7. Dimenze a řešení soustav 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 1/15 Dimenze a řešení soustav 1. Dimenze vektorového prostoru 2. Dimenze a vyjádření vektoru jako lineární kombinace 3. Řádkový prostor a řádková hodnost 4. Sloupcová hodnost matice 5. Hodnost a řešitelnost soustav 6. Hodnost a regularita 7. Hodnost matice a počítačová aritmetika 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 2/15 7.1 Dimenze vektorového prostoru V ĚTA 1 Nechť V = e1, . . . , en a nechť f1, . . . , fm jsou nezávislé vektory prostoru V. Pak m n. D ŮKAZ: Nechť platí předpoklady věty a m > n. Jelikož V = e1, . . . , en a f1 V, lze f1 vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů báze, takže vektory f1, e1, . . . , en jsou závislé. Pak existuje k tak, že ek je lineární kombinací vektorů f1, e1, . . . , ek-1. Odtud snadno plyne, že každý vektor prostoru V lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů f1, e1, . . . , ek-1, ek+1, . . . , en. Jestliže tento postup zopakujeme s tím, že vezmeme v úvahu nezávislost vektorů f1 a f2, ukáže se, že každý vektor prostoru V lze vyjádřit jako kombinaci f1, f2 a některých n - 2 vektorů vybraných z původní báze (e1, . . . , en). Kdyby m > n, dostali bychom po vyškrtání všech n vektorů báze (e1, . . . , en), že každý vektor prostoru V lze vyjádřit pomocí vektorů f1, . . . , fn. Tak bychom však mohli vyjádřit fn+1 jako kombinaci f1, . . . , fn, což je ve sporu s předpokladem, že f1, . . . , fm jsou nezávislé. Platí tedy m n . 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 3/15 7.1 Dimenze vektorového prostoru Z věty ihned plyne, že má-li nějaký vektorový prostor V bázi, pak počet vektorů této báze je maximálním počtem nezávislých vektorů prostoru V a počet vektorů v různých bázích téhož vektorového prostoru je stejný. DEFINICE 1 Maximální počet nezávislých vektorů vektorového prostoru V nazýváme dimenzí prostoru V a značíme ji dim V. Má-li vektorový prostor bázi, je jeho dimenze rovna počtu vektorů báze a mluvíme o konečněrozměrném prostoru. Podle naší definice platí dim{o} = 0. Nemá-li nenulový vektorový prostor bázi, mluvíme o nekonečněrozměrném prostoru. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 4/15 7.2 Dimenze a vyjádření vektoru jako lineární kombinace V ĚTA 2 Nechť b, a1, . . . , ak jsou vektory vektorového prostoru V. Označme A = {a1, . . . , ak}. Pak platí následující tvrzení: 1. Vektor b lze vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a1, . . . , ak, právě když dim b, a1, . . . , ak = dim A () 2. Jestliže platí (*) a A je nezávislá množina vektorů, pak lze vektor b vyjádřit jediným způsobem jako lineární kombinaci vektorů a1, . . . , ak. 3. Jestliže platí (*) a A je závislá množina vektorů, pak lze vektor b vyjádřit nekonečně mnoha způsoby jako lineární kombinaci vektorů a1, . . . , ak. V této kombinaci lze zvolit některých d = k - dim A koeficientů libovolně. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 5/15 7.2 Dimenze a vyjádření vektoru jako lineární kombinace D ŮKAZ: 1. Jestliže a1 = = ak = o, je tvrzení triviální. Předpokládejme tedy, že některý z vektorů a1, . . . , ak je různý od nuly. Pak postupným vyškrtáváním vektorů, které jsou kombinací ostatních, vybereme z a1, . . . , ak nějakou bázi E prostoru A . Bez újmy na obecnosti můžeme předpokládat, že E = (a1, . . . , as). Jestliže b nelze vyjádřit jako kombinaci vektorů báze E, pak (b, a1, . . . , as) tvoří bázi b, a1, . . . , ak a platí dim b, a1, . . . , ak = s + 1 = s = dim A . Naopak, jestliže b lze vyjádřit jako kombinaci a1, . . . , as, pak E je báze A i b, a1, . . . , ak a platí dim A = s = dim b, a1, . . . , ak . 2. Jestliže platí (*) a A je nezávislá množina vektorů, pak (a1, . . . , ak) tvoří bázi A a pak lze vektor b vyjádřit jako lineární kombinaci vektorů a1, . . . , ak. Koeficienty lineární kombinace jsou určeny jednoznačně. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 6/15 7.2 Dimenze a vyjádření vektoru jako lineární kombinace D ŮKAZ(Pokračování): 3. Nechť platí (*). Předpokládejme opět, že E = (a1, . . . , as) tvoří bázi A a s < k. Pak platí b A , takže pro libovolné s+1, . . . , k platí také b - s+1as+1 - - kak A . Existuje tedy 1, . . . , s tak, že b - s+1as+1 - - kak = 1a1 + + sas. Vektor b lze tedy vyjádřit ve tvaru b = 1a1 + + kak s libovolnými s+1, . . . , k. Počet těchto koeficientů splňuje d = k - s = k - dim A . Věta obsahuje odpověď na otázku, kdy má soustava lineárních rovnic řešení, kdy má jediné řešení a kdy má nekonečně mnoho řešení, a to v termínech dimenze lineárních obalů sloupců matice soustavy a pravé strany. Stačí si za vektory ai dosadit sloupce sA i matice soustavy A a za b dosadit vektor pravé strany. