hm Tedy *->-o g'(x) x^O 1 — cosx x^O cos2x(l — cosx) (1 — cosx)(l+cosx) 1+cosx 1 + 1 hm---------------------------= hm-----------= —— = 2. x^O cos2x(l — cosx) x^O COS2X l2 tgx-x f(x) f'(x) lim-----------= lim------ = hm------- x-*o x — sinx x-*0 g(x) x-*0 g'(x) 174 Derivace funkce a její užití Příklad 4.61. Určete lim tg * tgX r^o 3sin4x — 12 sin x Řešení. Tuto limitu můžeme vypočíst elementárním způsobem. Ukážeme to, abychom viděli, že tento postup je poměrně dlouhý. o . a i^w o sin 4x i o sin x 3tg4x — 12 tg x i—-,-----12---- o *■■*"■&■"' 1:__ cos4x cosx lim---------------------- = lim x^o 3 sin 4x — 12 sin x x^o 3 sin 4x — 12 sin x 3 sin 4x cos x — 12 cos 4x sin x lim x^o cos4xcosx(3 sin4x — 12 sin x) 1 3 sin4xcosx — 12cos4x sin x lim--------------• lim------------------------------------- x^ocos4xcosx x^o 3 sin4x — 12 sin x 3 sin 4x cos x — 12 cos 4x sin x lim x-^o 3sin4x — 12 sin x Na úpravu posledního výrazu použijeme následující trigonometrické formule: sin 4a = 8 sin «cos3« — 4 sin a cos a, cos 4a = 8cos4a — 8cos2a + 1. Dostáváme 3 sin 4x cos x — 12 cos 4x sin x 3 sin4x — 12 sin x 24sinxcos4x — 12sinxcos2x — 96sinxcos4x + 96sinxcos2x — 12 sin x 24sinxcos3x — 12 sin x cos x — 12 sin x 24cos4x — 12cos2x — 96cos4x + 96cos2x — 12 24cos3x — 12 cos x — 12 —72cos4x + 84cos2x — 12 —6cos4x + 7cos2x — 1 24cos3x — 12 cos x — 12 2cos3x — cos x — 1 Snadno zjistíme, že —6z2 + 7z — 1 = — 6(z — \)(z — 1), odkud —6cos4x + 7cos2x — 1 = —6(cos2x-----)(cos2x — 1). U polynomu 2z3 — z — 1 uhádneme kořen z = 1, takže se nám podaří ho rozložit na tvar 2z3 = (z-l)(2z2 + 2z + l).Odtud 2cos3x — cos x — 1 = (cos x — 1) (2cos2x + 2 cos x + 1). Můžeme nyní pokračovat ve výpočtu limity. -6cos4x + 7cos2x - 1 -6(cos2x - £)(cos2x - 1) lim----------------------------= lim — ^o 2cos3x — cosx — 1 x^o (cosx — l)(2cos2x +2cosx + 1) 6(cos2x — i) (cosx + 1) x^o 2cos2x + 2 cos x + 1 _6(l-í)(l + l) _ -5-2 2- l2 +2- 1 + 1 5 4.2 Příklady. 175 Na rozdíl od předchozího poměrně dlouhého (i když elementárního) postupu, vede použití 1'Hospitalova pravidla typu j) velmi rychle k cíli: 3tg4x-12tgx ,. (3tg4x - 12tgx)' lim----:---------------:— = lim *->-o 3 sin 4x — 12 sin x x^o (3 sin 4x — 12 sin x)' 3 • -\- ■ 4 - 12 • -U lim cosz4x coszx __ -►o 3 • cos 4x • 4 — 12 cos x cos2x — cos24x = lim — x^o cos24xcos2x(cos 4x — cosx) 1 (cos x — cos 4x) (cos x + cos 4x) = lim ——-------— • lim------------------------------------------- = x-^0 cos/4xcos/x x-^0 cos 4x — COS X = — lim (cosx + cos4x) = —2. x-*0 Je ovšem třeba se také podívat, zda jsou splněny předpoklady 1'Hospitalova pravidla. Zde je f{x) = 3tg4x — 12tgx, g(x) = 3sin4x — 12 sin x. Vseje snad jasné, jen se podíváme, zda na nějakém redukovaném okolí bodu Oje g'{x) ^ 0. Máme 5x 3x g (x) = 12 cos 4x — 12 cos x = —24 sin — sin — . Odtud ihned vidíme, že g'{x) ^ 0 např. na ^í*/5(0). x cotg X — 1 Příklad 4.62. Určete lim Řešení. Opětně použijeme 1'Hospitalovo pravidlo. Předpoklady jsou očividně splněny, přirozeně až na předpoklad existence limity podílu derivací, kterou budeme nyní počítat. Dostaneme xcotgx-1 (xcotgx-iy cotgx--^ hm---------------- = lim-------------------= lim-------------í£Li = x-*0 X1 x-*0 (x2)' x-*0 2x cosx X i i- imT ~~ 7Ä ',• sinxcosx-x = llm 1BŽ------ĚiS_L = _ llm---------------------- . x^o 2x 2 x^o xsin2x K výpočtu poslední limity opět můžeme použít 1'Hospitalovo pravidlo. Než ho ale použijeme, povšimněme si, že (xsin2x)' = sin2x+2x sin x cosx = sinx(sinx+2xcosx) ^ 0 na ďä*j2 (0). Zřejmě sin x ^ 0 na al/*i2(§). Dále sin x + 2x cosx < 0 na ^*^2(0) a sin x + 2x cosx > 0 na ^í*^2(0). Pak 1 sin x cos x — x 1 cos2x — sin2x — 1 1 cos 2x — 1 - lim---------—------- = - lim -—------------:------------ = - lim 2 x^o xsin2x 2 x^o sin2x + 2x sin x cos x 2 x^o sin2x + 2x sin x cos x Na poslední limitu je možno opět aplikovat 1'Hospitalovo pravidlo, vzniká však otázka (už jsme ho aplikovali stejně dvakrát), zda je to účelné. Trochu vnímavý počtář by měl poznat, že poslední limitu lze vypočíst poměrně jednoduše bez použití 1'Hospitalova pravidla. Je 1-coszx o i 0 1 cos2x - 1 (2x)2 • *■ ~2'2 * - lim —-------------------------= lim--------^—^-------------= —-—----------= — 2 x^o sin2x + 2x sin x cosx x^o (*mx\l i 2smx cosx l2 + 2-l-l 3 V x ) x 176 Derivace funkce a její užití Dvojí použití 1'Hospitalova pravidla však není nutné, počítáme-li na začátku trochu šikovněji: ,1 v COS X 1 x cotg x — 1 ,. x • -r— — 1 x cos x — sin x lim------=-------= lim----^------= lim------------------. x^o x2 x^o x2 x^o x2sinx Nyní použijeme 1'Hospitalovo pravidlo. Bereme zde f(x) = xcosx — sinx, g{x) = x2sinx. Snadno vidíme, že g'{x) = 2xsinx + x2cosx = x(2sinx + xcosx) ^ Ona ^*/2(0). Na ^^(O) je totiž 2 sin x + x cos x < 0 a na W^ti (0) je 2 sin x + x cos x > 0. Vyjde xcosx —sinx (xcosx — sinx)' lim------—---------- = lim *->-o (x2sinx)' cos x — x sin x — cos x x sin x hm--------■--------------------= — hm *->-o 2x sin x + x2 cos x x-*o 2x sin x + x2 cos x sinx sinx — hm —:---------------- = — hm x^o 2 sinx + xcosx x^o 2^^ + cos x x 1 1 2-1 + 1 Zde vidíme, že je dobré uvážlivě používat ľHospitalovo pravidlo. Bezmyšlenkovité používání tohoto pravidla může často výpočet spíše zkomplikovat než zjednodušit. Á x(ex + 1) - 2(ex - 1) Příklad 4.63. Určete hm---------------------------. x^O X3 Řešení. Položíme f (x) = x(ex + 1) — 2(ex — 1), g (x) = x3. Ihned vidíme, že lim (x(ex + 1) - 2(ex - 1)) = 0, lim x3 = 0 x^0v ' x^O a snadno je vidět, že i ostatní předpoklady ľHospitalova pravidla (kromě existence limity podílu derivací) jsou splněny. Dostáváme jc(e* + l) - 2(e* - 1) ,. (*(e* + 1) - 2(e* - 1))' lim--------------------------- = lim------------------------------= x^O X3 x^O (x3)' ex + 1 + xex — 2ex 1 1 + xex — ex lim------------------------= - lim x^o 3x2 3 x^o x2 Na výpočet poslední limity opět použijeme 1'Hospitalovo pravidlo. Tentokrát je f(x) = 1 + xex — ex, g{x) = x2. Je lim(l+xex -ex) = 0, limx2 = 0 x^0 x^0 a i ostatní předpoklady jsou splněny — kromě existence limity podílu derivací, ale tu budeme ihned počítat. Dostaneme (1 +xex — Qx)' ex+xex—ex 1 1 lim------------------- = lim-----------------= - hm e = - . x^o (x2)' x^o 2x 2 x^o 2 Tedy x(ex + 1) - 2(ex - 1) 11 1 lim---------------------------= -•- = -. x^o x3 3 2 6 V tomto příkladě jsme museli 1'Hospitalovo pravidlo použít dvakrát. Vícenásobné použití 1'Hospitalova pravidla je poměrně častým jevem. A 4.2 Příklady. Ill ™~ , , , , ^. TT ,• arcsin2x — 2arcsinx Přiklad 4.64. Určete lim---------------------------- x^O X3 Řešení. V první řadě použijeme 1'Hospitalovo pravidlo: arcsin 2x — 2 arcsin x . (arcsin 2x — 2 arcsin x)' lim---------------------------- = lim x-^0 X3 x-^0 (x3) 3V 1 T T 1 •2-2- ,. Ji-4x2 JT^Ä ,. 2 Vl -x2 - Vl -4x2 = lim------------------------------- = lim - •------, . *-o 3x2 «o3 x2Vl-4x2Vr^72 Je jistě možné ihned opět použít 1'Hospitalovo pravidlo, ale zejména vzhledem ke složitosti jmenovatele to nelze doporučit. Dostáváme však snadno 2 Vl -x2-Vl-4x2 2 Vl -x2-Vl -4x2 - lim------, = - lim-----------------------------x 3 «o x2Vl -4x2Vl -x2 3 x^o x2 1 2 Vl -x2-Vl -4x2 x lim , = - lim-----------------------------. ^o Vl-4x2Vl -x2 3 x^o x2 Poslední limita již podle pohledu vypadá sympaticky (mělo by se nám zdát, že jsme podobné limity již počítali), takže pravděpodobně bude možné vypočítat ji elementárními metodami. Zároveň však, představíme-li si derivaci čitatele, vidíme, že i použití 1'Hospitalova pravidla vypadá nadějně. Vyzkoušíme proto obě metody. Je - lim 3 x^o Vl-x2-Vl-4x2 X2 2 . (Vl-x2-Vl-4x2)(Vl- -x2 + Vl-4x2) 3«o x2(vi-x2 + Vl-— — lim -------------------------- • lim — -4x2) - x2 - 1 + 4x2 3 x^o Vl - x2 + Vl - 4x2 *-*> 2 1 3x2 1 =-------lim — = - -3 = 1. 3 2 x-^o x2 3 X2 Nebo s pomocí 1'Hospitalova pravidla 2 VT^2 - Vl - 4x2 2 (yi^72-Vl-4x2)/ - hm-----------------------------= - lim--------------------------------- 3 x-^o x2 3 x-^o (x2)' x i 4x 2 ,. Ví-*2 Vi-4*2 = - lim —--------------------- = 3 *->-o 2x 1/1 4 \ 1 = -mní----- + — ) = -(-1+4) = 1. 3«oi vr^2 vr^ii2/ 3V Zde jsou oba výpočty přibližně stejně dlouhé. (Taková věc se dá jen stěží předpovědět.) Každopádně nám vyšlo arcsin 2x — 2 arcsin x lim----------------------------= 1. x^o x3 A 178 Derivace funkce a její užití Příklad 4.65. Určete lim —— ( *fa~mcig-----Vfcarctg./— ), a > O, b > 0. x^o+ x^/x \ y a y b J Řešení. Použijeme ľHospitalovo pravidlo. Neměl by nás splést trochu neobvyklý způsob zápisu. Výraz x*Jx samozřejmě napíšeme ve tvaru x3/2, protože tento je vhodnější pro derivování. Vyjde Ä Í (^ arCtg f~a - ^ arCtg /!) = = lm+(^y(^arctgy!-^arct8/f) = \ ( r- 1 1 /Ö" 1 r 1 1 /F 1 = hm -r—— V« • -:-----r • -J— •-----v b r^o+|xi/2\v l + í2Vxa 1 + í 2?i ŕ 2 x a ' ŕ 1 .. 1 / 1 1 1 1 - lim —— • (--------• —— 3 x^o+ Jjc \ 1 + - Jx Jx~ VI + f Jx~ 1 + f VJč/ 'lim1 l + »-' 3.«o+* (l + i)(l + i) 1 1 3x^o+ (! + £)(! + £) 3 U a/ 3ab 3 ^o+ (1 + f)(1 + f) ĽHospitalovo pravidlo zde bylo použito pouze jednou. Á Nyní pro jednoduchost zavedeme následující označení: Značka l'H nad znamením rovnosti bude znamenat, že se používá l 'Hospitalova pravidla. ax — asmx Příklad 4.66. Určete lim--------------, a > 0. x^O X3 Řešení. Vyjde ax — asmx pH ax\na — asmx lna • cos x lim-------------- = lim 2 x^o 3x lna ax — asmx cosx m lim 3 x^o x i h lna ax lna — asmx lna ■ cos x + asmx sin x = -----hm--------------------------------------------------- 3 x-*o 2x ln2a ax—asmxcos2x lna „■ sin* =------lim-----------------------1-------lim a ------= 6 x^o x 6 x^o x lna ln2a ax — asinxcos2x ph H--------lim 6 6 x^o x ľ h lna lna,, a lna — a lna • cos x + a 2cosx sinx -------1--------lim------------------------------------------------------------ 6 6 x^o 1 lna In a lna =-------1--------(ln a — ln a + 0) = — . 