12. Determinanty 12. Determinanty ­ p. 1/27 Determinanty 1. Induktivní definice determinantu 2. Determinant a antisymetrické formy 3. Výpočet hodnoty determinantu 4. Determinant součinu matic 5. Rozvoj determinantu podle prvků libovolného řádku 6. Adjungovaná a inverzní matice 7. Determinant transponované matice 8. Determinant jako funkce sloupců 9. Cramerovy vzorce pro řešení soustav 12. Determinanty ­ p. 2/27 12.1 Induktivní definice determinantu Budeme řešit soustavu a11x1 + a12x2 = b1 a21x1 + a22x2 = b2 Úpravami, které nepoužívají dělení, dostaneme a11 a12 b1 a21 a22 b2 a22r1 - a12r2 a11 a12 b1 a11a22 - a12a21 0 b1a22 - a12b2 a11 a12 b1 a21 a22 b2 a11r2 - a21r1 a11 a12 b1 0 a11a22 - a12a21 a11b2 - b1a21 odkud pro a11a22 - a12a21 = 0 dostaneme x1 = b1a22 - a12b2 a11a22 - a12a21 , x2 = a11b2 - b1a21 a11a22 - a12a21 . 12. Determinanty ­ p. 3/27 12.1 Induktivní definice determinantu Nyní si všimněme, že čitatele i jmenovatele lze vyjádřit pomocí jedné funkce matice: det a b c d = a b c d = ad - bc. Řešení soustavy lze zapsat za pomocí tohoto označení ve tvaru x1 = b1 a12 b2 a22 d , x2 = a11 b1 a21 b2 d kde d = a11a22 - a12a21 = a11 a12 a21 a22 Tyto vzorce se dají zobecnit na řešení soustav n rovnic o n neznámých. 12. Determinanty ­ p. 4/27 12.1 Induktivní definice determinantu DEFINICE 1 Pro každou čtvercovou matici A = [aij], nechť MA ij značí matici, která vznikne vyškrtnutím jejího i-tého řádku a j-tého sloupce. Matice MA ij se nazývá minor matice A příslušný k dvojici indexů (i, j). P ŘÍKLAD 1 A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 , MA 12 = 4 6 7 9 . 12. Determinanty ­ p. 5/27 12.1 Induktivní definice determinantu DEFINICE 2 Nechť A = [aij] je čtvercová matice řádu n s reálnými nebo komplexními prvky. Determinant matice A je číslo, které značíme det A nebo |A| a vypočteme jej podle následujících pravidel: D1 Je-li n = 1, pak det A = det [a11] = a11. D2 Předpokládejme, že n > 1 a že umíme určit determinant libovolné čtvercové matice řádu n - 1. Pak det A = a11 MA 11 - a12 MA 12 + a13 MA 13 - . . . +(-1)n+1 a1n MA 1n Determinant matice je tedy funkce prvků matice, která je definována explicitně pro n = 1 a pro n > 1 je definována pomocí pravidla, které definuje determinant matice řádu n pomocí determinantů řádu n - 1. 12. Determinanty ­ p. 6/27 12.1 Induktivní definice determinantu P ŘÍKLAD 2 1 2 3 1 -1 2 -1 2 1 = 1 -1 2 2 1 - 2 1 2 -1 1 + 3 1 -1 -1 2 = = 1 (-1|1| - 2|2|) - 2 (1|1| - 2| - 1|) + 3 (1|2| - (-1)| - 1|) = = 1 -5 - 2 3 + 3 1 = -8. P ŘÍKLAD 3 l11 0 . . . 0 l21 l22 . . . 0 ... ... ... ... ln1 ln2 . . . lnn = l11 l22 0 . . . 0 l32 l33 . . . 0 ... ... ... ... ln2 ln3 . . . lnn = = l11 lnn. Odtud speciálně plyne det I = 1. 12. Determinanty ­ p. 7/27 12.1 Induktivní definice determinantu Definujme algebraický doplněk matice A příslušný k dvojici indexů (i, j) předpisem Aij = (-1)i+j MA ij . Vzorec D2 lze pak přepsat ve tvaru det A = a11A11 + + a1nA1n. Determinant matice n-tého řádu počítaný podle pravidla D2 vyžaduje vyčíslení součtu n součinů čísel a determinantů matic řádu n - 1. Použijeme-li pravidlo D2 na determinanty řádu n - 1, dostaneme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje vyčíslení součtu n(n - 1) součinů dvou čísel a determinantů řádu n - 2. Opakováním tohoto postupu zjistíme, že vyčíslení determinantu matice n-tého řádu vyžaduje n! sčítanců tvořených součiny n čísel, tj. celkem (n - 1)n! součinů. Existují efektivnější postupy výpočtu determinantů. 