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 7/15 7.3 Řádkový prostor a řádková hodnost DEFINICE 2 Lineární obal R(A) = rA 1 , . . . , rA m řádků rA i dané matice A typu (m, n) nazýváme řádkovým prostorem matice A. Dimenze R(A) se nazývá řádková hodnost matice A V ĚTA 3 Nechť matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. Pak R(A) = R(B) Řádková hodnost matice A se elementárními řádkovými operacemi nemění a snadno ji určíme ze schodového tvaru matice A, neboť počet nenulových řádků matice ve schodovém či normovaném schodovém tvaru je zřejmě roven její řádkové hodnosti. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 8/15 7.3 Řádkový prostor a řádková hodnost P ŘÍKLAD 1 Určete řádkovou hodnost matice A = 1 -1 1 1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 ŘEŠENÍ: Elementárními řádkovými úpravami dostaneme postupně 1 -1 1 1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 -r1 1 -1 1 1 0 1 -2 0 0 1 -2 0 -r2 1 -1 1 1 0 1 -2 0 0 0 0 0 +r2 1 0 -1 1 0 1 -2 0 0 0 0 0 Řádková hodnost matice A je tedy rovna dvěma. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 9/15 7.4 Sloupcová hodnost matice DEFINICE 3 Lineární obal S(A) = sA 1 , . . . , sA n sloupců dané matice A typu (m, n) se nazývá sloupcový prostor matice A. Dimenze S(A) se nazývá sloupcová hodnost matice A. P ŘÍKLAD 2 Srovnejme sloupcové prostory matice A a matice B z příkladu 1, které jsou řádkově ekvivalentní: A = 1 -1 1 1 1 0 -1 1 0 1 -2 0 , B = 1 0 -1 1 0 1 -2 0 0 0 0 0 . Sloupcové prostory obou matic jsou různé, neboť například sA 2 S(B). 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 10/15 7.4 Sloupcová hodnost matice V ĚTA 4 Nechť matice A a B jsou řádkově ekvivalentní. Pak dim S(A) = dim S(B). D ŮKAZ: Jestliže matice A a B typu (m, n) jsou řádkově ekvivalentní, pak jsou také rozšířené matice A|o a B|o řádkově ekvivalentní. Odtud x1sA 1 + + xnsA n = o, právě když x1sB 1 + + xnsB n = o. Zde vidíme, že sloupce sA i1 , . . . , sA ik jsou nezávislé, právě když sloupce sB i1 , . . . , sB ik jsou nezávislé. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 11/15 7.4 Sloupcová hodnost matice U matice ve schodovém tvaru je báze tvořena sloupci obsahujícími vedoucí prvky řádků a sloupce matice A s týmiž indexy tvoří pak bázi S(A). P ŘÍKLAD 3 Báze sloupcového prostoru matice B z příkladu 1 je tvořena sloupci sB 1 = 1 0 0 , sB 2 = 0 1 0 . První dva sloupce sA 1 = 1 1 0 , sA 2 = -1 0 1 , matice A proto tvoří bázi S(A), neboť A a B jsou řádkově ekvivalentní. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 12/15 7.5 Hodnost a řešitelnost soustav Z vět 3 a 4 je zřejmá rovnost řádkové a sloupcové hodnosti. Budeme proto mluvit stručně o hodnosti matice a budeme ji značit h(A). V ĚTA 5 (FROBENIOVA) Nechť A je matice typu (m, n) a nechť b je m-rozměrný sloupcový vektor. Potom platí následující tvrzení: 1. Soustava Ax = b má řešení, právě když h(A) = h A|b () 2. Jestliže platí () a h(A) = n, potom má soustava jediné řešení. 3. Jestliže platí () a h(A) < n, potom má soustava nekonečně mnoho řešení. V řešení lze zvolit některých d = n - h(A) složek libovolně. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 13/15 7.6 Hodnost a regularita V ĚTA 6 Čtvercová matice A řádu n je regulární, právě když h(A) = n. D ŮKAZ: Nechť A je čtvercová matice řádu n. Jestliže A má hodnost n, potom podle věty 5 má každá soustava Ax = sI k jediné řešení, takže i soustava AX=I má jediné řešení. Odtud je matice A regulární. Obráceně, jestliže A je regulární, potom pro libovolný sloupcový vektor y a x = A-1 y platí y = AA-1 y = A(A-1 y) = Ax = x1sA 1 + + xnsA n, takže A má sloupcovou hodnost n. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 14/15 7.7 Hodnost matice a počítačová aritmetika Pojem hodnosti předpokládá přesnou aritmetiku, neboť nepatrná změna matice může způsobit změnu její hodnosti. P ŘÍKLAD 4 A = 1 1 10-99 10-99 a B = 1 1 10-98 10-99 Matice se liší jen velmi málo, avšak h(A) = 1 a h(B) = 2 Pokud jsou koeficienty matice výsledkem měření, nemá proto často vůbec smysl hovořit o hodnosti matice. Pro takové aplikace, stejně jako pro počítačové řešení soustav, byla proto vypracována teorie založená na jiných pojmech, se kterou se seznámíme později. 7. Dimenze a řešení soustav ­ p. 15/15