6 6 6 Jsou ovšem možné alespoň dvě modifikace uvedeného postupu. Např. poslední použití 1'Hospitalova 4.2 Příklady. 179 pravidla nebylo nutné. Lze totiž postupovat následujícím způsobem: CLX lim — x-*0 — asmxcos2x ,:„ ^ - ■1) + (1- - asinxcos2x) X x-*0 X = lim ax - 1 ,• l~a 1 lim !slnxCOS2X x-*0 X x-*0 X = lna + lim sin2x + (cos: lx — asinxcos2x) x-*0 X = lna + lim sin2x ,. . ------+ lim < 2 1 COS X • — -asinx^ x-^0 X x-*0\ X 1 - asinx ln a + 0 + lim cos x • lim x-*0 x-*0 X ln a + lim (- x-*o\ sinx x / 1 — ďmx sinx ln a + lim —:-------• lim x-*o sinx x-*o x lna — lna • 1 = 0. x — x Příklad 4.67. Určete lim «-►i lnx — X + 1 Řešení. Zde je jediná obtíž. Musíme si totiž poradit s funkcí xx. Tak, jak jsme to ale dělali již dříve, vyjádříme ji ve tvaru cx lnx. Pak e—_x ľH exlnx(lnx+x-i) - 1 ^xlnx lim---------------'= lim — *-»i lnx — x + 1 *-»i - — 1 X xlnx(lnx +1) - 1\ exlnx(lnx +1) - 1 * / e^-^^nx + ij - i\ hm I x •-----------------------) = lim x • lim x^l\ 1 —X / je—>1 je—>1 1 -x ^lnx(lnx + 1) - 1 i-H . exlnx(lnx + l)2 + exlnx ■ ± lim----------------------- = lim x-*\ 1 — X x-*\ —1 -(e0(0+l)2 + e°.j) = -2. ĽHospitalovo pravidlo jsme mohli po druhé použít již na místě označeném *. Někdy nás totiž napadne, že čitatel nebo jmenovatel zlomku je složitý pro použití 1'Hospitalova pravidla, zlomek nejprve upravujeme, ateprve po úpravě použijeme 1'Hospitalovo pravidlo. Přesně tojsme udělali i zde. Většinou je to opravdu velmi vhodné, ale přesto je třeba vždy uvážit, zda úpravaje nutná. Zde v našem příkladě si stačí uvědomit, že (- — l) = —\ a že počítáme limitu v bodě 1, takže výraz — \ nám vůbec nevadí. Naše úpravy proto V X ' X X byly zbytečné. Stačilo napsat: exinx(lnx + x.i)_1 e*ln*(lnx + l)-l m lim-------------:--------------------= lim *->i I - 1 *->i I - 1 = lim exlnx(lnx + i)2 + exlnx • - XL e°(0+l)2+e°-i _ i2 180 Derivace funkce a její užití cos(sinx) — cosx Příklad 4.68. Určete lim —----------------- x-^0 X4 Řešení. Vyjde ,. cos(sinx)-cosx ,. -2sin(^f±í) sin(^p) lim---------------------------= lim-----------—-—7-------—-—- = x-*0 X4 x-*0 X4 /sin(^f±í) sinx+x sin(^p) sinx-x = —2 lim —*—-—- •-----------• —'—-—- •----------- x^oy 5!HÜ 2x ^p 2x3 sin x + x sin x — x = —2 lim-----------• lim x-?o 2x x-?o 2x3 1 / sinx \ sinx - lim----------h lim 1 • lim-------- 2 Vx^O X x-*0 / x-*0 Xi sin x — x pH ,. cos x — 1 lim----------- = — lim x'-^Ô X3 x'-^O 3x2 1. 1 — COS X 1 1 1 = - lim--------------= -•- = -. 3 x-^o x2 3 2 6 Povšimněte si, že zde jsme použili 1'Hospitalovo pravidlo až na samém konci výpočtu. Není naprosto nutné jeho použitím výpočet začínat! Á 1/1 1 \ Příklad 4.69. Určete lim - (---------------) x^oxVtehx tgx/ Řešení. Limitovanou funkci musíme nejprve upravit, neboť nemá tvar podílu. Mohli bychom ji sice chápat jako podíl (7-^ — ^)/x, ale museli bychom nejprve ověřit, že lim (7^ — 7-^) = 0 (což mimochodem platí), ale výraz v čitateli stejně není příliš vhodný k derivování. Lepší je napsat tghx :x lim If^------L) = lim^Ľ^ x^oxVtehx tgx/ 1^0 xtehite Zde už je situace lepší, ale výraz ve jmenovateli by se nederivoval nejlépe. Naštěstí si zde můžeme práci zjednodušit následujícím postupem: tg x — tgh x /tg x — tgh x /tgx — tgnx x x \ lim-----------------• ——------- x-*o\ xJ tghx tgx/ lim — x-^o x tghx tgx x-*o\ xJ tghx tg tgx-tghx xx tgx-tghx m = lim--------------• lim------• lim-----= lim-------------- = x-*0 x3 x^otghx x^OtgX x-*0 X3 ra lim ^Ä ~^S~x = 1 lim cosh2x - cos2x = x^o 3x2 3 x^o x2cos2xcosh2x 1 . cosh2x — cos2x . 1 = - lim-------------------• lim 3 x^o x2 x^o cos2xcosh2x 1 ,. (coshx + cos x) (coshx — cos x) , - lim--------------------------------------• 1 = 3 x^o x2 1. , ,. coshx — cos x - lim (coshx + cos x) • lim-----------------= 3 x^O x^O X2 1 coshx—cosx 2 (coshx — 1) + (1 — cosx) - • 2 • lim-----------------= - hm-------------------------------- 3 x^o x2 3 x^o x2 2 cosh x — 1 2 1 — cos x 2 1 2 1 2 - lim---------------1— hm-----------= -• —I— •- = -. 3^o x2 3^o x2 3 2 3 2 3 4.2 Příklady. 181 Zde jsme použili výsledků Příkladů 2.54, 2.57, 2.117 a 2.118. (Takové jednoduché limity stojí za to si zapamatovat. Jak vidno, může nám to dosti pomoci při výpočtech.) A u-i i a a ™ TT-* i- argsinh (sinhx) - argsinh(sinx) Přiklad 4.70. Určete lim--------------------------------------. x^o sinh x — sin x Řešení. Zde je dobré si povšimnout, že argsinh (sinhx) = x, neboť se nám tím zjednoduší počítání při použití 1'Hospitalova pravidla. Samozřejmě, kdybychom derivovali argsinh(sinhx) jakožto složenou funkci, musí nám opět vyjít 1: (argsinh(sinhx)) = = • coshx = —-— • coshx = 1. Vsinh2x + 1 coshx Je to ovšem počítání zcela zbytečné. Dostaneme argsinh(sinhx) — argsinh(sinx) x — argsinh (sin x) ph lim-------------------------------------- = lim---------------------- = x^o sinhx — sinx x^o sinhx — sin x 1 — —i ■ • COS X r~. 