12. Determinanty ­ p. 8/27 12.2 Determinant a antisymetrické formy LEMMA 1 Nechť A = [aij] a B = [bij] jsou čtvercové matice, které se liší nanejvýš v prvním řádku, a je libovolný skalár. Pak rA 1 = det A, rA 1 + rB 1 = det A + det B. D ŮKAZ: rA 1 = a11 . . . a1n a21 . . . a2n ... ... ... an1 . . . ann = a1A1 + + anAn = det A rA 1 + rB 1 = a11 + b11 . . . a1n + b1n a21 . . . a2n ... ... ... an1 . . . ann = = (a11 + b11)A11 + + (a1n + b1n)A1n = = (a1A1 + + anAn) + (b1A1 + + bnAn) = det A + det B. 12. Determinanty ­ p. 9/27 12.2 Determinant a antisymetrické formy LEMMA 2 Nechť A=[aij] je čtvercová matice řádu n 2. Pak det A = rA 1 rA 2 = - rA 2 rA 1 . D ŮKAZ: Pro n = 2 platí rA 1 rA 2 = a11 a12 a21 a22 = = a11a22 - a12a21 = -(a21a12 - a22a11) = - rA 2 rA 1 . Důkaz pro obecnější případ se provede rozepsáním determinantů minorů v D2 a vhodnou úpravou. Úplný důkaz je však komplikovaný. 12. Determinanty ­ p. 10/27 12.2 Determinant a antisymetrické formy V ĚTA 1 Nechť A = [aij] je čtvercová matice řádu n 2, nechť i < j a nechť B = [bij] je matice, která vznikla z matice A vzájemnou výměnou i-tého a j-tého řádku. Pak det A = rA i rA j i j = - rA j rA i i j = - det B. D ŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 2. Viz literatura. 12. Determinanty ­ p. 11/27 12.2 Determinant a antisymetrické formy V ĚTA 2 Nechť A a B jsou čtvercové matice, které mají stejné řádky s výjimkou k-tého. Pak pro libovolné platí k rA k = det A, k rA k + rB k = det A + det B. D ŮKAZ: Důkaz se provádí pomocí matematické indukce s využitím Lemma 1 a Věty 2. Viz literatura. Věty 1. a 2. můžeme shrnout tvrzením, že determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice řádků matice. 12. Determinanty ­ p. 12/27 12.2 Determinant a antisymetrické formy D ŮSLEDEK: Nechť A je libovolná čtvercová matice: 1. Má-li A dva stejné řádky, pak det A = 0. 2. Má-li A nulový řádek, pak det A = 0. 3. Je-li B čtvercová matice, která má stejné řádky jako A s výjimkou k-tého, a rB k = rA k + rA l , k = l, pak det A = det B. 4. Jsou-li řádky A lineárně závislé, pak det A = 0. 12. Determinanty ­ p. 13/27 12.3 Výpočet hodnoty determinantu Elementární řádkové úpravy ovlivňují velmi jednoduše hodnotu determinantu. 1. Přičtení násobku některého řádku k jinému hodnotu determinantu nezmění 2. Vzájemná výměna dvou řádků změní znaménko determinantu 3. Vynásobení řádku skalárem vynásobí tímto skalárem determinant Elementární řádkové úpravy matice proto můžeme využít k převodu matice na speciální tvar vhodný pro výpočet determinantu. Pro nás je to prozatím dolní trojúhelníková matice, jejíž determinant je podle příkladu 3 roven součinu diagonálních prvků. 