10. Kvadratické formy
10. Kvadratické formy ­ p. 1/31
Kvadratické formy
1. Definice a příklady
2. Základní vlastnosti
3. Matice kvadratické formy
4. Diagonální tvar matice kvadratické formy
5. Kvadratické formy v R2
6. Pozitivně definitní kvadratické formy
7. Diagonální redukce pozitivně definitní matice
8. LDL
rozklad a řešení soustav s pozitivně definitní
maticí
9. Kongruence symetrické a diagonální matice
10. Zákon setrvačnosti kvadratických forem 10. Kvadratické formy ­ p. 2/31
10.1 Definice a příklady
DEFINICE 1
Nechť V je vektorový prostor a nechť B je bilineární forma na V.
Zobrazení QB definované pro libovolné x  V předpisem
QB(x) = B(x, x)
se nazývá kvadratická forma příslušná bilineární formě B. Kvadratickou
formou budeme stručně nazývat zobrazení Q definované na V,
pro které existuje bilineární forma B na V tak, že Q = QB.
Kvadratickou formu můžeme považovat za zobecnění funkce
y = ax2
na vektorové prostory.
10. Kvadratické formy ­ p. 3/31
10.1 Definice a příklady
P ŘÍKLAD 1 Na prostoru V = R3
sloupcových vektorů dimenze 3 je definováno
zobrazení Q, které každému vektoru x = [xi] přiřazuje
Q(x) = x
x = x2
1 + x2
2 + x2
3,
což je kvadratická forma příslušná bilineární formě definované v příkladě 1 o
bilineárních formách. Interpretujeme-li x jako polohový vektor, pak Q(x) je druhá
mocnina jeho délky.
P ŘÍKLAD 2 Nechť A = [aij] je daná reálná čtvercová matice řádu 2. Pak
zobrazení, které každému sloupcovému vektoru x = [xi] dimenze dvě přiřazuje
Q(x) = x
Ax = a11x2
1 + (a12 + a21)x1x2 + a22x2
2
je kvadratická forma příslušná bilineární formě definované v příkladě 2 o
bilineárních formách.
P ŘÍKLAD 3 Nechť F je prostor všech reálných funkcí. Pak předpis, který každé
funkci f  F přiřazuje
Q(f) = f(1)2
+ f(2)2
,
definuje kvadratickou formu příslušnou bilineární formě definované v příkladě 3 o
bilineárních formách. 10. Kvadratické formy ­ p. 4/31
10.2 Základní vlastnosti
LEMMA 1 Nechť V je reálný vektorový prostor. Pro každou
kvadratickou formu Q na V, x  V a reálné  platí
Q(x) = 2
Q(x)
D ŮKAZ: Pro každou bilineární formu B na V, x  V a reálné  platí
B(x, x) = 2
B(x, x). Je-li Q(x) = B(x, x) pak platí tvrzení
věty.
D ŮSLEDEK: Z věty bezprostředně plyne, že
Q(o) = Q(0  o) = 0
a že obor hodnot H(Q) každé kvadratické formy Q obsahuje
s každým číslem i jeho nezáporné násobky. Obor hodnot nulové
kvadratické formy definované předpisem Q(x) = 0 obsahuje pouze
číslo 0.
10. Kvadratické formy ­ p. 5/31
10.2 Základní vlastnosti
V ĚTA 1
Pro každou bilineární formu B na V a jí příslušnou kvadratickou
formu QB a libovolné x, y  V platí
BS
(x, y) =
1
2
QB(x + y) - QB(x) - QB(y) .
D ŮKAZ: Tvrzení přímo vyplývá z rovnice
B(x + y, x + y) = B(x, x) + B(x, y) + B(y, x) + B(y, y), neboť pak
QB(x + y) = QB(x) + 2BS
(x, y) + QB(y).
Jelikož pro libovolnou symetrickou bilineární formu B na V platí
B = BS