0 ; 7 l'H ,. Vsin2x+1 ,. VSin^X + 1 - COSX = lim------------------------= lim x->o cosh x - cos x x-,0 Vsin2x + 1 (cosh x - cos x) 1 Vsin2x + 1 — cos x lim — • lim------------------------ = x^o Vsin2x + 1 x^° coshx—cosx sin2x + 1 — cos2x 1 • lim -►0 (Vsin2x + 1 + cos x) (cosh x — cos x) 1 ,. 2sin2x lim —. ----------• lim -►0 Vsin2x + 1 + cos x *^o coshx-cosx i -2 / sin x \ 2 - • 2 • lim---------------------------------= lim x ' coshx —1 i 1—cosx 2 x^o (coshx - 1)+ (1-cosx) x-,0 mshJ~l + vx^0 (lim ^Ý , lim £25h^i + lim 1=£°»£ l + l x^O x x^O x 2 2 1. Použili jsme opět výsledků Příkladů 2.54 a 2.117. A Příklad 4.71. Určete lim xelnx, s > 0. x^0+ Řešení. V tomto příkladě je nutné nejprve limitovanou funkci upravit tak, aby měla tvar podílu. Máme dvě možnosti: xs lnx ~T~ ' j_ ' lnx xe Spočítáme-li v prvním případě podíl derivací, dostáváme (xey sx6-1 (—)' -r-M2-±' Unx/ \lnxl x Vidíme, že méně příjemný výraz lnx nám i po zderivování zůstává. Bude proto asi lepší použít druhou možnost (v podobných situacích je důležité umět si vybrat!). Položíme tedy f(x) = lnx, g(x) = — Xs 182 Derivace funkce a její užití a vidíme ihned, že lim f(x) = lim lnx = — oo, lim g(x) = lim — = +00. x-*0+ x-*0+ x-*0+ x-*0+ Xs Nelze tedy zjevně použít 1'Hospitalovo pravidlo typu j), ale patrně bude možné použít 1'Hospitalovo pravidlo typu 2^2. Funkce f(x), g{x) mají dokonce na libovolném <^*+(0) vlastní derivace, přičemž g'(x) = —s^+i 7^ 0 na ^*+(0). Zbývá pouze zjistit, zda existuje lim ^|y . lim ^- = lim —i-p- = -- lim xs = 0. Tedy podle 1'Hospitalova pravidla typu ^ existuje též lim ^- a platí hm x lnx = lim ------ = lim -------= 0. x^0+ x^0+ g(x) x^0+ g'(x) ± xn Příklad 4.72. Určete lim — , a > 0, n e N. I->+CO Qax Řešení. Je to velice jednoduchý příklad na použití 1'Hospitalova pravidla typu ^. Jenže pravidlo j e třeba použít «-krát. Při každém použití je třeba ověřit, zda jsou splněny předpoklady 1'Hospitalova pravidla typu 2^2, ale to je zde naštěstí zcela zřejmé. X" l'H .. «X"_1 l'H ,. «(« - l)x""2 l'H lim — = lim ------- = lim---------------- = 1^+00 Qax i->+co acax 1^+00 a Qax l'H l'H ,. n(n—\)---2-x i'H ,. «! = ... = lim-------------------- = lim -------= X^+CO a LQax X^+CO a Q «! 1 «! — • hm — = — -0 = 0. a" x^+co Qax a" _ j_ Příklad 4.73. Určete lim 6 x-,0 X100 J_ *2 „(v\ — v-100 Řešení. Zde se jedná o poněkud záludný příklad. Položme /(x) = e x , g(x) = x . Snadno vidíme, že lim /(*) = lim e x = 0, lim g(x) = lim xluu = 0, x^0 x^0 x^0 x^0 takže se rozhodneme použít 1'Hospitalovo pravidlo typu j). Počítáme-li však podíl derivací, dostáváme fix) e~T2-2± 1 e"^ l'{x) 100-x" 50 x 102 Situace se nám po zderivování ještě zhoršila! Místo x100 máme nyní ve jmenovateli x102. Tento postup tedy nevypadá vůbec perspektivně. Naštěstí ale máme ještě jinou možnost. Napíšeme e *2 _ x"100 Qx 4.2 Příklady. 183 tj. položíme f(x) = x~100, g{x) = ex . Zde ovšem -100 _ , _ i;-------x2 lim/(x) = limx =+00, hrne* =+oo. x—*0 x—*0 x—*0 Pokusíme se proto použít 1'Hospitalovo pravidlo typu n^. Zde vychází f'(x) -lOOx"101 x"98 J y ' 50 '(X) . r2 , „N 1 _ r2 (-2) • ^ e* • (-2) • -=* e* a ihned vidíme, že došlo ke zlepšení. Místo x~100 máme pouze x~98. 1'Hospitalovo pravidlo typu ^ musíme ovšem celkem použít 50-krát. (Snadno je vidět, že příslušné předpoklady jsou při každém použití splněny.) _ j_ e xl x-100 r x~98 lim inn = lim —:— = 50 lim —t— = x^O X1UU x^O -7 x^O -7 ex ex 1'H —yoX X l'H = 50 lim —i----------------= 50-49 lim e*2 • (-2) • i x-,0 \ 1'H —2x~3 = 50 • 49 • • • 2 lim —;----------- = 50 • 49 • • • 2 • 1 lim —p = 50! • 0 = 0. X^O -y Příklad 4.74. Určete lim (lnx -ln(l -x)). x^l-V ' Řešení. Zde opět musíme především limitovanou funkci napsat ve tvaru podílu. Můžeme tedy postupovat např. takto: lim (lnx • ln(l — x)) = lim ------:------ = x^l- V ' x-^1- ľ lnx ____j_ lim m ,. -— ,. / , lnx \ \__ . . = hm x In x •-------- x^l-----i- • - x^l-\ \—x' ln2x x lnx = — hm x lnx • lim --------= 0-1 = 0. je—>1— je—»-i— x — 1 Zde jsme použili 1'Hospitalovo pravidlo typu ^^p. Lze ovšem postupovat i druhým způsobem: lim (lnx • ln(l — x)) = lim —;— = lim x^l- V ' x-^1- —J. _____ x^i- i . i . r_n ln(l-x) ln2(l-x) 1-x ^ LJ r 1 ln2(l-x)ľHl ,. 21n(l-x).TlI.(-l) lim — • lim-------------- = 1 • lim ------------:------------------- x^i-x x^i- —!