12. Determinanty ­ p. 14/27 12.3 Výpočet hodnoty determinantu P ŘÍKLAD 4 3 2 1 2 0 2 3 1 -1 +r3 2r3 = 6 3 0 8 2 0 3 1 -1 = 2 6 3 0 4 1 0 3 1 -1 -3r2 = = 2 -6 0 0 4 1 0 3 1 -1 = 2 (-6) 1 (-1) = 12 P ŘÍKLAD 5 0 1 1 1 0 1 1 1 0 r3 r2 = 0 1 1 1 1 0 1 0 1 -r3 = -1 1 0 1 1 0 1 0 1 -r2 = = -2 0 0 1 1 0 1 0 1 = -(-2) 1 1 = 2 12. Determinanty ­ p. 15/27 12.4 Determinant součinu matic V ĚTA 3 Nechť A a B jsou čtvercové matice řádu n. Pak det(AB) = det A det B. D ŮKAZ: Předpokládejme nejprve, že A je diagonální, tedy A = d1 0 . . . 0 0 d2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . dn . Pak det(AB) = d1rB 1 ... dnrB n = d1 dn det B = det A det B. 12. Determinanty ­ p. 16/27 12.4 Determinant součinu matic D ŮKAZ (Pokračování): Je-li A libovolná matice, pak existuje posloupnost T1, . . . , Tk sestávající z l elementárních permutačních matic Pij a k - l Gaussových transformací Gij(), která splňuje Tk T1A = d1 0 . . . 0 0 d2 . . . 0 ... ... ... ... 0 0 . . . dn = D. Jelikož násobení Gaussovou transformací realizuje přičtení některého řádku k jinému a násobení permutací realizuje výměnu řádků, platí det(AB) = (-1)l det(Tk T1AB) = (-1)l det(DB) = = (-1)l det D det B = (-1)l det(Tk T1A) det B = = (-1)l (-1)l det A det B = det A det B. 12. Determinanty ­ p. 17/27 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného řádku V ĚTA 4 Jestliže A = [aij] je čtvercová matice řádu n > 1, pak pro libovolný index k platí det A = ak1Ak1 + + aknAkn. D ŮKAZ: Pro libovolné k dostaneme postupnou výměnou původně k-tého řádku s řádkem bezprostředně nad ním det A = rA 1 rA 2 ... rA k-1 rA k 1 2 ... k - 1 k = - rA 1 rA 2 ... rA k rA k-1 1 2 ... k - 1 k = = (-1)k-1 rA k rA 1 ... rA k-2 rA k-1 1 2 ... k - 1 k = = (-1)k-1 ak1|MA k1| - ak2|MA k2| + + (-1)n+1 |MA kn| = = (-1)k+1 ak1|MA k1| + + (-1)k+n |MA kn| = = ak1Ak1 + + aknAkn. 12. Determinanty ­ p. 18/27 12.5 Rozvoj determinantu podle libovolného řádku D ŮSLEDEK: Nechť A = [aij] je čtvercová matice řádu n > 1. 1. Jsou-li k, l dva různé indexy řádků matice A, pak ak1Al1 + + aknAln = 0. 2. Je-li A trojúhelníková matice, pak det A = a11 ann. D ŮKAZ: 1. Hodnota Ali vůbec nezávisí na l-tém řádku matice A. Platí tedy ak1Al1 + + aknAln = rA k rA k k l = 0. 2. Pro dolní trojúhelníkovou matici bylo tvrzení dokázáno v Příkladě 3. Pro horní trojúhelníkovou matici je důkaz analogický s tím, že využijeme rozvoj determinantu podle posledního řádku z Věty 4. 12. Determinanty ­ p. 19/27 12.6 Adjungovaná a inverzní matice DEFINICE 3 Nechť A je libovolná čtvercová matice řádu n > 1. Pak adjungovaná matice A k matici A je čtvercová matice stejného řádu definovaná předpisem A = A11 . . . An1 ... ... ... A1n . . . Ann . P ŘÍKLAD 6 Pro matici A = 3 2 1 2 0 2 3 1 -1 je A = -2 3 4 8 -6 -4 2 3 -4 . 12. Determinanty ­ p. 20/27 12.6 Adjungovaná a inverzní matice P ŘÍKLAD 6 Pokračování Opravdu A11 = 0 2 1 -1 = -2, A12 = 2 2 3 -1 = -(-2 - 6) = 8, A13 = 2 0 3 1 = 2, A21 = 2 1 1 -1 = -(-2 - 1) = 3, A22 = 3 1 3 -1 = -3 - 3 = -6, A23 = 3 2 3 1 = 3, A31 = 2 1 0 2 = 4, A32 = 3 1 2 2 = -4, A33 = 3 2 2 0 = -4. 