, plyne z věty 1, že každá symetrická bilineární forma B na
V je plně určena svou kvadratickou formou. Při studiu kvadratických
forem se můžeme omezit na kvadratické formy příslušné
symetrickým bilineárním formám, neboť pro libovolnou bilineární
formu B na V a x  V platí QB(x) = BS
(x, x). 10. Kvadratické formy ­ p. 6/31
10.3 Matice kvadratické formy
Nechť V je vektorový prostor konečné dimenze s bází
E = (e1, . . . , en) a nechť Q je daná kvadratická forma příslušná
bilineární formě B. Pak pro libovolný vektor x  V platí
Q(x) = B(x, x) = [x]
E [B]E [x]E .
Je proto přirozené považovat matici [B]E za matici kvadratické
formy Q příslušné bilineární formě B v bázi E. Podle věty 1 však
kvadratická forma příslušná B přísluší též symetrické části BS
bilineární formy B. Proto definujeme matici kvadratické formy QB
příslušné k bilineární formě B jako symetrickou matici
[QB] = BS
.
Při studiu matic kvadratických forem se tedy můžeme omezit na
symetrické matice.
10. Kvadratické formy ­ p. 7/31
10.4 Diagonální tvar matice kvadratické formy
Při studiu kvadratických forem chceme určit, jakých hodnot může
nabývat daná kvadratická forma. Máme-li matici kvadratické formy
v diagonálním tvaru, pak se hodnota kvadratické formy v daném
vektoru vypočte jako součet druhých mocnin souřadnic tohoto
vektoru (kladné hodnoty) násobených diagonálními prvky.
Například kvadratická forma z příkladu 1
Q(x) = x
x = x
Ix = 1  x2
1 + 1  x2
2 + 1  x2
3 > 0
pro libovolný vektor x = o.
Není-li matice kvadratické formy v diagonálním (kanonickém)
tvaru, můžeme se pokusit upravit formu na diagonální (kanonický)
tvar, ze kterého lze obor hodnot poznat.
10. Kvadratické formy ­ p. 8/31
10.4 Diagonální tvar matice kvadratické formy
Například doplňováním čtverců formy Q(x) = -2x2
1 + 2x1x2 - 3x2
2 dostaneme
pro x = [x1, x2]
Q(x) = -2x2
1 + 2x1x2 - 3x2
2 = -2 x2
1 - 2x1(
1
2
x2) + (
1
2
x2)2
+
+
1
2
x2
2 - 3x2
2 = -2(x1 -
1
2
x2)2
-
5
2
x2
2 = -2y2
1 -
5
2
y2
2,
takže Q(x) < 0 pro x = o.
Zapíšeme-li si substituci y1 = x1 - 1
2 x2, y2 = x2 ve tvaru y = Tx s
x =
x1
x2
, y =
y1
y2
, T =
1 -1
2
0 1
Jelikož x = [x]S, kde S = (sI
1, sI
2) je standardní báze R2
a označíme-li y = [x]E
v nové bázi E = (e1, e2), která je určena maticí zpětného přechodu T od E k S,
pak platí
[Q]S = T
[Q]E T.
To lze ověřit:
-2 1
1 -3 =
1 0
-1
2 1
-2 0
0 -5
2
1 -1
2
0 1
.
10. Kvadratické formy ­ p. 9/31
10.4 Diagonální tvar matice kvadratické formy
K matici zpětného přechodu T můžeme určit matici přechodu S od báze S k bázi E
S = T-1
=
1 1
2
0 1
,
kterou můžeme také zapsat ve tvaru S = [e1]S, [e2]S .
Odtud
e1 = [e1]S = sS
1 =
1
0 , e2 = [e2]S = sS
2 =
1
2
1
.
Jelikož Q je kvadratická forma příslušná symetrické bilineární formě
B(x, y) = -2x1y1 + x1y2 + x2y1 - 3x2y2,
můžeme ověřit výpočtem, že
B(e1, e1) = -2, B(e1, e2) = B(e2, e1) = 0, B(e2, e2) = -
5
2
,
tedy
[Q]E = [QB]E =
-2 0
0 -5
2
.