— x^i-------i . c_n l-x (1-x)2 l í> 184 Derivace funkce a její užití = -2 1i„l^filg-2lim f'" = 1-x (1-x)2 ^ LJ = 2 lim (1 -x) =2-0 = 0. Při tomto druhém postupu jsme použili 1'Hospitalovo pravidlo typu jj. Povšimněte si, že tento příklad bylo možno vypočíst buď s použitím 1'Hospitalova pravidla typu jj, nebo s použitím 1'Hospitalova pravidla typu s^2. Délka výpočtu je ovšem v obou případech různá. Á Při výpočtu limit funkcí tvaru h(x)k^ s použitím některého z obou VHospitalových pravidel postupujeme na začátku zcela stejně jako při výpočtu elementární metodou. Napíšeme n(x)k(-x) = e*(*)lnA(*) a potom počítáme lim(fc(x) ln/z(x)). Při výpočtu této limity přirozeně smíme použít 1'Hospitalova pra- x—*a vidla. Vyjde-li lim(£(x) ln/z(x)) = A, potom x^a \\mh{x)k(x) =eA. x—*a Příklad 4.75. Určete lim xx. x-*0+ Řešení. Je xx = cxlnx. Dále lim x In x = 0 podle Příkladu 4.71. Tedy x-*0+ lim xx = e° = 1. x^o+ A. Příklad 4.76. Určete lim xx*~l. x^0+ Řešení. Je xx*~l = gC**-1)1"*. Zbývá tedy vypočíst lim {xx — l)lnx. Budeme asi v pokušení použít 1'Hospitalovo pravidlo. Podotkněme však, že nikdy nic nezkazíme, napíšeme-li místo h(x)k<-x) výše zmíněný výraz e^M^M*) Obvykle se tím situace spíše vyjasní než zkomplikuje. Vyjde xlnx ~xlnx __ i , ~x lnx __ i lim {xx - 1) lnx = lim (exlnx - 1) lnx x^0+ x^0+ /e — i 7 \ e-".- _ j lim (-----------x In x) = lim -----------• lim x In x x^o+\ xlnx / x^o+ xlnx x^o+ 1 • lim (x2" lnx)2 = [ lim (x2" lnx)]2 = O2 = 0. x^0+v ' Lx^0+ Připomeňme, že k výpočtu lim e* ,I~1 jsme použili větu o limitě složené funkce s tím, že víme, x^0+ xmx že lim xlnx = 0. (Viz Příklad 4.71. Zde je právě skryto použití 1'Hospitalova pravidla.) Dále pak x^0+ lim x2 lnx = 0 opět podle Příkladu 4.71. Vychází tedy lim xxX~l =e° = 1. x^0+ A 4.2 Příklady. 185 Příklad 4.77. Určete lim (xx* - l). Řešení Je lim (xx* - 1) = lim (exXlnx - l), lim xx lnx = lim xx ■ lim lnx = 1 • (—oo) = —oo s použitím Příkladu 4.75. Tedy lim (cx lnx - 1) = lim e lnx - 1 = 0 - 1 = -1. Příklad 4.78. Určete lim (cotgx)s Řešení Je lim (sin x • ln cotg x) = lim sin x • (In cos x — In sin x) = x-*0+ x-*0+ = lim (sin x • ln cos x) — lim (sin x • In sin x) = x-*0+ x-*0+ = sinO-lncosO-0 = 0. K výpočtu poslední limity jsme použili Příklad 4.71 (s s = 1) a větu o limitě složené funkce. Vychází nám lim (cotgx)sinx =e° = 1. Příklad 4.79. Určete lim (ln-) x^0+\ X/ x^0+ 1\* Řešení Je lim x-*0+ xln(lnl) ln(ln-) ľH iní ' i ' ( x2) y x/ ltl i;„ x x lim -----r-— = lim , x^0+ i x^0+ —4 lim —r • x = lim —r • lim x = 0 • 0 = 0, x^o+ ln - x^o+ ln - x^o+ lim (ln-V =e° = 1. x^0+ V X/ Příklad 4.80. Určete lim (tg %X V x^+co \ 2x + 1/ Řešení Je \X 2x + 1/ x^+co x ľH ,. / 1 1 Jt(2x + 1) — 2ttx lim lim (— ln tg---------) = lim -+~Vtg^T cos2^ (2x + l)2 lim ———————---------— = 2jr lim *-+«> (2x + l)2 sin 27^7 cos 2^7 ^+~ (2x + l)2 sin ^ 2x+l ^^ 2x+l V^ "r V ^" 2x+l 186 Derivace funkce a její užití -2% lim ------------------—----------- ^+~ (2x + l)2 sin(^T - jr) 2jtx -2% lim í—2£i jr ■xT^Vsin^-jt) (^-7t)(2x + l)2 -2jr lim ------t;------------ • lim x"+CO sin(^j- - jr) *-n-°° (2^-2^-")(2x + 1) -2tt • 1 • lim ------------------= — 2tt -0 = 0, x^+co — Jt(2x + 1) -^+co \ 2x + 1 / Příklad4.81. Určete limfa ~* naV2 , a > 0, b > 0. r^o V fex — x In b Řešení. Je 1 ax — x In a lim — ln x-^o x2 bx — x In b limMl + (Ě^-Q] . /a^-xlna _ x J_\ x^l g-xlna _ 1 V^-Xlnfe / X2/ bx—x\x\b /ax — xlna \ 1 i /ax — x lna — bx +xlnfe 1\ (------------------1)'^7 =lim(---------------------------------------) \bx — xlnb ' x2J x^o\ fex—xlnfe x2/ = lim x^O 1 ax — bx — x(lna — lnfe) = lim----------— • lim--------------------------------= x-*obx—xmb x-*o x2 a* _ b* _ x(\n a _ jn ^) j,H ax ln a — fcx ln fc — ln a + ln fc = lim-------------------------------- = lim---------------------------------------= x-*0 X x-*0 2x lna ax — 1 lnfe fex — 1 =-----lim-------------------lim---------= 2 x-*o x 2 x-*o x lna lnfe 1 9 9 =-----• ln a--------• ln b = - (In a — mV). 2 2 2 Zdejsme použili výsledku Příkladu 2.87. L'Hospitalovo pravidlo jsme mohli použít již na samém začátku výpočtu. Derivování by ovšem bylo daleko složitější. (Čtenář si to konečně může sám vyzkoušet.) Obecně lze říci, že se většinou vyplatí používat 1'Hospitalovo pravidlo až tam, kde je to nezbytně nutné. Nakonec nám vychází xma\jl i(ln2fl-ln2ř) e Příklad 4.82. Určete lim (- ,a -xmay_^ x->o\bx — xmb) 1 1 \ x^oVx ex — 1/ Řešení. Zde se pouze nesmíme zaleknout tvaru limitované funkce. Převedením na společného jmenovatele z ní uděláme potřebný podíl. 4.2 Příklady. 187 Nyní je již možné aplikovat 1'Hospitalovo pravidlo typu jj. Následujícím obratem si však limitu můžeme ještě zjednodušit. Vyjde ex — 1 — x .. / x ex — 1 — x\ lim------------- = lim ( „ . x^o x(ex — 1) x^o\ex — 1 x2 ' Qx — 1 — X i'H ,. ex — 1 1 qx — 1 1 1 = lim------------- = lim--------= - lim--------= - • 1 = - x^o x x^o 2x 2 x^o x 2 2 Příklad 4.83. Určete lim (cotg x-----). x^0\ X> Řešení. Zde je pouze nutné napsat cotgx = £?L£. Jinak postupujeme stejně jako v předchozím příkladě: ,. / 1\ ,. /cosx 1\ lim I cotg x-----) = lim I------------) x^o \ x> x^ovsinx x> 'cosx 1 x/ x^ovsinx X' x cos x — sin x ,. / x x cos x — sin xN x cos x — sin x / = lim------------------= lim I - x-*o xsinx x^ovsinx xz I x x cosx —sin x xcosx —sinxpH = lim------• lim------------------= lim------------------ = x^o sinx x-*0 X1 x-*0 x1 i'H ,. cosx—xsinx — cosx 1 . 