Cvičení z lineární algebry 46 Vít Vondrák Cvičení č. 10 Bilineární formy. Matice bilineární formy. Kvadratické formy. Matice kvadratické formy. Bilineární formy Definice: Zobrazení B : VxV —> R, kde J7 j e reálný vektorový prostor se nazývá bilineární forma, jestliže 1. Vw,v,we V : B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w) 2. Vore RVu,veV : B(au,v) = aB(u,v) 3. Vw, v,we V : B(u, v + w) = B(u, v) + B(u, w) 4. Vore RVu,veV : B(au,v) = aB(u,v) Bilineární forma, pro kterou platí B (u, v) = B(v,u),\/u,ve V, se nazývá symetrická a bilineární forma pro níž platí B(u,v) = -B(v,u),\/ii,ve V se nazývá antisymetrická. Příklad: Rozhodněte, zda-li zobrazení B : R3 x R3 —> R definované předpisem B(x,y) = xlyl -xly2+3x2yl +2x2y2-2x2y3 -2x3y2+5x3y3 je bilineární forma. Řešení: 1. Vw,v,we R3 : B(u + v,w) = B(u,w) + B(v,w) Zvolme u = [ul, u2, u3 ], v = [v:, v2, v3 ], w = [wx, w2, w3 ]. Pak B(u + v,w) = (Wj +v1)>v1 -(Wj +vl)w2 +3(u2 +v2)wl +2(u2 +v2)w2-2(u2 +v2)w3 - -2(u3 + v3)w2 + 5(u3 + v3)w3 =ulwl + VjWj -ulw2 -vlw2 + 3u2wl + 3v2wl + 2u2w2 + + 2v2w2 -2u2w3 -2v2w3 -2u3w2 -2v3w2 + 5u3w3 + 5v3w3 = ulwl -ulw2 + 3u2wl + 2u2w2 - - 2u2w3 - 2u3w2 + 5u3w3 + VjWj - vlw2 + 3v2wl + 2v2w2 - 2v2w3 - 2v3w2 + 5v3w3 = = B(u, w) + B(y, w) 2. Vore R Vw,ve R3 :B{au,v) = aB{u,v). B{au,v) = {aul)vl -{aul)v2 +3{au2)vl +2(cw2)v2-2(cw2)v3 -2(cw3)v2 +5(cw3)v3 = = cculvl -aulv2 +3au2vl +2au2v2 -2au2v3 -2au3v2 +5cm3v3 =a(ulvl -ulv2 +3u2vl + + 2u2v2 - 2u2v3 - 2u3v2 + 5u3v3) = cxB(u, v) 3. Vw,v,we R3 : B(u,v + w) = B(u, v) + B(u,w) . B(u, v + w) = ul (Vj + wl) - Wj (v2 +w2) + 3u2 (vl +w^) + 2u2 (v2 +w2) - 2u2 (v3 + w3) --2u3(v2 + w2) + 5u3(v3 +w3) = «1v1 +ulwl -ulv2 -uxw2 +3w2Vj +3u2wx +2u2v2 + + 2u2w2 -2u2v3 -2u2w3 -2u3v2 -2u3w2 +5u3v3 +5u3w3 =«1v1 -ulv2 +3u2vx +2u2v2 --2u2v3 -2u3v2 +5u3v3 +ulwl -uxw2 +3u2wx +2u2w2 -2u2w3 -2u3w2 +5u3w3 = = B(u,w) + B(y,w). 4. Vore R\/u,ve R3 :B(u,av) = aB(u,v). Cvičení z lineární algebry 47 Vít Vondrák B(u,av) = ul{avl)-ul{av2) + 3u2{avl) + 2u2{av2) -2u2(av3) - 2u3(av2) + 5u3(av3) = = aulvl -cailv2 +3cm2vl +2cm2v2 -2au2v3 -2au3v2 +5cm3v3 =a(ulvl -ulv2 +3u2vl + + 2u2v2 - 2u2v3 - 2u3v2 + 5u3v3) = cxB(u, v). Zl.,2.,3.a4. tedy vyplývá, že zobrazení B je bilineární forma. ♦ Příklad: Rozhodněte, zda-li zobrazení B :P3xP3 —> R definované předpisem B(j>,q) = p(P)q(l),Vp,qeP3 je bilineární