10. Kvadratické formy ­ p. 10/31
10.5 Kvadratické formy v R2
Libovolnou kvadratickou formu na R2
můžeme zapsat budťo pomocí složek ve
tvaru
Q(x) = ax2
1 + 2bx1x2 + cx2
2, ()
nebo maticově ve tvaru
Q(x) = x
Ax, x =
x1
x2
, A =
a b
b c .
Matici A přitom můžeme považovat za matici Q ve standardní bází S = (sI
1, sI
2).
Budeme se zabývat otázkou, na jaký tvar lze redukovat matici A přechodem ke
vhodné nové bázi. Pro zjednodušení výkladu budeme předpokládat, že některý
nenulový koeficient formy Q je roven jedné.
Předpokládejme nejprve, že a = 1, takže doplněním čtverců můžeme upravit ()
na tvar
Q(x) = x2
1 + 2x1(bx2) + (bx2)2
+ (c - b2
)x2
2 = (x1 + bx2)2
+ (c - b2
)x2
2.
10. Kvadratické formy ­ p. 11/31
10.5 Kvadratické formy v R2
Jestliže c - b2
= 0, pak pomocí substituce
y1 = x1 + bx2, y2 = |c - b2|x2
dostaneme jeden z tvarů
Q(x) = y2
1 + y2
2, Q(x) = y2
1 - y2
2.
Zapíšeme-li si tuto substituci v maticovém tvaru y = Tx s
x =
x1
x2
, y =
y1
y2
, T =
1 b
0 |c - b2|
,
můžeme provedenou úpravu zapsat též v maticovém tvaru
Q(x) = x
Ax = x
T
DTx = y
Dy,
kde D je jedna z matic
D1 =
1 0
0 1 , D2 =
1 0
0 -1 .
Matici T přitom můžeme považovat za matici zpětného přechodu od
nové báze E ke standardní bázi S. 10. Kvadratické formy ­ p. 12/31
10.5 Kvadratické formy v R2
Jestliže c - b2
= 0, pak pomocí substituce y1 = x1 + bx2, y2 = x2
dostaneme Q(x) = y2
1.
Zapíšeme-li si tuto substituci opět v maticovém tvaru s
T =
1 b
0 1 ,
můžeme formu zapsat též v maticovém tvaru
Q(x) = x
Ax = x
T
DTx = y
Dy,
s maticí
D = D3 =
1 0
0 0 .
Pro a = 0 a c = 0 stačí zopakovat předchozí úvahy s tím, že
zaměníme a s c a x1 s x2.
10. Kvadratické formy ­ p. 13/31
10.5 Kvadratické formy v R2
Pokud a = c = 0, pak položíme-li x1 = y1 + y2, x2 = y1 - y2,
dostaneme
Q(x) = y2
1 - y2
2.
Odtud najdeme transformaci y1 = 1
2
(x1 + x2), y1 = 1
2
(x1 - x2),
kterou můžeme považovat za přechod k souřadnicím v nové bázi
s maticí zpětného přechodu
T =
1
2
1 1
1 -1 .
Lze ověřit, že v nové bázi má forma matici D = D2.
Zahrneme-li i nulovou kvadratickou formu,pak každou kvadratickou
formu na R2
můžeme redukovat vhodnou substitucí či přechodem
k jiné bázi na jeden z tvarů
Q1(x) = x2
1 + x2
2, Q2(x) = x2
1 - x2
2, Q3(x) = x2
1, Q4(x) = 0,
10. Kvadratické formy ­ p. 14/31
10.5 Kvadratické formy v R2
-2 0 2 -2
0
2
x
Q(x)
x1
x2
z
b) Hyperbolická forma ( ) 2
2
2
1 xxQ -=x
2
2
2
1 xxz -=
-2
0
2 -2
0
2x
Q(x)
x1
x2
z
c) Parabolická forma ( ) 2
1xQ =x
2
1xz =
-2
0
2 -2
0
2
x
x1x2
z
d) Nulová forma ( ) 0=xQ
z = 0
0
2 -2
0
2
x
Q(x)
x1
x2
z
a) Eliptická forma ( ) 2
2
2
1 xxQ +=x
2
2
2
1 xxz +=
10. Kvadratické formy ­ p. 15/31
10.6 Pozitivně definitní formy
DEFINICE 2
Kvadratická forma Q na vektorovém prostoru V se nazývá pozitivně
definitní, jestliže pro libovolné x  V, x = o platí Q(x) > 0.
Jestliže pro libovolné x  V platí Q(x)  0, pak se Q nazývá
pozitivně semidefinitní.