12. Determinanty ­ p. 21/27 12.6 Adjungovaná a inverzní matice V ĚTA 5 Nechť A je čtvercová regulární matice řádu n > 1. Pak det A = 0 a A-1 = 1 det A A. D ŮKAZ: Je-li A čtvercová regulární matice, pak existuje posloupnost elementárních řádkových operací, která převede A na jednotkovou matici I. Jelikož determinant matice upravené elementární transformace se může od determinantu původní matice lišit jen nenulovým násobkem a det I = 1, platí det A = 0. Nyní si povšimněme, že rozvoje determinantu podle libovolných řádků můžeme zapsat maticově pomocí adjungované matice ve tvaru AA = (det A) I. Odtud A 1 det A A = I. 12. Determinanty ­ p. 22/27 12.6 Adjungovaná a inverzní matice P ŘÍKLAD 7 Pro matici A definovanou v Příkladu 6 dostaneme 3 2 1 2 0 2 3 1 -1 -1 = 1 12 -2 3 4 8 -6 -4 2 3 -4 = -1 6 1 4 1 3 2 3 -1 2 -1 3 1 6 1 4 -1 3 . D ŮSLEDEK: Matice A je regulární, právě když det A = 0. D ŮKAZ: Je-li A singulární, pak má závislé sloupce, takže podle důsledku 4 vět 1 a 2 platí det A = 0. Obrácené tvrzení plyne z právě dokázané věty. 12. Determinanty ­ p. 23/27 12.7 Determinant transponované matice V ĚTA 6 Nechť A je čtvercová matice. Pak det A = det A. D ŮKAZ: Každou permutační matici P vyjádřit ve tvaru P = P1 Pk součinu elementárních permutačních matic Pi, které jsou symetrické, takže P = Pk P1 a det P = |Pk| |P1| = det P. Jelikož transponování nemění diagonálu matice a determinant trojúhelníkové matice je roven součinu jejích diagonálních prvků, platí tvrzení také pro každou trojúhelníkovou matici. Jestliže je A obecná čtvercová matice, pak podle věty o LUP rozkladu existují dolní trojúhelníková matice L, horní trojúhelníková matice U a permutační matice P tak, že A = LUP. S použitím věty o součinu determinantů odtud plyne det A = det(P U L ) = |P ||U ||L | = |L||U||P| = det(LUP) = det A. 12. Determinanty ­ p. 24/27 12.8 Determinant jako funkce sloupců Ze Věty 6 vyplývá, že determinant považovaný za funkci sloupců má stejné vlastnosti jako determinant považovaný za funkci řádků. Například determinant je antisymetrická bilineární forma libovolné dvojice sloupců matice. V ĚTA 7 Nechť A je čtvercová matice řádu n > 1. Pak pro i = 1, . . . , n platí det A = a1iA1i + + aniAni. D ŮKAZ: det A = det A = a11 . . . an1 ... ... a1i . . . ani ... ... a1n . . . ann = = (-1)i+1 a1i|M 1i| + + (-1)i+n ani|M ni| = (-1)i+1 a1i|M1i| + . . . + (-1)i+n ani|Mni| = a1iA1i + + aniAni. 12. Determinanty ­ p. 25/27 12.9 Cramerovy vzorce Použijeme-li vzorec pro inverzní matici k řešení soustavy Ax = b s regulární čtvercovou maticí A řádu n > 1, dostaneme pro složky xi řešení x vzorce xi = A-1 b i = 1 det A (A1ib1 + + Anibn). Minory příslušné k prvkům i-tého sloupce neobsahují prvky i-tého sloupce, a proto můžeme výraz v kulaté závorce považovat za rozvoj determinantu podle i-tého sloupce matice i i Ab i = [ b ] = sA 1 . . . sA i-1 b sA i+1 . . . sA n , která vznikne z A záměnou i-tého sloupce za b. Výrazy xi = det Ab i det A , i = 1, . . . , n se nazývají Cramerovy vzorce. 12. Determinanty ­ p. 26/27 12.9 Cramerovy vzorce P ŘÍKLAD 8 Pomocí Cramerových vzorců najděte řešení soustavy 3x1 + 2x2 + x3 = 6 2x1 + 2x3 = 0 3x1 - x2 - x3 = 0 ŘEŠENÍ: Postupně vypočteme determinant matice soustavy |A| = 3 2 1 2 0 2 3 -1 -1 = 12 a čitatele Cramerových vzorců |Ab 1| = 6 2 1 0 0 2 0 -1 -1 = 12, |Ab 2| = 3 6 1 2 0 2 3 0 -1 = 48, |Ab 3| = 3 2 6 2 0 0 3 -1 0 = -12 Odtud x1 = |Ab 1| det A = 1, x2 = |Ab 2| det A = 4, x3 = |Ab 3| det A = -1. 12. Determinanty ­ p. 27/27