forma. Řešení: 1. Vp,q,reP3:B(p + q,r) = B(p,r) + B(q,r). B(p + q,r) = (p + q)(p)r(l) = {p(0) + q(0))r(l) = p(0)r(l) + q(0)r(l) = B(p,r) + B(q,r) 2. Vore RVp,qe P3 :B(op,q) = aB(p,q). B(ap,q) = (ap)(0)q(\) = cp(0)q(l) = oB(p,q) 3. Vp,q,r e P3 : B(p,q + r) = B(j>,q) + B(j>,r) . B(p, q + r) = p(0)(q + r)(l) = p(0){q(l) + r (1)) = p(0)q(l) + p(0)r(ľ) = B(p, q) + B(p, r) 4. Vore RVp,qe P3 :B(p,aq) = aB(p,q). B(p, aq) = p(0)(aq)(l) = p(0)aq(l) = op(0)q(l) = oB(p, q) Zobrazení B je tedy bilineární forma. ♦ Poznámka: Každá bilineární forma B nad V se dá napsat jako součet B(ii, v) = Bs (u, v) + BA (u, v), kde Bs(u, v) = j2-(B(u, v) + B(v,u)) je symetrická bilineární forma, která se nazývá symetrická část formy B a kde BA (u, v) = j2- (B(u, v) - B(v, u)) j e antisymetrická bilineární forma, která se nazývá antisymetrická část formy B. Příklad: Rozhodněte, zda-li bilineární forma B : R3 x R3 —> R definovaná předpisem B(x,y) = x1y1 -xly2+3x2yl +2x2y2-2x2y3 -2x3y2+5x3y3 je symetrická či antisymetrická, případně nalezněte její symetrickou a antisymetrickou část. Řešení: B(y,x) = ylxl -yxx2 +3y2xx +2y2x2-2y2x3 -2y3x2+5y3x3 = = xxyx +3xxy2 -x2yx +2x2y2 -2x2y3 -2x3y2+5x3y3. Odtud je patrné, že B(x,y) ž B(y,x) ani B(x,y) ž -B(y,x),Vx,ye R3. Bilineární forma tedy není ani symetrická ani antisymetrická. Nyní určíme její symetrickou a antisymetrickou část. B s (*, y) = i {B(x, y) + B(y, x)) = ± (x^ -xxy2+ 3x2yx + 2x2y2-2x2y3 - 2x3y2 + 5x3y3 + + xxyx + 3xxy2 - x2yx + 2x2y2 - 2x2y3 - 2x3y2 + 5x3y3) = = \i2xiyi + 2xi>'2 + 2x2>'i + 4x2y2-4x2y3 - 4x3y2+^x3y3)= = xlyl+xly2+x2yl +2x2y2-2x2y3 -2x3y2+5x3y3. Cvičení z lineární algebry 48 Vít Vondrák BA(x>y) = iiB(x>y)- B(y>x)) = i{xiyi -^yi+^yi+^yi-^y^ -2x3y2 + 5x3y3 - - x^i - 3x^2 + x2y, - 2x2y2 + 2x2y3 + 2x3y2 - 5x3y3) = = \ (- 4xi>'2 + 4x2yi) = ~2xiy2 + 2x2>'i • Snadno se dá ověřit, že opravdu platí B(u, v) = Bs (u, v) + BA (u, v). ♦ Příklad: Rozhodněte, zda-li bilineární forma i? definovaná naP3 předpisem B(j>,q) = p(l)q(l),Vp,qeP3 je symetrická či antisymetrická, případně nalezněte její symetrickou a antisymetrickou část. Řešení: B(q, p) = q(l)p(l) = p(l)q(l) = B(p, q), V/>, q e P3. Odtud je patrné, že bilineární forma B je symetrická a taávzBs{x,y) = p(\)q(\) a BA(x,y) = 0. ♦ Matice bilineární formy Definice: Nechť E = (e1,...,en)']e báze vektorového prostoru VaBje