P ŘÍKLAD 4 Kvadratická forma z příkladu 1 je pozitivně definitní.
P ŘÍKLAD 5 Kvadratická forma -Q definovaná na R2
předpisem
Q(x) = -2x2
1 + 2x1x2 - 3x2
2 je pozitivně definitní.
P ŘÍKLAD 6 Kvadratická forma z příkladu 3 nabývá pouze
nezáporných hodnot, avšak Q(f) = 0 například pro nenulovou
funkci f(x) = (x - 1)(x - 2). Kvadratická forma je proto pouze
pozitivně semidefinitní. 10. Kvadratické formy ­ p. 16/31
10.6 Pozitivně definitní formy
LEMMA 2 Je-li V je vektorový prostor konečné dimenze s bází E a
je-li Q je pozitivně definitní kvadratická forma, pak pro libovolné
x = o platí [x]E = o a
Q(x) = [x]
E [Q]E [x]E > 0.
DEFINICE 3
Každou symetrickou matici A budeme nazývat pozitivně definitní,
jestliže pro každý sloupcový vektor x = o platí x
Ax > 0, a pozitivně
semidefinitní, jestliže x
Ax  0 pro libovolný sloupcový vektor
x.
Kvadratická forma je tedy pozitivně definitní (semidefinitní), právě
když je její matice v libovolné bázi pozitivně definitní
(semidefinitní).
10. Kvadratické formy ­ p. 17/31
10.6 Pozitivně definitní formy
LEMMA 3 Každá pozitivně definitní matice má kladnou diagonálu.
D ŮKAZ: Je-li A = [aij] pozitivně definitní matice, pak pro libovolný sloupec
s = sI
i jednotkové matice platí 0 < s
As = aii.
Je-li D diagonální matice s diagonálními prvky d1, . . . , dn a
x = [xi], pak
x
Dx = d1x2
1 +    + dnx2
n.
Matice D je tedy pozitivně definitní, právě když d1 > 0, . . . , dn > 0.
Symetrická matice kongruentní s diagonální maticí je pozitivně
definitní (semidefinitní), právě když tato diagonální matice má
kladné (nezáporné) diagonální prvky.
Kvadratická forma Q resp. matice A se nazývá negativně definitní
(semidefinitní), právě když je -Q, resp. -A pozitivně definitní
(semidefinitní). Nesplňuje-li ani jednu z uvedených vlastností, pak
se nazývá indefinitní. 10. Kvadratické formy ­ p. 18/31
10.7 Diagonální redukce pozitivně definitní
matice
Pro další studium kongruencí použijeme elementární řádkové
operace a jejich maticový zápis. Ke každé elementární operaci však
budeme následně uvažovat její sloupcovou variantu a místo o
elementárních operacích budeme mluvit o elementárních
kongruencích.
Je-li tedy T matice některé elementární operace s řádky čtvercové
matice A, pak matici upravenou příslušnou elementární kongruencí
lze zapsat ve tvaru TAT
.
V ĚTA 2
Nechť A je pozitivně definitní matice. Pak existuje regulární dolní
trojúhelníková matice L a diagonální matice D s kladnou diagonálou
tak, že
LAL
= D.
10. Kvadratické formy ­ p. 19/31
10.7 Diagonální redukce pozitivně definitní
matice
D ŮKAZ: Nechť A = [aij] je daná pozitivně definitní matice řádu n.
Podle Lemmatu 4 má každá pozitivně definitní matice kladné
diagonální prvky, takže a11 > 0.
S pomocí maticového zápisu elementárních operací najdeme, stejně
jako v důkazu věty o LU rozkladu, dolní trojúhelníkovou matici L1,
pro kterou platí
L1A =