1 = lim---------------------------= — lim sinx = — -0 = 0. x-^o 2x 2 x-^o 2 A Příklad 4.84. Určete lim f^/x3 + x2 + x + 1 - J x2 + x + 1 • n(e + X) Y Rešení. Tento příklad zařazujeme hlavně proto, že vypadá velmi složitě. Obecně ale není pravda, že nejsložitěji vypadající příklady nám dají nejvíce práce. Lze ovšem očekávat, že jejich výpočet bude delší. Čtenář nechť si všímá, jakými obraty si postupně budeme zjednodušovat situaci. lim (l/x3 + X2 + x + 1 - y/x2 + X + 1 • —-----—) = x^+co \ X / = lim \(l/x3 + X2 + x + 1 - x) + (x - y/x2 + X + 1 • —-----—) x^+coLv ' \ X ' - (^^^^^^^^^^^^^^^^^^~ I -f* í rt-A. I -y \ \ x - Vx2 + X + 1 • —---------). X / První limitu můžeme vypočíst zcela elementárním způsobem. lim (v x3 + x2 + x + 1 — x) I->+0O X3 + X2 + X + 1 - X3 lim ^+0° (^/x3+x2+x+l) + (Vx3+x2+x + l)x + X2 l+\+^ 1 X XL lim ----------------- 2 ^+0°(V1 + I + ^ + ^) +^1 + ^ + ^ + ^ + 1 188 Derivace funkce a její užití K výpočtu druhé limity použijeme podobný postup. ln(ex + x)s lim (x — y x2 + x + 1 ') (x - Vx2 + X + 1) + Ux2 + x + 1 - Vx2 + X + 1 ln(ex + x)N ln(ex + x)N lim I->+0O lim (x - V*2 + x + 1) + lim V*2 + x + 1 • (\ r X2-X2-X-l / Vx2 + X + 1 , . lim ------- - + lim ----------------• (x — ln(e + x)j x^+°° X + Vx^+X+l *-►+<» \ X _1 _i Vx2 + X + 1 . , ----------------• lim (x - ln(e + x)j lim ------- x + lim ~+°° i + /i + I+ i ~+°° -- + Hm J1 + - + -- lim (lnex - ln(ex + x)) Z x^+co y XX x^+cov 1 ex ----h 1 • lim ln-------- 2 x^+co ex + x -----lim Infi + —) -. 2 x^+co V ex / 1 ,. , Qx + x -----lim ln-------- 2 x^+co ex 1 ------0 2 ĽHospitalovo pravidlo zde téměř nebylo použito. Jeho použití se objevuje pouze úplně na konci, neboť zde potřebujeme vědět, že lim -1 = 0 (viz Příklad 4.72 s n = 1, a = 1). Daná limita je tedy rovna x^+co e lim (l/x2 + x2 + x + 1 - Vx2 + x + 1 • I->+CO \ ln(ex + x) \ _ 1 1 x ) ~ 3 ~ 2 Příklad 4.85. Určete lim ((x+aý+* - xl+x+a). I->+0O\ / Řešení. Nevíme-li si rady, jak postupovat, začneme vyšetřováním obou výrazů. Je (x + a) i+ (l + -Mln(x+a) Dále lim i->+oo (l + -) ln(x + a) = lim (1 + - V lim ln(x + a) = 1 • (+oo) = +oo, V X/ J x^+co\ x' x^+co 1 X' 1+- lim (x + a) x = +00. I->+O0 Podobně i+ x+a _ e(l + J+s)lnx lim (1 -\---------) lnx = lim (1 -\---------) • lim lnx = 1 • (+oo) = +oo -^+co\ X+a/ x^+co\ X + a/ x^+co lim x I->+0O 1+-: +00. 4.2 Příklady. 189 Limity obou členů tedy vycházejí +00. Máme-li ale trochu zkušenosti, povšimneme si, že lim (— ln(x + a)) = lim lim (--------In x) = lim ■^+co\x + a / x^+c ln(x + a) pH 1 ■co x lnx pH lim x^+co x + a 1 = lim - = 0 odkud plyne co x + a x^+co x lim (x + a)x = 1, lim xJ X^-+CO x^-+co V jistém smyslu lze tedy říci, že nám u původní limitované funkce nejvíce vadí jedničky v exponentech. Pokusíme se jich proto zbavit následujícím způsobem: lim I->+0O ((x+a)l+x -x1+x+a) = lim Ux + a)(x + a)x - xxx+a\ = lim (x(x + a)x + a(x + a)x — xxx+a ) x^+co\ / _1_ a lim (x + a)x + lim a ■ 1 + lim I-»+CO : a + lim I->+0O a + lim xe ((x + a)1 /iln(x+fl)_e^lnx\ j^lnx/ iln(x+fl)-^lnx i->+oo x . , <>(*+*) _ e^ — X 1 x+a ) '(' 0 iln(x+a)-^lnx . _J_ e + — 1 /l 1 \ —:--------• ( — ln(x + a)-----------lnx ) • x —— lnx u x A- a I . x+a - ln(x + a) x v ' x+a Jln(x+fl)-F^lnx _ j ^- e : a + lim xx+a • lim -j--------------------r x^+co i in(x _|_ a)----\-\nx X K ' X+" x + a +«— _ j -----:--------• lim (ln(x + a) -----^lnx x^+co\ x^+co x^+co i ln(x _|_ a)-----\-\nx x^+co\ x v ' x+a a + 1 • 1 • lim ((ln(x + a) — lnx) + (lnx-----------lnx)) = x^+co V x+a / . / a\ .. a lnx x + — In x ) = a / a+ lim ln( 1 H—)+ lim x^+co \ xl x-*+a a + 0 + a • lim lnx ■^+co x+a ■co x + a = a + a • 0 = a. (Přitom jsme použili výsledků dříve odvozených v tomto příkladu.) Příklad 4.86. Určete lim x^O (1+x)1 -e Řešení. Snadno vidíme, že můžeme ihned použít 1'Hospitalovo pravidlo typu jj. Dostáváme . (1 +x) — e e — e m lim-----------------= hm----------------- = x-*0 X x-*0 X l'H lim x^O iln(l+x)/ 1 1 \ (-x^ln(1+X) + x7ľ+-ď) x(l +x), 190 Derivace funkce a její užití což ovšem nevypadá příliš perspektivně. Lepší bude limitovanou funkci nejprve upravit. i i ľi i \x xln(l+x) (1 + x) — e e — e lim-----------------= lim----------------- x-*0 X x-*0 X .. .< = e lim------------- x-*0 X s(;Mi+x)-i)_ (|ln(l+x)-l) j ev -1 ,. Mn(l+x)-l = e lim -j---------------------• lim -------------------- x^o Iln(l +x) - 1 x^-o x ,. ln(l + x) -x m = e lim------------------ = x^O X1 i'H ,. — - 1 e 1 - 1 -x = e lim -^------= - lim -►o 2x 2 x^o x(l +x) e ,. 1 e - lim--------= — . 2 x-,0 1 + x 2 Příklad 4.87. Určete lim + .-----— , a > 0. x^O X2 Řešení. Je lim x^O ~xln(í2+x) __ -xlnß C C l'H X^ = xln(fl+x)(ln(a + x) + _£_) _ exln« . j^ = lim-----------^— a+x' x^o 2x i pXln(ŕ3+x) # x | ^xln^+x) ]n(„ \ ^.