bilineární forma nad tímto vektorovém prostoru. Maticí bilineární formy B nazýváme matici [B]E = \B(ej, e .)). Věta: Nechť B je bilineární forma na Fa nechť [B]E je matice této formy vzhledem k bázi E. Pro libovolné vektory w,ve V platí B(u,v) = [u]TE[B]E[v]E . Příklad: Je dána bilineární forma B na P3 předpisem B(p,q) = p(0)q(ľ), Vp,qe P3. Pomocí matice bilineární formy nalezněte obraz B(p, q) kde p(x) = x +1, q(x) = x2 + x -1. Řešení: Pro snadné nalezení souřadnic vektorů si pro tuto úlohu zvolíme bázi P = (p^p2,p3), p^(x) = \p2{x) = x,p3(x) = x2. Určíme souřadnice vektorů/», q: ÍPl neboť p = lp^+ \p2 + 0p3, q(x) = -\px + \p2 + \p3. Nyní sestavíme matici bilineární formy vzhledem k bázi P. T ~-i l , Vňp = i 0 i Cvičení z lineární algebry 49 Vít Vondrák B(Pl,p1) = p1(0)p1(ľ) = hl = l B(Pl,p2) = Pl(0)p2(l) = hl=l B(pl,p3) = pl(0)p3(l) = hŕ=l B(p2,Pl) = p2(0)Pl(l) = 0-1 = 0 B(p2,p2) = p2(0)p2(l) = 0-l = 0 B(p2,p3) = p2(0)p3(l) = 0l2=0 B(p3,pl) = p3(0)pl(l) = 02l = 0 B(p3,p2) = p3(0)p2(l) = 02l = 0 B(p3,p3) = p3(0)p3(l) = 02ŕ=0 [B]P = B(p,q) = [p]TP[B]P[v]p=[\X0] "1 1 f 0 0 0 0 0 0 "1 1 f ~-l~ T 0 0 0 1 = [U0] 0 0 0 0 1 0 Kvadratické formy Definice: Nechť B je bilineární forma na V. Kvadratickou formou příslušnou bilineární formě B rozumíme zobrazení QB : V —» R definované předpisem QB (x) = B(x, x), Vx e V. Příklad: Nalezněte kvadratickou formu príslušnou k bilineární formě B : R3 x R3 —> R definované předpisem B(x,y) = xxyx - xxy2 + 3x2yx + 2x2y2-2x2y3 - 2x3y2 + 5x3y3. Řešení: ---- ť\-i I ZiAi ť\- o I ZiA o T"ť\- o ť\-Q I w? ť\-Q . Kvadratická forma príslušná k bilineární formě B má tedy tvar QB (x) = x2 + 2XjX2 + 2x2 - 4x2x3 + 5x32. ♦ Věta: Nechť QB']Q kvadratická forma na F príslušná nějaké bilineární formě B. Pak symetrická část této bilineární formy B má tvar B s (x, y) = j[ {QB (x + y)- QB (x) - QB (y)). Příklad: Určete, zda-li zobrazení Q: R2 —> R, definované předpisem Q(x) = 4x2 - 4x:x2 + 3x2 je kvadratická forma. Cvičení z lineární algebry 50 Vít Vondrák Řešení: Abychom mohli rozhodnout zda-li Q je kvadratická forma musíme nejdříve nalézt k ní příslušnou bilineární formu, tj. takovou bilineární formu 5, že Q(x) = B (x, x) . K tomu využijeme předchozí věty: Bs(x,y) = ^{Q(x + y)-Q(x)-Q(y)) = = y(4(*i +>'i)2 -4(*i +.