a11 a12 . . . a1n
0 a1
22 . . . a1
2n
...
...
...
...
0 a1
n2 . . . a1
nn



 .
Jelikož A je symetrická, plyne odtud, že matice (L1A)
= AL1

má stejný první sloupec jako A,takže
L1AL1

=
a11 o
o A1 10. Kvadratické formy ­ p. 20/31
10.7 Diagonální redukce pozitivně definitní
matice
D ŮKAZ (Pokračování):
A1 =


a1
22 . . . a1
2n
...
...
...
a1
n2 . . . a1
nn

 .
Matice A1 je symetrická, jelikož je kongruentní se symetrickou
maticí A, a pozitivně definitní, neboť pro každý vektor
x =
0
y
,
kde y = o, platí
0 < x
L1AL1

x = y
A1y.
Opakováním tohoto postupu najdeme dolní trojúhelníkové matice
L2, . . . , Ln-1 tak, že pro L = Ln-1    L1 platí LAL
= D.
Jelikož L je součin regulárních dolních trojúhelníkových matic, je L,
také dolní trojúhelníková matice. 10. Kvadratické formy ­ p. 21/31
10.7 Diagonální redukce pozitivně definitní
matice
P ŘÍKLAD 7 Najděte diagonální matici D, která je kongruentní
s pozitivně definitní maticí
A =


2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2

 .
ŘEŠENÍ: Matici A upravíme spolu s jednotkovou maticí na horní
trojúhelníkovou matici. Dostaneme:
A I =


2 -1 0 1 0 0
-1 2 -1 0 1 0
0 -1 2 0 0 1

 +1
2
r1 



2 -1 0 1 0 0
0 3
2
-1 1
2
1 0
0 -1 2 0 0 1


+2
3
r2



2 -1 0 1 0 0
0 3
2
-1 1
2
1 0
0 0 4
3
1
3
2
3
1

 .
10. Kvadratické formy ­ p. 22/31
10.7 Diagonální redukce pozitivně definitní
matice
P ŘÍKLAD 7 (Pokračování)
Snadno si ověříme, že pro
L =


1 0 0
1
2
1 0
1
3
2
3
1

 , D =


2 0 0
0 3
2
0
0 0 4
3


platí
LAL
=


1 0 0
1
2
1 0
1
3
2
3
1




2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 2




1 1
2
1
3
0 1 2
3
0 0 1

 = D.
10. Kvadratické formy ­ p. 23/31
10.8 LDL
rozklad a řešení soustav s pozitivně
definitní maticí
Rozklad LDL
je základem efektivních algoritmů pro řešení
soustav s pozitivně definitními maticemi, neboť je ekvivalentní
rozkladům A-1
= L
D-1
L nebo A = LDL
, L = L-1
.
P ŘÍKLAD 8 Využijte řešení příkladu 7 k řešení soustavy:
2x1 - x2 = 1
-x1 + 2x2 - x3 = 0
-x2 + 2x3 = 1
Matice soustavy A je stejná jako matice A z příkladu 7, takže platí LAL
= D a
A = L-1
DL.
Označíme-li si b pravou stranu soustavy můžeme si vyjádřit její
řešení ve tvaru
x = A-1
b = L
D-1
(Lb) =


1 1
2
1
3
0 1 2
3
0 0 1




1
2 0 0
0 2
3 0
0 0 3
4




1 0 0
1
2 1 0
1
3
2
3 1




1
0
1

 =


1
1
1


Soustava má tedy řešení x1 = x2 = x3 = 1. 10. Kvadratické formy ­ p. 24/31
10.9 Kongruence symetrické a diagonální
matice
V ĚTA 3
Nechť A = [aij] je symetrická matice. Pak existuje regulární matice
T a diagonální matice D tak, že
TAT
= D.
D ŮKAZ: Nechť A = [aij] je symetrická matice řádu n. Jestliže
a11 = 0 a některý mimodiagonální prvek ai1 = a1i je nenulový, pak
přičtením nebo odečtením i-tého řádku k prvnímu řádku a
následným provedením obdobné operace se sloupci můžeme dostat
do levého horního rohu nenulový prvek. Maticový zápis takové
úpravy má tvar
A = [aij] = G1AG
1 ,
kde a11 = 0 a G1 je matice, která při násobení zleva realizuje
přičtení nebo odečtení prvního řádku k nebo od řádku i. 10. Kvadratické formy ­ p. 25/31
10.9 Kongruence symetrické a diagonální
matice
D ŮKAZ (Pokračování): Pokud a11 = 0, pak položíme G1 = I.
Jelikož a11 = 0, pak najdeme, stejně jako v důkazu věty 2, dolní
trojúhelníkovou matici L1 tak, že
L1
AL1