\ ax\na - lim------- 2x^0 a+x + eXn{a+x) ln(a + x) - elna In a x - lim 2x^o ^x ln(í3+x) 1 1 exln(fl+x) ln(a + x) - exlna lna + - lim---------------------------------------- 1 1 rl ------h - lim 2a 2 x-*o Lx a + x J 2 x^o Y(exln(fl+x)ln(a+x) - exln(fl+x)lna) + (exln(fl+x) lna - exlnfl lna)) 1 1 ,• x\n(a+x) ,• ln(a+x)-lna 1 ------h - lim Qxln(a+X) ■ lim —--------------------h - lna • lim 2a 2 x-*o x-*o x 2 x-*o pXln(í3+x) __ pXlna 1 1 ------1------1 • lim 2a 2 x^o x ln(l + f) lna x lna +-------limexlnfl -lim ^x(ln(í3+x)—lna) __ i 2 x^o x^O 1 1 ln(l + f) lna ex(in(a+x)-infl) _ l x(ln(a + x) - lna) ------1------hm----------— _|---------1 • hm----------------------------hm —--------------------- 2a 2a x-*o - 2 x^o x(ln(a +x) — lna) x^o x 1 1 lna 1 — + — • 1 +-------1 -0 = -. 2a 2a 2 a Příklad4.88. Určete lim(( +x) V. x^ov e / Řešení. Nejprve upravíme limitovanou funkci. Je : ln(l+x) (^r-ľ-r-r-t eIln(l+x)-Kl =eKílnd+x)-l)_ 4.2 Příklady. 191 Tedy 1/1 \ ln(l + x) — x i'H im-(-ln(l+x) -1) = lim '------ = -►O X \X ' x^O ^2 l'H Odtud --'a,.1-'-' 2x 2 x^o x(l + x) = — lim-------= 2 x-^o 1 + x 1 ' ~2 um((1+I)4)í=.-* x^o\ e / 1 Jě V dalším ukážeme, jak lze k výpočtu limit použít Peanovy věty. cos x — c Příklad 4.89. Určete lim - x^O X4 Řešení. Podle Peanovy věty můžeme psát x2 x4 R' (x) cosx = l — — + — + R'5(x), kde lim — 2! 4! 3 x^o x4 x x2 „ i?"(x - + - + i?'(x), kde hm -^- 1! 2! x^o x2 Napíšeme-li v poslední rovnosti — y místo x, dostáváme 2 2 4 2 -K- X X ,,/ X \ e .=i-T + 7 + í5(-7). Dále pak 2 \ / 2\ lim 3V „ 2' = - lim 3V V = - um -^+- = 0 x^o x4 4i^o (——) 4y^o y2 s použitím věty o limitě složené funkce. Nyní máme již vše připraveno k výpočtu dané limity. Vyjde -£. cosx — e 2 lim — x^O X4 _liml-ť + íř + *ž(*)-l + ý-T-*?(-T)_ x^O X4 = hm 4! „ 8 + hm -^-—- - hm 3V „ 2J = x^O X4 x^O X4 x^O X4 /l 1\ 1 = í--------1+0-0 =-----. V4! 8/ 12 Přitom jsme použili výše odvozené vlastnosti zbytků. Upozorňujeme, že čárky u písmen R zde ani v dalším neznačí derivaci. Á 192 Derivace funkce a její užití qx sinx — x(l + x) Příklad 4.90. Určete lim------------—^-------- x^O X3 Řešení. Je x x2 , R'3(x) ex = 1 + - + — + R'3(x), kde lim-^ = 0, 1! 2! x-^o x2 x x3 R"(x) sinx =----------+ R'l(x), kdelim^Z = 0- Tedy exsinx-x(l+x) = (l+x + y + i^(x)) • (x - ^- + /?£(*)) 2 3 X _/..\/ X _//..\ o X — X 3 4 3 5 2 * - ^ + R'i(x) +x2-^-+ xRl(x) + X— - X— + ^'(x) + xi^(x) -6 6 2 12 2 3 3 4 5 - X-R'3(x) + R'3(x) ■ R'i(x) -x-x2 = X--X--X— + R'i(x) + xR'^x) + 6 i 6 12 2 3 + ?-R'Hx) + xR'3(x) - ^-R'3(x) + R'3(x) ■ R'l(x). Z 6 Odtud dostáváme ex sinx — x(l + x) lim x-*0 /l x x2 R'l{x) R'Hx) x2 R'l{x) R'3{x) ^0(3-6-12+ -^+x-^ + y-^ + -^ x2 R'3(x) 2 R'3(x) R'í(x)\ _ 1 6 x2 x2 x3 / 3 Příklad 4.91. Určete lim (Vx6+x5 -Vx6-x5). Řešení. Limitovanou funkci nejprve upravíme. Je Vx6+x5 - t/x6 - x5 = x,6/1 + - - x,6/1 Dále můžeme napsat r ,/~n- #1 + I 6 yiT7 = (i + 3O* = (Ay° + (\\y + My) = 1 + \y + My), kde lim^ Odtud dosazením y = - respektive y = — - dostáváme 6/l + - = l + ^-- + i?2f-), kde lim ^#=0, x 6 x \x/ 4.2 Příklady. 193 Všechno máme tedy připraveno k výpočtu limity. Dostaneme lim (Vx6 + x5 - Vx6 - x5) lim x^-co lim x^-co 6/1 li 6/i 1 l + ±-°/l-± l+I.I+Ä^-l+I.I-^-I) 1 RJL) RJ-L) lim - + -^ + ^V^ 1 ^R Ä2Í—1) 1 1 - + lim -^ + lim V /; =-+0 + 0 = - Příklad4.92. Určete lim X^-CO [im (x3 — x2 H— )ex — *J. x6 + l Řešení. Limitovanou funkci opět nejprve upravíme. Dále platí (x3-x2 + ^)e^-v^TT = x3(l-I + I.l)e^ (i-* + ^)°Wi + £ e)' = l + - + — + — + /ř4(y), kde hm —— = 0. 1! 2! 3! y^O y* Položíme-li y = -, dostáváme 11111 ,/l\ x 2 x2 6 x3 \x/' kde lim -4^ = 0. I->+0O Podobně platí yiT7 = d + 30* = (j)/ + (;)y + ^'00, kde hm ^M = 0. Položíme-li zde y = \, dostáváme 1 1 1 x6 2 x6 \xu *(?)• kde lim 2)x ' = 0. i->+oo 194 Derivace funkce a její užití Tedy lim I->+0O (l-^-^-^+á lim x3 1" 2' 7 " rí(f). lim x~ 111 11 1 1 11 x 2 x2 6 x3 X xz 2 x3 1111 + 2^ + 2^-1 + ' = lim x3(------H-----) = - . x^+co \ 6 xj / 6 Přitom tečkami jsme naznačili členy, které při limitování dávají zřejmě nulu. Á Lze předpokládat, že při počítání těchto příkladů čtenáře napadá otázka týkající se stupňů Taylorových polynomů, které při výpočtech používáme. Asi je nejlépe odpovědět, že stupně používaných Taylorových polynomů určujeme většinou experimentálně. To ovšem znamená, že výpočet neprobíhá tak hladce, jak ho zde předvádíme. 1\1 x, Příklad 4.93. Určete lim I->+CO . Řešení. Je Dále x -x2ln(l + -\ K) x — x lni I-!■(! +1)1. X \ x/J \n{l+y) = y--y- + R3{y), ln K) 1 1 1 x 2 x2 + *(;)• kde lim —-— = 0, 3^0 y2 kde lim —\^- = 0. Tedy lim x-x2ln(l + -) = lim x2-----Inf 1 + -) r^+co L \ X/J x^+co Lx V X/- Mí) lim x2 I->+0O 1111 --------+ 9 •- ^V ^V -A- Jv 1 Příklad 4.94. Určete lim (- x^o\x sinx Řešení. Je -----hm —r^- = - + 0 = - . 2 x^+co i 2 2 1 ) sin x — x x sinx x sinx 4.2 Příklady. 