ľiX*2 +>,2) + 3(x2 +y2)2 -4xf+4x,x2 -3x22 -4y2+4yiy2 -3y22) = = \(4xf +SXM +4yf -4xxx2 -4xxy2 -4x2yx -4yxy2 +3x22 +6x2y2 +3y22 - -4x2 + 4xxx2 -3x\ - 4y2 + 4yxy2 -3y\) = \(8x,y, - 4xxy2 -4x2yx + 6x2y2) = = 4xxyx -2xxy2 -2x2yx +3x2y2. Dle definice bilineární formy se dá snadno ukázat, že Bs (x,y) = 4xlyl - 1xxy2 - 2x2yl + 3x2y2 je symetrická bilineární forma pro niž Bs (x, x) = 4Xj2 - 4XjX2 + 3x2 = Q(x). Zobrazení Q je tudíž kvadratickou formou. ♦ Matice kvadratické formy Definice: Nechť E je báze vektorového prostom V, nechť B je bilineární forma naVaQ nechť je k ní príslušná kvadratická forma. Pak maticí kvadratické formy Q vzhledem k bázi E nazýváme matici symetrické části formy B vzhledem k bázi E, t.j. [Q]E = [Bs ]E. Věta: Nechť Q je kvadratická forma na F a nechť [Q]E je matice této formy vzhledem k bázi E. Pro libovolný vektor u e V platí Q(u) = [u]TE[Q]E[u]E ■ Příklad: Nalezněte matici kvadratické formy Q z předchozího příkladu vzhledem ke standardní bázi. Pomocí této matice určete Q(x), x = [1,2]. Řešení: Pro nalezení matice kvadratické formy musíme znát symetrickou část bilineární formy k níž kvadratická forma Q přísluší. Tuto částjsme však již nalezli v předchozím příkladě a má tvar Bs(x,y) = 4xlyl -2xxy2 -2x2yx +3x2y2. Dále pnpomeneme, že standardní bázi S = (5/, s2) tvoří sloupcové vektory jednotkové matice. Matice symetrické části bilineární formy příslušné ke Q má tedy složky: Bs(sIl,sIl) = 4'1' i-2* 1-0-2- 0-1 + 3- 0-0 = 4 B^s^s^) = 4-\-0-2-1-1-2-0-0+ 3-0-1 =-2 = Bs(sI2,sIl) Bs(sI2,sI2) = 4- 0-0-2- 0-1-2-1- 0 + 3-1-1 = 3 Matice kvadratické formy má tedy tvar " 4 -2 [Qh=[Bs]s= _2 3 Pro určení obrazu kvadratické formy potřebujeme znát souřadnice vzoru vzhledem ke standardní bázi. To je ovšem triviální neboť [x]s = x . Cvičení z lineární algebry 51 Vít Vondrák Q(x) = [xfs[Q]s[u]s=[l,2] ' 4 -2 "f = [1,2] "o" -2 3 2 4 Vskutku £>(x) = 4x2 -4XjX2 +3x22 =4-l2 -4-1-2 + 3-22 =8. ♦ Příklad: Nalezněte matici kvadratické formy Q z předchozího příkladu vzhledem k bázi E = (e1,e2),e1=[l,lle2=[l,-ll Řešení: Jak již bylo uvedeno v předchozím příkladě, musíme sestavit matici symetrické bilineární formy B s (x, y) = 4xxyx - 2xxy2 - 2x2yx + 3x2y2. JS5(e1,e1) = 411-211-211 + 3 11 = 3 Bs(el,e2) = 4hl-21(-l)-2hl + 3h(-l) = l = Bs(e2,el) 5s(e2,e2) = 4-l-l-2-l-(-l)-2-(-l)-l + 3-(-l)-(-l) = ll Matice kvadratické formy vzhledem k bázi E má tedy tvar "3 1 [Q]E=[BS]E = 1 11