=
a11 o
o A1
.
Pro T1 = L1G1 tedy platí
T1AT
1 =
a11 o
o A1
.
Celý postup můžeme opakovat, nejprve s maticí A1, k postupné
eliminaci mimodiagonálních prvků, až po n - 1 krocích dostaneme
pro
T = Tn-1    T1
rovnost TAT
= D.
10. Kvadratické formy ­ p. 26/31
10.9 Kongruence symetrické a diagonální
matice
P ŘÍKLAD 9 Najděte regulární matici T a diagonální matici D tak,
aby pro matici
A =
0 1 0
1 0 1
0 1 0
platilo
TAT
= D.
ŘEŠENÍ: Matici A nejprve upravíme na diagonální tvar pomocí
elementárních kongruencí.
0 1 0
1 0 1
0 1 0
+r2

1 1 1
1 0 1
0 1 0
+s2

2 1 1
1 0 1
1 1 0
-1
2
r1
-1
2
r1



2 1 1
0 -1
2
1
2
0 1
2
-1
2


-1
2
s1 -1
2
s1




2 0 0
0 -1
2
1
2
0 1
2
-1
2


+r2

2 0 0
0 -1
2
1
2
0 0 0
+s2

2 0 0
0 -1
2
0
0 0 0
10. Kvadratické formy ­ p. 27/31
10.9 Kongruence symetrické a diagonální
matice
P ŘÍKLAD 9 (Pokračování)
Matici T najdeme tak, že řádkové operace, které jsme použili
k úpravě A, postupně provedeme na jednotkové matici.
1 0 0
0 1 0
0 0 1
+r2

1 1 0
0 1 0
0 0 1
-1
2
r1
-1
2
r1




1 1 0
-1
2
1
2
0
-1
2
-1
2
1


+r2

1 1 0
-1
2
1
2
0
-1 0 1
= T.
Snadno si ověříme, že platí
TAT
=
2 0 0
0 -1
2
0
0 0 0
= D.
10. Kvadratické formy ­ p. 28/31
10.9 Kongruence symetrické a diagonální
matice
D ŮSLEDEK: Nechť Q je libovolná kvadratická forma na
vektorovém prostoru konečné dimenze. Pak existuje báze F
prostoru V tak, že [Q]F je diagonální.
D ŮKAZ: Nechť E je libovolná báze prostoru V. Jelikož [Q]E je
symetrická matice, existuje podle věty 3 regulární matice S tak, že
S [Q]E
S
= D, kde D je diagonální matice.
To však je pro S = S
ekvivalentní vztahu S
[Q]E S = D.
Je-li F báze V definovaná maticí přechodu S, pak platí
[Q]F = S
[Q]E S = D.
10. Kvadratické formy ­ p. 29/31
10.10 Zákon setrvačnosti kvadratických
forem
V ĚTA 4
Nechť D a E jsou diagonální matice řádu n s diagonálami d1, . . . , dn
a e1, . . . , en. Nechť T je regulární a D = T
ET. Pak počet
kladných, záporných i nulových prvků na diagonálách obou matic
je shodný.
D ŮKAZ: Jelikož násobení regulární maticí zachovává hodnost
matice, obě matice mají stejný počet h nenulových prvků.
Budeme předpokládat, že diagonály jsou uspořádány tak, že
d1 > 0, . . . , dp > 0 dp+1 < 0, . . . , dh < 0,
e1 > 0, . . . , eq > 0 eq+1 < 0, . . . , eh < 0.
V opačném případě je přeuspořádáme pomocí elementárních
kongruencí odvozených z výměny řádků. 10. Kvadratické formy ­ p. 30/31
10.10 Zákon setrvačnosti kvadratických
forem
D ŮKAZ (Pokračování):
Dále budeme předpokládat, že T je regulární matice taková, že
D = T
ET.
Kdyby p < q, pak by existovalo řešení x soustavy rovnic
x1 = 0, . . . , xp = 0, rT
q+1xq+1 = 0, . . . , rT
h xh = 0,
které má některou z prvních h složek nenulovou, neboť podle
předpokladu je rovnic méně než h.
Musí to být zřejmě některá ze složek xp+1, . . . , xh takže platí
x
Dx < 0, x
T
ETx  0,
což je spor s předpokladem. 10. Kvadratické formy ­ p. 31/31