195 Tedy lim sinx = — + RAx), lim kde lim RAx) x^O X2 im (-------------) = lin -►o Vx sinx/ x-* vx sinx/ x^o xsinx X + i?3 (x) — X / i?3 (x) X lim x^O x sinx limf- i?3(*) ,. * lim —-— • lim x^O X1 x^o sinx i^o\ xz sinx-0-1 = 0. Vidíme, že není nutné každou funkci, která se v limitovaném výrazu vyskytuje, vyjadřovat pomocí Taylorova polynomu a zbytku. Á Příklad 4.95. Určete lim x^O -(-----cotg x) Lx Vx / J Řešení. Je líl -{-- COt£ x Vx \ 1/1 cosx\ 1 X sinx — xcosx sin x — x cos x 5XJ — 1 / x Vx si nx / x sinx x2 sin x Tedy sinx cosx X X 1! 3! 4 kde lim R'Áx) x^O XJ 1 2! + #'(*), kde lim i?"(x) 0, 0. x^0 Xz lim x-*0 (i-cotgx) x Vx sin x — x cos x lim x^o x/sinx lim x^0 + í?;(x)-x(i-^ + ^(x)) iz sin x lim fX ~ ^ + ^(X) ~ X + ^ ~ XjR^(X) x^OV X3 sinx ) f- + Hm V 3 x^o *;w lim R''(x) 0 XJ x^0 X1 ) • lim -^— = (- + 0 - oV 1 = -/ x^o sinx V3 / 3 Příklad 4.96. Určete lim x^0 sin (sinx) — a/1 — x2 Řešení. Je ? ^ , ^ , D// A siny =---------------------\- RJy), 1! 3! 5! 6 Odtud po dosazení y = sin x dostáváme sin(sinx) sin x sin3 x sin5 x kde Hm E^l = o. x^o y5 1! 3! + + i?g(sinx) 5! 1,1, sinx-----sin x -\-------sin x + i?,-(sinx), 6 120 6 kde lim R'Jsinx) x-^o sin5 x 196 Derivace funkce a její užití Snadno též vidíme, že iřg(sinx) lim-------;-----= lim x^O X3 x^O i?g(sinx) /sinx\5 sin5x m R'6(smx) lim------------ x^o sin5 x / sin x \5 , (lim------) =0-l5 = 0. \x^0 X / Dále (1+y)' ^V + í!V + (1b2 + ^O0, kde lim ^'OO 0. y->-0 Jí2 Po dosazení y = —x2 a vynásobení x dostáváme x(l -x2)" 3lv3±|3|T5 + 3 x5+xi^(-x2) x - - x3 - - x5 + x<(-x2), 3 9 3 kde lim i?"(-x2) 0. Vychází nám tedy sin(sinx) — xl/\ — x2 lim---------------;--------------= lim x-*0 x-*0 :?(■ x^O XH 1 -,3. , 1 _5 sin x-----sin x H-------sin x + xJ v 6 120 + i?6(sinx)-x + -x3 + -x5 -xi^(-x2)) 1 sin5x 1 x5 -----lim —r-----1— lim —- + lim 120 x^o x5 9 x^o x5 x^o i?g(sinx) lim i?"(-x2) lim —- ( s r^O X5 V + lim —-1 sin x-----suť x — x + x-^o x5 V 6 3 __+ +0-0 +lim— (; r^0 X5 V 5*0 x->0 X* + 120 9 K výpočtu poslední limity použijeme jednak vyjádření sin x-----sin x — x + x^o xJ v 6 3 Í4 1 ^ 1 s sinx=x--x +—x + R6(x), 6 120 kde Hm EM. = o, x^0 X5 jednak vyjádření i -, . sinx = x-----x + R4(x), 6 kde um EM = o. x^0 X3 Z posledního vyjádření dostáváme sin3 x = x3-----x5 + • • • , kde tečky nahrazují členy, které po vydělení x5 a limitování x -> 0 dávají nulu. Nyní vychází ,• 1 / • 1-3 1 3\ lim — srn x-----sin x — x H— x = x^o x5 V 6 3 / x^oVx5 120 / 120 Celkem tedy dostáváme sin(sinx) -Vi-x2 1 1 11 1 1 19 lim —-------—-------------= — + - + — = — + - = — x^O 120 120 10 90 4.2 Příklady. 197 sinh(tgx) — x Příklad 4.97. Určete lim — s Řešení. Je ey = l + ^- + ^ + ^ + R4(y), kde lim ^ = 0. 1! 2! 3! y^o jh Odtud e"y = 1-^ + ^7-^7 + #4(-}0, kde lim ^^ = 0, 1! '2! 3! ' "*v •"' " " ý~o y3 a tedy Sinh(y) = e" ~e y =L + L. + l (R4(y) - R4(-y)). Po dosazení y = tg x dostáváme 1 . 1 / , sinh(tgx) = tgx + -tg3x + - (i?4(tgx) - i?4(-tgx)), přičemž ihned vidíme, že ,. i?4(tgx)-j?4(-tgx) lim----------------------------- = 0. x-^o 2x3 Vychází nám tedy sinh(tgx) —x lim x-*0 X = lim 1/1,1 1 \ im—(tgx + -tgJx + -i?4(tgx) - -i?4(-tgx) -x) = -►o xJ V 6 2 2 / 1 v ítSx\3 , ',• i?4(tgx) - i?4(-tgx) tgx-x - lim ----- + - lim-------------------------------h lim-------— bi^o\ x / Z x-^0 xó x-^0 xó r l3 + 0 + lim 6 x-^o cosx • xJ 1 1 sin x — x cos x 1 sin x — x cos x = —h hm-------• hm-------------------= —h hm-------------------. 6 i^ocosj *->-o x3 6 x^o x3 K výpočtu poslední limity použijeme vyjádření 1 R' (x) sinx = x-----x3 + R'Ax), kde lim —^—— = 0, 6 x^o x3 1 /?"0c) cosx = 1 - - x2 + i?"(x), kde lim -^—- = 0, 2 x^o x2 odkud 1 . x cosx = x-----x +xR3(x). Tedy sinx —xcosx ,. 1 / 1 , ., N 1 , .. \ ,. / 1 1 ,\ 1 hm----------;---------= hm — x-----x3 + R'Ax) - x + - x3 - xR'Ux) = hm —-----x3 = - . x-,0 x3 x->ox3\ 6 4 2 3 / x^oVx3 3/3 Celkem tedy vychází sinh(tgx) —x 1 1 1 hm-------------------= —|— = - . x-^o x3 6 3 2 i 198 Derivace funkce a její užití Na závěr nyní ukážeme, jak lze využít Lagrangeovu větu o střední hodnotě k důkazu některých nerovností. Příklad 4.98. Dokažte, že pro libovolná a, b e R platí nerovnost | siná — sin b| < \a — b\. Řešení. Nerovnost je zřejmá v případě a = b. Nechť tedy a < b. Uvažujme funkci f(x) = sin x na intervalu (a, b). Funkce sin x je spojitá na (a, b) (neboť je spojitá všude). Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě tedy existuje £ e (a, b) tak, že f(b)-f(a) = f(š)(b-a), sin b — sin a = cos í- ■ (b — á). Potom zřejmě | siná — sinfe| = \sinb — sina\ = | cos£| • \b — a\ < \a — b\, čímž je daná nerovnost pro a < b dokázána. Je-li a > b, pak podle předchozího platí | sinfe — sina| < \b — a\, což ovšem opět můžeme psát ve tvaru \sina — sinb\ < \a — b\. Á Příklad 4.99. Dokažte, že pro libovolná 0 < b < a, p > \ platí nerovnosti pbp-\a -b) 1), takže pbp-\a - b) < plp~\a - b) < pap~x{a - b), pbp~x{a-b)